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超越亚纯函数的拟亏值

超越亚纯函数的拟亏值
超越亚纯函数的拟亏值

题型13 超越函数及超越函数图象的确定(原卷版)

秒杀高考数学题型之超越函数及超越函数图象的确定 【秒杀题型二】:由初等函数构造的超越函数。 【题型1】:由初等函数构造的超越函数解不等式。 『秒杀策略』:是指不能转化为初等不等式去解的不等式,最佳解法是画出图象比较图象的高低。 1.(2013年新课标全国卷I11)已知函数???>+≤+-=0 ),1ln(0,2)(2x x x x x x f ,若ax x f ≥)(,则a 的取值范围是 ( ) A.(]0,∞- B.(]1,∞- C.[]1,2- D.[]0,2- 2.(2012年新课标全国卷)当2 10≤的解集是 ( ) A.(1,1)- B.(,1)(1,)-∞-+∞ C.(0,1) D.(,0)(1,)-∞?+∞

7.(2009年辽宁卷)若1x 满足2,522x x x =+满足5)1(log 222=-+x x ,21x x += ( ) A. 25 B.3 C.2 7 D.4 【题型2】:由初等函数构造的超越函数图象确定。 『秒杀策略』:首先利用函数的奇偶性排除答案,然后再利用剩余选项的不同点代入特值(或极限)来确定。 1.(2013年新课标全国卷I)函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图象大致为 ( ) 2.(2012年新课标全国卷10)已知函数x x x f -+= )1ln(1 )(,则)(x f y =的图象大致为 ( ) 3.(2015年新课标全国卷II10)如图,长方形ABCD 的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC , CD 与DA 运动,x BOP =∠,将动点P 到B A ,两点距离之和表示为x 的函数)(x f ,则)(x f 的图象大 致为 ( )

浅谈整函数与亚纯函数

浅谈整函数与亚纯函数 摘 要: 本文主要介绍整函数,亚纯函数和它们的相关定理,推论以及超越整函数,超越亚纯函数,刘维尔定理,代数学基本定理等等. 关键词: 整函数;超越整函数;亚纯函数;超越亚纯函数;刘维尔定理 The Discussion of Integral Function and Meromorphic Functions Abstract : This paper mainly introduces integral function and its related theorem , corollary , transcendental integral function , meromorphic functions and its related theorem , corollary , transcendental meromorphic functions , and Liuweier theorem , algebra fundamental theorem , etc . Keywords : I ntegral function;Transcendental integral function;Meromorphic function;Transcendental meromorphic functions;Liuweier theorem 1 整函数的概念 定义1 在整个z 平面上解析的函数称为整函数. 例如,多项式,z e ,sin z 等都是整函数. 设()f z 为一整函数,则()f z 只z =∞以为孤立奇点且有 ()0 ()0.n n n f z c z z ∞ == ≤<+∞∑ 定理1 设()f z 为一整函数,则 (1)z =∞为()f z 的可去奇点的充要条件为()f z =常数0c , (2)z =∞为()f z 的m 阶极点的充要条件为是()f z 是一个m 次多项式 ()010.m m m c c z c z c +++≠

全纯函数

全纯函数 维基百科 全纯函数(holomorphic function)是复分析研究的中心对象;它们是定义在复平面C的开子集上的,在复平面C中取值的,在每点上皆复可微的函数。这是比实可微强得多的条件,暗示著此函数无穷可微并可以用泰勒级数来描述。 解析函数(analytic function)一词经常可以和“全纯函数”互相交换使用,虽然前者有几个其他含义。 全纯函数有时称为正则函数。在整个复平面上都全纯的函数称为整函数(entire function)。“在一点a全纯”不仅表示在a可微,而且表示在某个中心为a 的复平面的开邻域上可微。双全纯(biholomorphic)表示一个有全纯逆函数的全纯函数。 定义 若U为C的开子集而f : U→C是一个函数,我们称f是在U中一点z0复可微(complex differentiable),若极限 存在。 极限取所有趋向z0的复数的序列,并对所有这种序列差的商趋向同一个数 f '(z ). 直观上,如果f在z0复可微而我们从r方向趋向点z0,则函数的像会0 从f '(z0) r方向趋近点f(z0),其中的乘积是复数乘法。 这个可微性的概念和实可微性有几个相同性质: 它是线性的,并服从乘积,商和链式法则。 若f在U中每点z0复可微,我们称f在U上全纯。我们称f在点z0全纯,如果它在z0的某个邻域全纯。 下面是一个等价的定义。一个复函数全纯当且仅当它满足柯西-黎曼方程. 例子 z的所有复系数的多项式函数在C上是全纯的。

所有z的三角函数和所有指数函数也是。 (三角函数事实上和指数函数密切相关并可以通过欧拉公式来用指数函数定义)。 对数函数的主支在集合C - {z∈R : z ≤ 0}上全纯。平方根函数可以定义为 所以任何对数ln(z)全纯的地方,它也全纯。函数1/z在 {z : z≠ 0} 上全纯。 不是全纯的函数的典型例子有复共轭(complex conjugation)和取实部。 性质 因为复微分是线性的,并且服从积、商、链式法则,所以全纯函数的和、积和复合是全纯的,而两个全纯函数的商在所有分母非0的地方全纯。 每个全纯函数在每一点无穷可微。它和它自己的泰勒级数相等,而泰勒级数在每个完全位于定义域U内的开圆盘上收敛。泰勒级数也可能在一个更大的圆盘上收敛;例如,对数的泰勒级数在每个不包含0的圆盘上收敛,甚至在复实轴的附近也是如此。证明请参看证明全纯函数解析。 若把C和R2等同起来,则全纯函数和满足柯西-黎曼方程的双实变量函数相同,该方程组含有两个偏微分方程。 在非0导数的点的附近,全纯函数是共形的(或称保角的)。因为他们保持了小图形的角度和形状(但尺寸可能改变)。 柯西积分公式表明每个全纯函数在圆盘内的值由它在盘边界上的取值所完全决定。 几个变量 多复变函数的复解析函数定义为在一点全纯和解析,如果它局部可以(在一个多盘,也即中心在该点的圆盘的直积)扩张为收敛的各个变量的幂级数。这个条件比柯西-黎曼方程要强;事实上它可以这样表述: 一个多复变量函数是全纯的当且仅当它满足柯西-黎曼方程并且局部平方可积。

半纯函数的无穷级数展开

亚纯函数的无穷级数展开 我们知道,如果?()z 在0z 的邻域内全纯,则?()z 在0z 的邻域内可展成Taylor 级数()n n n z z a 00-∑∞ =;如果z 。是?(z)的一孤立奇点, 它可以在z 。的去心邻域展成Laurent 级数()n n n z z a ∑+∞ -∞ =-0。 亚纯函数是一类非常重要函数,由于它的奇点为极点,我们从Laurent 级数的展开式中得到启发,可否将亚纯函数按其奇点的分布情况展开成无穷级数,答案是肯定的。这样亚纯函数的研究又有了一种工具,下面我们来研究这理论。 设)(z f 为区域D 内的亚纯函数,它可以表为两个全纯函数之比,即 ) () ()(z g Z h z f = . 其中()()z g z h ,是D 内的全纯函数,且()z g 的零点是()z f 的极点,设想()z g 可分解因式如下 ()()...)(21z z z z a z g --= 由此我们对上式施以对数运算,再施以微分运算,就将()z f 展开成如下的形式, ()()∑ ∞ -=k n k k k z z a z f (其中k n 为与极点的级有关的正整数) 即我们依()z f 的极点展开成一分式型级数有关的理论我们不进行

深入讨论。下面我们以亚纯函数tgz 与ctgz 为例说明这种展开方法。由于tgz =ctg (2 π-z ),所以我们只研究ctgz 的展开方法 即可。 我们先研究用微积分学有关理论来展开ctgz 。这种方法的技巧性很强,它需要先把t sin 在实数域内展成无穷乘积,这样会减少在复数域内的许多繁杂的讨论。 因为()mx i mx x i x m sin cos sin cos +=+ 展开左边取实部得 ()()???+???---?=--x x m m m x x m mx m m 331sin cos 3 2121sin cos sin (1) 若12+=n m 是奇数,用公式()k k x x 22sin 1cos -=置换(1)中余弦函数 的偶次幂后,得 ()()x P x x n 2sin sin 12sin ?=+ (2) 其中()u P 为一个n 次幂整多项式。 如果用n u u u ,...,,21表这多项式的根,则此多项式可以用如下方法分解因式 ()()()()???? ??-???? ??-???? ? ?-=---=n n u u u u u u A u u u u u u a u P 1...11 (2121) 从(2)容易定出根n u u u ,...,,21,如果x 使()012sin =+x m ,但0sin ≠x ,则x 2sin 就一定是()u P 的根。1 2,...,1 22,12+++=n n n n x πππ介于0与2 π之间, 且为递增序列,从而 .1 2sin ,...,122sin ,1 2sin 22 22 1+=+=+=n n u n u n u n π ππ

数值计算课程设计,拟合方法与拟合函数的选取

题目:拟合方法与拟合函数的选取 提交日期:2013年5月13日

目录 一、拟合问题的提出 (1) 二、拟合准则 (1) 三、拟合函数的选取 (1) 四、函数拟合实 (2) 4.1多项式拟合 (2) 4.2 指数与复合函数拟合 (4) 4.3 分段拟合 (7) 五、总结 (12) 六、参考文献 (12)

一、 拟合问题的提出 在很多科学实验中,我们通过测量或观察等方法获得一组看上去杂乱无章的数据,为了找出这些数据之间的某种规律和联系,即寻找一个较简单的函数曲线,使之在一定准则下最接近这些数据点,以便突显各数据点的先后变化趋势,由此便产生了曲线拟合的概念。 曲线拟合在实际中有着很广泛的实用价值。因为我们所获取的实验数据本身往往带有测量误差,难免会出现个别数据误差过大的现象。相比于插值法,曲线拟合时,不要求曲线严格地经过每一个数据点,这样就能有效降低个别数据对整体数据规律的干扰作用;另外,实验数据往往很多,插值法会比较繁杂,拟合方法则更实际更高效。 二、拟合准则 在曲线拟合中,有几种不同的误差准则: 1.最大误差: 2.平均误差 3.均方根误差 4.误差平方和 通过求误差的最小值,可得该准则下的最佳拟合曲线。由于误差平方和容易进行最小化计算,故而我们通常采用该标准,称之为最小二乘准则。以下课程实验都是在最小二乘准则下实现的。 三、拟合函数的选取 曲线拟合时,首要也最关键的一步就是选取恰当的拟合函数。对于一组给定的数据, 我们可以先做出其散点图,判断应该采用什么样的曲线来作拟合,然后在直观判断的基础上,选取多组曲线分别作拟合,然后比较,看哪条曲线的最小二乘指标最小,也即拟合的最好。 一般来说,选取多项式作为拟合曲线,是简单且常用的。MATLAB 中有现成的多项式拟合程序,调用格式为f=polyfit(x,y,n),其中输入参数x ,y 为要拟合的数据,n 为拟合多项式的系数,输出参数f 为拟合多项式的系数向量。 | )(|max ||max 11i i n i i n i y x f E -==≤≤≤≤δ

最新高三复习专题12超越函数解决策略.pdf

高三复习专题12 超越函数解决策略 知识点: y e x 与y ln x 是两个基本的超越函数,它们的很多性质和图像在解题中有着非常 重要的作用.其中从他衍生的除导数不等式e x x 1与ln x x 1导数放缩的重要工具之外, 另外六个应用于高中数学压轴题中也屡见不鲜,在复习过程中,亦须掌握其常见的解决策略. 一.常见图像及其性质: 1.y xe x 性质: 2. x e x y 性质: 3.x e y x 性质: 4.y x ln x 性质: 5.x x y ln 性质: 6.x x y ln 题组1.y xe x

1.已知函数x e a x x f 1)(,(e R a ,是自然底数) (1)求函数 f (x) 的极值;(2)当a 1的值时,若直线l : y kx 1与曲线y f (x) 没有公共点,求k 的最大值. 提示(1)略(2)1 k 2.已知函数1ln )(x a x x f ,a R (1)若函数 f (x) 的最小值为0,求a 的值;(1a ) (2)证明:e x (ln x 1) sin x 0 .略 题组2x e x y x

2.已知函数 f x ae 2 x a 2e x x . (1)讨论f x 的单调性 (2)若f x 有两个零点,求a 的取值范围

题组3.x e y x 1.已知函数x e ax x f 2)( a R ,x R .讨论)(x f 的零点个数.2.证明:e x ex ln x ex 2 3.设函数 f (x) ax 2 a ln x ,,1) (x e e x x g 其中 a R ,(1)讨论 f (x) 的单调性; (2)证明:当x 1 时,g(x) 0 (3)确定a 的所有可能取值,使得 f (x) g(x) 在区间(1, ) 内恒成立.

高三复习专题超越函数解决策略

高 三复习专题12 超越函数解决策略 知识点: y e x 与 y ln x 是两个基本的超越函数,它们的很多性质和图像在解题中有着非常 重要的作用.其中从他衍生的除导数不等式e x x 1 与ln x x 1导数放缩的重要工具之外, 另外六个应用于高中数学压轴题中也屡见不鲜,在复习过程中,亦须掌握其常见的解决策略. 一.常见图像及其性质: xe x 性质: 2. x e x y = 性质: 3.x e y x = 性质: 4. y x ln x 性质: 5.x x y ln = 性质: 6.x x y ln = 题组 xe x 1.已知函数x e a x x f +-=1)(,(e R a ,?是自然底数)

(1)求函数 f (x ) 的极值; (2)当 a 1的值时,若直线 l : y kx 1与曲线 y f (x ) 没有公共点,求 k 的最大值. 提示(1)略(2)1=k 2.已知函数 1ln )(-+=x a x x f , a R (1)若函数 f (x ) 的最小值为 0,求 a 的值;(1=a ) (2)证明: e x (ln x 1) s in x 0 .略 题组2x e x y = 1.已知函数 f xx ae x a R , x R .讨论)(x f 的零点个数. 2.已知函数 f xa e 2 x a 2e x x . (1)讨论 f x 的单调性 (2)若 f x 有两个零点,求 a 的取值范围

题组3.x e y x = 1.已知函数 x e ax x f -=2)( a R , x R .讨论)(x f 的零点个数. 2.证明: e x ex ln x ex 2 3.设函数 f (x ) ax 2 a ln x ,,1)(x e e x x g -=其中a R , (1)讨论 f (x ) 的单调性; (2)证明:当 x 1 时, g (x ) 0 (3)确定 a 的所有可能取值,使得 f (x ) g (x ) 在区间 (1, ) 内恒成立. 题组4x x y ln = 1.设函数x be x ae x f x x 1 ln )(-+=,曲线)(x f 在))1(,1(f 处的切线为2)1(+-=x e y . 证明:.1)(>x f 2.已知函数x a x x x f +-=ln )(. (1)讨论函数)(x f 的单调性; (2)证明: 1)1ln(11<+<+x x x . 题组5x x y ln = 1.设,,x y z 为正数,且235x y z ==,则( ) A .235x y z << B .523z x y << C .352y z x << D .325y x z << 2.已知函数11)1(ln )(=+++=x x b x a x f 的图像在处的切线方程032+-+y x . (1)求b a ,的值. (2)当0>x 时,恒有x x ln > (3)证明:对任意的0>M ,总存在正数0x ,使得0x x >时,恒有x M x ln >. 题组6x x y ln =

数值计算课程设计,拟合方法与拟合函数的选取

题目:拟合方法与拟合函数的选取 班级:数101班数102班数101班 指导教师:谭高山 提交日期:2013年5月13日

目录 一、拟合问题的提出 (1) 二、拟合准则 (1) 三、拟合函数的选取 (1) 四、函数拟合实 (2) 4.1多项式拟合 (2) 4.2 指数与复合函数拟合 (4) 4.3 分段拟合 (7) 五、总结 (12) 六、参考文献 (12)

一、 拟合问题的提出 在很多科学实验中,我们通过测量或观察等方法获得一组看上去杂乱无章的数据,为了找出这些数据之间的某种规律和联系,即寻找一个较简单的函数曲线,使之在一定准则下最接近这些数据点,以便突显各数据点的先后变化趋势,由此便产生了曲线拟合的概念。 曲线拟合在实际中有着很广泛的实用价值。因为我们所获取的实验数据本身往往带有测量误差,难免会出现个别数据误差过大的现象。相比于插值法,曲线拟合时,不要求曲线严格地经过每一个数据点,这样就能有效降低个别数据对整体数据规律的干扰作用;另外,实验数据往往很多,插值法会比较繁杂,拟合方法则更实际更高效。 二、拟合准则 在曲线拟合中,有几种不同的误差准则: 1.最大误差: 2.平均误差 3.均方根误差 4.误差平方和 通过求误差的最小值,可得该准则下的最佳拟合曲线。由于误差平方和容易进行最小化计算,故而我们通常采用该标准,称之为最小二乘准则。以下课程实验都是在最小二乘准则下实现的。 三、拟合函数的选取 曲线拟合时,首要也最关键的一步就是选取恰当的拟合函数。对于一组给定的数据, 我们可以先做出其散点图,判断应该采用什么样的曲线来作拟合,然后在直观判断的基础上,选取多组曲线分别作拟合,然后比较,看哪条曲线的最小二乘指标最小,也即拟合的最好。 一般来说,选取多项式作为拟合曲线,是简单且常用的。MATLAB 中有现成的多项式拟合程序,调用格式为f=polyfit(x,y,n),其中输入参数x ,y 为要拟合的数据,n 为拟合多项式的系数,输出参数f 为拟合多项式的系数向量。 | )(|max ||max 11i i n i i n i y x f E -==≤≤≤≤δ

数值分析 函数逼近与曲线拟合

第三章 函数逼近与曲线拟合 1 函数的逼近与基本概念 1.1问题的提出 多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令,因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值,必须产生可用四则运算进行计算的近似式,一般为多项式和有理分式函数.实际上,我们已经接触到两种逼近多项式,一种是泰乐多项式,一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法,误差分布不均匀,满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高,不宜在计算机上直接使用.例如,设 ()f x 是[1,1]-上的光滑函数,它的Taylor 级数0 ()k k k f x a x ∞ ==∑, ()(0) ! k k f a k = 在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时,1 1()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分布是不均匀的。当0x =时,(0)0n e =,而x 离开零点增加时,()n e x 单调增加,在1x =±误差最大。为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<,必须选取足够大的n ,这显然是不经 济的。插值函数出现的龙格现象表明,非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是,实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差,此时如果要求逼近函数过全部节点,相当于保留全部数据误差,这是不适宜的。如图1所示,给出五个点上的实验测量数据,理论上的结果应该满足线性关系,即图1中的实线。由于实验数据的误差太大,不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数,显然误差会很大。

1.2范数与逼近 一、线性空间及赋范线性空间 要深入研究客观事物,不得不研究事物间的内在联系,给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构,并将这样的集合称为空间。最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算,使其构 成线性空间.例如将所有实 n 维数对组成的集合,按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线 性空间,记作n R ,称为n 维向量空间.类似地,对次数不超过n 的实系数多项式全体,按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间,用n H 表示,称为多项式空间。所有定义在[,]a b 上的连续函数集合,按函数加法和数与函数乘法构成数域R 上的线 性空间,记作[,]C a b .类似地,记[,]p C a b 为具有p 阶连续导数的函数空间. 在实数的计算问题中,对实数的大小、距离及误差界等是通过绝对值来度量的.实践中,我们常常会遇到对一般线性空间中的向量大小和向量之间的距离进行度量的问题,因此有必要在一般线性空间上,赋予“长度”结构,使线性空间成为赋范线性空间. 定义1 设 X 是数域K 上一个线性空间,在其上定义一个实值函数g ,即对于任意 ,x y X ∈及K α∈,有对应的实数x 和y ,满足下列条件 (1) 正定性:0x ≥,而且0x =当且仅当0x =; (2) 齐次性:x x αα=; 实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近 图1

超越函数积分的五种解法Word版

超越函数积分的五种解法 On the five solutions to integral transcendental function 袁玉军,陈婷婷,韩仁江 指导老师:李声锋 蚌埠学院 数学与物理系 摘要: 大学数学课程系统介绍了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论,本文基于这些理论,给出了求解超越函数积分问题的五种方法. 关键词:超越函数;积分;大学数学 Abstract:In this paper ,by using the Laplace transform ,the residue theorem,the binary function,etc.to solve the problem of the transcendental function's integral Keywords:transcendental function ,integral 1.引言 牛顿——莱布尼茨公式是计算定积分或广义积分的一般方法,但在某些情况下会遇到函 数的原函数不能用初等函数表示,如x x sin ,x ln 1,2 x e ±等函数. 在阻尼振动、热传导与正态 分布等实际问题中,常常遇到此类函数的积分,此时就不能用牛顿——莱布尼茨公式求解.在 大学数学课程的学习中,我们已经较全面掌握了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论,本文将基于这些理论,给出超越函数定积分的五种解法. 2.五种解法 (1)基于幂级数展开法求积分 引理1[1] 若函数项级数 ()n u x ∑在区间[],a b 上一致收敛,且每一项都连续,则 ()().b b n n a a u x dx u x dx =∑∑? ? 例1 求定积分 1 0ln .1x dx x -? 分析 注意到ln 1x x -在()0,1内连续,且01ln ln lim ,lim 1.11x x x x x x +- →→=-∞=-- 若定义函数

专题四《超越函数的图像及应用》

专题四 超越函数的图像及其应用 2016.10.2 【设计意图】 在必修一我们学习了基本初等函数幂函数、指数函数与对数函数的图像和性质,初步体会到函数图像在研究函数性质时的作用,以及利用函数的性质作出函数图像的方法.在选修2-2学习了函数与导数,掌握了利用导数研究函数的单调性、极值与最值的方法.因此,利用导数可以研究函数的性质,从而画出函数图像,进而研究函数的零点问题及方程的根的情况. 【实例分析】 一、三次函数的图像 对于三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0).()x f '=3ax 2+2bx+c.()x f '的判别式△=4(b 2-3ac). 当a>0时,若x →+∞,则f(x)→+∞,若x →-∞,则f(x)→-∞; 当a<0时,若x →+∞,则f(x)→-∞,若x →-∞,则f(x)→+∞. ()x f '中,当△>0时,()x f '=0有两根x 1,x 2,所以f(x)有两个极值点;当△≤0时,f(x)在R 上是单调函数,据此可得y=f(x)图像类型大致如下: 由此表可研究三次函数的图像、单调性、极值、最值与零点问题. 例1讨论函数y=x 3-6x 2+9x -10-a(a ∈R)零点的个数. 例2(2014全国Ⅱ)已知函数f(x)=ax 3-3x 2+1,若f(x)存在唯一的零点x 0,且x 0>0,则a 的取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1) 二、其他超越函数的图像及应用 例3(2015全国Ⅰ)设函数f(x)=e x (2x -1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x 0使得f(x 0)<0,则实数a 的取值范围是( ) A.??????-1,23e B.??????-43,23e C.??????43,23e D.?? ????1,23e 例4已知函数f(x)=x 2lnx.若当t>0时,存在唯一正实数s ,使得f(s)=t ,则t 的取值范围是______. 例5(2016全国)已知函数f(x)= (x-2)e x +a(x-1)2有两个零点.求实数a 的取值范围;

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