支持向量机算法学习总结
题目：支持向量机的算法学习
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指导教师：、
日期：2012年6 月20日
支持向量机的算法学习
1. 理论背景
基于数据的机器学习是现代智能技术中的重要方面，研究从观测数据 (样本) 出发寻找规律，利用这些规律对未来数据或无法观测的数据进行预测。迄今为止，关于机器学习还没有一种被共同接受的理论框架，关于其实现方法大致可以分为三种：
第一种是经典的(参数)统计估计方法。包括模式识别、神经网络等在内，现有机器学习方法共同的重要理论基础之一是统计学。参数方法正是基于传统统计学的，在这种方法中，参数的相关形式是已知的，训练样本用来估计参数的值。这种方法有很大的局限性，首先，它需要已知样本分布形式，这需要花费很大代价，还有，传统统计学研究的是样本数目趋于无穷大时的渐近理论，现有学习方法也多是基于此假设。但在实际问题中，样本数往往是有限的，因此一些理论上很优秀的学习方法实际中表现却可能不尽人意。
第二种方法是经验非线性方法，如人工神经网络(ANN。这种方法利用已知样本建立非线性模型，克服了传统参数估计方法的困难。但是，这种方法缺乏一种统一的数学理论。
与传统统计学相比，统计学习理论( Statistical Learning Theory 或SLT) 是一种专门研究小样本情况下机器学习规律的理论。该理论针对小样本统计问题建立了一套新的理论体系，在这种体系下的统计推理规则不仅考虑了对渐近性能的要求，而且追求在现有有限信息的条件下得到最优结果。V. Vapnik 等人从六、七十年代开始致力于此方面研究[1] ，到九十年代中期，随着其理论的不断发展和成熟，也由于神经网络等学习方法在理论上缺乏实质性进展，统计学习理论开始受到越来越广泛的重视。
统计学习理论的一个核心概念就是VC维(VC Dimension)概念，它是描述函数集或学习机器的复杂性或者说是学习能力(Capacity of the machine) 的一个重要指标，在此概念基础上发展出了一系列关于统计学习的一致性(Consistency) 、收敛速度、推广性能(GeneralizationPerformance) 等的重要结论。
支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性(即对特定训练样本的学习精度，Accuracy) 和学习能力(即无错误地识别任意样本的能力)之间寻求最佳折衷，以
期获得最好的推广能力(Ge neralizat in Ability) 。支持向量机方法的几个主要优
点有：1.它是专门针对有限样本情况的，其目标是得到现有信息下的最优解而不仅仅是样本数趋于无穷大时的最优值；2.算法最终将转化成为一个二次型寻优问题，从理论上说，得到的将是全局最优点，解决了在神经网络方法中无法避免的局部极值问题；3.算法将实际问题通过非线性变换转换到高维的特征空间(Feature Space)，在高维空间中构造线性判别函数来实现原空间中的非线性判别函数，特殊性质能保证机器有较好的推广能力，同时它巧妙地解决了维数问题，其算法复杂度与样本维数无关；
在SVM方法中，只要定义不同的内积函数，就可以实现多项式逼近、贝叶斯分类器、径向基函数(Radial Basic Function或RBF)方法、多层感知器网络等许多现有学习算法。
2. 方法
SVM是从线性可分情况下的最优分类面发展而来的，基本思想可用图1的两
维情况说明。图中，实心点和空心点代表两类样本，H为分类线，H1、H2分别
为过各类中离分类线最近的样本且平行于分类线的直线，它们之间的距离叫做分
类间隔(margin )。所谓最优分类线就是要求分类线不但能将两类正确分开(训练错误率为0)，而且使分类间隔最大。分类线方程为xw + b = 0，我们可以对它进行归一化，使得对线性可分的样本集3,%门=1,…n,x? R d,*{4-1}，满足
y i[( w xj b] -1 _ 0,i =1, , n (1)
2
此时分类间隔等于2/||W|，使间隔最大等价于使I W I最小。满足条件⑴ 且使
^IWII2最小的分类面就叫做最优分类面，H1、H2上的训练样本点就称作支持向量。
利用Lagrange优化方法可以把上述最优分类面问题转化为其对偶问题，
即：在约束条件
(2a)
(2b)
和a j 丄0i = , n
F对ai求解下列函数的最大值:
max ' a i a j a j y j yjX X j）（3）
3
i 2i,j4
a i为原问题中与每个约束条件（1）对应的Lagrange乘子。这是一个不等式约束下二次函数寻优的问题，存在唯一解。容易证明，解中将只有一部分（通常是少部分）a 不为零，对应的样本就是支持向量。解上述问题后得到的最优分类函数是
f n* * 】
f (x) =sgn{(w x) b} =sgn ' a*y i(x x) b*
l i4 J
式中的求和实际上只对支持向量进行。b*是分类阈值，可以用任一个支持向量
（满足（1）中的等号）求得，或通过两类中任意一对支持向量取中值求得。
?? ?
图土1绘优超平面
Figure 2. i The Opiimai Hyperplane
对非线性问题，可以通过非线性变换转化为某个高维空间中的线性问题，在
变换空间求最优分类面。这种变换可能比较复杂，因此这种思路在一般情况下不易实现。但是注意到，在上面的对偶问题中，不论是寻优目标函数（3）还是分类函数⑷ 都只涉及训练样本之间的内积运算匕xj）。设有非线性映射:R d > H 将输入空间的样本映射到高维（可能是无穷维）的特征空间H中。当在特征空间H 中构造最优超平面时，训练算法仅使用空间中的点积，即门X j計X j ,而没有
单独的G X j出现。因此，如果能够找到一个函数K使得
K( x , X= P i( x「),这样，在高维空间实际上只需进行内积运算，而这种
内积运算是可以用原空间中的函数实现的，我们甚至没有必要知道变换①的形
式。根据泛函的有关理论，只要一种核函数K(x「X j)满足Mercer条件，它就对应某一变换空间中的内积。
因此，在最优分类面中采用适当的内积函数K(X j,X j)就可以实现某一非线性变换后的线性分类，而计算复杂度却没有增加，此时目标函数(3)变为：
n 1 n
max ' a j- —v a j aj^y j K^ X j) (5)
a
i 2
i,j 二
而相应的分类函数也变为
f n * *1
f(x)=sgn{(w x) b}=sgn ' x) b (6)
l i T J
这就是支持向量机。
这一特点提供了解决算法可能导致的“维数灾难”问题的方法：在构造判别函数时，不是对输入空间的样本作非线性变换，然后在特征空间中求解；而是先在输入空间比较向量(例如求点积或是某种距离)，对结果再作非线性变换。这样, 大的工作量将在输入空间而不是在高维特征空间中完成。SVM分类函数形式上类
似于一个神经网络，输出是s中间节点的线性组合，每个中间节点对应一个支持向量，如图2所示。
输出（决策规也h
r = sgn( y'a f)K(x b )
W ffL ?f J；
基f- s个支持向M x,申，…,-r f的菲
44* -kl -Ki r r lnr ft J \
输入向T. X= { J, 一
图2支持向量机示意图
函数K称为点积的卷积核函数，它可以看作在样本之间定义的一种距离。
显然，上面的方法在保证训练样本全部被正确分类，即经验风险Remp为0
的前提下，通过最大化分类间隔来获得最好的推广性能。如果希望在经验风险和
推广性能之间求得某种均衡，
在。这时，约束（1）变为
可以通过引入正的松弛因子i来允许错分样本的存
y i[(w x) +b] 一1 i 一0, i =1； ,n(7)
而在目标最小化—1 w
n
中加入惩罚项i，
id
这样，Wolf对偶问题可
以写成：Maximize:
max
a
n 1 n
' a -1 ' a j a j y i y j K(X j X j) (8) i
2
i,j 壬
s.t
n
' y i a i =o
i
(9a)
0 - a j - C i = 1, ,n(9b)
这就是SVM方法的最一般的表述。为了方便后面的陈述，这里我们对对偶问题的最优解做一些推导。
定义
n
(10)
w(a)二為y i a i (xj
i
(11)
F =w(a) (xj—y =為a j y j K(X j X j)沖
j
对偶问题的Lagrange函数可以写成：
1
L w(a) w(a)-' a -' 、冋? ' 叫(耳-C)為a i y i(12)
2 i i i i
3. SVM算法中目前的研究状况
由于SVM方法较好的理论基础和它在一些领域的应用中表现出来的优秀的推广性能，近年来，许多关于SVM方法的研究，包括算法本身的改进和算法的
实际应用，都陆续提了出来。尽管SVM算法的性能在许多实际问题的应用中得
到了验证，但是该算法在计算上存在着一些问题，包括训练算法速度慢、算法复
杂而难以实现以及检测阶段运算量大等等。传统的利用标准二次型优化技术解决
对偶问题的方法可能是训练算法慢的主要原因：首先，SVM方法需要计算和存储
核函数矩阵，当样本点数目较大时，需要很大的内存，例如，当样本点数目超过4000时，存储核函数矩阵需要多达128兆内存；其次，SVM在二次型寻优过程中要进行大量的矩阵运算，多数情况下，寻优算法是占用算法时间的主要部分。SVM方法的训练运算速度是限制它的应用的主要方面，近年来人们针对方法本身的特点提出了许多算法来解决对偶寻优问题。大多数算法的一个共同的思想就是循环迭代：将原问题分解成为若干子问题，按照某种迭代策略，通过反复求解子问题，最终使结果收敛到原问题的最优解。根据子问题的划分和迭代策略的不同，又可以大致分为两类。第一类是所谓的“块算法”(chunking algorithm )。“块
算法”基于的是这样一个事实，即去掉Lagrange乘子等于零的训练样本不会影响原问题的解。对于给定的训练样本集，如果其中的支持向量是已知的，寻优算法就可以排除非支持向量，只需对支持向量计算权值(即Lagrange乘子)即可。实际上支持向量是未知的，因此“块算法”的目标就是通过某种迭代方式逐步排除非支持向量。具体的作法是，选择一部分样本构成工作样本集进行训练，剔除
其中的非支持向量，并用训练结果对剩余样本进行检验，将不符合训练结果(一般是指违反KKT条件)的样本(或其中的一部分)与本次结果的支持向量合并成为一个新的工作样本集，然后重新训练。如此重复下去直到获得最优结果。
当支持向量的数目远远小于训练样本数目时，“块算法”显然能够大大提高运算速度。然而，如果支持向量的数目本身就比较多，随着算法迭代次数的增多，工作样本集也会越来越大，算法依旧会变得十分复杂。因此第二类方法把问题分解成为固定样本数的子问
题：工作样本集的大小固定在算法速度可以容忍的限度
内，迭代过程中只是将剩余样本中部分“情况最糟的样本”与工作样本集中的样本进行等量交换，即使支持向量的个数超过工作样本集的大小，也不改变工作样本集的规模，而只对支持向量中的一部分进行优化。固定工作样本集的方法和块算法的主要区别在于：块算法的目标函数中仅包含当前工作样本集中的样本，而
固定工作样本集方法虽然优化变量仅包含工作样本，其目标函数却包含整个训练
样本集，即工作样本集之外的样本的Lagrange乘子固定为前一次迭代的结果，而不是像块算法中那样设为0。而且固定工作样本集方法还涉及到一个确定换出样本的问题（因为换出的样本可能是支持向量）。这样，这一类算法的关键就在于找到一种合适的迭代策略使得算法最终能收敛并且较快地收敛到最优结果。
固定工作样本集的方法最早大概是由Osuna et al 提出的。其中，Edgar
Osunal等人介绍了一种具体的算法并对人脸识别问题进行了实验。将样本集分为两个集合B和N,集合B作为子问题工作样本集进行SVM训练，集合N中所有样本的Lagrange乘子均置为零。显然，如果把集合B中对应Lagrange乘子为零的样本i （即冷=0，L B）与集合N中的样本j （即：= 0，j B）交换，不会改变子问题与原问题的可行性（即仍旧满足约束条件）；而且，当且仅
当样本满足条件（F i - J y：_0时，替换后的子问题的最优解不变。于是可以按照以下步骤迭代求解：1.选择集合B，构造子问题；2.求子问题最优解：0, r B 及b，并置：0，j N ； 3.计算F j，j N找出其中不满足条件（R -「）y i _0 的样本j ,与B中满足:0的样本i交换，构成新的子问题。并且证明了这种迭代算法的收敛性，并给出了两阶多项式分类器在人脸识别问题中的应用结果。需要说明的是，文中没有说明集合B的大小是否改变。作者期望的是支持向量的数目非常少，当然可以固定B的大小，作者的意图正是如此。不过为此需要选择一个较大的B集合，这样看来，其效率可能还不如块算法。而且如果如果集合B不足以包括所有的支持向量，该算法没有提出改变B的大小的策
略，有可能得不到结果。前面提到，固定工作样本集方法的关键在于选择一种合适的换入换出策略。Joachims指出如果采用某种启发式的迭代策略将会提高算法的收敛速度。最近John C. Platt 提出SMO（ Sequential Minimal Optimization 或SMO算法。将工作样本集的规模减到最小------------------------------------------- 两个样本。之
所以需要两个样本是因为等式线性约束的存在使得同时至少有两个Lagra nge
乘子发生变化。由于只有两个变量，而且应用等式约束可以将其中一个用另一个表示出来，所以迭代过程中每一步的子问题的最优解可以直接用解析的方法求出来。这样，算法避开了复杂的数值求解优化问题的过程；此外，Platt还设计了一个两层嵌套循环分别选择
进入工作样本集的样本，这种启发式策略大大加快了算法的收敛速度。标准样本集的实验结果证明，SMO表现出在速度方面的良好性能。子问题的规模和迭代的次数是一对矛盾，SMO将工作样本集的规模减少到2, 一个直接的后果就是迭代次数的增加。所以SMO实际上是将求解子问题的耗费转嫁到迭代上，然后在迭代上寻求快速算法。但是，SMO迭代策略的思想是可以用到其他迭代算法中的，可见，SMO还有改进的余地。
SMO在实际应用中取得了较好的效果，但它也存在着一些问题。SMO算法每次
迭代都要更新B值，但是该值有可能是无法确定的（例如不存在0：：：冷：：：C的样本，尽管这种情况很少出现），这时SMO采用的方法是确定出B的上下界然后取平均值；另外，每一次迭代过程中的B值仅取决于上次迭代结果的两个变量的最优值，用这个B值判断样本是否满足迭代结果，这就可能存在某些达到最优值的样本却不满足KKT条件的情况，从而影响了该算法的效率。解决算法速度问题的另一个途径是采用序列优化的思想。这种方法主要目的是研究当出现新的单个样本时，它与原有样本集或其子集，或是原有样本集训练结果的关系，例如，它的加入对原有样本集的支持向量集有什么样的影响，怎样迅速地确定它对新的分类器函数的贡献等等。
4. 总结
支持向量机理论是一种新的模式识别方法，它是基于统计学习理论基础上的，它较好的解决了小样本学习的问题。和以往的一些机器学习方法相比，它具有较为完备的理论框架，能获得全局最小点以及较强的推广性，因此成为一种新兴的机器学习方法，具有良好的潜在应用价值和发展前景。而对算法的研究，包括算法本身的改进和算法的实际应用成为支持向量机理论一个重要问题之一。本文只对
现有的算法进行了描述与学习研究，希望以后对SVM学习算法进行研究并改进，期望的得到好的结论。
4.参考文献
[1] .邓乃扬，田英杰?数据挖掘中的新方法一支持向量机[M].北京：科学出版社, 2004.
[2] J.C.Burges.A Tutorial on Support Vector Machines for Pattern Recog niti on. Bell Laboratories, Luce nt Tech no logies. 1997.
[3] V.Vap nik. Nature of Statistical Lear ning Theory. Joh n Wiley and
Son s,I nc.,New York,i n preparati on.
[4] S.S. Keerthi et al. Improveme nts to Platt's SMO Algorithm for SVM Classifier Desig n.
(完整版)支持向量机(SVM)原理及应用概述
支持向量机（SVM ）原理及应用 一、SVM 的产生与发展 自1995年Vapnik (瓦普尼克)在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ，SVR)的方法用于解决拟合问题。SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面(注：一维空间为点；二维空间为线；三维空间为面；高维空间为超平面。)，但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解决多类分类的SVM 方法(Multi-Class Support Vector Machines ，Multi-SVM)，通过将多类分类转化成二类分类，将SVM 应用于多分类问题的判断：此外，在SVM 算法的基本框架下，研究者针对不同的方面提出了很多相关的改进算法。例如，Suykens 提出的最小二乘支持向量机 (Least Square Support Vector Machine ，LS —SVM)算法，Joachims 等人提出的SVM-1ight ，张学工提出的中心支持向量机 (Central Support Vector Machine ，CSVM)，Scholkoph 和Smola 基于二次规划提出的v-SVM 等。此后，台湾大学林智仁(Lin Chih-Jen)教授等对SVM 的典型应用进行总结，并设计开发出较为完善的SVM 工具包，也就是LIBSVM(A Library for Support Vector Machines)。LIBSVM 是一个通用的SVM 软件包，可以解决分类、回归以及分布估计等问题。 二、支持向量机原理 SVM 方法是20世纪90年代初Vapnik 等人根据统计学习理论提出的一种新的机器学习方法，它以结构风险最小化原则为理论基础，通过适当地选择函数子集及该子集中的判别函数，使学习机器的实际风险达到最小，保证了通过有限训练样本得到的小误差分类器，对独立测试集的测试误差仍然较小。 支持向量机的基本思想：首先，在线性可分情况下，在原空间寻找两类样本的最优分类超平面。在线性不可分的情况下，加入了松弛变量进行分析，通过使用非线性映射将低维输
支持向量机算法
支持向量机算法 [摘要] 本文介绍统计学习理论中最年轻的分支——支持向量机的算法，主要有：以SVM－light为代表的块算法、分解算法和在线训练法，比较了各自的优缺点，并介绍了其它几种算法及多类分类算法。 [关键词] 块算法分解算法在线训练法 Colin Campbell对SVM的训练算法作了一个综述，主要介绍了以SVM为代表的分解算法、Platt的SMO和Kerrthi的近邻算法，但没有详细介绍各算法的特点，并且没有包括算法的最新进展。以下对各种算法的特点进行详细介绍，并介绍几种新的SVM算法，如张学工的CSVM，Scholkopf的v-SVM分类器，J. A. K. Suykens 提出的最小二乘法支持向量机LSSVM，Mint-H suan Yang提出的训练支持向量机的几何方法，SOR以及多类时的SVM算法。 块算法最早是由Boser等人提出来的，它的出发点是：删除矩阵中对应于Lagrange乘数为零的行和列不会对最终结果产生影响。对于给定的训练样本集，如果其中的支持向量是已知的，寻优算法就可以排除非支持向量，只需对支持向量计算权值（即Lagrange乘数）即可。但是，在训练过程结束以前支持向量是未知的，因此，块算法的目标就是通过某种迭代逐步排除非支持向时。具体的做法是，在算法的每一步中块算法解决一个包含下列样本的二次规划子问题：即上一步中剩下的具有非零Lagrange乘数的样本，以及M个不满足Kohn-Tucker条件的最差的样本；如果在某一步中，不满足Kohn-Tucker条件的样本数不足M 个，则这些样本全部加入到新的二次规划问题中。每个二次规划子问题都采用上一个二次规划子问题的结果作为初始值。在最后一步时，所有非零Lagrange乘数都被找到，因此，最后一步解决了初始的大型二次规划问题。块算法将矩阵的规模从训练样本数的平方减少到具有非零Lagrange乘数的样本数的平方，大减少了训练过程对存储的要求，对于一般的问题这种算法可以满足对训练速度的要求。对于训练样本数很大或支持向量数很大的问题，块算法仍然无法将矩阵放入内存中。 Osuna针对SVM训练速度慢及时间空间复杂度大的问题，提出了分解算法，并将之应用于人脸检测中，主要思想是将训练样本分为工作集B的非工作集N，B中的样本数为q个，q远小于总样本个数，每次只针对工作集B中的q个样本训练，而固定N中的训练样本，算法的要点有三：1）应用有约束条件下二次规划极值点存大的最优条件KTT条件，推出本问题的约束条件，这也是终止条件。2）工作集中训练样本的选择算法，应能保证分解算法能快速收敛，且计算费用最少。3）分解算法收敛的理论证明，Osuna等证明了一个定理：如果存在不满足Kohn-Tucker条件的样本，那么在把它加入到上一个子问题的集合中后，重新优化这个子问题，则可行点（Feasible Point）依然满足约束条件，且性能严格地改进。因此，如果每一步至少加入一个不满足Kohn-Tucker条件的样本，一系列铁二次子问题可保证最后单调收敛。Chang，C.-C.证明Osuna的证明不严密，并详尽地分析了分解算法的收敛过程及速度，该算法的关键在于选择一种最优的工
平面向量常见题型与解题方法归纳学生版
平面向量常见题型与解题方法归纳 （1） 常见题型分类 题型一：向量的有关概念与运算 例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是. 例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少 题型二：向量共线与垂直条件的考查 r r r r 例1（1）,a b r r为非零向量。“a b⊥r r”是“函数()()() f x xa b xb a =+?-
为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （2）已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且 ,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 2 3).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间. 例3： 已知平面向量a ?＝(3，－1)，b ?＝(2 1，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ?＝a ?＋(sin α －3)b ?, d ?＝－k a ?＋(sin α)b ?,且c ?⊥d ?，试求实数k 的
取值范围. 例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ，若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2 +-=++=与垂直，求k 的最小值. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－
支持向量机算法学习总结
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支持向量机的算法学习 1. 理论背景 基于数据的机器学习是现代智能技术中的重要方面，研究从观测数据 (样本) 出发寻找规律，利用这些规律对未来数据或无法观测的数据进行预测。迄今为止，关于机器学习还没有一种被共同接受的理论框架，关于其实现方法大致可以分为三种： 第一种是经典的(参数)统计估计方法。包括模式识别、神经网络等在内，现有机器学习方法共同的重要理论基础之一是统计学。参数方法正是基于传统统计学的，在这种方法中，参数的相关形式是已知的，训练样本用来估计参数的值。这种方法有很大的局限性，首先，它需要已知样本分布形式，这需要花费很大代价，还有，传统统计学研究的是样本数目趋于无穷大时的渐近理论，现有学习方法也多是基于此假设。但在实际问题中，样本数往往是有限的，因此一些理论上很优秀的学习方法实际中表现却可能不尽人意。 第二种方法是经验非线性方法，如人工神经网络(ANN。这种方法利用已知样本建立非线性模型，克服了传统参数估计方法的困难。但是，这种方法缺乏一种统一的数学理论。 与传统统计学相比，统计学习理论( Statistical Learning Theory 或SLT) 是一种专门研究小样本情况下机器学习规律的理论。该理论针对小样本统计问题建立了一套新的理论体系，在这种体系下的统计推理规则不仅考虑了对渐近性能的要求，而且追求在现有有限信息的条件下得到最优结果。V. Vapnik 等人从六、七十年代开始致力于此方面研究[1] ，到九十年代中期，随着其理论的不断发展和成熟，也由于神经网络等学习方法在理论上缺乏实质性进展，统计学习理论开始受到越来越广泛的重视。 统计学习理论的一个核心概念就是VC维(VC Dimension)概念，它是描述函数集或学习机器的复杂性或者说是学习能力(Capacity of the machine) 的一个重要指标，在此概念基础上发展出了一系列关于统计学习的一致性(Consistency) 、收敛速度、推广性能(GeneralizationPerformance) 等的重要结论。 支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性(即对特定训练样本的学习精度，Accuracy) 和学习能力(即无错误地识别任意样本的能力)之间寻求最佳折衷，以
平面向量学习知识重点情况总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移. 举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB u u u r 按向量(1,3)a =-r 平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0) 2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r ，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB u u u r 共线 的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r ）； 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向 量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a r 、b r 叫 做平行向量，记作：a r ∥b r ， 规定：零向量和任何向量平行. 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0r )； ④三点A B C 、、共线 AB AC ?u u u r u u u r 、共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a r 的相反向量记作a -r . 举例2 如下列命题：（1）若||||a b =r r ，则a b =r r . （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同. （3）若AB DC =u u u r u u u u r ，则ABCD 是平行四边形. （4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u u r . （5）若a b =r r ，b c =r r ，则a c =r r . （6）若//a b r r ，//b c r r 则//a c r r .其中正确的是 . 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法 1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB u u u r ，注意起点在前，终点在后； 2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a r ，b r ，c r 等；
支持向量机的实现
模式识别课程大作业报告——支持向量机（SVM）的实现 姓名： 学号： 专业： 任课教师： 研究生导师： 内容摘要
支持向量机是一种十分经典的分类方法，它不仅是模式识别学科中的重要内容，而且在图像处理领域中得到了广泛应用。现在，很多图像检索、图像分类算法的实现都以支持向量机为基础。本次大作业的内容以开源计算机视觉库OpenCV为基础，编程实现支持向量机分类器，并对标准数据集进行测试，分别计算出训练样本的识别率和测试样本的识别率。 本报告的组织结构主要分为3大部分。第一部分简述了支持向量机的原理；第二部分介绍了如何利用OpenCV来实现支持向量机分类器；第三部分给出在标准数据集上的测试结果。 一、支持向量机原理概述
在高维空间中的分类问题实际上是寻找一个超平面，将两类样本分开，这个超平面就叫做分类面。两类样本中离分类面最近的样本到分类面的距离称为分类间隔。最优超平面指的是分类间隔最大的超平面。支持向量机实质上提供了一种利用最优超平面进行分类的方法。由最优分类面可以确定两个与其平行的边界超平面。通过拉格朗日法求解最优分类面，最终可以得出结论：实际决定最优分类面位置的只是那些离分类面最近的样本。这些样本就被称为支持向量，它们可能只是训练样本中很少的一部分。支持向量如图1所示。 图1 图1中，H是最优分类面，H1和H2别是两个边界超平面。实心样本就是支持向量。由于最优超平面完全是由这些支持向量决定的，所以这种方法被称作支持向量机（SVM）。 以上是线性可分的情况，对于线性不可分问题，可以在错分样本上增加一个惩罚因子来干预最优分类面的确定。这样一来，最优分类面不仅由离分类面最近的样本决定，还要由错分的样本决定。这种情况下的支持向量就由两部分组成：一部分是边界支持向量；另一部分是错分支持向量。 对于非线性的分类问题，可以通过特征变换将非线性问题转化为新空间中的线性问题。但是这样做的代价是会造成样本维数增加，进而导致计算量急剧增加，这就是所谓的“维度灾难”。为了避免高维空间中的计算，可以引入核函数的概念。这样一来，无论变换后空间的维数有多高，这个新空间中的线性支持向量机求解都可以在原空间通过核函数来进行。常用的核函数有多项式核、高斯核（径向基核）、Sigmoid函数。 二、支持向量机的实现 OpenCV是开源计算机视觉库，它在图像处理领域得到了广泛应用。OpenCV 中包含许多计算机视觉领域的经典算法，其中的机器学习代码部分就包含支持向量机的相关内容。OpenCV中比较经典的机器学习示例是“手写字母分类”。OpenCV 中给出了用支持向量机实现该示例的代码。本次大作业的任务是研究OpenCV中的支持向量机代码，然后将其改写为适用于所有数据库的通用程序，并用标准数据集对算法进行测试。本实验中使用的OpenCV版本是，实验平台为Visual
支持向量机分类器
支持向量机分类器 1 支持向量机的提出与发展 支持向量机( SVM, support vector machine )是数据挖掘中的一项新技术，是借助于最优化方法来解决机器学习问题的新工具，最初由V.Vapnik 等人在1995年首先提出，近几年来在其理论研究和算法实现等方面都取得了很大的进展，开始成为克服“维数灾难”和过学习等困难的强有力的手段，它的理论基础和实现途径的基本框架都已形成。 根据Vapnik & Chervonenkis的统计学习理论 ,如果数据服从某个(固定但未知的)分布,要使机器的实际输出与理想输出之间的偏差尽可能小,则机器应当遵循结构风险最小化 ( SRM,structural risk minimization)原则,而不是经验风险最小化原则,通俗地说就是应当使错误概率的上界最小化。SVM正是这一理论的具体实现。与传统的人工神经网络相比, 它不仅结构简单,而且泛化( generalization)能力明显提高。 2 问题描述 2.1问题引入 假设有分布在Rd空间中的数据，我们希望能够在该空间上找出一个超平面(Hyper-pan),将这一数据分成两类。属于这一类的数据均在超平面的同侧，而属于另一类的数据均在超平面的另一侧。如下图。 比较上图，我们可以发现左图所找出的超平面（虚线），其两平行且与两类数据相切的超平面（实线）之间的距离较近，而右图则具有较大的间隔。而由于我们希望可以找出将两类数据分得较开的超平面，因此右图所找出的是比较好的超平面。 可以将问题简述如下： 设训练的样本输入为xi，i=1，…，l，对应的期望输出为yi∈{+1，-1}，其中+1和-1分别代表两类的类别标识，假定分类面方程为ω﹒x+b=0。为使分类面对所有样本正确分类并且具备分类间隔，就要求它满足以下约束条件： 它追求的不仅仅是得到一个能将两类样本分开的分类面，而是要得到一个最优的分类面。 2.2 问题的数学抽象 将上述问题抽象为： 根据给定的训练集
[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结
平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
支持向量机原理及应用(DOC)
支持向量机简介 摘要：支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性（即对特定训练样本的学习精度）和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻求最佳折衷，以求获得最好的推广能力 。我们通常希望分类的过程是一个机器学习的过程。这些数据点是n 维实空间中的点。我们希望能够把这些点通过一个n-1维的超平面分开。通常这个被称为线性分类器。有很多分类器都符合这个要求。但是我们还希望找到分类最佳的平面，即使得属于两个不同类的数据点间隔最大的那个面，该面亦称为最大间隔超平面。如果我们能够找到这个面，那么这个分类器就称为最大间隔分类器。 关键字：VC 理论 结构风险最小原则 学习能力 1、SVM 的产生与发展 自1995年Vapnik 在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ，SVR)的方法用于解决拟合问题。SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面，但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解
平面向量知识点及方法总结总结
平面向量知识点及方法总结总结 一、平面向量两个定理 1、平面向量的基本定理 2、共线向量定理。 二、平面向量的数量积 1、向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0、 2、的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积、三坐标运算：设，，则（1）向量的加减法运算：，、（2）实数与向量的积：、（3）若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标、（4）平面向量数量积：、（5）向量的模：、 四、向量平行(共线)的充要条件、 五、向量垂直的充要条件、六、七、向量中一些常用的结论 1、三角形重心公式在中，若，，，则重心坐标为、 2、三角形“三心”的向量表示（1）为△的重心、（2）为△的垂心、（3）为△的内心； 3、向量中三终点共线存在实数，使得且、 4、在中若D为BC边中点则 5、与共线的单位向量是七、向量问题中常用的方法 （一）基本结论的应用
1、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8 （B）4 （C）2 （D） 12、已知和点M满足、若存在实数m使得成立，则m= A、2 B、3 C、4 D、 53、设、都是非零向量，下列四个条件中，能使成立的条件是（） A、 B、 C、 D、且 4、已知点____________ 5、平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（） A、 B、 C、 D、6、中,P是BN上一点若则m=__________ 7、o为平面内一点，若则o是____心 8、（xx课标I理）已知向量的夹角为，则、 （二）利用投影定义
9、如图，在ΔABC中，，，，则= （A）（B）（C）（D 10、已知点、、、,则向量在方向上的投影为 A、 B、 C、 D、11设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有则 A、 B、 C、 D、 （二）利用坐标法 12、已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________、 13、（xx课标II理）已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，的最小值是（） （三）向量问题基底化 14、在边长为1的正三角形ABC中, 设则____________、 15、（xx天津理）在中，，，、若，，且，则的值为 ___________、 16、见上第11题 （四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化例题 1、中,P是BN上一点若则m=__________
支持向量机训练算法综述_姬水旺
收稿日期:2003-06-13 作者简介:姬水旺(1977)),男,陕西府谷人,硕士,研究方向为机器学习、模式识别、数据挖掘。 支持向量机训练算法综述 姬水旺,姬旺田 (陕西移动通信有限责任公司,陕西西安710082) 摘 要:训练SVM 的本质是解决二次规划问题,在实际应用中,如果用于训练的样本数很大,标准的二次型优化技术就很难应用。针对这个问题,研究人员提出了各种解决方案,这些方案的核心思想是先将整个优化问题分解为多个同样性质的子问题,通过循环解决子问题来求得初始问题的解。由于这些方法都需要不断地循环迭代来解决每个子问题,所以需要的训练时间很长,这也是阻碍SVM 广泛应用的一个重要原因。文章系统回顾了SVM 训练的三种主流算法:块算法、分解算法和顺序最小优化算法,并且指出了未来发展方向。关键词:统计学习理论;支持向量机;训练算法 中图分类号:T P30116 文献标识码:A 文章编号:1005-3751(2004)01-0018-03 A Tutorial Survey of Support Vector Machine Training Algorithms JI Shu-i wang,JI Wang -tian (Shaanx i M obile Communicatio n Co.,Ltd,Xi .an 710082,China) Abstract:Trai n i ng SVM can be formulated into a quadratic programm i ng problem.For large learning tasks w ith many training exam ples,off-the-shelf opti m i zation techniques quickly become i ntractable i n their m emory and time requirem ents.T hus,many efficient tech -niques have been developed.These techniques divide the origi nal problem into several s maller sub-problems.By solving these s ub-prob -lems iteratively,the ori ginal larger problem is solved.All proposed methods suffer from the bottlen eck of long training ti me.This severely limited the w idespread application of SVM.T his paper systematically surveyed three mains tream SVM training algorithms:chunking,de -composition ,and sequenti al minimal optimization algorithms.It concludes with an illustrati on of future directions.Key words:statistical learning theory;support vector machine;trai ning algorithms 0 引 言 支持向量机(Support Vector M achine)是贝尔实验室研究人员V.Vapnik [1~3]等人在对统计学习理论三十多年的研究基础之上发展起来的一种全新的机器学习算法,也使统计学习理论第一次对实际应用产生重大影响。SVM 是基于统计学习理论的结构风险最小化原则的,它将最大分界面分类器思想和基于核的方法结合在一起,表现出了很好的泛化能力。由于SVM 方法有统计学习理论作为其坚实的数学基础,并且可以很好地克服维数灾难和过拟合等传统算法所不可规避的问题,所以受到了越来越多的研究人员的关注。近年来,关于SVM 方法的研究,包括算法本身的改进和算法的实际应用,都陆续提了出来。尽管SVM 算法的性能在许多实际问题的应用中得到了验证,但是该算法在计算上存在着一些问题,包括训练算法速度慢、算法复杂而难以实现以及检测阶段运算量大等等。 训练SVM 的本质是解决一个二次规划问题[4]: 在约束条件 0F A i F C,i =1,, ,l (1)E l i =1 A i y i =0 (2) 下,求 W(A )= E l i =1A i -1 2 E i,J A i A j y i y j {7(x i )#7(x j )} = E l i =1A i -1 2E i,J A i A j y i y j K (x i ,x j )(3)的最大值,其中K (x i ,x j )=7(x i )#7(x j )是满足Merce r 定理[4]条件的核函数。 如果令+=(A 1,A 2,,,A l )T ,D ij =y i y j K (x i ,x j )以上问题就可以写为:在约束条件 +T y =0(4)0F +F C (5) 下,求 W(+)=+T l -12 +T D +(6) 的最大值。 由于矩阵D 是非负定的,这个二次规划问题是一个凸函数的优化问题,因此Kohn -Tucker 条件[5]是最优点 第14卷 第1期2004年1月 微 机 发 展M icr ocomputer Dev elopment V ol.14 N o.1Jan.2004
支持向量机(SVM)算法推导及其分类的算法实现
支持向量机算法推导及其分类的算法实现 摘要：本文从线性分类问题开始逐步的叙述支持向量机思想的形成，并提供相应的推导过程。简述核函数的概念，以及kernel在SVM算法中的核心地位。介绍松弛变量引入的SVM算法原因，提出软间隔线性分类法。概括SVM分别在一对一和一对多分类问题中应用。基于SVM在一对多问题中的不足，提出SVM 的改进版本DAG SVM。 Abstract：This article begins with a linear classification problem, Gradually discuss formation of SVM, and their derivation. Description the concept of kernel function, and the core position in SVM algorithm. Describes the reasons for the introduction of slack variables, and propose soft-margin linear classification. Summary the application of SVM in one-to-one and one-to-many linear classification. Based on SVM shortage in one-to-many problems, an improved version which called DAG SVM was put forward. 关键字：SVM、线性分类、核函数、松弛变量、DAG SVM 1. SVM的简介 支持向量机(Support Vector Machine)是Cortes和Vapnik于1995年首先提出的，它在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函数拟合等其他机器学习问题中。支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性（即对特定训练样本的学习精度，Accuracy）和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻求最佳折衷，以期获得最好的推广能力。 对于SVM的基本特点，小样本，并不是样本的绝对数量少，而是与问题的复杂度比起来，SVM算法要求的样本数是相对比较少的。非线性，是指SVM擅长处理样本数据线性不可分的情况，主要通过松弛变量和核函数实现，是SVM 的精髓。高维模式识别是指样本维数很高，通过SVM建立的分类器却很简洁，只包含落在边界上的支持向量。
平面向量方法总结(带例题)【大全】
平面向量 应试技巧总结 一．向量有关概念： 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如： 已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） 2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线? AB AC 、 共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。如 下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______
（答：（4）（5）） 二．向量的表示方法： 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等； 3．坐标表示法：在平面建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基 底，则平面的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面的两个不共线向量，那么对该平面的任一 向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如 （1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______ （答：1 322 a b -）； （2）下列向量组中，能作为平面所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,)24 e e =-=- （答：B ）； （3）已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____ （答：2433 a b +）； （4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→ ??→ ?=DB CD 2，?→ ??→ ??→ ?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___ （答：0） 四．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：
平面向量方法总结大全
平面向量应试技巧总结一．向量有关概念：：既有大小 又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，．向量的概念1。如：注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）rruuua （答：_____＝（－1,3按向量已知A（1,2），B（4,2），则把向量）平移后得到的向量是AB）（3,0）0；，注意：长度为2．零向量0零向量的方向是任意的的向量叫零向量，记作：ruuu ruuu AB共线的单位向量是：长度为一个单位长度的 向量叫做单位向量(与)；3．单位向量AB ruuu?||AB相等向量：长度相等且 方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；4．baba，、记作：：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，∥5．平行向量（也叫共线向量）。规定零向量和任何向量平行：提醒①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；但两, ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线条直线平行不包含两条直线重合；r0)；（因为有③平行向 量无传递性！ruuuuuur、ACAB?共线共线；④三点C、B、A aa。如：长度相等 方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－6．相反向量rrrr）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终2，则）若。（（下列命题： 1ba?ba?ruuuuuuruuruuruu。）若（是平行四边形。，则43点相同。（）若是平行四边形，则DCDCAB??ABABCDABCD． rrrrrrrrrrrr_______）若（5，则。（6）若，则。其中正确的是cb//a//a?b,b?cb,ca?ca// 4（答：（）（5））二．向量的表示方法：1，注意起点在前，终点在后；．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如ABcab，．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，2等；i为轴、轴方向相同的两个单位向量，3．坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系，以与y x jrrr????aaa yx,＝为向量基底，则平面内的 任一向量，称可表示为的坐标，yx,?axi?yj???a y,x的坐标表示。如果向量的起 点在原点，叫做向量那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的：如果和三．平面向量 的基本定理21?aeea。如=任一向量，有且只有一对实数、＋，使???212211rrrr，则若______（1）1,2)(1,(??1),c?a?(1,1),b??crr31）；（答：ba?22（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 uruururuur A. B. (5,7)??1,2),2)ee?(?e(0,0),e?(1,?2112uruurruruu13 C. D.
支持向量机训练算法的实验比较
支持向量机训练算法的实验比较 姬水旺,姬旺田 (陕西移动通信有限责任公司,陕西西安710082) 摘 要:S VM是基于统计学习理论的结构风险最小化原则的,它将最大分界面分类器思想和基于核的方法结合在一起,表现出了很好的泛化能力。并对目前的三种主流算法S VM light,Bsvm与SvmFu在人脸检测、M NIST和USPS手写数字识别等应用中进行了系统比较。 关键词:统计学习理论;支持向量机;训练算法 中图法分类号:TP30116 文献标识码:A 文章编号:100123695(2004)1120018203 Experimental C omparison of Support Vector Machine Training Alg orithms J I Shui2wang,J I Wang2tian (Shanxi Mobile Communication Co.,LTD,Xi’an Shanxi710082,China) Abstract:Support vector learning alg orithm is based on structural risk minimization principle.It combines tw o remarkable ideas:maxi2 mum margin classifiers and im plicit feature spaces defined by kernel function.Presents a com prehensive com paris on of three mainstream learning alg orithms:S VM light,Bsvm,and SvmFu using face detection,M NIST,and USPS hand2written digit recognition applications. K ey w ords:S tatistical Learning T heory;Support Vector Machine;T raining Alg orithms 1 引言 支持向量机(Support Vector Machine)是贝尔实验室研究人员V.Vapnik等人[30]在对统计学习理论三十多年的研究基础之上发展起来的一种全新的机器学习算法,也是统计学习理论第一次对实际应用产生重大影响。S VM是基于统计学习理论的结构风险最小化原则的,它将最大分界面分类器思想和基于核的方法结合在一起,表现出了很好的泛化能力。由于S VM 方法有统计学习理论作为其坚实的数学基础,并且可以很好地克服维数灾难和过拟合等传统算法所不可规避的问题,所以受到了越来越多的研究人员的关注。近年来,关于S VM方法的研究,包括算法本身的改进和算法的实际应用,都陆续提了出来。但是,到目前为止,还没有看到有关支持向量算法总体评价和系统比较的工作,大多数研究人员只是用特定的训练和测试数据对自己的算法进行评价。由于支持向量机的参数与特定的问题以及特定的训练数据有很大的关系,要对它们进行统一的理论分析还非常困难,本文试从实验的角度对目前具有代表性的算法和训练数据进行比较,希望这些比较所得出的经验结论能对今后的研究和应用工作有指导意义。本文所用的比较算法主要有S VM light[14],Bsvm[12]和SvmFu[25],它们分别由美国C ornell University的Thorsten Joachims教授,National T aiwan U2 niversity的Chih2Jen Lin教授和美国麻省理工学院Ryan Rifkin博士编写的,在实验的过程中,笔者对算法进行了修改。由于这些算法有很大的相似之处,而且训练支持向量机是一个凸函数的优化过程,存在全局唯一的最优解,训练得到的模型不依赖于具体的算法实现,因此,本文在实验过程中不对具体的算法做不必要的区别。实验所采用的训练和测试数据也是目前非常有代表性的,它们大部分由国内外研究人员提供。 2 比较所用数据简介 本文所用的人脸检测数据是从美国麻省理工学院生物和计算学习中心[31](Center for Biological and C omputational Lear2 ning)得到的,这些数据是C BC L研究人员在波士顿和剑桥等地收集的,每个训练样本是一个由19×19=361个像素组成的图像,我们用一个361维的向量来代表每一个图像,每一个分量代表对应的像素值。用于训练的样本共有6977个,其中有2429个是人脸,其余4548个是非人脸;在测试样本集中共有24045个样本,包含472个人脸和23573个非人脸。这是一个两类分类问题。图1是训练样本中部分人脸的图像。 图1 人脸检测数据中部分人脸的图像 M NIST手写数字识别数据是由美国AT&T的Y ann LeCun 博士收集的[32],每个样本是0～9中的一个数字,用28×28= 784维的向量表示。在训练集中有60000个样本,测试集中有10000个样本。图2是训练样本中前100个样本的图像。 USPS手写识别数据是由美国麻省理工学院和贝尔实验室的研究人员共同从U.S.P ostal Service收集的[33],每个样本是0～9中的一个数字,用16×16=256维的向量中的各个分量表示所对应像素的灰度值。训练集中共有7291个样本,测试集中有2007个样本。图3是训练集中部分样本的图像。 ? 8 1 ?计算机应用研究2004年 收稿日期:2003206220;修返日期:2003211212