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通过循环语句、分支语句创建与分析存储有Fibonacci数列的数组

通过循环语句、分支语句创建与分析存储有Fibonacci数列的数组
通过循环语句、分支语句创建与分析存储有Fibonacci数列的数组

课题名:

通过循环语句、分支语句创建与分析存储有Fibonacci数列的数组

课程开设时间与课时:

第一周、第二周(2008/3/3--2008/3/14),共二课时,其中第一课主要为讲解与讨论、第二课主要为上机试验。

显形与隐形的教学目标:

1、掌握利用循环语句创建数组以及分析数组中数据的方法(显性)

2、生命发展中呈现的“效率优先”原则(隐形)

教学重点、难点:

1、对于初次接触,数组是个陌生的概念,另外,为什么在程序设计中需要使用数组也需要通俗的解释;

2、创建数组过程较变量赋值过程更抽象。

教学的讲解过程与试验:

1、视频观看:

《数字追凶》(Sabotage)

数学家关于Fibonacci数列的一段阐述。

2、对视频的评析及讨论:

为什么大自然的发展模式以Fibonacci数列显现出来?

Fibonacci数列中的兔子模式是怎样被发现的?

3、知识与技能的铺垫:

一维数组的概念

数组的定义

数组的基本赋值语句

数组单元中数据的调用

在列表框中显示数据

4、程序演示:

使用循环语句为数组赋值

演示中突出循环外两个初始值的赋值过程以及循环计数器的起始位

5、学生试验:

使用循环语句以及数组中单元的累加,实现将Fibonacci为数组存储到数列中的过程。

6、视频观看:

《数字追凶》(Sabotage)剪辑片断

火车司机制造了一连串的事故,并且每次都留下暗含信息的密码,后来发现密码中的数字均来自某一次著名的火车事故的报告,而与报告不符合的数据揭示了事实真相。

7、学生试验:

观察一串预先给出的数列值,结合视频中的线索,通过已学习的创建Fibonacci数列的技能,尝试在循环结构中增加分支判断语句,以找出与错误的数列中的项,错误项所对应的字母即密码。

8、穿插在课中的谜语:

什么时候程序语言精度无法满足要求?

Fibonacci兔子序列问题。

使用到的教学素材及相关知识、技能:

《数字追凶》(Sabotage)剪辑片断,涉及Fibonacci数列,字符串匹配,数据库搜索等;

密码文件一份;

用于验证密码的ASP程序一份;

程序半成品一个;

数字组成世界演示文稿;

通过Ruby程序获得的第99999项Fibonacci的数列值;

兔子排序谜语动画一个,涉及Fibonacci兔子排序问题;

来自Youtube的关于黄金分割的视频3分钟(备用)。

课后总结:

学生已习惯此课流程;

利用数组存储Fibonacci数列项大部分同学完成;

寻找密码问题中,少部分同学脱节严重,课上不知所为,另外,有些同学不愿编写程序而宁愿使用人眼扫描法;

3班有一组在规定时间内正确获取密码、2班有三组在规定时间内正确获取密码、1班只有一组在规定时间过后正确获取密码;

大部分同学都能理解程序精度相关问题,对于兔子序列问题,1同学出乎意料地给出了正确排序。

斐波那契数列资料

斐波那契数列

斐波那契数列 一、简介 斐波那契数列(Fibonacci),又称黄金分割数列,由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入,推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列:1,1,2,3,5,8,13,……,前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式,记斐波那契数列的第i项为F i,则F i=F i-1+F i-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子,从第三个月开始他们每个月都生一对兔子,新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律,并假定兔子没有死亡,10个月后共有多少个兔子? 这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列,第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。 二、性质 如果要了解斐波那契数列的性质,必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。 令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得: F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) =q2(F n-2-pF n-3) =…=q n-2(F2-pF1) 又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) ∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2 F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0 (1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0 ∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组 ∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1 不难看出,上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到: 而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1,可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0,这样就得到了一个标准的一元二次方程,配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可: 这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它,斐波那契数列的一些性质 也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比,即:

斐波那契数列应用

生活中我们常常相信亲眼所见,但又常常为自己的眼睛所骗,魔术就是一个很好的例子。数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术,我们还是来看一个简单的问题吧,将图3中面积为13×13=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形,然后重新拼接成图4,计算可知长方形的面积为8×21=168,比正方形少了一个单位的面积,真不可思议! 这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解,我们在白纸上将正方形量好画出,剪成四块,重新安排后拼成长方形,除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确,我们一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠,正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。要证实这一点我们只要计算一下长方形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率,比较一下就会清楚了。 问题2中涉及到四个数据5、8、13和21,有一定数学基础的同学会认出这是著名的斐波那契数列中的四项,斐波那契数列的特征是它的每一项都是前两项之和:1,1,2,3,5,8,13,21,34,……。我们还可以使用这个数列中的其他相邻四项来试验这个过程,无论选取哪四项,都可以发现正方形和长方形的面积是不会相等的,有时正方形的面积比长方形多一个单位面积,有时则正好相反。多做几次上述实验,我们就会得出斐波那契数列的一个重要性质:这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减1。用公式表示就是:。其中表示正方形的面积,表示长方形的面积。知道了这个事实,我们就可以自己构造类似于问题2的几何趣题。 爬梯子问题(斐波那契数列应用) 1.小明要上楼梯,他每次能向上走一级、两级或三级,如果楼梯有10级,他有几种不同的走法? 这里我们不妨也来研究一下其中的规律:如果楼梯就一级,他有1种走法;如果楼梯有两级,他有2种走法;如果楼梯有三级,他有4种走法;如果有五级楼梯,他有7种走法. 既:楼梯的级数:12345678... 上楼梯的走法:124713244481... 这其中的规律就是,这里从第4个数开始,每一个数都等于它前面的3个数之和。

FOR循环语句教学设计

FOR循环语句 一、教材分析:本节是《算法与程序设计》(选修)第二章第四节“程序的循环结构”中的内容。这一节的前面是顺序结构和选择结构,紧接FOR语句后面是DO语句和循环嵌套。本节课是FOR语句的初次学习,着重介绍FOR 语句的基础知识:格式和执行过程,不涉及双重循环等较难的运用。循环结构是程序设计的三种基本结构之一,是程序设计的基础。 二、学情分析:在学习本课之前,学生已掌握VB程序的顺序结构和选择结构的程序执行流程,对条件语句有了较深的理解,并具有一定的算法基础和比较、归纳能力。 三、教学目标 1、知识与技能:: 1)掌握FOR循环语句的基本格式; 2)理解FOR循环语句的执行过程; 3)能用for循环结构编写简单的程序。 2、过程与方法: 1)培养学生分析问题,解决问题的能力。 2)能进一步理解用计算机解决问题的过程和方法。 3、情感态度与价值观:激发学生学习热情,培养学生学习的积极性。 四、教学重点、难点及确立依据: 教学重点:1、掌握FOR循环语句的基本格式; 2、理解FOR循环语句的执行过程; 教学难点:解决实际问题,编写简单程序。 五、教学方法:讲授法、任务驱动法 六、教学环境:机房 六、教学过程: 1、导入新课: 由故事引出本节课内容: 阿基米德与国王下棋,国王输了,国王问阿基米德要什么奖赏?阿基米德对国王说:我只要在棋盘上第一格放一粒米,第二格放二粒,第三格放四粒,第四格放八粒………按这个比例放满整个棋盘64个格子就行。国王以为要不了多少粮食,可一个粮仓的米还摆不完一半的棋格子,全部摆满后,你知道排满棋盘全部格子有多少米吗?请根据你所学的数学知识列出式子。 学生回答:2^0+2^1+2^2+……2^64 那用vb程序怎样进行计算呢?引出循环结构。 2、新课讲授: 在实际问题中会遇到具体规律性的重复运算问题,反映在程序中就是将完成特定任务的一组语句重复执行多次。重复执行的一组语句称为循环体,每重复一次循环体,都必须做出继续或者停止循环的判断,其依据就是判断一个特定的条件,成立与否,决定继续还是退出循环。

小学奥数--斐波那契数列典型例题

拓展目标: 一:周期问题的解决方法 (1)找出排列规律,确定排列周期。 (2)确定排列周期后,用总数除以周期。 ①如果没有余数,正好有整数个周期,那么结果为周期里的最后一个 ②如果有余数,即比整数个周期多n个,那么结果为下一个周期的第n个。 例1: (1)1,2,1,2,1,2,…那么第18个数是多少? 这个数列的周期是2,1829 ÷=,所以第18个数是2.(2)1,2,3,1,2,3,1,2,3,…那么第16个数是多少? 这个数列的周期是3,16351 ÷=???,所以第16个数是1.二:斐波那契数列 斐波那契是 的有关兔子的问题: 假设一对刚出生的小兔,一个月后就能长成大兔,再过一个月便能生下一对小兔,并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么,由一对刚出生的兔子开始,12个月后会有多少对 斐波那契数列(兔子数列) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

你看出是什么规律:。 【前两项等于1,而从第三项起,每一项是其前两项之和,则称该数列为斐波那契数列】 【巩固】 (1)2,2,4,6,10,16,(),() (2)34,21,13,8,5,(),2,() 例1:有一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,34…..这个有趣的“兔子”数列,在前120个数中有个偶数?个奇数?第2004个数是数(奇或偶)? 【解析】120÷3=40 2004÷3=668 【巩固】有一列数按1、1、2、3、5、8、13、21、34……的顺序排列,第500个数是奇数还是偶数? 例2:(10秒钟算出结果!) (1)1+1+2+3+5+8+13+21+34+55= (2)1+2+3+5+8+13+21+34+55+89= 数学家发现:连续 10个斐波那契数之和,必定等于第 7个数的 11 倍! 巩固:34+55+89+144+233+377+610+987+1597+2584== 例3:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

斐波那契数列与黄金分割的应用研究

斐波那契数列与黄金分割 应用研究 作者姓名 院系6系 学号

摘要 “斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci,生于公元1170年,卒于1240年,籍贯大概是比萨)。他被人称作“比萨的列昂纳多”。斐波那契数列是一个古老而有趣的问题,由于其所具有的各种特殊属性,它与最优美的黄金分割有这密不可分的关系。在数学领域以及自然界中随处可见,而且正逐渐被应用在人们的日常生活与娱乐中。 关键词:斐波那契,黄金分割,应用 1 引言 斐波那契数列又称“斐波那契神奇数列”,是由13世纪的意大利数学家斐波那契提出的,当时是和兔子的繁殖问题有关的,它是一个很重要的数学模型。假设一对成年兔子放于围栏中,每月可生下一对一雌一雄的小兔,而小兔出生一个月后便可以生育小兔,且每月都生下一对一雌一雄的小兔.问把这样一对初生的小兔置于围栏中,一年后围栏中共有多少对兔子(假定兔子没有死亡)?据此,可得月份与兔子对数之间的对应关系如下: 月份0 1 2 3 4 5 6 7 ? 大兔对数0 1 1 2 3 5 8 13 ? 小兔对数 1 0 1 1 2 3 5 8 ? 兔子总对数 1 1 2 3 5 8 13 21 ? 如果用F n 表示第n个月兔子的总对数,那么F n能构成一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89?.这个数列显然有如下的递推关系: F n =F n-1 +F n-2 (n>1,n为正整数),F0 =0,F1 =1 (1) 满足(1)式的数列就叫做斐波那契数列,这是一个带有初值的用递推关系表示的数列。这个数列一问世就吸引了无数数学家的兴趣,以下是费氏数列的定义及通项公式。 费氏数列是是由一连串的数字所组成的(1、1、2、3、5、8、13、…),而且这串数字之间具有一定的规则,就是每一个数字必须是前两个数字的和( an =

循环语句教学设计

《循环语句》教学设计 教材分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本(B版)》的第一章1.2.3节循环结构。 为了适应信息时代发展的需要,新课程标准将算法作为独立的一个章节,对于联系高中学习和大学的数学学士是一个承前启后的章节,重点在于掌握算法思想在学习数学知识中的作用,加上这部分知识对于新接触算法的高中教师而言是一种新的知识,一切都是在“摸着石头过河”。如何才能更好的将这一算法语句更好的讲解给学生成为广大教师需要考虑的一个问题。 《高中标准》要求理解算法的基本概念,在学习用框图标识算法之后,掌握赋值语句、条件语句、循环语句等的用法。而其中的循环语句又成为这章节的难点和重点,成为学生理解算法思想的一件武器。本节课的重点在于让学生理解循环变量、计数变量的含义,用两种循环语句格式编写一个循环结构的程序,注意两种格式的区别、应用范围和相互转换。作为算法部分一个比较难一点的知识,讲好这一节对于理解算法的作用和概念是很有必要的。 学情分析 学习程度差异:通过前面的学习,大多数学生能够基本上理解算法的三种结构的区别,能够写出基本的程序,学习能力好的学生能够写出较为完整的程序,并积极探索如何实现循环框图的程序转换。 知识、心理、能力储备:在前面的学习中我们学习了算法的概念、三种算法结构以及基础的算法语句的写法,这时候我们可以解决大部分的题目,使得学生对算法有着较为明确的认识,但是仍然有很多的程序不能实现,比如自然数的累加和累积等等,这时候我们就必须要学习循环结构如何用程序语言编写出来。学生在前面的学习中,通过上机实践,他们已经基本上知道了Scilab软件的格式,用法和基本算法语句的编写,初步感受到算法的美妙,从而对算法语句产生兴趣,这样通过对循环语句的学生,他们可以写出较为完整的程序,从而加强对算法的认识和兴趣。 教学目标 1.知识与技能:(1)通过具体的实例理解,了解循环语句的结构特征,掌握循环语句的具体应用;(2)利用循环语句表达结局具体问题的过程,体会算

Fibonacci(斐波那契)数列的JAVA解法

Fibonacci(斐波那契)数列的JA V A解法 fibonacci数列的递归算法 public class Fib_ra { public static int fibonacci(int n) { if(n>=0) if(n==0||n==1) return n; else return fibonacci(n-2)+fibonacci(n-1); return -1; } public static void main(String args[]) { int m=25,n; int fib[]=new int[m]; for(n=0;n

sum = n1+n2; n1 = n2; n2 = sum; } } System.out.println(sum); } } 计算斐波那契数列(Fibonacci)的第n个值并打印public class FibonacciPrint{ public static void main(String args[]){ int n = Integer.parseInt(args[0]); FibonacciPrint t = new FibonacciPrint(); for(int i=1;i<=n;i++){ t.print(i); } } public void print(int n){ int n1 = 1;//第一个数 int n2 = 1;//第二个数 int sum = 0;//和 if(n<=0){ System.out.println("参数错误!"); return; } if(n<=2){ sum = 1; }else{ for(int i=3;i<=n;i++){ sum = n1+n2; n1 = n2; n2 = sum; } } System.out.println(sum); } } 输出Fibonacci数列 public class Fib { public static void main(String args[]) {

(完整版)斐波那契数列、走台阶问题

走台阶问题 如: 总共100级台阶(任意级都行),小明每次可选择走1步、2步或者3步,问走完这100级台阶总共有多少种走法? 解析: 这个问题本质上是斐波那契数列,假设只有一个台阶,那么只有一种跳法,那就是一次跳一级,f(1)=1;如果有两个台阶,那么有两种跳法,第一种跳法是一次跳一级,第二种跳法是一次跳两 级,f(2)=2。如果有大于2级的n级台阶,那么假如第一次跳一级台阶,剩下还有n-1级台阶,有f(n-1)种跳法,假如第一次条2级台阶,剩下n-2级台阶,有f(n-2)种跳法。这就表示f(n)=f(n- 1)+f(n-2)。将上面的斐波那契数列代码稍微改一下就是本题的答案f(n)=f(n-1)+f(n+2) 斐波那契数列 斐波那契数列:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N*),那么这句话可以写成如下形式:F(n)=F(n-1)+F(n-2) 递推数列显然这是一个线性。 数学定义: 递归斐波纳契数列以如下被以的方法定义:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2,n∈N*) 由兔子生殖问题引出、生物 (计算科学)

特性: 这个数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和。 特别指出:第1项是0,第2项是第一个1。 代码: public class Test { static final int s = 100; //自定义的台阶数 static int compute(int stair){ if ( stair <= 0){ return0; } if (stair == 1){ return1; } if (stair == 2){ return2; } return compute(stair-1) + compute(stair-2); //return 递归进行计算 --->递归思想进行数据计算处理 在斐波那契数列中后一项的值等于前两项的和 } public static void main(String args[]) { System.out.println("共有" + compute(s) + "种走法"); } } return compute(stair-1) + compute(stair-2); 在return子句中调用调用compute函数 由斐波那契数列特性得到最后的值 分值拆分

斐波那契数列

斐波那契数列 一、简介 斐波那契数列(Fibonacci),又称黄金分割数列,由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入,推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列:1,1,2,3,5,8,13,……,前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式,记斐波那契数列的第i项为F i,则F i=F i-1+F i-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子,从第三个月开始他们每个月都生一对兔子,新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律,并假定兔子没有死亡,10个月后共有多少个兔子? 这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列,第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。 二、性质 如果要了解斐波那契数列的性质,必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。 令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得: F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) =q2(F n-2-pF n-3) =…=q n-2(F2-pF1) 又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) ∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2 F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0 (1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0 ∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组 ∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1 不难看出,上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到: 而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1,可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0,这样就得到了一个标准的一元二次方程,配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可: 这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它,斐波那契数列的一些性质也不难得出了。 比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比,即:

浅谈斐波那契数列在生活中的应用

浅谈斐波那契数列在生活中的应用 发表时间:2019-07-29T11:38:49.093Z 来源:《基层建设》2019年第14期作者:孙烨赵倩[导读] 摘要:数学是一门来自生活又高于生活的科学,数学研究是人类社会进步的动力。 山东协和学院山东济南 250107摘要:数学是一门来自生活又高于生活的科学,数学研究是人类社会进步的动力。数列知识在生活中也有着广泛的应用,例如生物种群数量的变化,银行的利息计算,人口增长,粮食增长、住房建设等,都会用到数学知识。本文介绍斐波那契数列的简单情况,可以帮助学生提高对数列的知识。数列是数学学习中一个非常重要的分支,并且因为数列的研究和计算与社会经济和资源生活紧密相关,加上灵活 多变的计算,有趣的问题等,都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。 关键词:斐波那契数列应用黄金分割 1 引言 数列在我们的生活中具有广泛的应用,例如资源计算等问题,并且在解决诸如投资分配,汇率计算和资源利用分配等问题方面具有无可比拟的优势。本文将简要介绍数列广泛应用,分析斐波那契数在上述几个生活领域中的应用。 斐波那契数列在现实生活中被广泛使用,研究它以使其服务于我们的生活具有很大的意义。 人类很早就看到了大自然的数学特征:蜜蜂的繁殖规律,树枝、钢琴音阶的排列以及花瓣在花托边缘的对称分布、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称性……,所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。对自然、社会和生活中的许多现象的解释,通常可归因于斐波那契数列上来。 斐波那契数列在数学理论中有许多有趣的特性,似乎在自然界中也存在着这个性质,都被斐波那契数列支持。 2 斐波那契数列的应用 (1)斐波那契数列和花瓣数花瓣数是极有特征的。多数情况下,花瓣的数目都是3,5,8,13,21,34,55,…这些数恰好是斐波那契数列的某些项,例如,海棠2瓣花瓣,铁栏、百合花和兰花以及茉莉花都有3瓣花瓣,洋紫荆、黄蝉和蝴蝶兰是5瓣花瓣。万寿菊的花瓣有13瓣;至良属的植物有5瓣花瓣;许多翠雀属植物有8瓣花瓣;雏菊属植物有89、55或者34个瓣花瓣。 (2)斐波那契数列和仙人掌的结构在仙人掌的结构中有这一数列的特征。研究人员分析了仙人掌的形状、叶片的厚度以及控制仙人掌情况的其他因素,并将数据输入计算机,结果发现仙人掌的斐波那契序列结构使仙人掌能够最大限度地减少能量消耗并适应干旱沙漠中的生长环境。 (3)斐波那契数列和向日葵种子排列向日葵种子的排列是典型的数学模型。仔细观察向日葵盘,你会发现两组螺旋,一组顺时针旋转,另一组螺旋逆时针旋转,彼此嵌套。虽然不同向日葵品种的种子选装方向和螺旋线的数量有所不同,但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这3组数字,每组数字就是斐波那契序列中的两个相邻数字。前一个数字是顺时针旋转的线数,后一个数字是逆时针旋转的线数。回想起向日葵。种子全都紧密排列在花盘当中,每个种子都保证按照适合的角度生长大小还基本保持一致又疏密得当,与此同时,螺旋的数目也是斐波那契序列中的数字,世界如此繁琐,却又如此的井然有序。 (4)斐波那契数列与台阶问题当只有一个台阶时,只有一种移动方式,F1=1两个台阶,有2种走法,一步上两个台阶或者一阶一阶的上,所以F2=2。三个台阶时,走法有一步一阶,2阶再1阶,1阶再2阶,因此,F3=3。四个台阶时,走法有(1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)(0,2,2),共5种方法,所以F4=5依此类推,有数列:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,...斐波那契与自然,生活和科学上有很多联系,但是从这几个例子中,我们可以看到斐波那契数列的应用的广泛性,我们可以看到数学之美无处不在。它是一门科学,同时也是一种艺术,一种语言,它就像一朵盛开的茉莉花,白皙而优雅,简言而之,数学伴随着自然生活共同发展。 (5)斐波那契数列与蜜蜂的家谱蜜蜂的“家谱”:蜜蜂的繁殖规律十分有趣。雄蜂只有一个母亲,没有父亲,因为蜂后所产的卵,未受精的孵化为雄蜂,受精的孵化为雌蜂(即工蜂或蜂后)。人们在追踪雄蜂的家谱时,发现1只雄蜂的第n代子孙的数目刚好就是斐波那契数列的第n项f(n)。 (6)黄金分割与斐波那契的联系斐波那契和黄金比例(也称黄金分割,Φ,取三位小数1.618)密切相关。黄金法则,也称为黄金比率,是指将直线分成两部分,使得一部分与整体的比率等于剩余部分与该部分的比率,即0.618/1=0.382/0.618。0.618是斐波那契数列相邻两项之比的近似值,一般称之为黄金分割数。这是古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯于公元前6世纪由提出,后被著名的希腊美学家柏拉图称为“黄金比例率”。 (7)斐波那契数列和鳞片的关系菠萝果实上的菱形鳞片排成一列,8排向左倾斜,13排向右倾斜;挪威云杉的球果在一个方向上有3排鳞片,在另一个方向上有5排鳞片;常见的落叶松是一种针叶树,松果上有鳞片,两个方向也排成5行8行;美国松树松鳞片在两个方向上排成3行和5行。 (8)影视作品中的斐波那契数列斐波那契数列在欧美可以说是是每个人都知道,在电影这种通俗艺术中也经常的出现,例如在风靡一时的《达芬奇密码》当中它就作为一个重要的符号和情节线索出现,在《魔法玩具城》当中也出现过。由此可见此数列就像黄金分割那样的流行。可是虽说叫得上名,大多数人并没有深入理解研究。在电视剧中也经常看到斐波那契数列的影子,比如:日剧《考试之神》的第五回,义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题。还在FOX热播美剧《Fringe》中也是多次引用,甚至被当做全剧宣传海报的主要设计元素。 3 结束语 除了上文中涉及的几个方面外,斐波那契数列在生活的其他领域当中例如现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有着广泛的应用。这个奥秘神奇的序列就在我们生活中任何常见的事物中隐藏,植被如一朵向日葵,一棵花菜,宏观如飓风以及星系,微观小至细胞的分裂,斐波那契数列都有存在。而且,通过对上文数列在生活中应用的几个方面的分析,也希望能激发大家对斐波那契数列的兴趣,感受数学的魅力。

斐波那契数列的通项公式推导解析

斐波那契数列的通项公式推导 山西省原平市原平一中任所怀 做了这些年的数学题,我时常有这样的感受。一个新的数学题初次接触时,会觉得这个题的解题技巧很妙,甚至有点非夷所思,但如果把同类型问题多做几个,你就会发现原来所谓的技巧,其实是一种再正常不过的想法,是一种由已知到未知的必然之路。这样我们就由解题的技巧而转化到了通解通法,进一步就会形成解题的思想,所以我对于数学爱好者建议,做题时要把同类型题多种总结和分析,这样你的数学才会有长足的进步。 下面我们就由递推推导通项的问题,进行对比分析。 例1在数列中,,求数列的通项。(普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5第69页6题) 分析:此题可分两步来进行,首先由构造一个等比数列,其中 ,并写出的通项;然后利用,两边同除以得 ,由累加法,就可求出数列的通项。 解:( 设,则()所以数列为等比数列,且首项为 ,公比为3。所以。 于是有,两边都除以得 设,则有 由累加法可得

因为所以() 于是有。 总结:上面的求解过程实质,求是一个把已知条件逐步化简的过程,由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系,进一步求出通项公式。 下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。 已知数列,其中,,求数列的通项。 解:首先我们要构造一个等比数列,于是设 则有。(1) 则由已知得(2) 对照(1)(2)两式得解得或。 我们取前一解,就会有。 设,则有 所以数列为等比数列,首项为,公比为

所以。即(3) 再次构造等比数列,设 则有 对照(3)式,可得所以 x=. 于是有 设,则有数列为等比数列,首项为,公比为,于是= 所以有。

浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值

浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值 99数学本四班 莫少勇 指导教师 孙丽英 摘 要 本文从菲波那契数列出发,通过探究其数学内涵和它在实际生活中的应用,提高学生对数学的欣赏能力,初步建立数学建模的思想,从而提高用数学知识分析实际问题的能力。 关键词 Fibonacci 数列 黄金数 优选法 数学美不仅有形式的和谐美,而且有内容的严谨美;不仅有语言的简明、精巧美,而且有公式、定理的结构整体美;不仅有逻辑、抽象美,而且有创造应用美。古希腊的毕达哥拉斯学派,首先从数的比例中求出美的形式,发现了黄金数。神奇的菲波纳契数列正是黄金数之后的一大发现,它又被誉为“黄金数列”。 一. F ibonacci 数列的由来 Fibonacci 数列的提出,当时是和兔子的繁殖问题有关的,它是一个很重要的数学模型。这个问题是:有小兔一对,若第二个月它们成年,第三个月生下小兔一对,以后每月生产一对小兔,而所生小兔亦在第二个月成年,第三个月生产另一对小兔,以后亦每月生产小兔一对,假定每产一对小兔必为一雌一雄,且均无死亡,试问一年后共有小兔几对? 对于n=1,2,……,令F n 表示第n 个月开始时兔子的总对数,B n 、A n 分别是未成年和成年的兔子(简称小兔和大兔)的对数,则F n = A n +B n 根据题设,有 显然,F 1=1,F 2=1,而且从第三个月开始,每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和,于是按此规律我们得到一个带有初值的递推关系式: ?? ?==∈≥+=1 F 1,F Z)n 3,(n F F F 212-n 1-n n 若我们规定F 0=1,则上式可变为 ?? ?==∈≥+=1F 1,F Z)n 2,(n F F F 102-n 1-n n 这就是Fibonacci 数列的通常定义,也就是数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,……, 这串数列的特点是:其中任一个数都是前两数之和。 这个兔子问题是意大利数学家梁拿多(Leomardo )在他所著的《算盘全集》中提出的,而梁拿多又名菲波纳契(Fibonacci ),所以这个数列称作菲波纳契数列,其中每一项称作Fibonacci 数。 它的通项是F n =51[(25 1+)n+1-(251-)n+1 ],由法国数学家比内(Binet )求出的。 二.Fibonacci 数列的内涵 (1)Fibonacci 数列的通项的证明我们可以通过求解常系数线性齐次递推关系或者利用生成函数法来实现。 证法一:

06第六课 for循环语句

第六课 for循环语句 在实际应用中,会经常遇到许多有规律性的重复运算,这就需要掌握本章所介绍的循环结构程序设计。在Pascal语言中,循环结构程序通常由三种的循环语句来实现。它们分别为FOR循环、当循环和直到循环。通常将一组重复执行的语句称为循环体,而控制重复执行或终止执行由重复终止条件决定。因此,重复语句是由循环体及重复终止条件两部分组成。 一、for语句的一般格式 for <控制变量>:=<表达式1> to <表达式2> do <语句>; for <控制变量>:=<表达式1> downto <表达式2> do <语句>; 其中for、to、downto和do是Pascal保留字。表达式1 与表达式2的值也称为初值和终值。 二、For语句执行过程 ①先将初值赋给左边的变量(称为循环控制变量); ②判断循环控制变量的值是否已"超过"终值,如已超过,则跳到步骤⑥; ③如果末超过终值,则执行do后面的那个语句(称为循环体); ④循环变量递增(对to)或递减(对downt o)1; ⑤返回步骤②; ⑥循环结束,执行for循环下面的一个语句。 三、说明 ①循环控制变量必须是顺序类型。例如,可以是整型、字符型等,但不能为实型。 ②循环控制变量的值递增或递减的规律是:选用to则为递增;选用downto则递减。 ③所谓循环控制变量的值"超过"终值,对递增型循环,"超过"指大于,对递减型循环,"超 过"指小于。 ④循环体可以是一个基本语句,也可以是一个复合语句。 ⑤循环控制变量的初值和终值一经确定,循环次数就确定了。但是

在循环体内对循环变量的值进行修改,常常会使得循环提前结束或进入死环。建议不要在循环体中随意修改控制变量的值。 ⑥for语句中的初值、终值都可以是顺序类型的常量、变量、表达式。 四、应用举例 例1.输出1-100之间的所有偶数。 var i:integer; begin for i:=1 to 100 do if i mod 2=0 then write(i:5); end. 例2.求N!=1*2*3*…*N ,这里N不大于10。 分析:程序要先输入N,然后从1累乘到N。 程序如下: var n,i : integer;{i为循环变量} S : longint;{s作为累乘器} begin write('Enter n=');readln(n);{输入n} s:=1; for i:=2 to n do{从2到n累乘到s中} s:=s*i; writeln(n,'!=',s);{输出n!的值} end. s:=s* 练 习 1.求s=1+4+7+…+298的值。 2.编写一个评分程序,接受用户输入5个选手的得分(0-10分),然后去掉一个最高分和一个最低分,求出某选手的最后得分(平均分)。 3.用一张2角票换1分、2分的硬币,每种至少一枚, 问有哪几种换法(各几枚)? 4.用一张5角票换1分、2分和5分的硬币,每种至少一枚, 问有哪几种换法(各几枚)?

斐波那契提出的问题

斐波那契是欧洲中世纪颇具影响的数学家,公元1170年生于意大利的比萨,早年曾就读于阿尔及尔东部的小港布日,后来又以商人的身份游历了埃及、希腊、叙利亚等地,掌握了当时较为先进的阿拉伯算术、代数和古希腊的数学成果,经过整理研究和发展之后,把它们介绍到欧洲。公元1202年,斐波那契的传世之作《算法之术》出版。在这部名著中,斐波那契提出了以下饶有趣味的问题:假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔,再过一个月便能生下一对小兔,并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。问一对刚出生的兔子,一年内能繁殖成多少对兔子?图 1 逐月推算,我们可以得到数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233。这个数列后来便以斐波那契的名字命名。数列中的每一项,则称为“斐波那契数”。第十三位的斐波那契数,即为一对刚出生的小兔,一年内所能繁殖成的兔子的对数。这个数字等于233。从斐波那契数的构造明显看出:斐被那契数列从第三项起,每项都等于前面两项的和。假定第n项斐波那契数为,于是我们有:通过以上关系式,我们可以一步一个脚印地算出任意,不过,当n很大时,推算是很费事的。我们必须找到更为科学的计算方法。为此,我们在以下一列数中去导求满足关系式的解答。解上述q的一元二次方程得: [!--empirenews.page--] 。据此,设,并结合,可确定α,β,从而可以求出:以上公式是法国数学家比内首先求得的,通称比内公式。令人惊奇的是,比内公式中的是用无理数的幂表示的,然而它所得的结果却是整数。读者不信,可以找几个n的值代进去试试看!斐波那契数列有许多奇妙的性质,其中有一个性质是这样的:有兴趣的读者,不难自行证明上述等式。斐波那契数列的上述性质,常被用来构造一些极为有趣的智力游戏。例如,美国《科学美国人》杂志就曾刊载过一则故事:一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯,对他的地毯匠朋友说:“请您把这块地毯分成四小块,再把它们缝成一块长13英尺,宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异,因为商者之间面积相差达一平方英尺呢!可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的!这真是不可思议的事!亲爱的读者,你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢?斐波那契数列在自然科学的其他分支,也有许多应用。例如,树木的生长,由于新生的枝条,往往需要一段“休息”时间,供自身生长,而后才能萌发新枝。所以,一株树苗在一段间隔(如图4),例如一年,以后长出一条新枝;第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发;此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则次年“休息”。这样,一株树木各个年份的枝桠数,便构成斐波那契数列。这个规律,就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

使用fork()调用计算Fibonacci数列

实验二Linux 进程创建 实验目的 ?加深对进程概念的理解 ?练习使用fork()系统调用创建进程 ?练习Linux操作系统下C程序设计 实验准备知识 1. fork()函数:创建一个新进程. ?调用格式: #include #include int fork(); ?返回值: 正确返回时,等于0表示创建子进程,从子进程返回的ID值;大于0表示从父进程返回的子进程的进程ID值。 错误返回时,等于-1表示创建失败 实验内容:使用fork()调用计算Fibonacci数列 ?Fibonacci数列是0,1,1,2,3,5,8…….通常表示为:fib0=0, fib1=1,fib n=fib n-1+fib n-2 ?写一个C程序,使用fork()系统调用产生一个子进程来计算 Fibonacci数列,序列通过命令行显示。例如,如果参数为5,Fibonacci数列的前5个数字将在子进程中被输出。 ?因为父进程和子进程拥有各自的数据拷贝,所以需要由子进程

输出。在退出程序之前,父进程调用wait()等待子进程完成。 要求提供必要的错误检测以保证在命令行传递的参数是非负数. 实验程序: #include #include #include #include int main(int argc, char* argv[]) { pid_t pid; int i; int f0,f1,f2; f0=0; f1=1; if(argv[1]<0) { fprintf(stderr,"request a nun-negative number"); } pid=fork(); //printf("pid = %d ",pid); if(pid<0) { fprintf(stderr,"fork failed"); exit(-1); } else if(pid==0) { printf("argv[1] = %d\n",atoi(argv[1])); printf("0 1 "); for(i=2; i<=atoi(argv[1]);i++) { f2=f0+f1; f0=f1; f1=f2; printf("%d ",f2); }

斐波那契数列的性质

斐波那契数列的性质 一、通项公式:a n = 5〔1+ 52〕n - 5 〔1? 52〕n 二、设p,q,u,v 为自然数且p = min{ p ,q , u , v} . 若p + q = u + v , 则对于斐波那契数列{ an} ,以下公式恒成立:a p a q - a u a v = (-1)p+1a u-p a q-u 三、a n +1a n?1 - a n 2 = (?1)n (n >= 1, n 属于 N) 四、a 2n +1 = a n +12 + a n 2 (n 属于N ) 五、a n +12 - a n?12 = a n 2 (n >= 1, n 属于N) 六、a n +m = a n?1a m + a n a m +1 (n >= 1, n 和m 属于N) 七、a 2n +2a 2n?1 - a 2n a 2n +1 = 1(n >= 1, n 属于N) 八、a m +n 2 - a m?n 2 = a 2m * a 2n (m > n >= 1) 九、a n?1?a n +2 - a n ?a n +1 = (?1)n (n >= 2) 十、{f 2n f 2n +1} 有极限且等于黄金分割率 5 ?12

下面是一篇文章:

斐波那契数列通项公式 斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(见图)(又叫“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例。) 有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。 奇妙的属性 随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。(注:奇数项和偶数项是指项数的奇偶,而并不是指数列的数字本身的奇偶,比如第四项3是奇数,但它是偶数项,第五项5是奇数,它是奇数项,如果认为数字3和5都是奇数项,那就误解题意,怎么都说不通) 如果你看到有这样一个题目:某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你:为什么64

高三数学 教案 斐波那契数列通项公式推导过程

斐波那契数列 斐波那契数列,又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义:F(1)=1,F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3,n∈N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用,为此,美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志,用于专门刊载这方面的研究成果。 定义 斐波那契数列指的是这样一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368........ 自然中的斐波那契数列 这个数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和。 斐波那契数列的定义者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契,生于公元1170年,卒于1250年,籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年,他撰写了《算盘全书》(Liber Abacci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点于阿尔及利亚地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。 通项公式 递推公式 斐波那契数列:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N*),那么这句话可以写成如下形式::F(n)=F(n-1)+F(n-2) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式

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