柯西不等式在高中数学中的应用及推广毕业论文

柯西不等式在高中数学中的应用及推广

[摘要]本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的几种证明方法及其在初等数学解题中的应用.同时对其在

其他领域的推广进行了简要论述，并且对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论，对柯西不等式在高中数学解题中的应用进行了广泛的取证并得到了证明，从而肯定了其在高中数学学习中的重要性.

[关键词]柯西（Cauchy ）不等式；应用函数最值；三角函数证明；不等式教学

1 引言

中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的雏形和影子.在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习和应用不等式同时，都会觉得解题中困难重重.而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用.基于此，本文拟以柯西不等式为出发点，从其证明方法到推广及应用技巧等方面进行总结和归纳，并简谈其在中学数学中的一些应用.

2 柯西不等式的证明

本文所说的柯西不等式是指

()n i b a b a n

i i n i i n

i i i →=≤??

? ??∑∑∑===2,11212

2

1 (1)

当且仅当

122

n i

n

a a a

b b

b

==

=时，等号成立.

2.1 构造二次函数证明

首先 当1

2

0n a a

a ==

==或120n b b b ==

==时，不等式显然成立.

令

22

1

1

1

,,n

n

n

i i i i i i i A B C a a b b ======∑∑∑

当

1,

2,

n

a a

a

中至少有一个不为零时，可知0>A ,构造二次函数()2

2

2,f x Ax Bx C =++展开得

()()()

2

2

2

21120n

n

i

i i i

i

i

i i f x a x a b x b

a x

b ===++=+≥∑∑

故()f x 的判别式2

440B AC ?=-≤,移项得2

AC B ≥,得证. 2.2 向量法证明

令

()()123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b αβ==

则对向量αβ，

有()

1,cos ≤=???βαβ

αβ

αβα 2

2

2211221

1

,,n

n

n n i i i i a b a b a b a b αβαβ==?=++

==∑∑

得

??

??????????≤??????∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 12122

1

当且仅当()

cos ,1αβ=，即,αβ平行式等号成立. 2.3 数学归纳法证明

a) 当n=1时 有()2

22

1111a b a b =，不等式成立.

b) 当n=2时

()()()2

2222112211221122

2

222222222221

2

1

2

11

221221

2a b a b a b a b a b a b a

a

b

b

a b

a b a b a b

+=++++=+++

因为2222

122111222a b a b a b a b +≥，故有

()

()()2

22

2211221212a b a b a a b b +≤++

当且仅当1221a b a b =，即

12

12

a a

b b =时等号成立. c) 假设n=k 时等式不成立，即

()()()2

22

2

22211221212k k k k a b a b a b a a a b b b ++

+≤++

+++

+

当且仅当

12

12

k

k

a a a

b b b ===

时等号成立. d) 那么当n=k+1时

()112211++++++k k k k b a b a b a b a

()()2

1212211112

22112++++++++++++=k k k k k k k k b a b a b a b a b a b a b a b a

()()()(

)()

()()

21

222

1

21

222

1

21

2123

2221

2212121

2122111122

221222212++++++++++?+++=++++?+++≤++++++++?+++≤k k k k

k k k k k k k k b b b

a a a

b

a b b b a a a b a b a b a b a b a b b b a a a

当且仅当1111212111,,,k k k k k k k k a b b a a b b a a b b a ++++++===时等号成立.于是n=k+1时不等式成立.

由a),b)c),d)可得对于任意的自然数n ，柯西不等式成立.

2.4 利用恒等式证明

先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数1212,,,;,,,n n

a a a

b b b 有柯西—拉格朗日恒等式

()

()()2

2

2

23322211+n n n n n n a b a b a b a b a b a b ---+

+-+

-

由实数性质()20R αα≥∈可得柯西不等式成立.

以上给出了柯西不等式的四种证法.利用四种不同的方法全面论证柯西不等式，能加深我们对柯西不等式的认识和理解，为其在数学解题方面的研究提供了更完备的参考理论.

3 柯西不等式的推广

命题1 若级数21n

i i a =∑与2

1n

i i b =∑收敛，则有不等式.∑∑∑===≤??

? ??n

i i n i i n i i i b a b a 12122

1

证明 由

∑=n

i i

a

1

2，

∑=n

i i

b

1

2收敛 ，可得

??

? ????? ??≤??? ??≤∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 12122

10

因为∑-n

i i a 12

收敛，且∑∑∑=∞

→=∞→=∞→≤??? ??n

i i n n i i n n i i i n b a b a 12

1

221lim lim lim ，从而有不等式∑∑∑===≤??? ??n i i n i i n i i i b a b a 12

122

1成立.

命题2 若级数21n

i i a =∑与21n

i i b =∑收敛，且对n N ?∈有2

2

2111n n n

i i i i i i i a b a b ===??≤ ???∑∑∑，则对定义在

[],a b 上的任意连续函数()(),f x g x 有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f b

a b a b a ???≤??

? ??222

. 证明 因为函数()(),f x g x 在区间[],a b 上连续，所以函数()f x 与()g x 、()()2

2,f

x g x 在

[],a b 上可积，将[],a b 区间等分，取n 每个小区间的左端点为i ξ，由积分的定义得

()()()()

()()()()1

1

22221

1

lim ,lim lim ,lim n

n

b

b

i

i

a

a

x x i i n

n

b

b

i i a

a

x x i i f x dx f x g x dx g x

f x dx f x

g x dx g x

ξξξξ→∞

→∞

==→∞

→∞

======∑∑??∑∑?

?

令()()2

2

22

1

11

,i a f

b

g ξξ==则21

n i i a =∑与21

n

i i b =∑收敛，由柯西不等式得

)()()()()()22112

2211lim lim n n i i i i n

n

i i i x x i i x f x g x x f x g x ξξξξξ==→∞→∞==?????

≤? ????????

?????≤? ???

?????

∑∑∑∑

),2,

,,0,n p ?等号成立的充分必要条件是=λb a p i k=1,2,,n,),2,

,n .

我们知道，柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，它在不同的领域有着不同柯西不等式在初等数学和高等数学中有着不

()1n +

+-()()22211212lg

x

x

x x x x

n an n an +

+-+++

+-+≥

()()2211212

x

x

x x x x

n an n an +

+-+++

+-+≥

()()2

22+

+11+212lg x

x

x

x x x

n an n an ??

-+++-+≥?

?????

,

,n a 为互不相等的正整数，求证：对于任意正整数211

12

n a n n

++

≥+++. 由柯西不等式得

12

222111

1++12n

n a a a a n n a a a a ??????≤++++++? ? ??????

? 2

n a 为互不相等的正整数

111n a ++≥++121

1111211112n

n n n

a a a +++?++≥+++?

?+++ 21112

n a n n

++

≥+++. ()01,2,

,i n ≥=，证明

)n

n n a ?++ ∑

∑

,,n x ，有 )()()2

2

22212111n n x x x x +

+++

+≥++

+

)n a ++

)()()222

2

222

1212n n n n a b a a a b b b +

+≤++

++++

()()2

22

222

1212n n n n a b a

a a

b b b ++≤

++

++++

如将上式左边看做一个函数，而右边值确定时，则可知1122n n a b a b a b ++

+的最大值与最小

)()2

222

12n n a b b b +

++++与()()2

2

222112n n a

a b b b -+

+++

+

且取最大值与最小值的充分必要条件是

12

n

a a a

b ===

. 反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，则可

)(21sin ++

,2,,n均在

[9]P. Cerone. Refinements of some reverses of Schwarz's inequality in 2-inner product spaces.anapplications for integrals. [J].J. Indones. Math. Soc,2006,12(2).

[10]Sever S. Dragomir. Reverses of the Schwarz inequality generalizing a Klamkin--McLenaghan result. [J].Bull. Aust. Math. Soc.2006,73(1).

[11]Jean Dieudonn\'e. On some applications of the Schwarz lemma. (Sur quelques applications du lemme de Schwarz.). [J].C. R. 190, 716-718 (1930).1930.

[12]Kostadin Trencevski. On a generalized $n$-inner product and the corresponding Cauchy-Schwarz inequality.. [J].JIPAM, J. Inequal. Pure Appl. Math.,2006,7(2).

The application and popularization of Cauchy inequality

Abstract：T his paper mainly introduces several famous inequalities -- Cauchy the inequality proof method and its application in elementary mathematics problem solving. At the same time, the promotion in other fields are briefly discussed, and some problems in the middle school mathematics teaching are discussed, the application of Cauchy inequality in high school mathematics problem solving in the extensive forensics and proved, which affirmed its importance in high school mathematics learning .

Keyword：Cauchy inequality; the value function; trigonometric function to prove inequality teaching