空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计

《空间向量的正交分解及其坐标表示》

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各位专家评委、老师们：

大家好！我是来自浙江省温州中学的数学教师陈巴尔.有机会参加本次全国青年教师课堂教学评比活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣幸.

我的课题是《空间向量的正交分解及其坐标表示》，下面我就根据课程标准，结合我对教材的理解和所教学生的实际情况，从教学背景、教学目标、教学策略、教学过程、教学特点及反思五个方面对本节课作一个说明.希望各位专家评委、老师们对我的这节课例，多提宝贵意见.

一、教学背景分析

（一）教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的3.1.4节《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于新授课.

本章知识结构

《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐

标的定义，从而完成从向量到坐标的转化

．．．．．．．．．，进而为后面的立体几何问题的解决服务.

但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识.

因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比．．，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳．．．．．，体验数学在结．构．上的和谐性．．．与在推广过程中的问题，同时教学过程中，还应注意维度．．增加．．所带

来的影响.”

“又因为教材在本章专门安排了一个‘阅读与思考 向量概念的推广与应用’，把二维向量，三维向量，推广．．

为高维向量，并说明了其应用. 有条件的地区，可以引导学生学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质向多维推广．．．．

.” 而事实上，之前学生所学习的向量共线定理，本质也是一样的，因此，

仔细研究教材的编写意图．．．．，我们会发现这节课在整个高中向量课程教学中起到了一个重要的承上启下．．．．

的作用，即：完成了从必修4到选修2-1中的向量共线定理，

平面向量基本定理，空间向量基本定理对比与统一

．．．．．

．．．．．，同时通过教材的阅读与思考环节，又将学生带入了高维向量的世界，完成了一个学生对于不同维度下向量空

间结构

．．的认识的升华过程，巧妙至极！

（二）学生学情分析

在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.

因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是

容易

．．. 同时有了平面向量坐标的定义，得到．．的，但是证明唯一性具有一定的难度

空间坐标的定义是容易

．．．的理解却

．．的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性

是模糊

．．的.

因此，我设置本节课的教学重点和难点如下：

重点：学生通过平面向量的类比与归纳，得到空间向量基本定理的表述形式，以及选择特殊的单位正交基底，通过正交分解得到空间向量的坐标定义.

难点：类比过程中空间向量基本定理分解的唯一性的证明，与坐标定义中选择单位正交基底的合理性．

二、教学目标设置

依据课程标准，同时基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：

1、通过类比

．．平面向量基本定理理解空间向量基本定理的建立过程，掌握定理的表述形式；

2、理解如何通过反证法，证明分解的唯一性；

3、体会根据具体问题选择基底的重要性，特别是正交分解对于处理向量数量积

．．．

问题的意义

．．所在；

4、掌握空间向量的坐标定义，并能写出给定的空间向量的坐标；

5、体会向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理之间的内在联系，

体会不同维度的向量空间之间的结构异同点，了解高维向量定义的合理性与

必要性，并将本节课所获得的结果，在高维

．．，培养学

．．作简单的推广

．．空间

．．向量

生的类比归纳能力.

三、教学策略分析

鉴于学生已经具有一定的平面向量知识的基础，制定如下教学策略： 1、通过回顾平面向量基本定理，引导学生通过类比得到空间向量基本定理的表示，并证明分解的唯一性；

2、通过具体实例，让学生真实体会单位正交基底与正交分解对于数量积问题的重要性，得出向量的正交分解与坐标表示；

3、完成从二维到三维的类比之后，再引导学生完成一维向量空间的类比，从而让学生体会到不同维度向量空间的结构．．特点上的统一性．．．，并通过简单探究将向量空间进一步推广到高维时的情形，同时将空间向量基本定理作进一步的推广；

四、教学过程

为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下七个环节：

接下来，我将对每一教学环节中涉及的主要问题，教学步骤以及设计意图作出说明. （一）引入

问题1：如图，已知a ，b 是给定的向量，对于任意的p ，请问p 能用a ，b 表示吗？

【学生活动】学生思考是否能够表示，有学生认为可以，理由是之前学习的平面向量基本定理，还有学生认为不一定，因为p 可能与a ，b 不共面.

【设计意图】本节课的采用通过从平面向量到空间向量的类比．．得到空间向量的相关内容的类比教学策略，因此设置该问题，让学生意识到我们现在不单单是研究平面向量，同时研究空间向量，但容易发现它们之间有类似的地方，因此本节课的目的就是要弄清推广过程中的不同之处，并加以解决.

（二）温故知新，建立定理

问题2：如果a ，b ，p 是共面的，那该怎么表示呢？ 【学生活动】学生提出通过作平行四边形的方法，可以得到

''OP OA OB xOA yOB =+=+,

所以

x y =+p a b .

并回顾了平面向量基本定理的表述：

平面向量基本定理：如果向量a ，b 不共线，那么对于平面中的任一向量p ，存．在唯一．．．

有序实数组{,}x y ，使得x y =+p a b ，其中{a ,}b 称为平面的一组基底. 【教师总结】这个就是我们之前在必修4中所学习的平面向量基本定理，同时我

O

O

们知道这个分解不但存在．．，而且唯一．．

！ 【设计意图】用这个问题，帮助学生回顾之前所学习的平面向量基本定理，同时为后面推广为空间向量基本定理作好铺垫. 问题3：如果a ，b ，p 是不共面的，那该怎么办呢？ 【学生活动】学生思考提出应该再给出一个向量 问题4：随便再给出一个向量都行吗？

【学生活动】学生提出新给出的向量应该与a ，b 不共面.

问题5：如果再给出一个与a ，b 不共面的c ，现在该怎么表示p ？ 【学生活动】学生回答类似平面向量基本定理的做法，先过点P 作OC 的平行线，交a ，b 所在的平面于点M ，连接OM ,可以得到

OP OM MP =+

由平面向量基本定理可知OM x y =+a b ，再作'PC 平行于OM 交直线OC 于点

'C ，则'MP OC z ==c ，所以

x y z =+p a b+c .

【教师总结】这个过程与平面向量基本定理十分相似，如果我们也给这个定理取一个名字，就可以把它叫做空间向量基本定理.

问题6：我们可以通过修改平面向量基本定理的表述，得到空间向量基本定理吗？

【学生活动】可以，只需要作出以下修改：

空间向量基本定理：如果向量a ，b ，c 不共面，那么对于空间中的任一向量p ，存在唯一．．．．有序实数组{,,}x y z ，使得x y z =++p a b c ，其中{,a ,}b c 称为空间的一组基底.

【设计意图】通过类比平面中的分解过程，让学生在本质．．上体会空间向量在类似问题的处理上方法的相通之处；同时通过修改．．平面向量基本定理的方法来得到空间向量基本定理的表述，让学生再从形．式．

上体会两个定理的相似之处，从

而体现了类比．．的思想方法. （三）严格论证，完善定理

问题7：我们在平面向量基本定理中知道，p 在基底{a ,}b 下的分解不但存在，而且唯一，那么空间向量基本定理中的分解也唯一吗？

【学生活动】学生认为分解唯一，且通过刚才作图过程的唯一性来说明. 【教师总结】从刚才分解过程来看，作图过程是唯一的，但是如果我先将p 按照其他方式分解成几个向量，然后再分别在基底{,a ,}b c 下分解，分解系数仍然不变吗？我们发现通过作图观察问题是一个非常直观有效的方法，但是缺乏必要的逻辑推理，因此无法代替严格的证明，那么请同学们思考，该如何证明分解的唯一性？．

【学生活动】鉴于这个问题有一定的难度，教师要求学生先进行独立思考．．．．．．．，然后在有自己的想法之后，分成4人小组讨论．．这个问题，并且最后邀请一位学生上台通过实物投影仪来讲述自己的证明方法：

证明：假设存在两种分解，即111x y z =+p a b +c ，且222x y z =+p a b +c ，则有

121212()()()x x y y z z =-+--0a b +c

（i ）若120z z -=，则1212()()x x y y =-+-0a b ，由平面向量基本定理分解的唯一．．．．．．．．．．．．．性．

可知12120x x y y -=-=，所以是同一种分解； （ii ）若120z z -≠，则

1212

2121

x x y y z z z z --=

+--c a b ， 那就会有c 与a ，b 共面，矛盾！ 所以，只存在一种分解.

【教师总结】这位同学通过代数方法证明了分解的唯一性，很好！这样，我们就得到了完整的空间向量基本定理.

【设计意图】分解的唯一性．．．

在选秀2-1教材的定理表述中并没有指出，但考虑到以下两点原因：1、在必修．．4．平面向量基本定理的表述中提到．．了唯一性；2、教学参考要求这个节课要让学生体会从平面向量基本定理到空间向量基本定理

空间向量及其运算详细教案

空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量

平面向量正交分解及坐标表示及坐标运算

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算 学习目标 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 2.会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算。 学习任务： (一)平面向量的正交分解： 阅读课本94-95页，回答下列问题 1、什么是正交分解？ 2、观察右图，OA a = ,完成下列问题: (1)向量1OA 与向量i 共线，则存在唯一实数x ，使得i OA ___1 =; (2)向量2OA 与向量j 共线，则存在唯一实数y ，使得j OA __2=; (3)由平行四边形法则，________________+=+==OA a . 3、阅读课本第95-96页，完成下列问题 向量的坐标表示的定义：分别选取与x 轴、y 轴方向相同的 向量i ，j 作为 ，对于任一向量a ， ____________一对实数x 、y ，使得a xi y j =+，（,x y R ∈），实数对(,)x y 叫___________，记作_________ 其中x 叫 ，y 叫 。 说明：（1）对于a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应； （2）相等的向量的坐标 ； （3）i =（ ， ），j =（ ， ），0(0,0)=； （4）直角坐标系中点A 、向量OA 、有序数（x,y ）有什么关系？从原点引出的向量OA 的坐标(,)x y 就是 。 (二)平面向量的坐标运算 1.阅读课本第96页，完成问题 已知),(),,(2211y x b y x a == ，则 (1)=+b a ____________________,=-b a ____________________(用坐标表示)。 (2)=a λ____________________(R ∈λ)(用坐标表示)。 2.阅读课本第97页例4，完成课本第100页练习1，2；课本第101页习题A 组2。 3.若A 点坐标为),(11y x ，B 点坐标为),(22y x ，O 为坐标原点，则 (1)OA =___________,OB =___________,________________________=-=-=AB 。 (2)若A 点坐标为(-1，4)，B 点坐标为(2，1)，则________=AB 。 (3)完成课本第100页练习3；课本第101页习题A 组1。 3.阅读课本第97页例5，；课本第101页练习6,7，习题A 组3,4,7，B 组1。 4.已知点A （2,3），B （5,4），C （7,10）.若),(R AC AB AP ∈+=λλ试求λ为何值时， （1）点P 在第一、三象限角平分线上；（2）点P 在第三象限内. 2.3.4平面向量共线的坐标表示 学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 2.学会将几何问题转化为代数问题，从而体会转化及数形结合的数学思想。 自学探究： 1.你还记得向量共线定量吗？若),(11y x a =，),(22y x b =则怎样用坐标表示两个共线向量？ 2.阅读课本第98页，完成下列任务： (1)若),(11y x a =,),(22y x b =)0( ≠b ，则_____________________//??b a ； (2)阅读课本第98页例6，完成100页练习4,101页A 组5,6 (3)阅读课本第98页例7,完成101页B 组2 ★ 总结：证明A,B,C 三点共线的方法是什么？ 技能提升 1.已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a ∥b ，求y. 2.设向量a = (1，2)，b =（2，3），若向量b a +λ与向量c = )7,4(--共线，求λ. 3.已知),1,(),2,1(x b a ==，若b a 2+与b a -2平行，则x 的值为 。 4.若向量),,4(),1,(x b x a ==则当x = 时a 与b 共线且方向相同。 5.已知向量()()5,4,12,==→ → OB k OA ()10,k OC -=→ 则A 、B 、C 三点共线则k 为（ ） A 、 32 B 、32- C 、2 1 D 、1 1 A 2 A

《空间向量运算的坐标表示》说课稿

《空间向量运算的坐标表示》——说课稿 各位评委、老师：大家好！ 今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍： 一、教材分析 （一）地位和作用 本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。 （二）目标的确定及分析 根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。 （三）重难点的确定及分析 本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所

《空间向量在立体几何中的应用》教学设计

《空间向量在立体几何中的应用》教学设计 一.教学目标 （一）知识与技能 1.理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值； 2.理解并会用空间向量解决平行与垂直问题. （二）过程与方法 1.体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程； 2.体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程． （三）情感态度与价值观 1.通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想； 2.培养学生向量的代数运算推理能力； 3.培养学生理解、运用知识的能力． 二.教学重、难点 重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问题． 难点：用空间向量求二面角的余弦值． 三.教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法． 四.教学用具：电脑、投影仪． 五.教学设计 （一）新课导入 1.提问学生： （1）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？ （2）能否用代数运算来解决平行与垂直问题？ （二）新课学习 1.用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值. （1）设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意 两点，则12,l l . （2）设AB 是平面α的斜线，且,B BC α∈是斜线AB 在平面α内的射影，则 斜线AB 与平面α 设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则AB 与平面α .

（3）设12,n n 是二面角l αβ--的面,αβ 就是二面角的平 面角或补角的余弦值. 例1：在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，EF 分别是'',BC A D 的中点， （1）求直线' AC DE 与所成角的余弦值. （2）求直线AD 与平面'B EDF 所成的角的余弦值 （3）求平面'B EDF 与平面ABCD 分析：启发学生找出三条两两垂直的直线AB,AD,AA ′，建立空间直角坐标系A-xyz ，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到所求的结果. 解：（1）如图建立坐标系，则'(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2 a A a C a a D a E a . ' (,,),(,,0)2 a AC a a a DE a ∴=-=-. '' '15 cos ,AC DE AC DE AC DE ?∴<>= = ?. 故' AC DE 与所成的角的余弦值为15 15. （2）,ADE ADF ∠=∠所以AD 在平面'B EDF 内的射影在EDF ∠的平分线上，又'B EDF 为菱形，'DB ∴为EDF ∠的平分线，故直线AD 与平面'B EDF 所成的角为'ADB ∠，建立如图所示坐标系，则'(0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a ， '(0,,0),(,,)DA a DB a a a ∴=-=-，'' ' 3 cos ,DA DB DA DB DA DB ?∴<>= = ?. 故AD 与平面'B EDF 所成角的余弦值为 3 3. x

空间向量与立体几何(角度问题)教学设计

空间向量与立体几何 (角度问题)教学设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

空间向量与立体几何（角度问题）教学设计 一、学习目标： 1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角； 2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 3、探究题型，掌握解法。 二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。探究题型，掌握解法。 三、学情分析： 本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。在平时的学习中，学生已经对该几类问题有所认识，本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异，培养学生养成良好的答题习惯。 四、教学过程 本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题，从回顾旧知开始直接进入例题讲解、课堂练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题的方法

教师总结规律两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 θ＝． (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角 的小大θ＝ ． 求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别 为a，b，平面α、β的法向量分别为n，m. ①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ ＝ |a·b| |a||b|. ②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ ＝ |a·n| |a||n|. ③平面α与平面β所成的二面角为θ，则 |cosθ|＝ |n·m| |n||m|.、 结合图像，让学生更 直观地了解到二面角与直 线方向向量同平面法向量 之间所成的角存在的区别 与联系，从而找到适当的 方法进行调整 通过之前的对比，分 析清楚空间角与向量角之 间存在的差异后，找寻适 当的方法去解决差异，从 而统一解题方法。

《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计

《空间向量的正交分解及其坐标表示》 教学设计 杨华 燕大附中

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计 一、教学任务及对象 1、教学内容分析 《空间向量的正交分解及其坐标表示》是选修2-1第三章第一节的内容，前面学生已经把平面向量及其加减和数乘运算推广到空间，本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的基础定理——空间向量分解定理，这个定理是立体几何数量化的基础，有了这个定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x,y,z）建立起一一对应的关系。 2、教学对象分析 本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。 二、教学目标 依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下： 1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。 2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。 3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。 三、重、难点分析 重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 四、教学策略 为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略： 1．教法分析 为了充分调动学生学习的积极性，采用“学、研、导、练”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣. 2．学法分析 本节课通过类比平面向量基本定理及坐标表示，推广到空间向量，让学生体会类比、推广思想，加深对向量的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．

空间向量运算的坐标表示教学设计

空间向量运算的坐标表示 教学设计 讲课人:宋海阳指导人：韩红松 一、教学内容分析 课程标准指出：“用空间向量解决几何问题，提供了新视角。空间向量的引 入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 学生将在平面向量的基础上，把平面向量及运算推广到空间，运用空间向量解决 有关直线、平面位置关系的问题，体会向量法在研究几何图形中的作用，进一步 发展空间想象能力和几何直观能力。” 本节课是在学生已经掌握了平面向量运算的坐标表示的基础上进行的，是 《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是用向量法解决立体几何问题的基础， 让学生初步体会向量法在解决立体几何问题中的优越性，帮助空间想象能力较弱 的同学顺利解题。 二、学生学情分析 1、学生学习本节内容的基础 本节的学习对象是高二学生,他们已经掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算，数学基础较为扎实，学习上具备了一定的观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺.所以通过教师的引导,学生的自主探索,不断地完善自我的认知结构。 2、学生学习本节内容的能力 具有一定的画图能力，图形思维与代数思维可以结合起来。具有一定的推导能力，具备一定的数学的严谨性。 3、学生学习本节内容的心理 本节内容学生容易接受，学生在学习的过程中会有很强的求知欲和成就感，对培养数学思想有推动作用。 三、教学目标分析 1、知识与技能： （1）会运算空间向量的加法、减法、数乘及数量积的坐标表示； （2）熟记空间向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式； （3）会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； （4）掌握用向量法解决两条异面直线所成角的方法。 2、过程与方法： （1）在与平面向量的坐标运算的比较的基础上，培养学生观察、分析、类 比转化的能力； （2）通过对几何图形的研究，使学生恰当地建立空间直角坐标系，从“定

空间向量的坐标运算

空间向量的坐标运算 第一课时空间直角坐标系 教学目标： ㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。 ㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。 教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：向量坐标的确定 教学方法：讨论法． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： 复习回顾 空间向量基本定理 探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向 量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。 注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正 方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向

向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1)　 量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在 此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定 过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图） 例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。 分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。 解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算 注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若

高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教案 新人教A版选修2-1

3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 教学目标 1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。 2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。 重、难点 1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。 2．坐标判断两个空间向量平行。 教学过程 1．情景创设： 平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？ 2．建构数学： 如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到 OA =xi y j zk ++。 因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。 这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。 类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。 设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则

a + b ＝（112233,,a b a b a b +++）， a － b ＝（112233,,a b a b a b ---）， λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。 空间向量平行的坐标表示为 a ∥ b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ?===∈R 。 例题分析： 例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。 例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。 例3：求点A （2，－3，－1）关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点。 练习：见学案 小结： 作业：见作业纸

空间向量的应用教学设计

空间向量的应用教学设计 钟山中学徐玉学 一、教材内容分析： 在空间直角坐标系中引入空间向量，是解决立体几何中图形的大小及位置关系等问题的一种理想的代数工具，使我们能用代数的观点和方法解决几何问题，用精确计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度，提高学生的学习效率。 二、学生学情分析： 学生已经学习了空间向量的相关概念和性质，对空间向量知识有了一定的了解，所以课堂上可以多组织学生参与教学，通过自主探究主动发现应用空间向量解决距离问题的途径。但是由于学生对向量数量积的几何意义的理解并不透彻，所以在实际教学中需要多加启发和引导。 三、教学目标： （一）知识与技能 1.掌握空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离公式； 2.理解运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的方法。 （二）过程与方法 1.体验运用空间向量推导点到平面的距离和两平行平面的距离公式的过程； 2.体验运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的过程。 （三）情感态度与价值观 1.通过运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的学习过程，让学生体会立体几何问题代数化的转化思想，认识到运用空间向量解决立体几何问题的优越性。 2.培养学生理解和运用知识的能力以及代数运算能力。

a B O 'B 四、教学重点、难点 重点：运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离 难点：1.理解点到平面的距离与向量投影的关系； 2.转化思想的理解与运用。 五、教学策略 在学生已有知识的基础上，通过引导和启发，组织学生进行自主探究，在探究过程中建构起空间距离与空间向量的联系，达到利用空间向量解决距离问题的目的。 六、教学过程 （一）知识回顾 θ>=

专题3-空间向量的正交分解与坐标表示

23,,e e 为有公共起点O 的三个两两

点O 重合，得到向量OA =a ．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{,,}x y z ，使得 =a __________．我们把x ，y ，z 称作向量a 在单位正交基底123,,e e e 下的坐标，记作=a __________． 注：向量的坐标由起点、终点的坐标共同决定，并不受起点位置的影响． 5．单位正交基底之间的数量积运算 （1）因为单位正交基底123,,e e e 互相垂直，所以121323?=?=?=e e e e e e __________． （2）因为123,,e e e 为单位向量，所以1122331?=?=?=e e e e e e ． 6．空间向量的坐标运算 空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示都可以类似平面向量的坐标运算得到． 设123(,,)a a a =a ，123(,,)b b b =b ，则 （1）112233(,,)a b a b a b +=+++a b ， 112233(,,)a b a b a b -=---a b ， 123(,,)a a a λλλλ=a ， 112233a b a b a b ?=++a b ； （2）112233,,a b a b a b λλλλ?=?===∥a b a b ， 11223300a b a b a b ??=?++=⊥a b a b ， =?=|a |a a __________， 112233 22222 2 123123cos ,a b a b a b a a a b b b ++= ++++<>a b ； （3）在空间直角坐标系中，已知点111()A x y z ,,，222()B x y z ,,，则A ，B 两点间的距离 ||d AB == 222121212()()()x x y y z z -+-+-． 注：进行向量运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算，一般按照右手系建系．

数学选修空间向量及其运算教案

第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：

①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

第八届全国高中青年数学教师优质课大赛：空间向量正交分解及其坐标表示教学设计(陈巴尔)

《空间向量的正交分解及其坐标表示》 p 浙江省温州中学陈巴尔

各位专家评委、老师们： 大家好！我是来自浙江省温州中学的数学教师陈巴尔.有机会参加本次全国青年教师课堂教学评比活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣幸. 我的课题是《空间向量的正交分解及其坐标表示》，下面我就根据课程标准，结合我对教材的理解和所教学生的实际情况，从教学背景、教学目标、教学策略、教学过程、教学特点及反思五个方面对本节课作一个说明.希望各位专家评委、老师们对我的这节课例，多提宝贵意见. 一、教学背景分析 （一）教学内容解析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的3.1.4节《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于新授课. 本章知识结构 《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐 标的定义，从而完成从向量到坐标的转化 ．．．．．．．．．，进而为后面的立体几何问题的解决服务. 但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识.

因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比．．，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳．．．．．，体验数学在结．构．上的和谐性．．．与在推广过程中的问题，同时教学过程中，还应注意维度．．增加．．所带 来的影响.” “又因为教材在本章专门安排了 一个‘阅读与思考 向量概念的推广 与应用’，把二维向量，三维向量， 推广．． 为高维向量，并说明了其应用. 有条件的地区，可以引导学生学习这 个阅读材料，将空间向量的有关性质 向多维推广．．．． .” 而事实上，之前学生所学习的向 量共线定理，本质也是一样的，因此， 仔细研究教材的编写意图．．．． ，我们会发现这节课在整个高中向量课程教学中起到了一个重要的承上启下．．．． 的作用，即：完成了从必修4到选修2-1中的向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理对比与统一．．．．．，同时通过教材的阅读与思考．．．．．

平面向量的分解及向量的坐标表示

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第二节平面向量的分解及向量的坐标表示 课时作业 一、选择题 1．(2009年湖北卷>若向量a＝(1,1>，b＝(－1,1>，c＝(4,2>，则c＝( > A．3a＋bB．3a－b C．－a＋3bD．a＋3b 2．(2009年广东卷>已知平面向量a＝(x,1>，b＝(－x，x2>，则向量a＋b( > A．平行于x轴 B．平行于第一、第三象限的角平分线 C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线 3．(2009年重庆卷>已知向量a＝(1,1>，b＝(2，x>，若a＋b 与4b－2a平行，则实数x的值是( >b5E2RGbCAP A．－2B．0 C．1D．2 4．(2008年海南宁夏卷>平面向量a，b共线的充要条件是( > A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个为零向量 C．?λ∈R，b＝λa D．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0

5.如右图所示，在△ABC中，已知 A(2,3>，B(6，－4>，G(4，－1>是中线AD 上一点，且错误!＝2错误!，则点C的坐标 为( >p1EanqFDPw A．(－4,2> B．(－4，－2> C．(4，－2> D．(4,2> 二、填空题 6．(2009年江西卷>已知向量a＝(3,1>，b＝(1,3>，c＝(k,7>，若(a－c>∥b，则k＝________.DXDiTa9E3d 7．(2009年辽宁卷>在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A(－2,0>，B(6,8>，C(8,6>，则D点的坐标为________．RTCrpUDGiT 8．(2009年湖北卷>已知P＝{a|a＝(1,0>＋m(0,1>，m∈R}，Q ＝{b|b＝(1,1>＋n(－1,1>，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝________.5PCzVD7HxA 三、解答题 9.如右图所示，已知A(－2,1>， B(1,3>，求线段AB的中点M和三等分点 P，Q的坐标． 10．已知A(1,0>，直线l：y＝2x－ 6，点R是直线l上的一点，若错误!＝2 错误!，求点P的轨迹方程．jLBHrnAILg 参考答案 1．解读：c＝(4,2>＝3a－b.选B. 答案：B

空间向量与立体几何教案(强烈推荐)

空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处

理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当 我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向， 当λ<0时与a 反向的所有向量。 （3）若直线l ∥a ，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。

《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计

《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计 【教学设计构想】 １.体现知识的发生、发展过程；本节课的核心知识是“平面向量正交分解条件下坐标表示”,学生正确建构了向量的坐标表示，才能真正理解向量的“代数化”，进而从代数的角度理解向量的运算，所以本节课的设计,力图呈现平面向量坐标表示的发生、发展过程。 ２．将知识的数学形态转化为教学形态;教材中对本节内容的介绍只有本页之多，却内涵丰富，承前启后，不能以自己的想法代替学生的想法，不能简单地告诉学生定义、结论，通过问题的设置来引导学生操作、思考、讨论交流，推进教学的进程。 ３.教学重心前移;对于本节课的知识,如果学生记住向量坐标表示的结论,学生也能解决一系列的问题,以往的教学,是将重心放在如何强化学生的解题训练上，注重解题的方法与技巧，在题的难度上和解法技巧上进行设计，本次教学的重心放在学生对向量坐标表示的意义理解上。 ４.还学生自主学习的空间与时间；在学生的“最近发展区内”设置有思考价值的问题，形成学生认知上的冲突，才是给学生提供学习的空间；在对学生设置好探究问题后，要舍得给学生独立思考,与同伴交流的时间。 【教材内容地位】 本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”,向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础,因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解,建立坐标系才有了依据,同时,只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。 2.３节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容1.平面向量的基本定理，２.平面向量的正交分解及坐标表示， 3.平行向量的坐标运算, 4.平面向量共线的坐标表示。本节教学的内容是本单元的第２节。 【目标与目标解析】 知识与技能: １.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求:（1)能写出给定向量的坐标;（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段; 2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1)知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标;（2）向量的坐标等于终点减去起点坐标。 3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。 过程与方法: 学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法,体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。 情感态度与价值观： 在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流,从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。 重点：平面向量坐标表示的定义 突破办法:渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想． 难点:对平面向量坐标表示生成过程的理解 突破办法:设置情景问题,注意过程分析与引导,力求自然、合理 【教学过程】 (一）问题情境1：倾斜角为３０度的斜面上，质量为10０kg的物体匀速下滑， 欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力,该如何对重力进行分解? 设计说明:引出课题。 回顾向量基本定理,构造建立直角坐标系条件，为研究问题做铺垫。 （二）向量坐标表示的定义探究 问题１：如图所示，取与x轴、ｙ轴方向相同的两个单位向量ｉ,ｊ为基底，分别用i,j表示向量ａ、b.

高中数学选修2-1精品教案1：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 教学目标： 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直． 教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算． 教学难点：理解空间向量基本定理． 教学过程： 一.复习引入 平面向量基本定理及应用 二.思考分析 在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南500米”“东400米”“5楼”三个量确定．设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量． 问题1：这三个向量能作为该空间的一组基底吗？ 提示：能． 问题2：若每层楼高3米，请把“发生火灾”的位置由向量p表示出来？ 提示：p＝500e1＋400e2＋15e3. 三.抽象概括 1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底． (2)空间向量的坐标表示 以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. 对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP―→＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)． (1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底． (2)0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着