附录A平面图形的几何性质合肥工业大学精品

附录A 平面图形的几何性质A-1试求图示平面图形的形心坐标。

(a)

(b)

A-2试求图示平面图形对x轴和y轴的惯性矩。

(a) 设，可将挖去的部分看作矩形。

(b)

A-3试求图示平面组合图形对x和y轴的惯性矩。

(a)

(b)

A-4试求图示平面图形的形心主惯性矩。

(a)

(b)

截面的几何性质

附录Ⅰ 截面的几何性质 §I ?1 截面的静矩与形心位置 如图I ?1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分 ? ??? ?==??A z S A y S A y A z d d (I ?1) 分别定义为该截面对于z 轴与y 轴的静矩。 静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确定物体重心的公式可得 ? ??? ??? == ??A A z z A A y y A C A C d d 利用公式(I ?1),上式可写成 ? ??? ? ? ? ==== ??A S A A z z A S A A y y y A C z A C d d (I ?2) 或 ? ? ? ==C y C z Az S Ay S (I ?3) ? ?????? == A S z A S y y C z C (I ?4) 如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成的组合图形,则由静矩的定义可知,整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数与。即: ?? ??? ?? ==∑∑==n i ci i y n i ci i z z A S y A S 11 (I ?5) 式中A i 、y ci 与z ci 分别表示某一组成部分的面积与其形心坐标,n 为简单图形的个数。 将式(I ?5)代入式(I ?4),得到组合图形形心坐标的计算公式为 图I ?1

??? ? ??????? ??==∑∑∑∑====n i i n i ci i c n i i n i ci i c A z A z A y A y 111 1 (I ?6) 例题I ?1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面的形心位置。 解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面的对称轴。因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则 A Ⅰ=0、072m 2,A Ⅱ=0、08m 2 y Ⅰ=0、46m,y Ⅱ=0、2m m 323.008.0072.02 .008.046.0072.0II I II II I I 1 1 =+?+?= ++= = ∑∑==A A y A y A A y A y n i i n i ci i c §I ?2 惯性矩、惯性积与极惯性矩 如图I ?2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系 zOy 。现在图形内取微面积d A ,d A 的形心在坐标系zOy 中的坐标为y 与z ,到 坐标原点的距离为ρ。现定义y 2d A 与z 2 d A 为微面积d A 对z 轴与y 轴的惯性 矩,ρ2 d A 为微面积d A 对坐标原点的极惯性矩,而以下三个积分 ? ??? ? ? ?===???A ρI A z I A y I A A y A z d d d 2 P 22 (I ?7) 分别定义为该截面对于z 轴与y 轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性矩。 由图(I ?2)可见,222z y +=ρ,所以有 ??+=+==A y z A I I A z y A ρI )d (d 222P (I ?8) 即任意截面对一点的极惯性矩,等于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩之与。 另外,微面积d A 与它到两轴距离的乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴的惯性积,而积分 A zyd I A yz ?= (I ?9) 定义为该截面对于y 、z 轴的惯性积。 从上述定义可见,同一截面对于不同坐标轴的惯性矩与惯性积一般就是不同的。惯性矩 00、 例题I ?1图 图I ?2

轴对称图形的性质及应用

轴对称图形的性质及应用 如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点． 轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线． 在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等． 另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中． 例1已知直线l 外有一定点 P ，试在l 上求两点A ，B ，使AB m =（定长），且PA PB +最短． 分析：当把P 点沿l 方向平移至C （如图1），使PC m =，那么问题就转化为在l 上求一点B ，使CB PB +为最短． 作法：过P 作//PC l ，使PC m =，作P 关于l 的对称点P '，连结CP '交l 于B ．在l 上作AB m =，点A ，B 为所求之两点． 证：在l 上另任取A B m ''=，连PA ，PA '，PB '，CB '，A P ''，B P ''，则PA P A '''=，PB P B '''=，又PA B C ''为平行四边形，∴CB PA ''=． ∵CB '＋B P ''＞CP '， ∴PA '＋PB '＞PA ＋PB ． 例2如图2，△ABC 中，P 为∠A 外角平分线上一点，求证：PB ＋PC ＞AB ＋AC ．

《轴对称图形》：轴对称的性质(含答案)

第2章《轴对称图形》：2.2 轴对称的性质 选择题 1．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则∠1的度数等于（）A．65°B．55°C．45°D．50° （第1题）（第3题）（第4题） 2．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（） A．110°B．120°C．140°D．150° 3．如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若 ∠C 1BA=50°，则∠ABE 的度数为（） A．15°B．20°C．25°D．30° 填空题 4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG=度． 5．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=58°，则∠AEG=度． （第5题）（第6题）（第7题） 6．将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=度． 7．如图，一张宽度相等的纸条，折叠后，若∠ABC=110°，则∠1的度数为 度． 8．如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=度． 9．生活中，将一个宽度相等的低条按图所示的方法折叠一下，如果∠1=140°，那么∠2=度．

（第8题）（第9题）（第10题） 10．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=． 11．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80°，则∠B=度． （第11题）（第12题）（第13题） 12．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为cm2． 13．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共 有个． 14．如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB 于N，若PMN的周长=8厘米，则CD为厘米． （第14题）（第15题）（第16题） 15．如图，已知正方形的边长为6cm，则图中阴影部分的面积是cm2． 16．将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）．则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是． 17．如图，a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是度．

《材料力学》i 截面的几何性质 习题解

附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+??=?= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =? ?=?= ； （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-??=?= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-??=?= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2 半圆对x 轴的静矩为： '

3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x = --?=-?=?=?? πθθθπ π 因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 解： 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 Li — Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边 上 400 20 8000 ￥ 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 ? 右 150 20 3000 75 225000 … 14000 1730000 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai > (b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci ( AiYci Yc Xci AiXci Xc 下 160 10 1600 5 … 8000 80 128000

轴对称图形的性质

初二（上）第一章《线段、角和等腰三角形的性质》 一、选择题： 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30?，∠CAD=65?，则∠ACD 等于 （ ） A ．50? B ．65? C ．80? D ．95? 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ??= （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定 3．如图3，在△ABC 中，∠C=90?，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ； ②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。其中正确的有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90?，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在 CD 上，则PD 与PC 的大小关系是 （ ） A ．PD>PC B ．PD

A 、锐角三角形； B 、直角三角形； C 、钝角三角形； D 、不能确定 7、如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF ＝AB ，则下列四个结论：①EF ∥AC ，②∠EFB ＝∠BAD ，③AE ＝EF ，④△ABE ≌△FBE ，其中正确的结论有（ ） A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、②③④ 7题图 8题图 9题 图 8、如图所示，在ABC 中，∠C ＝90°， AC ＝4㎝，AB ＝7㎝，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，则EB 的长是（ ） A 、3㎝ B 、4㎝ C 、5㎝ D 、不能确定 9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（ ）处。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二、填空题： 1、已知：线段AB 及一点P ，PA=PB ，则点P 在 上。 2、已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC= 。 3、△ABC 中，∠A=500，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于D 则∠DBC 的度数 。 4、如图，△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，则∠B ∠BAE ，∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260，则∠EAG= 。 F D E C B A D E C B A c b a

八年级数学上册轴对称图形轴对称的性质教案

2.2轴对称的性质（1） 教学目标： 1、理解并掌握线段垂直平分线的概念； 2、通过探索理解掌握轴对称的性质，并能熟练的应用轴对称的性质进行解题。 教学重点：掌握线段垂直平分线的概念；轴对称性质的理解。 教学难点：轴对称的性质理解与应用。 教学方式：新授 一、课前准备： 1. 一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形____________ ,那么就说这两个图形成 轴对称?这条直线就是_________ .两个图形中的对应点叫做对称点? 2. 一个图形沿着某条直线对折,如果直线两旁的部分能够完全_______________ ,那么就称这个图形是 轴对称图形. 、合作探究: 1. 实验一：见课本第10页操作，在纸上任意画一点A把纸对折，用针在点A处穿孔, 再把纸展开，并连接两针孔A、A'.两针孔A、A'与折痕I之间有什么关系? 线段AA呢？ 得到定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。 2?实验二：如图，在纸上再任画一点B,同样地，折纸、穿孔、展开，并连 接AB A B'、BB .线段AB与A B'有什么关系？线段BB与I有什么 关系？（配合几何画板演示） 3.实验三：如图，再在纸上任画一点C,并仿照上面进行操作，线段AC与A 关系？BC与B，C呢？线段CC与I有什么关系？/ A与/ A有什么关系？/ 有什么I 1

与/ B 呢？ △ ABC 与厶A' B ' C 有什么关系？为什么？（配合几何画板演示） 轴对称的性质: 1. 成轴对称的两个图形全等. 2. 成轴对称的两个图形，对称点所连的线段平行（或在同一条直线上） 3. 成轴对称的两个图形，对称点所连的线段被对称轴垂直平分. 4?实验四：在一张重叠的纸上剪下一个三角形，然后将纸打开后 说一说：你从上面的活动中能得出什么结论? 铺平,

附录Ⅰ 截面的几何性质.

附录Ⅰ截面的几何性质 I-1选择题 1 在下列关于平面图形的结论中，（ D ）是错误的。 A.图形的对称轴必定通过形心。 B.图形两个对称轴的交点必为形心。 C.图形对对称轴的静矩为零。 D.使静矩为零的轴必为对称轴。 2 在平面图形的几何性质中，（ D ）的值可正，可负，也可为零。 A.静矩和惯性矩。 B.极惯性矩和惯性矩。 C.惯性矩和惯性积。 D.静矩和惯性积。 3 设矩形对其一对称轴z的惯性矩为I, 则当其高宽比保持不变，而面积增加1倍时，该矩形对z轴的惯性矩将变为（B）。 A．2I B.4I C.8I D.16I

4 若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的说法正确的是（A）。A．静矩为零，惯性矩不为零B．静矩不为零，惯性矩为零。 C．静矩和惯性矩均为零。D．静矩和惯性矩均不为零。 5 直径为D的圆对其形心轴的惯性半径i=（ B ）。 （A）D/2 （B）D/4 （C）D/6 （D）D/8 6 若截面有一个对称轴，则下列说法中，（D）是错误的。

A．截面对对称轴的静矩为零。 B．对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩相等。 C．截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零。 D．截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零（这要取决坐标原点是否位于截面形心）。 7 任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的( B) 。 （A）形心轴B）主惯性轴 （C）形心主惯性轴（D）对称轴

8 在yoz 正交坐标系中，设图形对y , z 轴的惯性矩分别为I y 和I z ，则图形对坐标原点的极惯性矩 （ B ） 。 （A ） I p =0 （B ） I p = I y + I z （C ）22x y P I I I += （D ）2 22x y p I I I += 9 静矩的国际单位是 （ D ） 。 （A ） m 4。 （B ） m 。 （C ） m 2 。 （D ） m 3 10 图示矩形截面b×h 对y 轴的惯性矩为（B ）。

轴对称图形的性质

第1章《轴对称图形》常考题集（07）：1.2 轴对称的性 质 收藏试卷试卷分析布置作业在线训练显示答案下载试卷 一．填空题 91．如图，D、E为△ABC两边AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=55°，则∠BDF= 度． 92．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于 度． 93．如图，△ABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的A′处，若点D为AB边的中点，∠B=50°，则∠BDA′的度数为 ． 94．如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为

95．小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按左图方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按右图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是 cm． 96．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为 97．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3 cm，AB=8 cm，则图中阴影部分面积为____________

98．如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50度．若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C= 度． 99．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为____________ 100．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长为 ． 101．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，则△CDE的周长为 ． 102．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若∠1=70°，则∠2= 度．

轴对称图形提高练习题

轴对称图形提高练习题 一、 教学目标 掌握利用轴对称图形的性质解决最短路线问题的方法；等腰三角形性质的活用 二、 教学重难点 重点：轴对称的实际应用、等腰三角形性质 难点：轴对称的应用、角平分线与垂直平分线的应用、等腰三角形相关计算与证明 三、 基础知识梳理 轴对称的性质可运用于实际问题中的最短路线问题、球的反弹、光线反射等，解决办法是作对称点； 等腰三角形所有的性质包括：等边对等角等角对等边、三线合一、轴对称性等，主要应用于求跟角平分线和中垂线结合的求解问题 四、 典型例题分析 题型一：角平分线及其中垂线的应用 例1. （1）三角形内一点到三角形的三个顶点的距离相等的点是三角形____ ____的 交点． （2）三角形内一点到三角形的三边的距离相等的点是三角形____ ____的交 点． （3） 例2. △ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，且BD ：CD =3：2，BC =15cm ，则点D 到AB 的距离是__________． 例3. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ．求证：BC = AB + AD 例4. 如图，BP 是△ABC 的外角平分线，点P 在∠BAC 的角平分线上．求证：CP 是△ABC 的外角平分线． D B A C

④ ①② ③ A D C D B C E D 练习： 1. 如图,裁剪师傅将一块长方形布料ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，若 ∠BAF=60°，则∠DAE= 2. 如图,在△ABC 中，∠C=90°，AD 的平分∠BAC 交BC 于D ，点D 到AB 的距离为7 cm ， CD= 3. 在△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB 的垂直平分线，∠A=40°，则∠CDB= ，∠CBD= 4. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，若∠B=20°， 则∠DAC= 5. 如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分 线，DE ⊥AB 于E ，若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( ) A ．10cm B ．8cm C ．6cm D ．9cm 6. 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它 到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处 7. 如图,△ABC 中,∠BAC=110°,AB 的垂直平分线交BC 于点D,AC 的垂直平分线交BC 于点 E,BC=10cm. (1) 求△ADE 的周长;(2)求∠DAE 的度数. 、 E D C B F G E D C B A 1题图 2题图 3题图 4题图

轴对称图形的性质及应用.docx

轴对称图形的性质及应用 如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点． 轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连 结两个对称点的线段的垂直平分线． 在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称 图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边 中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等． 另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图 形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中． 例 1 已知直线l外有一定点P ，试在 l 上求两点 A ， B ，使 AB m （定长），且PA PB 最短． 分析：当把 P 点沿 l 方向平移至 C （如图1），使 PC m ，那么问题就转化为在l 上求一点 B ，使 CB PB 为最短． 作法：过 P 作 PC // l ，使 PC m ，作 P 关于 l 的对称点 P ，连结 CP 交 l 于B．在l 上作 AB m，点 A ， B 为所求之两点． 证：在 l 上另任取 A B m ，连PA，PA ， PB ，CB ，A P ， B P ，则 PA P A ，PB PB ，又 PABC为平行四边形，∴CB PA ．∵CB ＋ BP ＞CP ，∴PA ＋ PB ＞PA＋PB． 例 2 如图 2，△ ABC 中，P为∠ A 外角平分线上一点，求证：PB＋ PC＞ AB＋AC ．

分析：由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结 DP，CP， 则 DP ＝ CP， BD ＝ AB＋ AC．这样，把 AB ＋AC， AC， PB， PC 集中到△ BDP 中，从而由 PB＋ PD ＞BD，可得 PB ＋PC＞AB ＋AC． 证：（略）． 点评：通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用（如 AB＋ AC 化直为 BD）． 例 3 等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m ，求此梯形的高． 解：如图 3．设等腰梯形AD∥ BC，AB＝ DC，对角线 AC 与 BD 相交于 O，且 AC⊥BD ， 中位线 EF ＝ m.过 AD ， BC 的中点 M， N 作直线，由等腰梯形 ABCD 关于直线 MN 成轴对称图形，∴ O 点在 MN 上，且 OA＝ OD，OB＝ OC， AM＝ DM ，BN＝ CN．又 AC⊥ BD，故△ AOD 和 △ BOC 均为等腰直角三角形． 2OM ＝ AD，2ON＝ BC．∵ AD＋ BC＝ 2EF＝ 2m， ∴2OM ＋ 2ON＝ 2m． ∴ OM ＋ ON＝m，即梯形高MN ＝m． 例 4 凸四边形EFGH 的四个顶点分别在边长为 a 的正方形ABCD的四条边上．求证：EFGH 的周长不小于22a ．

附录I-截面几何性质-习题答案

习题 I ?1 试求平面图形的形心位置。 解：由对称 m 3.0c =z m 357.02 .04.04.02.02.06.07 .02.04.04.04.02.01.02.06.0c =?+?+???+??+??=y 解：m 093.04 .01.01.03.005 .04.01.015.01.03.0c =?+???+??=z m 193.04 .01.01.03.03 .04.01.005.01.03.0c =?+???+??= y I ?2 试求平面图形的形心坐标。 解： O (c) (a) z (b)

l n n dz z zdz z z l n l n 2 10 0c ++== ? ? () 2 c += - = ? ?n l dz z ydy y l y n l n l n n 解：由对称 r z =c π ππ342 3 22 22 3 2 2 2 c r r r r ydy y r y r = = -= ? I ?3 试求图示截面的阴影线面积对z 轴的静矩。（图中C 为截面形心） 解：3 c * * mm 24000302040=??==y A S z z O (d) (a) (b)

解：3 c **mm 422505.322065=??==y A S z I ?4 求以下截面对z 轴的惯性矩。（z 轴通过截面形心） 解：()64 64 64 4 2 4 14 2 4 1 d d d d I z -= - =πππ 解：12 12 12 4 2 4 14 2 4 1 a a a a I z -=- = I ?5 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。 解： 43 2bh y bdy h y I h z = ?? ? ???= ? I ?6 试求图示r =1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。其中z 轴与半圆形的底边平行，相距1m 。 (a) a (b) C

轴对称图形的性质

教师姓名关老师 学生姓名填写时间 2014.5. 学科数学年级七年级班主任签名 上课时间2014．5. 本人课时统计第（）次课总（）课时 本节主要内容 轴对称图形的认识 教学重点难点 根据轴对称图形的性质求线段的长，角度的大小 轴对称及轴对称图形的意义 一、考点讲解： 1．轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段． 2．如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 3．轴对称的性质：如果两个图形关于某广条直线对称，那以对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分． 4．简单的轴对称图形： 线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． 角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线． 等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线． 等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线． 二、经典考题剖析：

1.图1－7－1是四幅美丽的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：C 点拨：图1是轴对称图形，有4条对称轴，也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；同样，图⑶、⑷也符合要求；而图⑵是轴对称图形，但不是中心对称图形． 2.（2004、北碚，3分）图1－7－2中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） 3.正六边形是轴对称图形，它有条对称轴． 三、针对性训练：(20 分钟) (答案：226 ) 1．下列图形中对称轴最多的是（） A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段 2．如图1―7―3的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有（） A．l个 B．2个 C．3个 D．4个

附录I-截面几何性质-习题答案

附录I 截面的几何性质 I - 1 试求平面图形的形心位置。 解：由对称z c 0.3m 0.6 0.2 0.1 0.2 0.4 0.4 0.4 0.2 0.7 yc0.6 0.2 0.2 0.4 0.4 0.2 0.3 0.1 0.15 0.1 0.4 0.05 0.3 0.1 0.1 0.4 0.3 0.1 0.05 0.1 0.4 0.3 0.3 0.1 0.1 0.4 I - 2 试求平面图形的形心坐标。 解: 习题 ⑻ (b) (c) 0.357m 解：z c y c

附录I 截面的几何性质 2 2r 3 3 ~2 r 2 -3试求图示截面的阴影线面积对 z 轴的静矩。（图中C 为截面形心） S z A y c 40 20 30 24000mm 3 解: Z c y c I z n zdz o -| n z dz □l i n i n y ydy i z n dz 由对称 z c r i n (d) (b) y c 4r 3 解: y 2ydy

附录I 截面的几何性质 求以下截面对z 轴的惯性矩。（ z 轴通过截面形心） 1 1 z i C 1 a2 % i t i r a 1 2 r a1 (b) 4 解: I z 生 12 I - 5 试求图示三角形截面对通过顶点 A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。 1 - 6 试求图示r=1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。其中z 轴与半圆形的底边平行, 相距1m 。 解：S ； A y c 65 20 32.5 42250mm 3 解: I z d 4 64 d ； 64 d ： d ； a 2 12 12 解: h y bdy 0 h ' bh 3

材料力学 第五版 i 截面的几何性质+习题答案

附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+??=?= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =??=?= （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-??=?= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-??=?= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2

半圆对x 轴的静矩为： 3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x =--?=-?=?=?? πθθθπ π 因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 L i B i Ai Y ci AiYci Yc 离顶边 上 400 2 8000 160 1280000 左 150 2 3000 7 5 225000 右 150 2 0 3000 7 5 225000 14000 1730000 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai (b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置 矩形 L i B i Ai Y ci AiYc i Y c X ci AiX ci X c 下 1 1 160 5 8000 8 128

材料力学附录I截面的几何性质习题解

附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+??=?= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =??=?= （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-??=?= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-??=?= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2 半圆对x 轴的静矩为：

3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x =--?=-?=?=?? πθθθπ π 因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 解： 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边 上 400 20 8000 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 右 150 20 3000 75 225000 14000 1730000 123.6 46.4 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc Xci AiXci Xc 下 160 10 1600 5 8000 80 128000 左 90 10 900 55 49500 5 4500 2500 57500 23 132500 53 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai (c)

轴对称图形中心对称图形的定义及性质

轴对称图形、中心对称图形的基本概念 轴对称图形的定义 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。 轴对称图形的性质 1）如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。（对于一个图形来说） （2）把一格图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称。这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点。（对于两个图形来说） （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。 中心对称的定义： 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 中心对称的性质： ①于中心对称的两个图形是全等形。 ②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 ③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心.二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点。 既是轴对称图形又是中心对称图形的有：直线，线段，两条相交直线，矩形，菱形，正方形，圆等． 只是轴对称图形的有：射线，角等腰三角形，等边三角形，等腰梯形等． 只是中心对称图形的有：平行四边形等． 既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形，非等腰梯形等．