Banach空间上凸集的k凸性
泛函分析知识点
泛函分析知识点 知识体系概述 （一）、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子 1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得?x,y,z ∈X,下列距离公理成立： （1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0?x=y; （2）对称性：d(x,y)=d(y,x); （3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y); 则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ） 2.几类空间 例1 离散的度量空间 例2 序列空间S 例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X) 例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l 2 第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球 定义 设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义 U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε} 为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限 定义 若{x n }?X, ?x ∈X, s.t. ()lim ,0n n d x x →∞ = 则称x 是点列{x n }的极限. 3. 有界集 定义 若()(),sup ,x y A d A d x y ?∈=<∞，则称A 有界 4. 稠密集 定义 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ?,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。 5. 可分空间 定义 如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。 第三节 连续映射 1.定义 设X=(X,d),Y=(Y , ~ d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任 意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足 ()0,d x x δ < 的x ，有 ()~ 0,d Tx Tx ε <，
泛函分析部分知识点汇总
度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离， 使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。 泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范 线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。 一、度量空间的进一步例子 1、度量空间 设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y) 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1° 的充要条件为x=y 2° 对任意的z 都成立， 则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空 间。x 中的元素称为点。 2、常见的度量空间 （1）离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称 为离散的度量空间。 （2）序列空间S 令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点 令 称 为序列空间。 （3）有界函数空间B(A ） 设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A) 中任意两点x,y ，定义 （4）可测函数空间 设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度， 若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。令 （5）C[a,b]空间 令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意 两点x,y ，定义 二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间 1、收敛点列 设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列 是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。 收敛点列性质： （1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯 一的。 （2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。 (,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠?=?=?(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()| f t g t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-?(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x
最新泛函分析考试题集与答案
泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若
0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
为什么要开发地下空间,(城市)地下空间发展的重点
中国城市地下空间开发利用现状评价和前景展望 城市地下空间开发数量快速增长，体系不断完善，在我国一些经济实力较强的城市已初具规模，地下空间利用对于解决城市发展中出现的建设用地紧张、交通拥堵、生态环境恶化等“城市综合症”，对提升城市整体发展质量具有重大意义。伴随着城市中心区的开发、旧城改造以及地铁、隧道、共同沟等大型基础设施的建设，地下空间开发进入一个加速期，地下空间开发建设将成为城市建设的重要领域，正在得到各级政府自上而下的普遍重视。 中国城市地下空间开发利用在功能上以地下交通为主流： 城市轨道交通建设速度已居世界首位；城市地下快速道路建设 已经起步并将加速发展；城市地下物流系统正在研究；特大城 市和大城市地下空间专项规划已经和正在普遍开展；很多城市中心区结合改造和新区建设已经编制和正在编制详细规划；城 市大型地下综合体的建设已经成为许多大城市地下空间开发利用的亮点，并达到了国际先进水平。 大型城市地下综合体建设项目多、规模大、水平高。许多城 市结合地铁建设、城市改造和新区建设，建设了规模巨大、功能综合、体系完整的地下综合体，集交通、市政、商业于一体，内部环境优越，地上地下协 调一致。1、我国现代城市地下空间的发展源于人防工程，至20世纪 末人防工程仍是城市地下空间开发利用的主体；2、人防工程的发展为城市地下空间的综合开发利用积累 了经验、技术和人才；3、进入21世纪，城市地下空间的开发利用已逐步转入地铁建设的新时代； 4、城市交通隧道与地下停车场的建设取得巨大成就隧道建设举世瞩目 近年来随着中国改革开放进程的加快，城市现代化建设快 节奏向前推进，拥挤的交通给人们的生活带来诸多不便，许多城市为改善城市环境质量，解决城市交通拥挤，相继修建了许多隧道。这其中既有 穿越城市中心地带的城市快速路下穿隧道，也有多山城市中的 穿山隧道。2002年中国公路隧道的通车里程比1979年增长了13 倍，已成为世界上隧道最多、最复杂、发展最快的国家。 5、城市地下空间的规划编制工作取得新进展； 6.大型城市地下综合体建设项目多、规模大、水平高 中国许多城市结合地铁建设、旧城改造、新区建设建设大 型城市地下综合体，提高土地集约化利用水平，解决城市交通 和环境等问题，同时也塑造了城市新形象。 在城市地下空间规划方面，虽然国家尚未制定统一的地下 空间规划编制规范，但中国许多城市对城市地下空间规划的编 制进行了有益的探索。 二、前景展望 21世纪初，中国经济将持续稳定增长，城市化水平不断提 高，特别是当前中国政府提倡了建设资源节约型环境友好型社 会的要求，因此中国城市地下空间开发利用将越来越得到重 视。到2020年中国不仅将成为世界城市地下空间开发利用的大 国，也将成为世界城市地下空间开发利用的强国。
地下空间的开发与利用
地下空间的开发与利用 摘要：城市地下空间的开发利用已经成为当今世界性的发展趋势，并成为衡量一个城市现代化的重要标志。本文将从开发利用的目的、动因入手，结合国外的先进经验及我国现阶段的开发利用情况，分析具体的矛盾问题，总结未来建设的总体趋势。 关键词：地下空间开发利用规划趋势 正文：大规模地开发利用城市地下空间，应该是从1863年英国伦敦建设成的世界第一条地铁开始。在迄今为止的一百多年中，下空间的开发利用从大型建筑物向地下的自然延伸，发展到复杂的地下综合体(地下街)，再到地下城(与地下快速轨道交通系统相结合的地下街系统)，并在f日城的改造再开发中发挥了重要作用。同时地下市政设施也从地下供、排水管网发展到地下大型能源供应系统，地下大型给、排水及污水处理系统，以及地下综合管线廊道(共同沟)。在地下空间利用规划方面，从专项规划逐步形成系统规划，在一些地下空间利用较早和较为发达的国家，地下空间利用规划正从城市中某个区域的综合规划，走向整个城市和某些系统的综合规划。地下空间的开发利用越来越引起人们的关注与重视。 一、开发利用地下空间的目的与动因 1．现代城市空间发展方向之一是向地下延伸。地下空间开发利用与地上空间开发利用相比有其独到之处，但地下空间建设成本高，工期长，难于利用太阳光及天然景观，方向性感官差。
而且一经建成后，对其改造和改建的难度相当大，单从这一点远不及地上空间的可逆性大。因此，人们对在地下工作和生活抱有一种主观上的偏见。随着我国经济的高速发展，城市化水平正在快速提高，城市人口激增，城市规模不断扩大，交通拥堵，环境污染加重，用地更加紧张，城市基础设施包括
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用 学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间n R（有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d()与之对应，而且这一对 应关系满足下列条件： 1°d()≥0 ，d()=0 ?x=y（非负性） 2°d()= d() （对称性） 3°对?z ，都有d()≤d()() （三点不等式） 则称d()是x、y之间的度量或距离（或），称为 ()度量空间或距离空间()。 （这个定义是证明度量空间常用的方法）
注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d()，只要 满足1°、2°、3°都称为度量。这里“度量”这个名 称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描 述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被 认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个 集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为 (X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观 起见，今后称度量空间()中的元素为“点” ，例如若 x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间()时可以省略度量函数d ，而称“度 量空间X ” 。 1.1举例 1.11离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点∈X ，令 ()1x y d x y =0x=y ≠??? ，当，，当，则称（X ，d ）为离散度量空间。 1.12 序列空间S ：S 表示实数列（或复数列）的全体，d()＝1121i i i i i i ?η?η∞=-+-∑； 1.13 有界函数空间B(A)：A 是给定的集合，B(A)表示A 上有界
人防地下空间开发的重要性和必要性
唐山市应加快地下空间开发建设步伐 一、开发建设的重要性和必要性 唐山位于环渤海经济圈中心地带，是首都战略防护的东大门，是国家确定的二类人民防空重点城市，战略位置十分重要。随着唐山科学发展示范区和人民群众幸福之都建设的快速推进，唐山湾开发建设大规模实施，唐山市土地资源日益紧张，向地下要空间，推动城市建设地上地下立体发展，是解决城市人口、环境、资源难题，实现城市可持续发展的有效途径。 目前，我市地下空间开发建设还没有形成规模，形成体系，这与建设唐山大都市极不相称。借鉴其它大城市建设的经验，我们认为：应充分利用城市绿地、广场，开发建设规模较大的单建式人防工程，提高我市综合防护能力。同时，地下空间的开发对推进我市文化名城、经济强城、滨海新城、宜居靓城建设，构建资源节约型、环境友好型和谐社会意义重大。 开发人防地下空间有很多好处：一是可以有效缓解目前拥堵的交通；二是可以扩大市民的就业；三是可以增加政府财政税收；四是可以节约城市用地；五是可以完善城市功能，提升城市品位。目前，市人防办委托有关部门编写了《唐山市人防工程建设规划(报批稿)》。同时，为推动城市地下空间的开发建设，与市规划局共同编制了《城市中心区地下空间开发规划》。按照分步实施的要求，完成了中心广场绿地景观设计方案和《百货大楼区域人防与地下空间控制性详细规划》。总体按照“一纵，五片，以线串面”
的布局分步实施，以百货大楼周边主要干道地下商业街为主轴，同时向南北两侧辐射，使之与各单独开发的地下空间或附建设地下室相连贯通，形成真正意义上的地下商业街网。建成后，将为市民提供一个集休闲、娱乐、餐饮、购物、观光为一体的现代化商务中心，进一步提高该区域的集散能力和土地综合利用效率，将带来良好的战备效益、社会效益和经济效益。 二、希望市委、市政府给予大力支持 地下空间开发建设，政府不用出资金，工程建设全部由开发商投资建设，但大规模开发地下空间，离不开市委、市政府的高度重视和大力支持，需要领导运筹帷幄，高瞻远瞩，科学决策，积极推进。同时，需要给予人防地下空间开发的政策支持和优惠待遇。尤其在机动车道下搞人防工程，建设过程中，得断交几个月，会给车辆通行和群众出行带来诸多不便，这需要市领导统一协调，有关单位密切配合。为此，提出以下建议：一是建议市政府尽快成立项目建设协调领导小组；二是建议市领导牵头组织各部门尽快拿出可行性评估报告；三是建议尽快组织项目招投标，促成项目落地开工；四是建议加大宣传力度，耐心细致地做好附近商户的思想工作。 唐山市人民防空办公室 二○○九年十二月一日
距离空间泛函分析第四章习题第一部分(1-18)
第四章习题第一部分(1-18) 1. 在1中令1(x , y ) = (x y )2，2(x , y ) = | x y |1/2，，问1, 2 是否为1上的距离 [解] 显然1, 2满足距离空间定义中的非负性和对称性． 但1不满足三角不等式：取点x = 1, y = 0, z = 1，则 1(x , z ) = 4 > 2 = 1(x , y ) + 1(y , z )，所以1不是 1 上的距离。 而x , y , z 1 ， 2 (x , y ) = ||||2||||||||||y z z x y z z x y z z x y x -?-+-+-≤-+-≤- ||||)||||(2y z z x y z z x -+-=-+-==2 (x , z ) + 2 (z , y )； 所以2是1上的距离． 2. 设(X , )是距离空间，令 1 (x , y ) = n y x ),(ρ，x , y X ．证明(X , 1 ) 也是距离空间． [证明] 显然1满足距离空间定义中的非负性和对称性， 故只需证明1满足三角不等式即可． 实际上x , y , z X ，n n y z z x y x y x ),(),(),(),(1ρρρρ+≤= n n n n n y z z x n z y x M y z z x )),(),((),,,(),(),(ρρρρ+=++≤ ),(),(),(),(11y z z x y z z x n n ρρρρ+=+=． 3. 设(X , )是距离空间，证明 | (x , z ) (y , z ) | (x , y )，x , y , z X ； | (x , y ) (z , w ) | (x , z ) + (y , w )，x , y , z , w X ． [证明] x , y , z , w X ，由三角不等式有 (x , y ) (x , z ) (y , z ) (x , y )，故第一个不等式成立． 由第一个不等式可直接推出第二个不等式： | (x , y ) (z , w ) | | (x , y ) (y , z ) | + | (y , z ) (z , w ) | (x , z ) + (y , w )． 4. 用Cauchy 不等式证明(| 1 | + | 1 | + ... + | n | )2 n (| 1 |2 + | 1 | 2 + ... + | n |2 )． [证明] 在P159中的Cauchy 不等式中令a i = | i |，b i = 1，i = 1, 2, ..., n 即可． 5. 用图形表示C [a , b ]上的S (x 0, 1)． [注] 我不明白此题意义，建议不做． 6. 设(X , d )是距离空间，A X ，int(A )表示A 的全体内点所组成的集合．证明int(A )是开集． [证明] 若A = ，则int(A ) = ，结论显然成立． 若A ，则x A ，r > 0使得S (x , r ) A ． 对y S (x , r )，令s = r d (x , y )，则s > 0，并且S (y , s ) S (x , r )
泛函分析度量空间知识和不动点的应用
泛函分析度量空间知识和不动点的应用 第七章度量空间和赋范线性空间知识总结 一、度量空间的例子 定义：设X 为一个集合，一个映射d ：X ×X →R 。若对于任何x,y,z 属于X ，有 （I ）（正定性）d(x,y ）≥0，且d(x,y)=0当且仅当 x = y ； （Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x ）； （Ⅲ）（三角不等式）d(x,z ）≤d(x,y)+d(y,z ） 则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。称偶对（X ，d ）为一个度量空间，或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。根据定义引入度量空间有离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间、C 【a ，b 】空间、2l 空间，这6个空间是根据度量空间的定义可证它们是度量空间，在后面几节中给出它们相关的性质。 二、度量空间中的极限，抽密集，可分空间： 证明极限有二种方法： 1、定义法：设{}n x 是（X ，d ）中点列，如果存在x ∈X ，是lim (,)n x d x x →∞ =0，则称点列{} n x 是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。 2、M 是闭集是充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。即若n x M ∈，n=1、，2……， n x x →，则x M ∈。 给出n 维欧氏空间、C[a,b]序列空间、可测函数空间中点列收敛的具体意义，由这些系列例子可以看到，尽管在各个具体空间中各种极限概念不完全一致，所以我们引入度量空间中的稠密子集和可分空间的概念，根据定义可得出n 维欧氏空间n R 是可分空间，坐标为有理数的全体是n R 的可数稠密集，离散度量空间X 可分的充要条件为X 是可数集。l ∞ 是不可分空间。 三、连续映射 证明度量空间的连续映射有四种方法： 1、定义法：设X=（X ，d ），Y=（Y ，d ）是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射，0 x X ∈，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ 0，使对X 中一切满足d （x ，0x ）δ 的x ，有 (,)d Tx Tx ε ，则称T 在0x 连续。 2、对0Tx 的每个ε-领域U ，必有0x 得某个δ—邻域V 使TV ?U ，其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。 3、定理1：设T 是度量空间（X ，d ）到度量空间（Y ，d ）中的映射，那么T 在0 x X ∈连
开发地下空间的重要性
开发地下空间的重要性 随着社会的发展，城市化进程的加快，越来越多的建筑拔地而起，大厦密集，城市道路四通八达，但是于此同时，问题也接踵而来：用地紧张、生存空间拥挤、交通阻塞、生态失衡、环境恶化……这给人们居住生活带来很大影响，也制约着经济与社会的进一步发展。在这种情况下，人们转向对城市地下空间的开发利用。 那么，我们可以利用的地下空间资源到底有多少呢？一般说来，地下空间的资源就是城市总面积乘上开发的深度，再乘上４０％的可开发系数，就是可开发的地下空间的资源。这个量是很大的，一般要达到一个城市的已有空间容量的数倍。有人提出来，地下空间开发造价很高。地下建设的造价确实比地面造价要高，一般高三到四倍，最少也在两倍以上。比如东京地下商业街的造价，每平方米平均是２５～９０万日元，是地面同类型建筑的三到四倍。但是地面建设要加上土地的价值－－每平方米３００万日元的土地费，这样地下建筑的造价反而比地面建筑要低，仅为后者的１／４到１／１２。因为地面拥挤，地面土地的价格就猛涨，这个时候来开发地下空间的话，反而便宜。 虽然地下空间的可利用资源很多，但是仍有很多人对地下空间的利用产生质疑，下面我将从3方面论述开发地下空间的重要性 一、从城市地下空间开发利用的利处看其必要性。 大力开发利用城市地下空间，对于解决城市用地紧张、交通拥挤、环境恶化等城市化进程中的诸多难题，实现城市可持续发展具有重要的战略意义。 首先是对于缓解土地紧张方面：在当今世界，人们日益增长的物质生活需求与自然资源的渐趋枯竭，成为制约人类社会发展的主要矛盾，在城市发展上则表现为人们对城市容量的需求与土地资源缺乏之间的矛盾。这就是所谓的生存空间危机。 地上空间和土地的面积成正比关系。在人口稠密的城市，地上空间往往被垒加起来使用，如多层立交桥。很多城市设施的建设都在争地。越是人口密度大的地方，这种矛盾越显突出，地价也越来越贵，尤其是在旧城区，解决这种矛盾的办法是“发展地下空间”。地下空间开发利用，可使城市的部分功能由地上转入地下，实现由“二维”向“三维”转变，能够极大地提高城市土地的空间利用率，缓解城市发展与土地资源紧张的矛盾。
泛函分析习题1
线性与非线性泛函分析◇ - 1 - 习题1 1.(张燕石淼)设在全体实数R 上，定义两个二元映射2(,)()x y x y ρ=-和 (2) (,)d x y ，证明(1)(,)ρR 不是度量空间；(2)(,)d R 是度量空间． 2.(范彦勤孙文静)设X ρ(,)为度量空间，:f ∞→∞[0,+][0,+]为严格单调函数，且满足 ,x y f ?∈∞[0,+],(0)=0,()()()f x y f x f y +≤+，令(,)((,))d x y f x y ρ=，证明X d (,)为度量空间． 3. (武亚静张丹)设X d (,)为度量空间，证明,,,x y z w X ?∈有 (,)(,)(,)(,)d x z d y w d x y d z w -≤+． 4.(崔伶俐杨冰)设全体实数列组成的集合为{}123(,,,....,...)|,1,2,...n i X x x x x x R i =∈=，对于 123(,,,....,...)n x x x x x =及12(,,...,...)n y y y y =∈X ，定义11(,)12k k k k k k x y d x y x y ∞ =-=+-∑ ．证明 X d (,)为度量空间． 5.设()X n 为0和1组成的n 维有序数组，例如(3){000,001,010,011,100,101,110,111}X =，对于任意的,()x y X n ∈，定义(,)d x y 为x 和y 中取值不同的个数，例如在(3)X 中，(110,111)1d =， (010,010)0d =(010,101)3d =．证明((),)X n d 为度量空间． 6.(苏艳丁亚男)设X d (,)为度量空间， A X ?且A ≠φ．证明A 是开集当且仅当A 为开球的并． 7.(张振山赵扬扬)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间．那么映射:f X Y →是连续映射当且仅当Y 的任意闭子集F 的原象1()f F -是X 中的闭集． 8.(王林何超)设{}n x 与{}n y 是度量空间X d (,)的两个Cauchy 列．证明(),n n n a d x y =是收敛列． 9.(李敬华孙良帅)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间，在X Y ?上定义度量 112212121 ((,),(,)){[(,)][(,)]}p p p x y x y d x x d y y γ=+，其中1122(,),(,)x y x y X Y ∈?，1p ≥为正数．证明 X Y ?是完备空间当且仅当X d (,)和Y ρ(,)均是完备空间． 10.(李秀峰钱慧敏)设X d (,)是完备的度量空间，{}11n G x G ∈是X 中的一列稠密的开子集，证明1n n G ∞ = 也是X 中的稠密子集． 11.(王胜训闫小艳)设n A ?R ，证明A 是列紧集当且仅当A 是有界集． 12 (冯岩盛谢星星)设X d (,)为度量空间，A X ?且A φ≠．证明 （1）{|,(,)}x x X d x A ε∈<是X 的开集． （2）{|,(,)}x x X d x A ε∈≤是X 的闭集，其中0ε>．
泛函分析第七章 习题解答125
第七章习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明（1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。 证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是开集 显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明（1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=
论中国城市开发地下空间的必要性
论中国城市开发地下空间的必要性 摘要：21世纪，中国城市化越发成熟，城市建筑群的进一步拓展压缩了地面空间，城市日益拥挤。在超高建筑技术尚未普及的现今，可利用土地面积的缩水极 大地限制了城市的发展，同时还带来一系列问题，例如交通拥挤、用地挤密、城 市功能恶化等。如何缓解土地面积与我国发展之间的尖锐矛盾，如今比较现实可 行的方法便是开发和利用地下空间。 关键词：地下空间利用；城市发展；矛盾 一、引言 所谓地下空间，泛指属于地表以下，由于某种或多种目的而修建的功能性地 下建筑空间。按其功能可以广泛地分为地下居住空间、地下公共空间、地下交通 空间和地下储库等等。 地下空间的利用与人类的文明息息相关，早早在纪元前3000年的新石期时代，人类便已开挖洞穴以供食住。往后的文明史里，无论是埃及金字塔的地下室，古巴比伦的水下隧道，还是近代欧洲文明矿石开采矿井，皆能看到地下空间利用 的身影。在80年代后期，国际隧协发出“开始人类新的穴居时代”的倡导，在全球范围里得到广泛的响应。可以说，大力开发利用地下空间，是人类发展的必然需求，是现代城市环境的必然产物。 二、现今中国开发地下空间的背景 30多年改革开放以来，中国的城市化进程突飞猛进，截至 2014年，我国城 市化率已经从1979年的17.9%增到54.77%。大量人口涌入城市，城市人口密度 不断上涨。据统计显示，2014年，上海城市人口密度达到1270.22人/km2，北京 城市人口密度达到1067人/km2，其他的一线城市如天津、重庆、武汉等也都在750人/km2以上。土地面积是有限的，城市面积的扩张并不能持续高效的进行下去，但是人口向城市聚集却仍是21世纪的大趋势。可以预见，中国城市人口密 度最终将会以正增长的比例持续上升，城市人均用地将进一步缩水。 人均用地的减少和城市的日益拥挤带来的问题已经逐渐浮现。交通方面：加 剧路况堵塞、乘车停车愈加困难和造成局部尾气过浓；建筑房屋方面：建筑过密 造成采光不良、地价房价居高不下和房屋开发前景受限等；城市生活方面：交通 噪音干扰居民生活、城市繁杂影响人们心态和造成居民上班出行不便等；耕地限 制方面：城市扩张越多，对耕地的占用越多，为保证基本的人均耕地，势必会对 超大城市的扩张造成阻碍；绿化方面：交通和房屋的需求与发展城市绿地的矛盾 重重，无法腾出更多空间用于美化、绿化城市，城市环境问题面临更大挑战；安 全方面：在城市土地如此稀缺的年代，城市地表面积已经满足不了建设防灾防空 设施的要求。但是在人口密集的城市，疏散通道、避难场所和防空洞已然是必不 可少的设施；能源消耗方面：建筑房屋越建越高，设施道路越建越密，技术维修 成本过高与能源消耗加剧，远期投资增大，越来越不符合我国城市科学发展观的 初衷。 出行、居住、安全、环境等基本城市功能已经因人均用地的缩减而受到影响，城市化发展需求已经给有限的地表资源造成巨大的压力，限制城市人口数量或者 城市盲目“再扩张”终究只是饮鸩止渴，要从根本上缓解上述矛盾，就必须解决最 基础的问题——即城市土地资源稀缺。开发利用地下空间为治愈这些“城市病”提 供了可能。 三、开发地下空间的重大作用
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用 学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、 度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y) 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （非负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性） 3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式） 则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空 间或距离空间(metric space )。 （这个定义是证明度量空间常用的方法） 注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为 度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。 1.1举例
泛函分析试卷(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的
C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l，则有11 p q +的值为（）. A. 1- B.1 2 C. 1 D. 1 2 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l的共轭空间是（）。 4、设X按内积空间
地下空间开发利用的前景展望
电子信息学院江燕婷 2011301200025 地下空间开发利用的前景展望 一、地下空间概述 所谓地下空间是指在岩层或土层中天然形成或人工开挖形成的空间。天然形成的地下空间有：喀斯特溶洞、熔岩洞、风蚀洞、海蚀洞等；人工形成的地下空间有：各种矿洞、工程建设需要开凿的地下洞室（如隧道、厂房等）。 二、开发利用城市地下空间的重要性 众所周知，我国人多地少，是个人均资源小国，因此我们应当加倍珍惜我们的土地资源。改革开放以后，我国经济得到了高速发展，促进了城市化水平的迅速提高，。大规模城市化的结果不仅占用了大量土地资源，造成耕地损失，使得城市人口过度饱和，城市显得更为拥挤，交通堵塞，绿地减少，城市环境变差，从而导致了城市综合症的出现，城市地下空间的开发利用也就显得有特别重要的意义。 地下空间已被视为人类所拥有、迄今 尚未被开发的一种宝贵自然资源，开发利 用地下空间是开拓新的生存空间较为现 实的途径。这一点在世界人口不断增长、 而陆地上适于生存的土地正在日益减少 的背景下，对于人类的生存和发展具有重 大意义。在目前条件下，关于利用海洋或 太空发展所谓的“海底城市”或“太空城 市”的方案不但经济上行不通，而且在其 他各个方面的条件也还不具备，因而是不 切实际的。国内外的实践告诉我们：充分 利用城市地下空间创建“地下城市”是切 实可行的。 国外有人估计在30m深度范围内开发 相当于城市总面积1／3的地下空间，就等 于全部城市地面建筑的容量。有的专家估 计一个城市合理开发的地下空间资源量是城市总用地面积乘上合理开发深度所得体积的40％，如果合理开发深度100一150米，当城市平均容积率为80％时，将扩大城市总容量26—40倍，这将是一个巨大而丰富的空间资源。地下铁道等地下交通系统不仅运量大，速度快，安全准时，并且占地面积少，污染少，减少了城市交通事故发生率。如德国慕尼黑使用地铁后，车祸率下降了27．1％，死亡率下降了40．7％。美国纽约市地铁每天接待510万人次，每年接近20亿人次，纽约中心商业区有五分之四的上班族都采用这种方式；市中心的曼哈顿地区，常住人口l0万人，但白天进入该地医人口近300万人，多数是乘地铁到达的。地铁具有经济、方便、高效率等特点，而且四通八达不受气候影响的地下步行道系统，很
泛函分析中的度量空间
泛函分析主要内容 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 1、度量空间 定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有 （I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y； （II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)； （III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z） 则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 例：实数带有由绝对值给出的距离函数d(x, y) = |y?x|，和更一般的欧几里得n维空间带有欧几里得距离是完备度量空间 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔
伯特空间。 例：任何赋范向量空间通过定义d(x, y) = ||y?x|| 也是度量空间。 (如果这样一个空间是完备的，我们称之为巴拿赫空间)。例：曼哈顿范数引发曼哈顿距离，这里在任何两点或向量之间的距离是在对应的坐标之间距离的总和。 3、希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 4、巴拿赫空间 巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。
城市地下空间
城市地下空间 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
简述土木工程与城市地下空间的联系 大二上学期我有幸选修选到了城市地下空间这门课程，主讲的是一位业务繁忙的教授（猜测），但是他讲的每一节课都是十分生动的，也主动让我们结合实际环境去认识城市地下空间。比如前几个星期布置的课外作业就让我们每一个学生都充分认识到了何为城市地下空间。 那么何为城市地下空间首先当仁不让的是地铁！现如今虽然中央叫停了几个市的地铁修建，但是修建地铁的热情并没有因此减弱。第二是地下商业街，它都有一个入口设计，消除了地下空间对人们心理的影响。第三，地下停车场。随着地上空间的开发完全，将停车场移动到地下就很好的解决了土地紧张的问题。第四，地下公路、地下隧道、海底隧道。这些都是真实存在的事物，架起了地域的联系。以上都是生活中常见的一些地下空间，当然还有一些不常见的如：军事基地、用于储存石油、食物的地下超大洞室等等。所有的这些共同构成了我们的城市地下空间。 我们为什么要发展城市地下空间根据我国国情：我国人口基数大，人均占有资源少。人口密集度大，形成地表空间有限问题。在这些有限条件下，就造成我们得向地下发展的趋势。尤其是现代，人口向城市集中，使城市人口密集、城市功能恶化，为了保持功能及交通所需的空间，各国除了利用综合的政治、经济措施外，也开启求助于地下空间。
城市地下空间工程专业就培养出了具有坚实的数学、力学等自然科学基础和人文社会科学基础，掌握城市地下工程勘察、规划、工程材料、结构分析与设计、机械基础及工程机械、电工技术、工程测量、施工组织和工程概预算、工程监理等方面的基本技术和知识的人才同时也具备从事城市地下空间工程的规划、设计、研究、开发利用、施工和管理能力，具有超强的计算机应用能力和较高的外语水平的专业人才。有了他们才使得我们的城市地下空间有了保障。再来看一下土木工程专业。它培养掌握各类土木工程学科的基本理论和基本知识，能在房屋建筑、地下建筑、道路、隧道、桥梁建筑、水电站、港口及近海结构与设施。等领域从事规划、设计、施工、管理和研究工作的高级工程技术人才。我们可以发现在土木工程专业中包含了地下建筑这一领域，就让我们来看下它，他们有何不同。 土木工程涵盖的个个方面十分广泛，是在它发展的过程中人们意识到了不同种类的工程需要不同方面的专业人才，所一诞生了土木工程中的各个方向。在大的土木工程方向中又可以将城市地下空间设置为一个与路桥、房屋建筑等相提并论的方向。但是，城市地下空间工程既有自身特定的内涵,又是多个学科的结合点,具有交叉性、边缘性的特征。传统的土木工程专业,主要注重地面建筑、桥梁、交通、岩土等工程,没有真正以城市地下空间利用为主轴的系统的专业建制。城市地下空间工程涉及到城市规划、地下建筑学、地下结构、工程地质、水文地质和地下水力学、岩土力学、环境科学、地下通风以及其它相关的市政工程如城市交通等多领域、多学科。现有的城市规划、土木工程以及工程设计和管理人员没有受过