高一下数学期末复习题库(含答案)
高一下期末复习题库
一、单选题（共20题；共40分）
1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标为（ 3
5 ， 4
5 ）和（﹣ 4
5 ， 3
5 ），则cos （α+β）的值为（ ）
A. ﹣ 24
25 B. ﹣ 7
25 C. 0 D. 24
25 2.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是（ ） A. √32
B. 1
2 C. ?√32
D. ?1
2
3.圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0的公切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
4.若cos （ π
4 ﹣α）= 3
5 ，则sin2α=（ ） A. 7
25 B. 1
5 C. ﹣ 1
5 D. ﹣ 7
25
5.若 0<α<π2
,?π2
<β<0,cos (π4
+α)=13
,cos (π4
?β2
)=√33
，则 cos (α+β
2
)= （ ）
A. 5√39
B. ?√33
C. 7√327
D. ?√69
6.函数f （x ）=sin 2（x+ π
4 ）﹣sin 2（x ﹣ π
4 ）是（ ）
A. 周期为π的奇函数
B. 周期为π的偶函数
C. 周期为2π的偶函数
D. 周期为2π的奇函数
7.已知 cos (π?α)=1
3 ， sin (π
2+β)=2
3 （其中， α ， β∈(0,π) ），则 sin (α+β) 的值为（ ） A. 4√2?√59
B. 4√2+√59
C. ?4√2+√59
D. ?4√2?√59
8.已知 sin θ+cos θ=1
2 ，则 cos 4θ= （ ） A. ?1
8 B. 1
8 C. ?7
16 D. 7
16 9.已知点 P(sin
5π3
,cos
5π3
) 落在角 θ 的终边上，且 θ∈[0,2π) ，则 θ 的值为( )
A. 2π3
B.
5π3
C. 5π6
D.
11π6
10.下列关系式中正确的是（ ）
A. sin11° B. sin168° C. sin11° D. sin168° 11.如图是函数 y =sin (ωx +φ)(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2) 在区间 [?π6，5π6 ] 上的图象，为了得到 这个函数的图象，只需将y =sin x 的图象（ ） A. 向左平移 π3 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 1 2 ，纵坐标不变 B. 向左平移至 π 3 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C. 向左平移 π 6 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 1 2 ，纵坐标不变 D. 向左平移 π6 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 12.如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若 AE ????? =λ AB ????? +μ AC ????? ，则λ+μ的值为（ ） A. 1 2 B. ?1 2 C. 1 D. ﹣1 13.若 13tan ,(,)tan 242 ππ ααα- =∈ ，则 sin (2α+π 4) 的值为（ ） A. ±√210 B. √25 C. √210 D. ±√25 14.cos?αsin(α+π6 )+sin?αsin(α?π3 ) =（ ） A. 12 B. ?1 2 C. √32 D. ?√3 2 15.在△ABC 中， |AB ????? +AC ????? |=√3|AB ????? ?AC ????? | ， |AB ????? |=|AC ????? |=3 ，则 CB ????? ?CA ????? 的值为（ ） A. 3 B. ﹣3 C. ?9 2 D. 9 2 16.已知函数f （x ）=2sin 2x+2 √3 sin xcos x －1的图象关于点（φ，0）对称，则φ的值可以是（ ） A. ?π6 B. π6 C. ?π12 D. π12 17.已知 且 ，则 ( ) A. B. C. D. 18.设函数f （x ）=sin （ωx+φ）+cos （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ π 2 ）的最小正周期为π，且f （﹣x ）=f （x ），则（ ） A. f （x ）在（0， π 2 ）单调递增 B. f （x ）在（ π 4 ， 3π4 ）单调递减 C. f （x ）在（ π 4 ， 3π 4 ）单调递增 D. f （x ）在（ π 2 ，π）单调递增 19.已知函数 f(x)=2sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π 2) ，过点 A(π 12,0) ， B(π 3,2) ，则且当 x ∈[π 12,5π 12 ] ，且 g(x)=2mf(x)+sin (4x +π 6) 的最 大值为 32 ，则 m 的值为（ ） A. 5 8 B. 1 2 C. 5 8 和 1 2 D. 5 8 和 ?1 2 20.已知O 是△ABC 外接圆的圆心，A 、B 、C 为△ABC 的内角，若cosB sinC AB →+cosC sinB AC →=2m ·AO → ， 则m 的 值为（ ） A. 1 B. sinA C. cosA D. tanA 二、解答题（共7题；共70分） 21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角 α 、 β 它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为 √2 10 、 2√55 .求： （1）tan （ α ＋ β ）的值； （2）α+2β 的值． 22.已知两个非零向量 a ，??????? b ? 不平行， （1）如果 AB ????? =a +b ? ，BC ????? =2a +8b ? ，CD ????? = 3(a ?b ? ) ，求证A ，B ，D 三点共线； （2）试确定实数k ，使k a +b ? 和a +kb ? 平行． 23.已知向量 a ?=(sin x,cos (π?x)),b ?=(2cos x,2cos x) ，函数 f(x)=a ??b ?+1 . （1）求 f(x) 的对称中心； （2）求函数 f(x) 在区间 [0,π 2] 上的最大值和最小值，并求出 x 相应的值. 24.已知函数 f(x)=2sinxcos(x ?π4 )?√22 ． （1）求 f(x) 的最小正周期； （2）设 α∈(0，π2 ) ，且 f(α2 +π8 )=35 ，求 tan(α+π4 ) ． 25.已知 a =（sinx ，cosx ）， b ? =（sinx ，k ）， c =（﹣2cosx ，sinx ﹣k ）． （1）当x ∈[0， π 4 ]时，求| b ? + c |的取值范围； （2）若g （x ）=（ a + b ? ）? c ，求当k 为何值时，g （x ）的最小值为﹣ 3 2 ． 26.已知圆C 的圆心在直线4x+y=0上，且与直线x+y ﹣1=0相切于点P （3，﹣2）． （1）求圆C 的方程； （2）过圆内一点P （2，﹣3）的直线l 与圆交于A 、B 两点，求弦长AB 的最小值． 27.如图，已知矩形 ABCD ， AB =2 ， AD =√3 ，点 P 为矩形内一点，且 |AP ?|=1 ，设 ∠BAP =α . （1）当 α=π 3 时，求 PC ??PD ? 的值； （2）求 (PC ?+PD ?)?AP ? 的最大值. 三、填空题（共5题；共5分） 28.sin 2α?2sin αcos α=3cos 2α ，则 cos 2α?tan 2α= ________． 29.设向量 a ?=(t,1) ， b ?=(1,2) ，且 |a ?+b ?|2=|a ?|2+|b ?|2 ，则 t = ________. 30.已知向量 a =(1,λ),b =(3,1) ，若向量 2a ?b 与 c =(1,2) 共线，则向量 a 在向量 c 放向上的投影为________． 31.已知tan （ π4 +α）= 1 2 ，则 sin2α+2cos 2α1+cos2α 的值为________ ． 32.如图所示，在正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F为边CD上的靠近点C的四等分 ?用AB?与AD?表示为________． 点，点G为边AE上的靠近点A的三等分点，则向量FG 答案解析部分 一、单选题 1.【答案】A 【考点】任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数 【解析】【解答】解：∵点A，B的坐标为（3 5，4 5 ）和（﹣4 5 ，3 5 ），∴sinα= 4 5 ，cosα= 3 5 ，sinβ= 3 5，cosβ=﹣4 5 ， 则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ= 3 5×（﹣4 5 ）﹣4 5 × 3 5 =﹣24 25 ． 故选A 【分析】根据A与B的坐标，利用任意角的三角函数定义求出sinα，cosα，sinβ，cosβ的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 2.【答案】B 【考点】两角和与差的余弦函数 【解析】【解答】sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos（76°－16°）＝cos 60° ＝1 2 . 故答案为：B【分析】由余弦公式的逆用代入数值求出结果即可。 3.【答案】D 【考点】两圆的公切线条数及方程的确定 【解析】【解答】由题意，得两圆的标准方程分别为(x?2)2+(y+1)2=4和(x+2)2+(y?2)2= 4，则两圆的圆心距d=√(2+2)2+(?1?2)2=5>2+2，即两圆相离，所以两圆有4条公切线. 故答案为：D．【分析】先将所给圆的方程化为圆的标准方程，再判断两圆的位置关系，由两圆相离可以判断出两圆有四条公切线. 4.【答案】D 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】【解答】解：法1°：∵cos（π 4﹣α）= 3 5 ，∴sin2α=cos（π 2 ﹣2α）=cos2（π 4 ﹣α）=2cos2 （π 4﹣α）﹣1=2× 9 25 ﹣1=﹣7 25 ， 法2°：∵cos（π 4﹣α）= √2 2 （sinα+cosα）= 3 5 ， ∴1 2（1+sin2α）= 9 25 ， ∴sin2α=2× 9 25﹣1=﹣7 25 ， 故选：D． 【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos（π 2 ﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值5.【答案】A 【考点】两角和与差的余弦函数 【解析】【解答】由题目条件得sin(π 4+α)=2√2 3 ，sin(π 4 ?β 2 )=√6 3 ，而cos(α+β 2 )=cos[(π 4+ α)?(π 4 ? β2)]=cos(π 4+ α)cos(π 4 ?β 2 )+sin(π 4+ α)sin(π 4 ?β 2 )=1 3 ×√3 3 +2√2 3 ×√6 3 =5√3 9 故答案为：A。 【分析】将已知角当作整体,由同角关系式求出另一种函数值,将目标角表示为两整体角的差的形式,用两角差的余弦公式求解. 6.【答案】A 【考点】诱导公式的作用，二倍角的余弦 【解析】【解答】解：f（x）=sin2[ π 2+（x﹣π 4 ）]﹣sin2（x﹣π 4 ）=cos2（x﹣π 4 ）﹣sin2（x﹣π 4 ）=cos （2x﹣π 2 ）=sin2x，∵ω=2，∴T=π， 由正弦函数为奇函数，得到f（x）为奇函数， 则f（x）为周期是π的奇函数． 故选A． 【分析】函数解析式变形后，利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出函数的周期，根据正弦函数为偶函数即可得到结果． 7.【答案】A 【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数 【解析】【解答】由诱导公式得cosα=?1 3?0,cosβ=2 3 ?0，故α为钝角，β为锐角.且sinα= √1?cos2α=2√2 3，sinβ=√1?cos2β=√5 3 ，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=2√2 3 ?2 3 +(?1 3 )? √5 3=4√2?√5 9 . 故答案为：A【分析】首先利用诱导公式化简求出cos α、cosβ的值，由同角三角函数的基 本关系式分别求出sinα 、sin β的值，把数值代入到两角和差的正弦公式求出结果即可。 8.【答案】A 【考点】同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦，二倍角的余弦 【解析】【解答】由题意可得：(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+sin2θ=1 4 ， 则：sin2θ=?3 4 ，利用二倍角公式有： cos4θ=1?2sin22θ=1?2× 9 16 =?1 8 . 故答案为：A. 【分析】先将式子平方求出sin 2 θ,再由二位角公式求cos 4 θ. 9.【答案】C 【考点】任意角的三角函数的定义，三角函数值的符号 【解析】【解答】由任意角三角函数的定义，得 tanθ=y x =cos 5π 3sin 5π3 = 12?√32 =? √33 .∵ sin 5π3 <0 ， cos 5π3 > 0 ，∴点 P 在第二象限．∴ θ=5π6 . 故答案为：C. 【分析】首先根据点P 的坐标计算出tan θ<0从而可得角 θ在二、四象限，再根据点P 的坐标特点可判断出点p 在第二象限进而求出角 θ的值。 10.【答案】A 【考点】诱导公式一，正弦函数的单调性 【解析】【解答】∵ sin168°=sin(180°?12°)=sin12° ， cos77°=cos(90°?13°)=sin13° ， 由正弦函数的单调性得 sin11° 【分析】利用诱导公式把角转化到同一个增减区间上再结合正弦函数的单调性得出结果即可。 11.【答案】A 【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】【解答】由图可知A=1，T=π， ∴ω=2， 又﹣ π 6 ω+φ=2kπ（k ∈Z ）， ∴φ=2kπ+ π 3 （k ∈Z ），又0＜?＜ π 2 ， ∴φ= π 3 ， ∴y=sin （2x+ π 3 ）． ∴为了得到这个函数的图象，只需将y=sinx （x ∈R ）的图象上的所有向左平移 π 3 个长度单位，得到y=sin （x+ π 3 ）的图象，再将y=sin （x+ π 3 ）的图象上各点的横坐标变为原来的 1 2 （纵坐标不变）即可． 故答案为A. 【分析】数形结合可知A=1，T=π，从而可求得ω，φ，利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换即可求得答案． 12.【答案】A 【考点】平面向量的基本定理及其意义，向量在几何中的应用 【解析】【解答】解：由题意正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，可知： AE ????? =AC ????? +12CE ????? = AC ????? ?12AB ????? ． 则λ+μ的值为： 1 2 ． 故选：A ． 【分析】利用向量转化求解即可． 13.【答案】C 【考点】二倍角的正弦，二倍角的余弦 【解析】【解答】 tan α?1tan α =32 ，解得 tan α=2 或 tan α=?12 ，因为 α∈(π4,π 2) 所以 tan α=2 ， sin α= 2√5 5,cos α= √5 5 ，所以 sin (2α+π 4 ) = √2 2 sin 2α+√2 2cos 2α=√2sin αcos α+ √22 (cos 2 α?sin 2α)= √2 10 故答案为：C 【分析】由已知求得tanα，再由万能公式求出sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦即可． 14.【答案】A 【考点】两角和与差的正弦函数 【解析】【解答】 cos?αsin(α+π6 )+sin?αsin(α?π3 ) =cos?αsin(α+π6 )?sin?αcos[(α?π3 )+π2 ] =sin(α+π6)cos?α?cos(α+π6)sin?α =sin[(α+π6)?α]=sin π6 =1 2 ， 故答案为：A ． 【分析】首先由诱导公式整理为同角的三角函数，再结合两角和差的正弦公式整理由特殊角的三角函数值 求出结果即可。 15.【答案】D 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解： |AB ????? +AC ????? |=√3|AB ????? ?AC ????? | ，| AB ????? |=| AC ????? |=3 两边平方可得| AB ????? |2+| AC ????? |2+2 AB ????? ? AC ????? =3| AB ????? |2+3| AC ????? |2﹣6 AB ????? ? AC ????? ， ∴ AB ????? ? AC ????? = 92 ， ∴ CB ????? ?CA ????? =（ CA ????? + AB ????? ） CA ????? = CA ????? 2 + AB ????? ?CA ????? = CA ????? 2 ﹣ AB ????? ? AC ????? =9﹣ 9 2 = 9 2 ， 故选：D ． 【分析】由题意可得 AB ????? ? AC ????? = 9 2 ，根据向量的加法的几何意义即可求出答案 16.【答案】D 【考点】二倍角的余弦 【解析】【解答】f （x ）=2sin 2x+2 √3 sin xcos x －1= √3sin2x ?cos2x =2（ √3 2 sin2x ?1 2 cos2x ） =2 sin(2x ?π6 ) ．∵f （ x ）的图象关于点（φ，0）对称，∴2sin （2φ－ π6 ）=0，则2φ－ π6 =kπ，φ= k π2 + π12 ,k ∈Z ．取 k=0时，φ= π 12 ．∴φ的值可以是 π 12 ． 故答案为：D 【分析】利用余弦函数的二倍角公式整理原式子，再结合凑角公式将函数整理为正弦型函数，利用正弦型函数图像对称的特点即可求出φ的代数式对k 赋值即可。 17.【答案】C 【考点】两角和与差的正切函数 【解析】解答：， ，因为，，，所以，，所以，所以， 故C正确. 分析：由题观察所给条件的角与所求角之间的联系，进行配凑求解有关角的正切值，然后根据所求角的正切值结合其对应角的范围进行判断即可. 18.【答案】D 【考点】两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法 【解析】【解答】解：f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）= √2[ √2 2sin（ωx+φ）+ √2 2 cos（ωx+φ）]= √2sin （ωx+φ+ π 4 ），∵函数的最小正周期为2π， ∴T= 2π ω =π，解得ω=2， 即f（x）= √2sin（2x+φ+ π 4 ）， ∵f（﹣x）=f（x）， ∴函数f（x）为偶函数，则φ+ π 4= π 2 +kπ， 即φ= π 4 +kπ， ∵|φ|＜π 2，∴当k=0时，φ= π 4 ， 即f（x）= √2sin（2x+ π 4+ π 4 ）= √2sin（2x+ π 2 ）= √2cos2x， 由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z， 即kπ﹣π 2 ≤x≤kπ，k∈Z， 故函数的递增区间为[kπ﹣π 2 ，kπ]，k∈Z，由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z， 即kπ≤x≤kπ+ π 2 ，k∈Z， 故函数的递减区间为[kπ，kπ+ π 2 ]，k∈Z， 则当k=1时，函数递增区间为[ π 2 ，π]， 则f（x）在（π 2 ，π）， 故选：D 【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，结合函数的周期和奇偶性求出函数的解析式即可得到结论．19.【答案】B 【考点】二次函数在闭区间上的最值，三角函数中的恒等变换应用，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】由图可知，1 4T=π 3 ?π 12 =π 4 ，解得T=π,于是T=2πω=π，得ω=2. 因为f(π 3)=2sin(2π 3 +φ)=2，即sin(2π 3 +φ)=1. 所以2π 3+φ=π 2 +2kπ,k∈Z，又|φ|<π 2 ，故φ=?π 6 . 所以f(x)=2sin(2x?π 6 ). g(x)=2mf(x)+sin(4x+π 6)=4m sin(2x?π 6 )+cos(π 3 ?4x)=4m sin(2x?π 6 )+1?2sin2(2x?π 6 )= ?2[sin(2x?π 6 )?m]2+2m2+1. 因为x∈[π 12,5π 12 ]，于是2x?π 6 ∈[0,2π 3 ]，所以sin(2x?π 6 )∈[0,1]. ①当m<0时，当且仅当sin(2x?π 6 )=0时，g(x)取得最大值1，与已知不符； ②当0≤m≤1时，当且仅当sin(2x?π 6 )=1时，g(x)取得最大值2m2+1， 由已知得2m2+1=3 2，解得m=1 2 . ③当m>1时，当且仅当sin(2x?π 6 )=1时，g(x)取得最大值4m?1. 由已知得4m?1=3 2，解得m=5 8 ,矛盾. 综上所述：m=1 2 . 故答案为：B. 【分析】由函数图象过点A,B,求出解析式,将g(x)整理为关于sin(2x-π 6 )的二次函数问题,对参数m分类讨论结合最值求出m的值. 20.【答案】B 【考点】平面向量数量积的运算，两角和与差的余弦函数，正弦定理 【解析】【解答】连接AO ，并延长叫圆O 于D ，连接BD,CD ， 由 得， 两边同时点乘 ， 得 cosB sinC AB →2 + cosC sinB AC →·AB → = ， 又正弦定理和数量积的定义得 ， 故 =， 故选B. 二、解答题 21.【答案】（1）解：由已知条件及三角函数的定义可知cos α ＝ √2 10 ，cos β ＝ 2√55 .因为 α 为锐角， 故sin α ＞0，从而sin α ＝ √1－cos 2α=7√210 ，同理可得sin β ＝ √5 5 .因此tan α ＝7，tan β ＝ 1 2 . 所以tan （ α ＋ β ）＝ tan α+tan β1?tan αtan β = 7+ 12 1?7× 12 ＝-3 （2）解：tan （ α+2β ）＝tan[（ α ＋ β ）＋ β ]＝ ?3+ 121?(?3)× 12 ＝－1. 又0＜ α ＜ π2 ，0＜ β ＜ π2 ，故0＜ α+2β ＜ 3π2 . 从而由tan （ α+2β ）＝－1，得 α+2β ＝ 3π4 【考点】两角和与差的正切函数 【解析】【分析】(1)根据题意利用同角三角函数的基本关系式求出cos β 、sin α的值，同理求出sin β的值，进而求出tan α、 tan β的值，代入到两角和差的正切公式求出数值即可。 22.【答案】（1）解：∵ AB ????? =a +b ? ，BC ????? =2a +8b ? ，CD ????? = 3(a ?b ? ) ， ∴ AD ????? = AB ????? + BC ????? + CD ????? =6 a +6 b ? =6 AB ????? ， ∴ AD ????? ∥ AB ????? ， ∴A ，B ，D 三点共线 （2）解：设k a +b ? 和a +kb ? 平行， ∴k 1=1 k ， k2=1∴k=±1， ∴k=±1时，k a+b?和a+kb?平行 【考点】平行向量与共线向量 【解析】【分析】（1）根据向量的线性关系可证出向量AD和向量AB共线进而得到A，B，D三点共线（2）由已知根据向量的共线可得到k的值。 23.【答案】（1）解：因为f(x)=a??b?+1=2sin x cos x+cos(π?x)?2cos x=2sin x cos x?2cos2x+1 =sin2x?cos2x=√2sin(2x?π 4 )， 令2x?π 4= kπ，k∈Z，解得x=kπ 2 +π 8 ，k∈Z. 所以f(x)的对称中心为(kπ 2+π 8 ,0)(k∈Z) （2）解：由（1）得f(x)=sin2x?cos2x=√2sin(2x?π 4 )， 因为x∈[0,π 2]，所以2x?π 4 ∈[?π 4 ,3π 4 ]， 所以2x?π 4=π 2 时，即x=3π 8 ，f(x)的最大值为√2， 当2x?π 4=?π 4 时，即x=0时，f(x)的最小值为?1 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数中的恒等变换应用 【解析】【分析】（I）利用三角变换公式，以及诱导公式，化简f（x）的解析式，利用正弦函数的性质得出结论； （II）根据x的范围得出2x-π 4 的范围，利用正弦函数的图象与性质得出f（x）的最值． 24.【答案】（1）解：f(x)=2sinx(cosxcosπ 4+sinxsinπ 4 )?√2 2 =√2(sinxcosx+sin2x)?√2 2 =√2( 1 2 sin2x+ 1?cos2x 2 )? √2 2 =√2 2(sin2x?cos2x+1)?√2 2 =√2 2 (sin2x?cos2x)=sin(2x?π 4 )， ∴f(x)的最小正周期为π （2）解：f(α 2+π 8 )=sin[2(α 2 +π 8 )?π 4 ]=sinα=3 5 ，由α∈(0，π 2 )可知，cosα=4 5 ， 则tanα=3 4，∴tan(α+π 4 )=tanα+tan π 4 1?tanαtanπ 4 = 3 4 +1 1?3 4 =7 【考点】三角函数中的恒等变换应用，两角和与差的正弦函数 【解析】【分析】(1)首先由两角和差的正弦公式整理化简代数式化为正弦型，根据周期公式T=2π 代入数 ω 值求出结果即可。(2)首先由同角三角函数的基本关系式求出cos α的值，进而求出tan α的值代入到两角和的正切公式求出结果即可。 25.【答案】（1）解：=（sinx﹣2cosx，sinx），| |2=（sinx﹣2cosx，sinx）2 =2sin2x﹣4sinxcosx+4cos2x =2cos2x﹣4sinxcosx+2 =cos2x﹣2sin2x+3 = cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2， 又∵x∈[0，]， ∴， ∴在上单调递减， ∴| cos（2x+φ）|2∈[1，4]， ∴| + |∈[1，2]． （2）解：=（2sinx，cosx+k），g（x）=（） =﹣4sinxcosx+（cosx+k）（sinx﹣k） =﹣3sinxcosx+k（sinx﹣cosx）﹣k2 令t=sinx﹣cosx= sin（x﹣）， 则t∈[﹣，]，且t2=sin2x+cos2x﹣2sinxcosx=1﹣2sinxcosx， 所以． 所以g（x）可化为， 对称轴． ①当，即时， ， 由，得， 所以． 因为， 所以此时无解． ②当，即时， ． 由﹣﹣=﹣，得k=0∈[﹣3 ，3 ]． ③当﹣，即k＜﹣3 时， g（x）min=h（）=﹣k2+ k+ ， 由﹣k2+ k+ =﹣，得k2﹣k﹣3=0， 所以k= ． 因为k ，所以此时无解． 综上所述，当k=0时，g（x）的最小值为﹣． 【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用 【解析】【分析】（1）由已知利用平面向量的坐标运算可得b?+c=（sinx﹣2cosx，sinx），利用三角函数恒等变换的应用可得| b?+c|2= √5cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2，又x∈[0，π 4 ]，可求2x+φ∈ [φ，π 2 +φ]，利用余弦函数的单调性即可得解| b?+ c|的取值范围；（2）利用平面向量数量积的运算可 得g（x）=﹣3sinxcosx+k（sinx﹣cosx）﹣k2，令t=sinx﹣cosx= √2sin（x﹣π 4 ），则g（x）可化为? (t)=(?3)?1?t2 2+kt?t2=3 2 t2+kt?k2?3 2 ，t∈[?√2，√2]，对称轴t=? k 2×3 2 =?k 3 ．利用二次函 数的图象和性质分类讨论即可得解． 26.【答案】（1）解：过切点且与l：x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5，与y=﹣4x联立可求得圆心为C（1，﹣4）， ∴r= √(3?1)2+(?2+4)2=2 √2 ∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8； （2）解：当CP⊥AB，即P为AB中点时，弦长AB最小 CP= √(1?2)2+(?4+3)2=√2． 弦长AB的最小值为2 √r2?CP2=2√6． 【考点】直线与圆相交的性质 【解析】【分析】（1）首先利用切点坐标和切线方程，求出过该切点的半径所在直线的方程，然后将所求方程与圆心所在直线方程联立，求出圆心坐标，再利用两点间距离公式求出半径，进而求出圆的标准方程。 （2）首先确定P为弦AB的中点时，弦长最短，利用勾股定理求出最小值。 27.【答案】（1）解：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(2,0)，C(2,√3)，D(0,√3). 当α=π 3时，P(1 2 ,√3 2 )，则PC?=(3 2 ,√3 2 )，PD?=(?1 2 ,√3 2 ). ∴PC??PD?=3 2×(?1 2 )+(√3 2 )2=?3 4 +3 4 =0 （2）解：由三角函数的定义可设P(cosα,sinα)， 则PC ?=(2?cosα,√3?sinα)，PD?=(?cosα,√3?sinα)，AP?=(cosα,sinα)， 从而PC ?+PD?=(2?2cosα,2√3?2sinα)， ∴(PC?+PD?)?AP?=2cosα?2cos2α+2√3sinα?2sin2α=4sin(α+π 6 )?2 ∵0<α<π 2 ∴α=π 3 时，(PC?+PD?)?AP?取得的最大值为2 【考点】向量在几何中的应用 【解析】【分析】（1）根据题干选择A点为原点建立平面直角坐标系，写出各个点的坐标。最后根据向量积的运算性质得出答案。 （2）根据三角函数的定义设出P点的坐标，再得出各个有向线段的坐标，最后注意角的取值范围。利用三角函数的性质求解。 三、填空题 28.【答案】?1 20 【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】【解答】依题意，sin2α?2sinαcosα=3cos2α，则(sinα?3cosα)(sinα+cosα)=0， 故sinα=3cosα或sinα=?cosα，即tanα=3或tanα=?1（舍去，否则tan2α不存在）， 则cos2α?tan2α=cos2α?sin2α cos2α+sin2α?2tanα 1?tan2α =1?tan2α 1+tan2α ?2tanα 1?tan2α =?4 5 +3 4 =?1 20 故答案为：?1 20 . 【分析】将已知式分解,由同角关系式求出正切值,再由二倍角公式将目标式化为正切的形式,求值. 29.【答案】-2 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算，平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】【解答】∵|a?+b?|2=|a?|2+|b?|2,∴a?2+b?2+2a??b?=a?2+b?2,a??b?=0， 利用平面向量数量积的坐标运算法则可得：a??b?=t+2=0,∴t=?2. 故答案为:-2. 【分析】由已知等式求出向量的数量积,再由向量的坐标计算数量积,求出t的值. 30.【答案】0 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】【解答】向量a?=(1,λ)，b?=（3，1），向量2a??b?=（?1，2λ?1），∵向量2a??b? 与c?=（1，2）共线，∴2λ?1=?2，即λ=?1 2，∴向量a?=（1，?1 2 ），∴向量a?在向量 c?方向上的投影为|a?|?cos a?,c?=a??c? |c?|=1×1?2× 1 2 22 =0，故答案为0.【分析】根据向量共线的坐标运算代入 数值求出λ的值，进而得出向量a的坐标从而求出向量a在向量b方向上的投影的值。 31.【答案】2 3 【考点】两角和与差的正切函数，二倍角的正弦，二倍角的余弦 【解析】【解答】∵tan（π 4+α）= 1+tanα 1?tanα = 1 2 ，∴tan α= ?1 3 ， ∴sin2α+2cos2α 1+cos2α= 2sinαcosα+2cos2α 2cos2α =tan α+1= 2 3 ． 【分析】首先利用两角和差的正切公式展开求出tanx的值，再由二倍角的正弦公式、余弦公式结合同角三角函数的基本关系式拼凑出tanx的代数式代入数值求出结果即可。 32.【答案】FG?=?5 12AB??5 6 AD? 【考点】平面向量的坐标运算 【解析】【解答】设正方形的边长为12，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则 B(12,0),D(0,12),F(9,12),E(12,6),G(4,2),FG?=(?5,?10)，设FG?=xAB?+yAD?，即(?5,?10)= (12x,12y)，解得x=?5 12,y=?5 6 ，即FG?=?5 12 AB??5 6 AD?.【分析】根据题意建立直角坐标系，利 用向量的坐标公式结合向量的线性运算求出x、y的值即可得出向量FG→的线性表示。