海淀区高三年级第一学期期中练习
数 学(理科) 2015.11
本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项。
1. 已知集合{}
2|20P x x x =--≤,{}1,0,3,4M =-,则集合P
M 中元素的个数为
A.1
B.2
C. 3
D.4 2. 下列函数中为偶函数的是 A.1y x
=
B. lg y x = C. ()2
1y x =- D.2x y = 3. 在ABC ?中,60A ∠=?, 2,1AB AC ==, 则AB AC ?的值为 A. 1 B. 1- C.
12 D.12
- 4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ,若121n n S S n --=-(2)n ≥,且23S =,则13a a +的值为 A. 1 B. 3 C. 5 D.6 5. 已知函数44()cos sin f x x x =-,下列结论中错误..
的是 A. ()cos2f x x = B. 函数()f x 的图象关于直线0x =对称
C. ()f x 的最小正周期为π
D. ()f x 的值域为[ 6. “0x >”是“+sin 0x x >”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 如图,点O 为坐标原点,点(1,1)A . 若函数x
y a =(0a >,且1a ≠
log b y x =(0b >,且1b ≠)的图象与线段OA 分别交于点M ,N ,
且M ,N 恰好是线段OA 的两个三等分点,则,a b 满足 A. 1a b << B. 1b a << C. 1b a >> D. 1a b >>
8. 已知函数1, 1(), 111, 1x f x x x x -≤-??=-<?≥?
,函数2
()1g x ax x =-+. 若函数()()y f x g x =-恰好有
2个不同零点,则实数a 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(,0)
(2+)-∞∞, C.1
(,)(1,+)2
-∞-∞ D. (,0)(0,1)-∞
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。 9.
2
1
2d ______.x x =?
10. 在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 若4c =,sin 2sin C A =,sin B =
,则____,a =_____.ABC S ?=
11. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,且39108a a a a +=-. 若0n a =,则n = . 12. 已知向量(1,1)=a ,点(3,0)A , 点B 为直线2y x =上的一个动点,若//AB a ,则点B 的坐标为______.
13. 已知函数()sin()f x x ω?=+(0ω>). 若()f x 的图象向左平移π
3
个单位所得的图象 与()f x 的图象向右平移
π
6
个单位所得的图象重合,则ω的最小值为______. 14. 对于数列{}n a ,若,*()m n m n ?∈≠N ,都有m n
a a t m n
-≥-(t 为常数)成立,则称数列{}
n a 具有性质()P t .
(i ) 若数列{}n a 的通项公式为2n n a =,且具有性质()P t ,则t 的最大值为______; (ii )若数列{}n a 的通项公式为2n a
a n n
=-,且具有性质(10)P ,则实数a 的取值范围 是______.
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. (本小题满分13分)
已知等比数列{}n a 的公比0q >,其前n 项和为n S ,若11a =, 3244a a a =. (Ⅰ)求公比q 和5a 的值; (Ⅱ)求证:2n
n
S a <.
16.(本小题满分13分)
已知函数ππ())cos(2)33
f x x x +++. (Ⅰ)求π()6
f 的值;
(Ⅱ)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间.
17. (本小题满分13分)
如图,在四边形ABCD 中,18,3,5,,cos 37
AB BC CD A ADB π===∠=∠=. (Ⅰ)求BD 的长;
(Ⅱ)求证:πABC ADC ∠+∠=.
18. (本小题满分13分)
已知函数3
21()13
f x x x ax =
+++,曲线()y f x =在点(0,1)处的切线为l . (Ⅰ)若直线l 的斜率为3-,求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)若函数()f x 是区间[2,]a -上的单调函数,求a 的取值范围.
19.(本小题满分14分)
A
B
D
C
已知由整数组成的数列{}n a 各项均不为0,其前n 项和为n S ,且1,a a = 12n n n S a a +=. (Ⅰ)求2a 的值; (Ⅱ)求{}n a 的通项公式;
(Ⅲ)若15n =时,n S 取得最小值,求a 的值.
20.(本小题满分14分)
已知x 为实数,用[]x 表示不超过x 的最大整数,例如[1.2]1[ 1.2]2[1]1=-=-=,,. 对于函数()f x , 若存在m ∈R 且,m ?Z 使得()([])f m f m =,则称函数()f x 是Ω函数. (Ⅰ)判断函数21
()()sin π3
f x x x
g x x =-=,是否是Ω函数;(只需写出结论)
(Ⅱ)设函数()f x 是定义在R 上的周期函数,其最小正周期为T ,若()f x 不是Ω函数,求
T 的最小值;
(Ⅲ)若函数()a
f x x x
=+是Ω函数,求a 的取值范围. 理科 :
15.解:(Ⅰ)法一:因为{}n a 为等比数列, 且3244a a a =,
所以2334a a =,所以34a =,
---------------------------1分 因为233
141
a a q a ===,
---------------------------2分 所以2q =±. 因
为
n a >,所以0q >,即2q =
---------------------------3分
所以45116a a q ==. (此处公式2分,结果1分)
--------------------------6分
法二:因为{}n a 为等比数列,且3244a a a =,所以24114a q a q =,
---------------------------1分
所以24q =,
---------------------------2分 所以2q =±, 因
为
n a >,所以0q >,即2q =
---------------------------3分
所以45116a a q ==. (此处公式2分,结果1分) --------------------------6分
(Ⅱ)法一:因为2q =,所以1112n n n a a q --==, (此处公式1分,结果1分) --------------8分
因为1(1)211n n n a q S q
-==--, (此处公式1分,
结果1分) --------------------------10分
所以11211222
n n n n n S a ---==-,
因
为
1
1
02n ->,所以
11
222
n n n S a -=-<.
--------------------------13分
法二:因为2q =,所以1112n n n a a q --==, (此处公式1分,结果1分) --------------8分
因为1(1)
211n n n a q S q
-==--, (此处公式1分,
结果1分) --------------------------10分
所
以
11
202
n n n S a --=-<,所以
2n
n
S a <.
--------------------------13分
法三:因为2q =,所以1112n n n a a q --==, (此处公式1分,结果1分) --------------8分
因为1(1)
211n n n a q S q
-==--, (此处公式1分,
结果1分) --------------------------10分 要证
2n
n
S a <,只需2n n S a <, 只需212n n -< 上式
显
然
成
立
,
得
证
.
--------------------------13分
16.解:
(Ⅰ)因为ππ())cos(2)33
f x x x =+++,
所以πππππ())cos(2)66363
f =?
++?+, 2π2π313sin(
)cos()13322
=+=-=.
--------------------------4分
(Ⅱ)因为π
π())cos(2)33
f x x x =+++,
所
以
π1π())cos(2)]323f x x x =+++
-------------------------------6分
π
πππ
2[cos sin(2)sin cos(2)]
636
3x x =+++
-------------------------7分
ππ2sin[(2)]36
x =++
π2sin(2)2
x =+ 2cos2x = ,
--------------------------9分 所
以
周
期
2π2π=π||2
T ?=
= .
--------------------------11分 令
2ππ22πk x k -≤≤,
--------------------------12分 解得π
ππ2k x k -≤≤,k ∈Z , 所
以
()
f x 的
单
调
递
增
区
间
为
π
(π,π),
2
k k -k ∈Z .
--------------------------13分
法二:因为π
π())cos(2)3
3f x x x =+++,
所
以
ππππ
()cos cos2sin )(cos2cos sin2sin )
3333
f x x x x x =++-
-------------------7分
11sin2)(cos2)22x x x x =++
2cos2x = --------------------------9分
所
以
周
期
.
2π2π
=π||2
T ?=
= --------------------------11分 令
2ππ22πk x k -≤≤,
--------------------------12分 解得π
ππ2k x k -≤≤,k ∈Z , 所
以
()
f x 的
单
调
递
增
区
间
为
π
(π,π),
2
k k -k ∈Z .
--------------------------13分
17.解:(Ⅰ)法一:
在ABD ?中,因为1
cos 7
ADB ∠=,(0,π)ADB ∠∈,
--------------------------1分
所
以
sin ADB ∠=
,
--------------------------3分 根
据
正
弦
定
理
,
有
sin sin BD AB
A ADB
=
∠∠,
--------------------------6分 代
入
8,,3
AB A π=∠=
解得7BD =.
--------------------------7分 法二:作BE AD ⊥于E .
因
为
π8,3
AB A =∠=
,所以在ABD ?中,π
sin
3
BE AB =?=.
--------------------------3分 在BDE ?中,因为1
cos 7
ADB ∠=
,(0,π)ADB ∠∈,
所
以sin ADB ∠=
,
--------------------------6分 所
以
7
sin BE
BD BDE
=
=∠.
--------------------------7分
(Ⅱ)法一:在BCD ?中,根据余弦定理 222
cos 2BC CD BD C BC CD
+-∠=?
--------------------------10分
代入3,5BC CD ==,得1cos 2
C ∠=-,
--------------------------11分
(0,π)C ∠∈,所以2π3
C ∠=
.
--------------------------12分
所以 πA C ∠+∠=,而在四边形ABCD 中 +2πA ABC C ADC ∠+∠+∠∠= 所
以
πABC ADC ∠+∠=.
--------------------------13分
法二:在ABD ?中,11
cos ,14
ABD ∠=
所以sin ABD ∠=,
1
cos 7
ADB ∠=, 所以sin ADB ∠=
.
--------------------------8分
在BCD ?中,11
cos ,14
DBC ∠=
所以sin ABD ∠=,
13
cos 14
BDC ∠=, 所以sin 14
ADB ∠=
.
--------------------------9分
所以cos cos()ABC ABD DBC ∠=∠+∠,
23cos cos sin sin 98
ABD DBC ABD DBC =∠∠-∠∠=
--------------------------11分
cos cos()ADC ADB BDC ∠=∠+∠,
23cos cos sin sin 98
ADB BDC ADB BDC =∠∠-∠∠=-
--------------------------12分 即
cos cos ABC ADC ∠=-∠, 所以πABC ADC ∠+∠=.
--------------------------13分 18.解
(Ⅰ)因为(0)1f =,所以曲线()y f x =经过点(0,1), 又
2'()2f x x x a
=++,
--------------------------2分 所
以
'(0)3
f a ==-,
--------------------------3分 所以2
'()23f x x x =+-.
当x 变化时,'()f x ,()f x 的变化情况如下表:
--------------------------5分
所以函数 ()f x 的单调递增区间为(,3)-∞-,(1,+)∞, 单调
递
减
区
间
为
(3,1)
-.
--------------------------7分 (Ⅱ) 法一:
因为函数()f x 在区间[2,]a -上单调,
当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递减时,'()0f x ≤对[2,]x a ∈-成立,
即2
'()20f x x x a =++≤对[2,]x a ∈-成立,
根据二次函数的性质,只需要'(2)0
'()0
f f a -≤??≤?, 解得30a -≤≤.
--------------------------8分 又
2a
-<,所以
20
a -<≤.
--------------------------9分
当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增时,'()0f x ≥对[2,]x a ∈-成立, 只要2
'()2f x x x a =++在[2,]a -上的最小值大于等于0即可, 因为函数2
'()20f x x x a =++≥的对称轴为1x =-, 当
21a -<≤-时,'()
f x 在[2,]a -上的最小值为
'()
f a ,
--------------------------10分 解
2'()=30f a a a +≥,得0a ≥或3a ≤-,所以此种情形不成立.
--------------------------11分
当1a -<时,'()f x 在[2,]a -上的最小值为'(1)f -,(注:此处用0?≤也可得分)----------12分
解'(1)120f a -=-+≥得1a ≥,所以1a ≥, 综
上
,
实
数
a
的取值范围是
20
a -<≤或
1
a ≥.
--------------------------13分 法二:
令'()0f x =即2
20x x a ++=,44a ?=-
①若0?≤ 即1a ≥时,'()0f x ≥恒成立,函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增-----------------8分
所
以
1
a ≥.
--------------------------9分
②若0?> 即21a -<<,由2
20x x a ++=得11x =-,21x =-
若函数()f x 在区间[2,]a -上单调递减,'()0f x ≤对[2,]x a ∈-成立, 即2
'()20f x x x a =++≤对[2,]x a ∈-成立,
根据二次函数的性质,只需要122
x x a
≤-??≥?, 解得30a -≤≤.
--------------------------10分
又
21
a -<<,所以
20
a -<≤.
--------------------------11分
若函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增,'()0f x ≥对[2,]x a ∈-成立 根
据
二
次
函
数
的
性
质
,
只
需
要
22
x ≤-或
1x a ≥
-------------------------12分
1≤-
(1)a -+(解得3a ≤-与21a -<<矛盾),此种情况不成立 综
上
,
实
数
a
的取值范围是
20
a -<≤或
1
a ≥.
--------------------------13分
法三:
因为函数()f x 在区间[2,]a -上单调,
当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递减时,'()0f x ≤对[2,]x a ∈-成立, 即2
'()20f x x x a =++≤对[2,]x a ∈-恒成立,只需2
(2)a x x ≤-+
根据二次函数的性质只需2
2
[(2)2(2)]
(2)
a a a a ?≤--+?-??≤-+??,解得30a -≤≤ --------------------------8分 又
2a
-<,所以
20
a -<≤.
--------------------------9分
当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增时,'()0f x ≥对[2,]x a ∈-成立, 即2
'()20f x x x a =++≥对[2,]x a ∈-恒成立,只需2
(2)a x x ≥-+ 设函数2
()2g x x x =--的对称轴为1x =-, 当
21a -<≤-时,()
g x 在[2,]a -上的最大值为
()
g a ,
--------------------------10分 解
()a g a ≥,得0a ≥或3a ≤-,所以此种情形不成立.
--------------------------11分 当
1a
-<时,
()
g x 在[2,]a -上的最大值为
(1)
g -,
-------------------------12分
解(1)a g ≥-得1a ≥,所以1a ≥, 综
上
,
实
数
a
的取值范围是
20
a -<≤或
1
a ≥.
--------------------------13分 19.解:
(Ⅰ)因为12n n n S a a +=,所以1122S a a =,即1122a a a =, 因
为
10
a a =≠,所以
22
a =,
--------------------------2分
(Ⅱ)因为12n n n S a a +=,所以112(2)n n n S a a n --=≥,两式相减, 得
到
112()
n n n n a a a a +-=-,
--------------------------4分 因
为
n a ≠,所以
112
n n a a +--=,
--------------------------5分
所以212{},{}k k a a -都是公差为2的等差数列, 当
21n k =-时,
12(1)1
n a a k n a =+-=+-,
--------------------------6分 当
2n k =时,
22(1)2n a k k n
=+-==,
--------------------------7分 所
以
1, , n n a n a n n +-?=?
?为奇数,
为偶数.
--------------------------8分
(Ⅲ)
法一:因为12n n n S a a +=,由(Ⅱ)知道1, , n n a n a n n +-?=??为奇数,
为偶数,
注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的,所有偶数项构成的数列是一个单调递增的,
当n 为偶数时,0n a >,所以此时1n n S S ->, 所
以
15
S 为最小值等价于
13151517
,S S S S ≥≤,
--------------------------11分 所
以
141516170, 0
a a a a +≤+≥,
--------------------------12分
所以141510, 161710a a ++-≤++-≥, 解
得3228a -≤≤-.
--------------------------13分
因为数列{}n a 是由整数组成的,所以{32,31,30,29,28}a ∈-----. 又因为0n a ≠,所以对所有的奇数n ,10n a n a =+-≠, 所
以
a
不能取偶数,所以31, 29a a =-=-.
--------------------------14分 法二:
因为12n n n S a a +=,由(Ⅱ)知道1, , n n a n a n n +-?=??
为奇数,为偶数,
所以
1
(1)(1), 2
1() , 2
n n a n n S n n a n ?+-+??=?
?+??为奇数,为偶数, --------------------------10分
因为15S 为最小值,此时n 为奇数,
当n 为奇数时,2
22()1
1124(1)(1)222
n a a n a n an a S n a n +-+-++-=+-+==,
所以 14162
a
≤-≤, 解
得
3228a -≤≤-,
--------------------------13分
因为数列{}n a 是由整数组成的,所以{32,31,30,29,28}a ∈-----. 又因为0n a ≠,所以对所有的奇数n ,10n a n a =+-≠, 所
以
a
不能取偶数,所以31, 29a a =-=-.
--------------------------14分 20. 解: (
Ⅰ
)
21
()3
f x x x
=-是Ω函数,
--------------------------2分
()sin πg x x
=不
是
Ω函数.
--------------------------4分 (
Ⅱ
)
T 的最小值为 1.
--------------------------5分
因为()f x 是以 T 为最小正周期的周期函数,所以()(0)f T f =. 假
设
1T <,则[]0T =,所以([])(0)f T f =,矛盾.
--------------------------7分
所以必有1T ≥, 而函数()[]l x x x =-的周期为1,且不是Ω函数 所
以
T 的最小值为1;
--------------------------9分
(Ⅲ) 当函数()a
f x x x
=+
是Ω函数时, 法一:设()([])f m f m =,所以[][]
a a m m m m +
=+,所以有[]a m m = --------------------------11分
当0m >时,则[]0m ≠,所以有1m >,所以[]1m >
因为[][]1m m m <<+,所以2
[][][]([]1)m m m m m <<+,
所以
2[][]([]1)
m a m m <<+.
--------------------------12分 当0m <时,[]0m <,
因为[][]1m m m <<+,所以2
[][][]([]1)m m m m m >>+,
所以
2[][]([]1)
m a m m >>+.
--------------------------13分 记[]k m =, 综上可以得到 “
0a >且
*2
,k a k ?∈≠N 且(1)a k k ≠+”.
--------------------------14分
法二:
若0a =,则()f x x =显然不是Ω函数,矛盾. 若0a <,则2
'()10a
f x x =-
>, 所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增, 此时不存在(,0)m ∈-∞,使得 ()([])f m f m =, 同理不存在(0,)m ∈∞,使得 ()([])f m f m =, 又注意到
[]0m m ≥,所以此时()a f x x x
=+
不是Ω函数.
--------------------------10分
当0a >时,设()([])f m f m =,所以[][]
a a m m m m +=+,所以有[]a m m = --------------------------11分
当0m >时,则[]0m ≠,所以有1m >,所以[]1m >
因为[][]1m m m <<+,所以2
[][][]([]1)m m m m m <<+,
所以
2[][]([]1)
m a m m <<+.
--------------------------12分 当0m <时,[]0m <,
因为[][]1m m m <<+,所以2
[][][]([]1)m m m m m >>+,
--------------------------13分 记[]k m =, 综上可以得到 “
0a >且
*2
,k a k ?∈≠N 且(1)a k k ≠+”.
--------------------------14分 法三:
若0a =,则()f x x =显然不是Ω函数,矛盾. 若0a <,则2
'()10a
f x x =-
>, 所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增, 此时不存在(,0)m ∈-∞,使得 ()([])f m f m =, 同理不存在(0,)m ∈∞,使得 ()([])f m f m =, 又注意到
[]0m m ≥,所以此时()a f x x x
=+
不是Ω函数.
--------------------------10分
当0a >时,函数()a f x x =+
,2'()10a
f x =-=,x =
--------------------------11分
①当[]0m >时,可得[][]1([])([]1)
m m f m f m ?<<+?
?<+??,
解
得
2[][]([]1)m a m m <<+
--------------------------12分
②当[]0m <时,可得[][]1([])([]1)
m m f m f m ?<<+?
?
>+??,
--------------------------13分 记[]k m =, 综上可以得到 “
0a >且
*2
,k a k ?∈≠N 且(1)a k k ≠+”.
--------------------------14分