(完整版)相似三角形专题

【一】知识梳理

【1】比例

①定义：四个量a,b,c,d中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例

②形式：a:b=c:d，

③

性质：基本性质：

d

c

b

a

= ac=bd

4，比例中项：

b

c

c

a

=ab

c=

2

【2】黄金分割

定义：如图点C是AB上一点，若BC

AB

AC?

=

2，则点C是AB的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个

AC

AC

BC

AB

AB

BC

AB

AB

AC

618

.0

2

1

5

382

.0

2

5

3

618

.0

2

1

5

≈

-

=

≈

-

=

≈

-

=

注意：如图△ABC，∠A=36°，AB=AC，这是一个黄金三角

形，

【3】平行线推比例

AB

AB

BC618

.0

2

1

5

≈

-

=

d

c

b

a

=

注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负

1、可以把比例式与等积式互化。

2、可以验证四个量是否成比例

上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右

全比上=全比上，全比下=全比下下比上=下比上

【4】相似三角形

1、相似三角形的判定

①AA 相似：∵∠A=∠D, ∠B=∠E ∴△ABC ∽△DEF

②‘S A S ’ E B EF

BC

DE AB ∠=∠=,Θ

∴△ABC ∽△DEF

③‘S S S ’EF

BC

DF AC DE AB =

Θ ∴△ABC ∽△DEF ④平行相似： ∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC

2、相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等，对应边成比例

②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比

③相似三角形的面积比等于相似比的平方

3、相似三角形的常见图形

‘A 型图’ ‘ X 型图’ ‘K 型图’

‘母子图’ ‘一般母子图’ AC 2

=AD ?AB

母子图中的射影定理

AC2

=AD?AB BC2=BD?AB

CD2=AD?BD

【二】题型

【例题1】如图，直线l

1

∥l

2

∥l

3，

直线AC分别交l

1

，l

2

，l

3

于点A，B，

C；直线DF分别交l

1

，l

2

，l

3

于点D，E，F．AC与DF相较于点H，且

AH=2，HB=1，BC=5则

EF

DE

的值为

【例题2】如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB = 3∶5，那么CF∶CB等于

（1）（2）

【例题3】如图，点D是△ABC的边AB上一点，且AB=3AD，点P是△ABC的外接圆上的一点，且∠ADP=∠ACB则PB:PD=

【例题4】如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，

如果AE

EC

＝2

3

，那么AB

AC

＝（）

A．1

3

B．2

3

C．2

5

D．3

5

（3）（4）

【例题5】已知

3

2

=

=

d

c

b

a

，则

b

a

b

a

4

3

3

2

-

+

=

求a比b的方法：①求a,b的长度，②设k法，③利用三角形相似的

性质，④平行推比例线段⑤比例分配

32=-a b a ，则b

a

=

【例题6】如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D 的直线折叠，使点A 与BC 边上的点E 重合，折痕交AB 于点F.若BE:EC=m:n ，则

AF:FB= .

【例题7】如图所示,将矩形ABCD 折叠,使点B 落在边AD 上,点B 与点F 重合,

折痕为AE,此时,矩形EDCF 与矩形ABCD 相似,则AB

AD

= .

【例题8】如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠,A=90°，AB=4，AC=3，D 为弧

AB 的中点，则DE

CE

=

（6）

（7） （8）

【例题9】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 的中线，AN ⊥CD ，交BC 于N,若CD=3，AN=4，则tan ∠CAN=

2、相似三角形的性质与判定

【例题1】如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）

【例题2】如图，已知△ABC ，P 是边AB 上的一点，连结CP ，以下条件中不能确定△ACP 与△ABC 相似的是（ ）

A ∠ACP=∠

B ， B ∠APC=∠ACB

C AC 2=AP.AB

D BC

AB

CP AC

8，若四边形A /B /C /D /为26，则A /B /的长为

【例题4】 如图，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为

【例题5】如图，P 为□ABCD 的边AD 上一点，E,F 分别为PB,PC 的中点， △PEF 的面积为3，则平行四边形的面积是

已知两个相似三角形的对应高的比为3:10，面积差为100，则大三角形的面积为

【例题6】如图，将边长为6的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 的中点E

处，折痕为FH ，点C 落在点Q 出，EQ 与BC 相较于点G ，则△EBG 的周长为

（4） （5） （6）

【例题7】如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为多少?

【例题8】如图，AB=4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，BE=DB ，作EF ⊥DE 并截取EF=DE ，连结AF 并延长交射线BM 于点C ．设BE=x ，BC=y ，则y 关于x 的函数解析式是

点拨：同一时刻、同一地点，物高与影长的比是 定值

3

、相似三角形讨论

【例题1】直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点．

（1）写出点A、B、C、D的坐标；

（2）求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

（3）在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【例题2】已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-5，0）和点B,其中点B

在第一象限，且OA=OB，tan∠BAO=

2

1

（1）求点B的坐标。

（2）求二次函数的解析式。

（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图象的另一个交点为C，连结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△PAB相似，求点P的坐标。

方法1、固定一个角，按AA讨论，2、按夹相等角得两边的比值相等讨论

【例题3】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长是4，点A ，C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，动点P 从点A 开始，以每秒2个单位长度的速度在线段AB 上来回运动．动点Q 从点B 开始沿B →C →O 的方向，以每秒1个单位长度的速度向点O 运动．P ，Q 两点同时出发，当点Q 到达点O 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒．

（I ）当t ＝1时，求PQ 所在直线的解析式.

（2）当点Q 在BC 上运动时，若以P ，B ，Q 为顶点的 三角形与△OAP 相似，求t 的值.

（3）在P ，Q 两点运动的过程中，若△OPQ 的面积为 6，请直接写出所有符合条件的P 点坐标．

【例题4】如图，抛物线y =ax 2+bx+c 的开口向上，顶点M 在第三象限，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，点A 坐标为（－3，0），点B 坐标为（1，0）．

（1）试用含a 的式子表示b ，c ；

（2）连接AM 、CM 、CB ，试说明△OCB 与四边形AMCO 的面积之比是一个定

值，并求出这个定值；

（3）连接AC ，若∠AC M =90°，解决下列问题：

①求抛物线解析式并证明∠MAO =∠ACB ；

②线段AM 上是否存在点D ，使以点A 、O 、D 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，求出点D 坐标；若不存在，说明理由．

Q P

B y

x O C A

c

【例题5】已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F

运动的时间是t秒（t＞0）

（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；

（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；

（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【例题6】在平面直角坐标系中，抛物线3

2+

+

=bx

ax

y与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.

（1）直接填写：a=，b=，顶点C的坐标为；（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC 于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.

A B

H

C

y

A B

H

C

y

【例题7】．如图：在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线y ＝kx ＋8与直线AB 相交于点D ，与x 轴相交于点C ，过D 作DE ⊥x 轴于点E （1，0），点P （t ，0）为x 轴上一动点．若点T 为直线

DE 上一动点，当以O,B, T 为顶点的三角形与以O,B, P 为顶点的三角形相似时，则相应的点P （t <0）的坐标为 .

【例题8】如图，二次函数43

5

2++

-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点P 从点O 出发沿OA 以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，到达点A 后立刻在以原来的速度沿AO 返回；点Q 从点A 出发沿AC 以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，过点Q 作QD x ⊥轴，垂足为D 。点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点C 时停止运动，点P 也随之停止.设点P ，Q 的运动时间为)0(≥t t . (1) 当点P 从点O 向点A 运动的过程中，求QPA ?面积S 与t 的函数关系式; (2) 当线段PQ 与抛物线的对称轴没有公共点时，请直接写出t 的取值范围; (3）当t 为何值时，以P 、D 、Q 为顶点的三角形与OBC ?相似;

(4) 如图2： FE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点F ，交折线QC －CO －OP 于点

E ，在整个运动过程中，请你直接写出点E 所经过的路径长．

4、求线段长的方法

【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=

2

如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为

【例题2】已知AB是半圆O的直径，D为AC的中点，sin∠BAC=

5

3

，AB=10，EA与⊙O相切于A，E、D、B在一条直线上，求AE的长

【例题3】已知矩形ABCD，AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在BC边上，且BF=2CF,AF分别与DE,DB相较于G,H，求GH

1、勾股定理

2、相似

3、直角三角形边角关系

4、方程

注意：方程可以根据勾股定理、相似、边角关系得到

【例题4】如图所示，在△ABC 中，BC=6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P

在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ=3

1

CE 时，则

EP+BP=

【例题5】如图示我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD 的面积是小正方形EFGH 面积的13倍，那么tan ∠ADE 的值为

【例题5】如图以△ABC 的边BC 上一点O 为圆心的圆经过A,C 两点且与BC 边交于点E ，点D 为CE 的下半圆的中点，连接AD ，交线段EO 与点 F ，AC=CF=4，DF=10

（1）求证：AC 是⊙O 的切线： （2）求⊙O 的半径r ．和sinC

【例题6】如图：正方形ABCD 中，过点D 作DP 交AC 于点M 、交AB 于点N ，交CB 的延长线于点P ，若MN=1，PN=3，则DM 的长为 _________ ．

【例题7】如图D 是△ABC 的边AC 上一点，BD=8，sin ∠CBD=

4

3

，过点A 作AE ⊥BC 于E,CD=2AD,求AE

的长

求坐标的方法

【例题1】已知抛物线125212++-=x x y 与直线12

1

+=x y 交于A,B ，在x 轴上

试找一点P ，使∠APB=45°，则点P 的坐标为

【例题2】已知抛物线y=－mx 2+4x+2m 与x 轴交于点A(α,0),

B(β,0),且. 抛物线的对称轴为l ，与y 轴的交点为C ，顶点为

D ，点C 关于l 的对称点为E. 若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、

E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标.

【例题3】如图，二次函数y=22

5

x 212+-x 的图象与y 轴交于点C ，与直线

y=3

4

34-x 交于A,B,在抛物线上是否存在点P ，使S △ABC=S △ABP ，在P 的坐标为

1、求点到x 轴或y 轴的距离

2、两个函数组成方程组

3、设出横坐标或纵坐标然后代入解析式 4方程 方法：方程

D B

y

【例题4】在平面直角坐标系xOy 中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB 在x 轴上，直角顶点C 在y 轴正半轴上，已知点A （-1，0）．抛物线经过A ，B ，C 三点，现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中∠

EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E 放在线段AB 上（点E 是不与A ，B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C ．此时，EF 所在直线与（2）中的抛物线交于第一象限的点M ．当AE=2时，抛物线的对称轴上是否存在点P 使△PEM 是等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上的一动点，连结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB ＝AB ，过点D 作x 轴垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF .

（1）当∠AOB ＝30°时，求弧AB 的长； （2）当DE ＝8时，求线段EF 的长；

（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为

顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此时

点E 的坐标；若不存在，请说明理由.