研究生数理统计课后题答案

数理统计习题答案

第一章

1.解： ()

()

()()()()()122

5

2

11

2222219294103105106100

5

11100519210094100103100105100106100534

n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-??

=-+-+-+-+-?

?=∑∑∑

2. 解：子样平均数 *1

1l

i i i X m x n ==∑

()1

1834061026260

4

=

?+?+?+?=

子样方差 ()

22

*1

1l

i i i S m x x n ==-∑

()()

()

()2

2

2

2

1814403410642264

6018.67

??=

?-+?-+

?-+?-

??

=

子样标准差

4.32

S == 3. 解：因为

i i x a

y c

-=

所以 i i x a cy =+

1

1n

i i x x n ==∑

()1

111n

i i n

i i a cy n na cy n ===+??=+ ???

∑∑

1n

i

i c a y n a cy

==+=+∑ 所以 x a cy =+ 成立

()

2

21

1n

x

i i s x x n ==-∑

()

(

)

()

2

2

1

2

21

11n

i i i

n

i i n

i

i a cy a c y n cy c y

n c y y n

====+--=-=-∑∑∑

因为 ()

2

21

1n

y

i i s y y

n ==-∑ 所以

222

x y

s c s = 成立

()()()()()17218120

3.2147.21

1.2

e n n e n

M X X R X X M X X +?? ???

??+ ???

====-=--====4. 解：变换 2000i i y x =-

1

1n i i y y n ==∑()61303103042420

90918520

310

9

240.444

=--++++-++=

()

2

2

1

1n y i i s y y n ==-∑

()()()()()()()()()

222

222

222

161240.444303240.4441030240.4449

424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247

=--+--+-+??-+-+-+

?

--+-+-?

=

利用3题的结果可知

2220002240.444

197032.247

x y x y s s =+===

5. 解：变换 ()10080i i y x =-

13

11

1113n i i i i y y y n ====∑∑

[]1

242433435320213

2.00

=

-++++++-+++++=

()

2

2

1

1n y i i s y y n ==-∑

()()()()()()2222

22

12 2.0032 2.005 2.0034 2.001333 2.003 2.005.3077

=

--+?-+-+?-??

?+?-+--?

=

利用3题的结果可知

224

8080.02

100

5.30771010000y

x s s -=

+===? 6. 解：变换()1027i i y x =-

1

1l

i i i y m y n ==∑

()1

3529312434101.5=

-?-?+?+=- 2710

y

x =

+=26.85 ()

221

1l

y

i i i s m y y n ==-∑

()()()()2222

1235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25?=

?-++?-++?+++??

?= 2

21 4.4025100

x y s s ==

*1

1l

i i i x m x n ==∑

()1

156101601416426172121682817681802100

166

=

?+?+?+?+?+?+?=

()

22

*

1

1l i i i s m x x n ==-∑

()()()()()()()2222

222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44

=

?-+?-+?-+?-??

?

+?-+?-+?-?

= 8解：将子样值重新排列（由小到大）

-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21

()()()()()17218120

3.2147.211.2

e n n e n

M X X R X X M X X +?? ???

??+ ???

====-=--====

9解： 12

1211121211n n i j

i j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212

n x n x

n n +=+

()

122

2

1

12

1

n n i

i s x x n n +==

-+∑

(

)()()12

1

22

2112

2

1

1

112212

122

2

2

22

111

2

2

2

1

1

2

2

12

12

2

2

222

11221122

11221212

1222211211122

12

1n n i i n n i

j

i j x x

n n x x

n x n x n n n n n s x n s

x n x n x

n n n n n s n s n n n n n n n n n n n n n n n s n s

n n +====

-++??

+=

- ?++??

+++??+=

-

?++?

?

??+++=+- ?

+++??

+++=

+

+∑

∑∑()()

()

()

()

()

2

2

21221122

122

2

221122121

122121212122

221212

1122

2

12

122n n n n n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n n s n s n n n n +-++++-=+++-+=+

++

解：

()20040.1460.367

0.75790.9910110

x x x F x x x x

?≤<=?≤

?≤

≥?

12. 解：

i x 13.解：(i x U 在此题中

i x

11

211110

111

3n n

i i i i n n i i i i E X E x Ex n n DX D x Dx n n n

==========

∑∑∑∑

14.解：因为

()2,i X N μσ 0i X E

μ

σ

-= 1i X D

μ

σ

-=

所以

()0,1i X N μ

σ

- 1,2,,i n =???

由2χ分布定义可知

()

2

2

2

1

11

n

n

i i

i i X Y X

μμσσ==-??=

-= ??

?∑∑服从2

χ分布

所以 ()2Y n χ

15. 解：因为 ()0,1i X N 1,2,,i n =??? ()1230,3X X X N ++

0E

=

1=

所以

()0,1N

()2

2

1χ

同理

()2

2

1χ 由于2

χ分布的可加性，故

()22

2123Y χ=+ 可知 1

3

C =

16. 解：（1）因为 ()

2

0,i X N σ 1,2,,i n =???

()0,1i

X N σ

所以 ()2

2121n

i i X Y n χσσ=??

= ???

∑

(){}11

122Y Y y F y P Y y P σ

σ??=≤=≤?

???

()2

20

y

f x d x σχ=

?

()()211'221

Y Y y f y F y f χσσ

??==? ???

因为 ()2122

20

2200n x n x e x n f x x χ--

??>???

=?Γ ????

?≥?

所以 ()21122202200n y n n Y y e y n f y y σσ--??>?

??=?Γ ????

?≤?

（2） 因为 ()

2

0,i X N σ 1,2,,i n =???

()0,1i

X N σ

所以 ()2

22

21n

i i X nY n χσσ

=??= ???∑ (){}()2

2222220

ny

Y nY

ny F y P Y y P f x dx σχσ

σ??=≤=≤=

?????

()()222'22

Y Y ny n f y F y f χσσ

??==

??? 故 ()21222202200n n

ny n n Y n y e y n f y y σσ--??>?

??=?Γ ?

???

?≤?

（3）因为 ()

2

0,i X N σ 1,2,,i n =???

()1

0,1n

i N =

所以

()2

2

31

1n

i Y n χσ=?

=

?

(){}()()2333210

y

n Y Y F y P Y y P y f x dx n σ

χσ??

=≤=≤=?????

()()()233'2211

Y Y y f y F y f n n χσσ

??== ???

()(

)221000x x f x x χ-?>=≤?

故 (

)2

32000y n Y y f y y σ-?>=≤?

（4）因为 ()

2

0,i X N σ 1,2,,i n =???

所以

(

)()12

2

4210,11n

i n

i N Y χσ==?= ?

(){}()()()()()2

242244

42210'22

11

y

Y Y Y y F y P Y y P f x dx

y f y F y f σχχχσσσσ

??=≤=≤=??????== ????

故 (

)242000

y Y y f y y σ-?>=≤?

17.解：因为 ()X t n 存在相互独立的U ，V

()0,1U N ()2V n χ

使

X =

()2

21U χ

则 2

21U X V n

=

由定义可知

()21,F n χ

18解：因为 ()

2

0,i X N σ 1,2,,i n =???

()1

0,1n

i N =

()2

21n m

i i n X m χσ+=+??

???

∑

所以

()1n

n

i

X Y t m =

=

（2）因为

()0,1i

X N σ

1,2,,i n m =???+

()()2

212

21n

i i n m

i i n X n X m χσχσ=+=+?? ???

?? ???

∑∑

所以 ()2

211

222

11,n

i n i i

i n m n m

i i i n i n X m X n Y F n m X n X m

σσ==++=+=+??

???==?? ???

∑∑∑∑ 19.解：用公式计算

(

)20.010.019090χ=

查表得 0.01 2.33U = 代入上式计算可得

()2

0.01909031.26121.26χ=+=

20.解：因为 ()2X n χ 2E n χ= 22D n χ=

由2

χ分布的性质3可知

()

0,1

N

{

}

P X c P

≤=≤

2

2

lim t

n

P dt

-

→∞-∞

≤==Φ

故{

}

P X c

≤≈Φ

第二章

1.

00

,0

()

0,0

()()

1

()

11

1

x

x

x x

x

e x

f x

x

E x f x xdx xe dx

xe e d x

e

x

λ

λ

λλ

λ

λ

λ

λ

λ

λλ

λ

-

+∞+∞-

-∞

+∞

+∞

--

+∞

-

?≥

=?

<

?

=?=

=-+

=-=

=

??

?

令

从而有

1

x

λ∧=

2.

()

11

11

2

1).()(1)(1)

11

11

k k

x x

E x k p p p k p

p

p

p

∞∞

--

==

=-=-

==

??

--

??

∑∑

令

1

p＝

X

所以有

1

p

X

∧

=

２）．其似然函数为1`

1

1

()(1)

(1)n

i x i i n

X n

n

i L P P p p p -=-=∑=-=-∏

1

ln ()ln ()ln(1)

n i i L P n p X n p ==+--∑

1

ln 1

()0

1n

i i d L n X n dp p p ==--=-∑

解之得

1

1n

i

i n

p X

X

∧

==

=

∑

３． 解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以

()2122!

2!!

()12n

i i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧

∧

+=

--?

=???-?=???=???=+?∑2

2

2（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，

1S =

n a+b 2

（）a

4. 解：（1）设1

2,,n x x x 为样本观察值则似然函数为：

11

1

()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0

n n

i i i n

i

i i

n

i

i L x x i n L n x d L n

x

d θθθθθθθθ

-====<<==+=+

=∏∑∑ （-1）

解之得：

1

1

ln ln n

i

i n

i

i n

x

n

x

θθ=∧

==-

==

∑∑

（2）母体X 的期望

1

()()1E x xf x dx x dx θ

θθθ+∞

-∞

===

+?

?

而样本均值为：

5.。解：其似然函数为：

1

1

1

1

1

11()2(2)1

ln ()ln(2)1

0n

i

i

i x n

x n

i n i i n

i

i L e e L n x x σσσσσσσσ

σσ

=--==∧

=∑=?=?=--=

∏∑=∑令

得：

（2）由于

1

1

2221

1

1

()(

)()x

x

x

x

n

n

i i i i x x

E e dx e dx x e

e

dx E E x E x n n

n

n

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σσσ+∞

-

-

-

-

+∞

+∞

+∞

-∞

∧

===

==-+

===

=

?=?

?

?

∑

∑

所以11n i

i x n σ∧

==∑ 为σ的无偏估计量。

6. 解：其似然函数为：

(1)(1)()()(1)!(1)!11k k n n k x n x i

k i L x e x e

i i k k i i βββββ----∏==∏--==

ln ()ln (1)ln()11n n

L nk k X X i i

i i βββ=+--∑∑==

1

ln ()0

n

i

i d L nk

d X

βββ

==-

=∑

解得

1

n

i

i nk

k

X

X

β∧

==

=∑

1

(),0,

f x x ββ

=≤≤

７．解：由题意知：均匀分布的母体平均数2

2

β

βμ=

-=

，

方差12

12)0(2

22

ββλ=-= 用极大似然估计法求β得极大似然估计量 似然函数：∏==n

i n

L 11

)(θ

β β≤≤≤≤≤n

i i i i x x 1)

(max min 0

选取β使L 达到最大

取n

i i x ≤≤∧

=1max β

由以上结论当抽得容量为6的子样数值1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，时

2.2=∧

β即,1.12==∧

∧

βμ 4033.012

2.22.21222

≈?==

∧

βσ 8. 解：取子样值为)(),,,(21θ≥i n x x x x

则似然函数为： ∏=--=n

i x i

e L 1

)()(θθ θ≥i x

∑∑==+-=--=n i n

i i i n x x L 1

1

)()(ln θθθ

要使似然函数最大，则需θ取),,,min(21n x x x

即∧

θ=),,min(21n x x x

9. 解：取子样值)0)(,,(2,1>i n x x x x 则其似然函数∑===-=-∏n

i i

i

x n n i x e

e L 1

1

)(λ

λλλλ

∑=-=n

i i x n L 1

ln )(ln λλλ ∑=-=n

i i x n d L 1)(ln λλλ x

x

n

n

i i

1

1

=

=

∑=∧λ 由题中数据可知

20)6525554545703510025150152455365(10001

=?+?+?+?+?+?+?=

x 则 05.0201

==∧λ

10. 解：（1）由题中子样值及题意知：

极差7.45.12.6=-=R 查表2-1得4299.01

5=d 故0205.27.44299.0=?=∧

λ

（2）平均极差115.0=R ，查表知3249.01

10

=d 0455.0115.03249.0=?=∧

λ

解：设∧

u 为其母体平均数的无偏估计，则应有x =∧

μ 又因4)26261034018(60

1

=?+?+?+?=

x 即知4=∧

μ

12. 解：)1,(~μN X

μ=∴)(i x E ，1)(=i x D ， )2,1(=i 则μμ=+=

∧

2113

2

31)(EX EX E μμ=+=

∧

21243

41)(EX EX E μμ=+=∧21321

21)(EX EX E

所以三个估计量321,,∧

∧∧μμμ均为μ的无偏估计

9

5

91949194)3132()(2121=+=+=+=∧

DX DX X X D D μ

同理可得85)(2=∧

μD ，2

1

)(2=∧μD

可知3∧μ的方差最小也亦∧

2μ最有效。 13解：)(~λP X λλ==∴)(,)(X D X E

])(11[)(12

2

*∑=--=n i i X X n E S E )]()([1121

2X nE X E n n

i i

--=∑= ])()([11122∑=+-+-=n

i n

n n λλ

λλλλλ=--=

)(11n n 即2

*S 是λ的无偏估计

又因为λ====∑∑∑===n

i i n

i i n i i EX n X E n X n E X E 1

111)(1)1()(

即X 也是λ的无偏估计。

又]1,0[∈?α λλλαλααα=-+=-+=-+)1()()1()())1((2

*2

*S E X E S X a E

因此2

*)1(S X αα-+也是λ的无偏估计 14.解：由题意：),(~2σμN X

因为])(()([)()(211

1

1212

i i n i i i i i X X E X X D C X X E C E -+-=-=+-=++∧

∑∑λ

21

1

211

1)1(22]0)()([λλ-==++=∑∑-=-=+n C C X D X D C n i n i i i

要使2

2

)(λλ=∧E 只需)1(21+=n C 所以当)

1(21

-=n C 时2∧λ为2λ的无偏估计。

15.证明： 参数θ的无偏估计量为∧θ，∧

θD 依赖于子样容量n 则,0>?ε由切比雪夫不等式

0lim =∧

∞

→θD n 故有1lim =?

??

???<-∧∞→εθθp n

即证∧

θ为θ的相合估计量。

16证明：设X 服从),(p N B ，则分布律为 k k k

N P P k X P C )1()(-== ),2,1(N k =

这时NP X E =)( )1()(P NP X D -= 2222)1()(P N P NP EX DX EX +-=+= 例4中N X p -∧

=

所以P N

NP N X E P E ===-

∧

)(（无偏） Nn P P n

N P NP N X D P D )

1()1(2

2-=-==

-

∧

罗—克拉美下界满足

∑=----??=n

k P N K K

N P N K K N R P P P P Ln p

n I C C 02)1(])1([1 ∑=----++??=N

K K N K K

N K N P P P Ln P N KLnP Ln P

n C C 0

2)1())]1()(([

∑=-----=N

K K

N K K N P P P P N P K n C 0

2)1(]1[ ])1(2)1(22[2

22222P EX NEX N P P EX NEX P EX n -+-+---=

2

22222

222222)1()1(2)1()1(2)1([P P N P NP P N N P P N P NP P N P P N P NP n -+-+-+-----+-=)1(]111[

P P nN P

P nN -=

-+=

所以∧=-=

P D nN

P P I R )

1(即∧p 为优效估计 17． 解：设总体X 的密度函数 2

22)(21)(σμσ

π--=

x e

x f

似然函数为∏

=---

-∑===n

i x n x n

i i i e

e

L 1

2)(2

2

2)(2

2

1

2

2

2

)2(21)(σμσ

μπσσ

πσ

2

1

2

222)(2

22)(σ

μσπσ∑=--

--=n

i i

x

Ln n

Ln n LnL

02)(24

1

2

2

2=-+-=∑=σ

μσσn

i i

x

n

d d L n L

∑=-=n

i i x n 1

22

)(1μσ

因为?+∞

∞-??dx x f x Lnf )())((

22

σ=?∞+∞---

--dx e

x x 22)(2

242

21]212)([σμσ

πσσμ

=

]2)()([4142248

σσμμσ

+---X E X E =4

2σn

故2σ的罗—克拉美下界 42σn

I R =

又因∑=∧-=n i i X n E E 1

2

2

))(1(μσ∑=-=n i i X E n 12))((1μ2σ=

且∑=-=n

i i X n D D 1

22

))(1()(μσ42σn =

所以2∧σ是2∧σ的无偏估计量且)(2∧=σD I R 故2∧σ是2

∧σ的优效估计 18． 解：由题意：n=100，可以认为此为大子样，

所以n

S X U μ

-=

近似服从)1,0(N αα-=1}{2

u U P

得置信区间为n

s u x 2

(α

- )2

n

s u x α

+

已知95.01=-α s=40 x =1000 查表知96.12

=αu 代入计算得

所求置信区间为（992.16 1007.84） 19.解：（1）已知cm 01.0=σ 则由)1,0(~N n

X U σ

μ

-=

αα-=<1}{2

u U P

解之得置信区间n

u X σ

α

2

(- )2

n

u X σ

α

+

将n=16 X =2.125 645.105.02

==u u α 01.0=σ

代入计算得置信区间（2.1209 2.1291） （2）σ未知 )1(~--=

n t n

S X T μ

αα-=<1}{2

t T P 解得置信区间为2

(αt n

s X -

)2

αt n

s X +

将n=16 753.1)15()15(05.02

==t t α 00029.02=S 代入计算得

置信区间为（2.1175 2.1325）。

20．。解：用T 估计法 )1(~--=

*

n t n

S X T μ

αα-=-<1)}1({2

n t T P

解之得置信区间2

(αt n

S X *-

)2

*αt n

S X +

将6720=X 220=*S n=10 查表2622.2)9(025.0=t

代入得置信区间为（6562.618 6877.382）。

21．解：因n=60属于大样本且是来自（0—1）分布的总体，故由中心极限定理知

)

1()

1(1

p np np X n p np np

X

n

i i

--=

--∑=近似服从)1,0(N 即

α

α-=<--1})

1()({

2

u p np P X n p

解得置信区间为2

)

1((αu n p p X -- ))

1(2

αu n p p X -+ 本题中将n

U n 代替上式中的X 由题设条件知25.0=n U

n

055.0)()

1(2

=-=-n

U n U n p p n n 查表知96.1025.0==U U n 代入计算的所求置信区间为（0.1404 0.3596） 22． 解：2σ未知 故)1,0(~N n

X U σ

μ

-=

由αα-<<1}{2

u U P 解得

置信区间为2

(ασ

u n

X - )2

ασ

u n

X +

区间长度为

2

2ασu n

于是

L u n

≤2

2ασ

计算得22

22

4ασU L n ≥ 即为所求

23．解：μ未知，用2χ估计法 )1(~)1(22

2

2

--=

n S n χσ

χ

αχχχα

α-=-<-<--1)}1()1()1({2

2

222

1n n n P 解得σ的置信区间为22

2

)1((

αχS n -

))1(22

12

α

χ--S n

（1）当n=10，*S =5.1时 查表)9(2005.0χ=23.59 )9(2995.0χ=1.73 代入计算得σ的置信区间为（3.150 11.616）

（2）当n=46，*S =14时 查表)45(2005.0χ=73.166 )45(2995.0χ24.311 代入计算可得σ的置信区间为（10.979 19.047） 24．解：（1）先求μ的置信区间 由于σ未知 )1(~--=

n t n

S X T μ

αα-=<1}{2

t T P 得置信区间为2

(αt n

S X -

)2

αt n

S X +

经计算2203

.012.5==S X 查表093.2)19(025.0=t n=20

代入计算得置信区间为（5.1069 5.3131） （2）μ未知 用统计量)1(~)1(22

2

2

--=

n S n χσχ

αχχχαα-=<<-1}{2

2

222

1P

得σ的置信区间为2

2

2

)1((

αχS n -

))1(22

12

α

χ--S n

查表)19(2025.0χ=32.85 )19(2975.0χ=8.91 代入计算得σ的置信区间为（0.1675 0.3217）

25．解：因1+n X 与n X X X ,,21相互独立，所以1+n X 与X 相互独立，故 ))11(,0(~21σn

N X X n +-+ 又因

)1(~22

2

-n nS χσ 且与X X n -+1相互独立，有T 分布的定义知

)1(~1

1

)1(1

12

21-+--=

-+-++n t n n S X X n nS n n X

X n n σσ 26． 解：因),(~21σμN X i m i ,2,1= ),(~22σμN Y j n j ,2,1= 所以),

0(~)(2

21m

N X σαμα-， ),

0(~)(2

22n

N Y σβμβ-

由于X 与Y 相互独立，则

)](

,0[~)()(2

2

21n

m N Y X βαμβμα+

-+-

即

)1,0(~)

()(2

2

21N n

m

Y X σ

βαμβμα+

-+-又因

)1(~2

2

2-m ms x

χσ

)1(~22

2-n ns y

χσ

则

)2(~22

22

2-++

n m ns ms y

x

χσ

σ

构造t 分布

n

m

Y X 2

2

21)

()(β

α

σμβμα+

-+-=

)2(~2)

()(2

2

2221-++

-++-+-n m t n

m

n m ns

m s Y X y

x

β

α

μβμα

27． 证明：因抽取n>45为大子样 )1(~)1(22

2*

2--=

n s n χσ

χ

由2χ分布的性质3知

)

1(2)

1(2---=

n n U χ近似服从正态分布)1,0(N

所以 αα-=≤1}{2u U P

得

22)

1(2)

1(α

χu n n ≤--- 或2

2

2

2)

1(2)

1()1(αα

σu n n s n u ≤----≤

- 可得2σ的置信区间为

硕士生《数理统计》例题及答案

《数理统计》例题 1.设总体X 的概率密度函数为： 2 2 1)(ββ x e x f -= )0(>β 试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数β。 解：（1）矩法 由于EX 为0， πβββββ βββββββ2 00 2 2 2 22 2 1][) ()2 (2) ()2(21 2)(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = +-=- =- - ===???? ?∞ +-∞+- ∞ +- - ∞ +- ∞ ++∞ ∞ -dx e xe e d x x d xe dx e x dx x f x EX x x x x x πβ2 222 1= -=X E EX DX 令2S DX =得：S π β2 ?= （2）极大似然法 ∑= ==- =- ∏ n i i i x n n i x e e L 1 2 22 2 1 11 1 β ββ β ∑=- -=n i i x n L 1 22 1 ln ln ββ 2 31 ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =β d L d 得∑==n i i x n 1 2 2?β

2. 设总体X 的概率密度函数为： ?? ???<≥--=αα βαββαφx x x x ,0),/)(exp(1 ),;( 其中β>0，现从总体X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数βα和。 解：（1）矩法 经统计得：063.0,176.2==S X β αβαβ φα β α α β ααβ α β α α β α α +=-=+-=-===∞ +-- ∞ +-- ∞ +-- -- ∞ +-- ∞ +∞ +∞-?? ? ?x x x x x e dx e xe e xd dx e x dx x x EX ][) (1 )( ) (222][) (1 222 22 2βαβαβαβ β α α αβ α β α α β α α ++=+=+-=-==--∞ +∞ +-- --∞ +-- ∞ +?? ?EX dx e x e x e d x dx e x EX x x x x 222)(β=-=EX EX DX 令???==2S DX X EX 即???==+2 2S X ββα 故063.0?,116.2?===-=S S X βα （2）极大似然法 ) (1 1 1),;(αβ β α β β βα---- == =∏X n n X n i e e x L i )(ln ln αβ β-- -=X n n L )(ln ,0ln 2αβ βββα-+-=??>=??X n n L n L 因为lnL 是L 的增函数，又12,,,n X X X α≥L 所以05.2?)1(==X α

《应用数理统计》吴翊李永乐第三章 假设检验课后作业参考答案

第三章 假设检验 课后作业参考答案 3.1 某电器元件平均电阻值一直保持2.64Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为0.06Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响？(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件, 测得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分 布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。 解： {}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。

3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从 一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20(2 /cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提高？ 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为3.25？ 解： 010110 2: 3.25 H :t X 3.252, S=0.0117, n=5 0.3419 H x μμμμσ==≠==提出假设：构造统计量：本题属于未知的情形，可用检验，即取检验统计量为：本题中，代入上式得：否定域为：1-20.99512 0 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t t H ααα- ??-?? ?? ==<∴本题中，接受认为这批矿砂的镍含量为。

(完整word版)西安交通大学数理统计研究生试题

2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2 (0,3)N ，而12 9(,,)X X X 和 129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则U = 服从的分布是_______ . 解：(9)t ． 2，设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计，且1?θ比2?θ有效，则1?θ与2?θ的期望与方差满足_______ . 解：1212 ????()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___. 解：秩和检验、游程总数检验． 4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是?β=_______ . 解：1?-''X Y β= ()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设12(,, ,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为 样本方差，则____D___ . （A ）(0,1)nX N ； （B ）22()nS n χ； （C ） (1)()n X t n S -； （D ） 2 122 (1)(1,1)n i i n X F n X =--∑. 2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量 n 增大，则μ的置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ . （A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大；

数理统计试卷

广西大学研究生课程考试试卷 （ 2013 —2014 学年度第一学期） 课程名称： 数理统计 试卷类型：（ B ） 命题教师签名： 教研室主任签名： 主管院长签名： 装订线（答题不得超过此线） 一、单项选择题（本大题共５小题，每小题２分，共１0分） 1. 设随机变量2 1 ),1)((~X Y n n t X =>，则 【 】 ① )(~ 2n Y χ. ② )1(~2-n Y χ. ③ )1,(~n F Y . ④ ),1(~n F Y . ２. 假设母体X 正态分布),(2σμN ，对μ作区间估计，得95%的置信区间，其意 义是指这个区间 【 】 ① 平均含母体95%的值 ② 平均含子样95%的值 ③ 有95%的机会含μ的值 ④ 有95%的机会含子样值 3. 测定某种溶液中的水分，由它的9个测定值，计算出子样均值和子样方差%452.0=x ， %037.0=s ，母体服从正态分布，在α＝0.05下，正面提出的检验假设被接受的是 【 】 ① 0H ：%05.0=μ ② 0H ：%03.0=μ ③ 0H ：%5.0=μ ④ 0H ：%03.0=σ

4．在方差分析中，进行两两均值比较的前提是 【 】 ① 拒绝原假设 ② 不否定原假设 ③ 各样本均值相等 ④ 各样本均值无显著差异 ５．一元线性回归分析，误差项ε的方差2 σ的矩估计是 【 】 ① ∑=-n i i i y y n 12 )?(1 ② ∑=--n i i i y y n 1 2)?(11 ③ ∑=--n i i i y y n 1 2)?(21 ④ ∑=-n i i i y y 1 2)?( 二、填空题 （本大题共５小题，每小题３分，共15分） 1．设母体X 服从正态分布)2,0(2N ，而1521,,,X X X 是来自母体X 的简单随机样本， 则随机变量) (22 152112 10 21X X X X Y +++=服从 分布，参数为 . 2．如果,?1θ2?θ都是母体未知参数θ的估计量，称1?θ比2 ?θ有效，则满足 。 3．设母体)2,(~2 μN X ，1621,,,X X X 来自X ，考虑假设0H ：0=μ，则选择的检验 统计量为X 2，此统计量为)1,0(N 的条件是 。 4．单因素分析中，平方和∑∑==-= r i n j i ij E i x x Q 11 2)(描述了 。 5．在线性回归直线方程为x a y 4??+=，而3=x ，6=y ，则=a ? 。 三、计算题 （本大题共6小题，共55分） 1．设母体X 的设总体X 的概率密度为?? ???=--0),(1a x a e ax x f λλλ 00≤>x x ， 其中λ>0是未知参数，a >0为已知常数，试根据来自母体X 的简单随机样本X X n 1, ，求λ的最大似然估计量λ^ .

概率论与数理统计-朱开永--同济大学出版社习题一答案

习 题 一 1．下列随机试验各包含几个基本事件？ （1）将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个 一个地放入盒中；a 球可放入的任一个，其放法有 313=C 种，b 球也可放入三个盒子的 任一个，其放法有313=C 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339C C ?=种。 （2）观察三粒不同种子的发芽情况。 解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有81 21212=??C C C 种不同情况。 （3）从五人中任选两名参加某项活动。 解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序， 所以此试验的基本事件个数 1025==C n 。 （4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。 解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，101=∴n 。 （5）将c b a ,,三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。 解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一 个一个放入盒子内（按要求）。a 球可放入三个盒子中的任一个有313=C 种方法。b 球因 为试验要求每只盒子只装一个球，所以a 球放入的盒子不能再放入b 球，b 球只能放入其余（无a 球 的盒子）两个中任一个，其放法有21 2=C 个。c 只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为 611213=??C C 种。 2． 事件A 表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B 表示“五件产品都是合格品”，则,A B AB U 各表示什么事件？B A 、之间有什么关系？ 解： 设k A =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。此随机试验E 的样 本空间可以写成：{}12345,,,,,S A A A A A B = 而 12345A A A A A A =U U U U ,A B S ∴=U φ=AB ，A 与B 是互为对立事件。 3. 随机抽验三件产品，设A 表示“三件中至少有一件是废品”，设B 表示“三件中至少有两件是废品”，C 表示“三件都是正品”，问 ,,,,A B C A B AC U 各表示什么事件？

应用数理统计课后习题参考答案

习题五 1 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，因素A 表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为5. 假设样本观测值(1,2,3,4)ij y j =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= . 检验的问题：01251:,:i H H μμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.1 单因素方差分析表 ‘*’ . 查表0.95(4,15) 3.06F =，因为0.953.9496(4,15)F F =>，或p = 0.02199<0.05， 所以拒绝0H ，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异. 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 试检验在四种不同催化剂下平均得率有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，设因素A 表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为4 . 假设样本观测值(1,2,...,)ij i y j n =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .其中

样本容量不等，i n 分别取值为6，5，3，4 . 检验的问题：012341:,:i H H μμμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.2 单因素方差分析表 查表0.95(3,14) 3.34F =，因为0.952.4264(3,14)F F =<，或p = 0.1089 > 0.05， 所以接受0H ，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 . 3 试验某种钢的冲击值（kg ×m/cm2），影响该指标的因素有两个，一是含铜量A ， 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？（=0.05） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用. 设因素,A B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为12. 假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ij y i j ==来源于正态总体2 ~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ= 1,2,3,4j = .记i α?为对应于i A 的主效应；记j β?为对应于j B 的主效应； 检验的问题：（1）10:i H α?全部等于零，11 :i H α?不全等于零； （2）20:j H β?全部等于零，21:j H β?不全等于零； 计算结果： 表5.3 双因素无重复试验的方差分析表 查表0.95(2,6) 5.143F =，0.95(3,6) 4.757F =，显然计算值,A B F F 分别大于查表值， 或p = 0.0005，0.0009 均显著小于0.05，所以拒绝1020,H H ，认为含铜量和试验温度都会对钢的冲击值产生显著影响作用. 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量：

数理统计考研复试题库及答案

2（1）未知函数u 的导数最高阶为2，u ``,u `,u 均为一次，所以它是二阶线性方程。 （2） 为y 最高阶导数为1，而y 2为二次，故它是一阶非线性常微分方程。 （3） 果y 是未知函数，它是一阶线性方程；如果将x 看着未知函数，它是一阶非线 性方程。 3. 提示：所满足的方程为y ``－2 y `+y=0 4． 直接代入方程，并计算Jacobi 行列式。 5.方程变形为dy=2xdx=d(x 2),故y= x 2+C 6. 微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。 7． 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。 8． y `＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y ，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。 9 （1） 积分得x=-cosx+c （2） 将方程变形为x 2 y 2 dy=(y-1)dx 或1-y y 2＝2x dx ，当xy ≠0,y ≠1时积分得 22x ＋y+ln 1-y +x 1=c (3)方程变形为 y dy +1＝x x sin cos dx,当y ≠-1,sinx ≠0时积分得 y=Csinx-1 (4)方程变形为 exp(y)dy=exp(2x)dx,积分得 exp(y)＝ 2 1 exp(2x)＋C (5)当y ≠±1时，求得通积分ln 1 1 +-y y =x+c (6)方程化为 x 2 ydx=(1- y 2 )(1+x 2 )dx 或2 2 1x x +dx=y y 21-dy,积分得 x －arctgx －ln y + 2 1y 2 =C

数理统计课后答案.doc

数理统计 一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数 2、设母体 ),,(~2 N X 已知，则在求均值 的区间估计时，使用的随机变量为 n X 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010 1 5u 4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 0H ：05.0 p 6、某地区的年降雨量),(~2 N X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 的矩估计值为 。 1430.8 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 2 *2 2*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS ，已知)4(~),20(~22 2221 ，则__________, b a 。 用 )1(~)1(22 2 * n S n ，1,5 b a 8、假设随机变量)(~n t X ，则 2 1 X 服从分布 。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 X P ，则____ 。 用),1(~2 n F X 得),1(95.0n F

2017年广东财经大学807概率论与数理统计硕士学位研究生入学考试试卷

欢迎报考广东财经大学硕士研究生，祝你考试成功！（第 1 页 共 3 页） 1广东财经大学硕士研究生入学考试试卷 考试年度：2017年 考试科目代码及名称：807-概率论与数理统计(自命题) 适用专业：071400 统计学 ［友情提醒：请在考点提供的专用答题纸上答题，答在本卷或草稿纸上无效！］ 一、填空题（10题，每题2分，共20分） 1. 已知P (A )=a , P (B )=b , P (A +B )=c ,则P ()= 。AB 2. 设有10个零件，其中3个是次品，任取2个，2个中至少有1个是正品的概率为 。 3. 如果每次实验的成功率都是p ，并且已知在三次独立重复试验中至少成功一次的概率为26/27，则p = 。 4. 设连续型随机变量X 的分布函数为，则当时，X 的概率密度? ??≤>-=-0,00,1)(3x x e x F x 0>x 。 =)(x p 5. 设二维随机变量（X , Y ）的概率密度函数为 ()()2 03,01,0 c x y x y p x y ?+<<<

厦门大学统计学考研868概率论与数理统计考试重难点名校真题答案与考试真题

厦门大学统计学考研868概率论与数理统计考试重难点、名校真题答案与考试真题 《概率论与数理统计教程》考试重难点与名校真题答案（茆诗松第二版）由群贤厦大考研网依托多年丰富的教学辅导经验，组织教学研发团队与厦门大学优秀研究生合作整理。全书内容紧凑权威细致，编排结构科学合理，为参加2019厦门大学考研同学量身定做的必备专业课资料。 《概率论与数理统计教程》考试重难点与名校真题答案全书编排根据厦门大学考研参考书目： 《概率论与数理统计教程》（茆诗松第二版） 本资料旨在帮助报考厦门大学考研的同学通过厦大教材章节框架分解、配套的课后/经典习题讲解及相关985、211名校考研真题与解答，为考生梳理指定教材的各章节内容，深入理解核心重难点知识，把握考试要求与考题命题特征。 通过研读演练本书，达到把握教材重点知识点、适应多样化的专业课考研命题方式、提高备考针对性、提升复习效率与答题技巧的目的。同时，透过测试演练，以便查缺补漏，为初试高分奠定坚实基础。 适用院系：

统计系：071400统计学（理学） 王亚南经济研究院：统计学（理学） 适用科目： 868概率论与数理统计 内容详情 本书包括以下几个部分内容： Part 1 - 考试重难点与笔记： 通过总结和梳理《概率论与数理统计教程》（茆诗松第二版）各章节复习和考试的重难点，建构教材宏观思维及核心知识框架，浓缩精华内容，令考生对各章节内容考察情况一目了然，从而明确复习方向，提高复习效率。该部分通过归纳各章节要点及复习注意事项，令考生提前预知章节内容，并指导考生把握各章节复习的侧重点。 Part 2 - 教材配套课后/经典习题与解答 针对教材《概率论与数理统计教程》（茆诗松第二版）课后/经典习题配备详细解读，以供考生加深对教材基本知识点的理解掌握，做到对厦大考研核心考点及参考书目内在重难点内容的深度领会与运用。

数理统计教程课后重要答案习题

第一章:统计量及其分布 19.设母体ξ服从正态分布N (),,2 σμξ 和2 n S 分别为子样均值和子样方差,又设 ()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量 1 1 1+--+n n S n n ξ ξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从??? ??+21, 0σn n N 分布. 所以 ()1,0~12 1N n n n σξ ξ+-+ 而 ()1~22 2 -n nS n χσ 且2 n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以 ()1~1111--÷+--+n t S n n n n S n n n σ ξ ξ分布. 即 1 1 1+--+n n S n n ε ε服从()1-n t 分布. 20. (),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布 N () ρσσ μμ2 2212 1 ,,,的子样,设 ()∑∑∑===-===n i i i n i n i i n S n n 12 111, 1,1ξξηηξξξ 2 ,()2 1 21∑=-=n i i n S ηηη和 ()() () ()∑∑∑===----= n i i n i i i n i i r 1 2 21 1 ηηξξ ηηξξ 试求统计量 () 122 2 21--+---n S rS S S η ξηξμμηξ的分布. 解: 由于() .21μμηξ-=-E ()() = -+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D n n n n 2 12 22 12σσρ σσ-+ . 所以 ()() n 2 12 22 121 2σρσσσμμ ηξ-+---服从()1,0N 分布 . () ()()()() ()()[] 2 1 1 2 1 2 1 212 22 122ηξηξ ηηξξηηξξ---=----+-=-+∑ ∑∑∑====i i n i i i n i i n i i n i S rS S S n

2014级硕士研究生数理统计试卷A

昆明理工大学2014级硕士研究生 《数理统计》试卷A 满分100分 考试时间：2小时30分钟 学院：＿＿＿＿专业：＿＿＿＿学号：＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿ 一、填空题（每空4分，共40分） 1. 设总体12,,,n X X X 是来自于正态总体2~(,)X N μσ的样本，2S 是样本方差，则2()D S = (2b^4)/(n-1) . 2. 11,,,m m m n X X X X ++ 为来自正态总体2~(0,)X N σ的样本，则统计量 m i X 服从 分布，自由度为 . 3. 设总体X 具有如下分布律， ， 已知取得样本值为 1231,2,1x x x ===，则θ的矩估计值为 . 4. 设n X X X ,,,21 是来自正态总体2~(,)X N μσ的简单随机样本，2,μσ均未知，记 21 1 1, ()n n i i i i X X Q X X n ====-∑∑，则假设0:0H μ=的T 检验应使用的检验统计量 为 . 5. 设n X X X ,,,21 和12,,,m Y Y Y 是分别来自于正态总体(,1)N μ和2(,2)N μ的两个样本，μ的一个无偏估计具有形式1 1 n m i j i j T a X b Y ===+∑∑，则a 和b 应满足条 件 ；当a =_________，b =__________时，T 最有效. 6. 正交表)2(78L 中,其中数字“2” 表示 , 数字“7”表示 . 22123 2(1)(1) k X θθθθ--p

二、（10分）某电子元件寿命（以小时计）T 服从双参数的指数分布，其概率密 度函数为(c)/1()0 t e t c f t θ θ--?≥?=???其他，其中,c θ（0,0c θ>>）为未知参数，自一批 这种元件中随机的取n 件进行寿命试验，设它们的失效时间依次为12n x x x ≤≤ ，求参数,c θ的最大似然估计。 三、（10分）根据某市公路交通部门一年中前6个月的交通事故记录统计得一周 中周一至周日发生交通事故的次数如下，问交通事故的发生是否与周几无 关？ （222 10.0510.050.050.05,(6)12.59,(7)14.07,(6) 1.64,αχχχ--====) 四、（15分）在钢线炭含量对电阻的效应的研究中，得到如下数据： （1） 求出回归方程y a bx =+ ；（2）求2σ的估计；（3）检验回归系数的显著； （4）若回归效果显著，求参数b 的水平为0.95的置信区间。 （05.0=α，0.975(5) 2.5706t =，0.95(1,5) 6.61F =）。解题过程中所用的中间数据： 7 1 3.8i i x ==∑,71 145.4i i y ==∑,72 1 2.595i i x ==∑，72 1 3104.2i i y ==∑，7 1 85.61i i i x y ==∑ 五、（10分）一药厂生产一种新的止痛药，厂方希望验证服用新药后至开始起作 用的时间间隔较原来的止痛药至少缩短一半，因此厂方提出如下假设检 验：012112:2, :2H H μμμμ≤>。其中12,μμ分别是服用原止痛药和服用新止痛 药后至起作用的时间间隔的总体均值，设两总体均为正态总体且方差已知，分别 为21σ和22σ，现分别从两总体中抽取样本112,,,n X X X 和212,,,n Y Y Y 且两样本独 %0.100.300.400.550.700.800.951518192122.623.8 26 碳含量 x （）电阻 y 1234567 36232931346025星期次数

数理统计课后答案

） 数理统计 一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数 2、设母体σσμ),,(~2 N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为 n X σ μ - 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010 1 5u ?± ; 4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 0H ：05.0≤p 6、某地区的年降雨量),(~2 σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 σ的矩估计值为 。 ~ 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 2 *2 2*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~22 2221χχχχ，则__________,==b a 。 用 )1(~)1(22 2 *--n S n χσ，1,5-==b a 8、假设随机变量)(~n t X ，则 21 X 服从分布 。)1,(n F

9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 =≤λX P ，则____=λ 。 用),1(~2 n F X 得),1(95.0n F =λ 10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ， X 为子样均值，而 01.0)(=>λX P ， 则____=λ 01.04)1,0(~1z N n X =?λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2 σμN ，令∑∑==-=16 11 10 1 43i i i i X X Y ，则Y 的 分布 )170,10(2 σμN % 12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2 S 分别是子样均值和子 样方差，令2*2 10S X Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。)9,1(01.0F =λ 13、如果,?1θ2?θ都是母体未知参数θ的估计量，称1?θ比2?θ有效，则满足 。 )?()?(2 1θθD D < 14、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2σμN ，∑-=+-=1 1 2 12 )(?n i i i X X C σ 是2σ的一个无偏估计量，则_______=C 。 ) 1(21 -n 15、假设子样921,,,X X X 来自正态母体)81.0,(μN ，测得子样均值5=x ，则μ的置信度是95.0的置信区间为 。025.03 9 .05u ?± 16、假设子样10021,,,X X X 来自正态母体),(2 σμN ，μ与2 σ未知，测得子样均值 5=x ，子样方差12=s ，则μ的置信度是95.0的置信区间为 。 025.0025.0025.0)99(),99(10 1 5z t t ≈?± 17、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2 σμN ， μ与2σ未知，计算得

研究生数理统计第三章习题答案

习 题 三 1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量( )2 4.55,0.108 X N .现在测试了5炉铁水，其含 碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？ 解 由题意知，()2 4.55,0.108X N ，5n =，5 1 1 4.3645i i x x ===∑，0.05α=， ()52 2 01 10.095265i i s x μ==-=∑. 1)当00.108σ=已知时， ①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.97512 1.96u u α - ==，临界值12 0.108 1.960.09475 c u n ασ - = = ?=， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->. ③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化. 2)当0 4.55μ=已知时， ①设统计假设2 2 2 2 2 2 0010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值 ()()()()222210.02520.975122 111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-= =====， 拒绝域为2 2 2 2 0212 2 2 2 0000{ }{ 2.56660.1662}s s s s K c c σσσσ=><=><或 或 . ③ 2 02 2 00.09526 8.16700.108 s K σ= =∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化. 2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.已知该种元件寿命( )2 ,100 X N μ ，问这批元件是否合格()0.05α=？

研究生《应用数理统计基础》庄楚强 四五章部分课后答案

4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm ）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49 试用W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平05.0=α） （参考数据：） 4-45. 解：数据的顺序统计量为： 10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82 所以 6131 .0][)()1(5 1 ) (=-= -+=∑k k n k k x x a L ， 又 5264.10=x ， 得 38197 .0)(11 1 2 =-∑=i i x x 故 984.0) (11 1 2 2 =-= ∑=i i x x L W ， 又 当n = 11 时，85.005.0=W 即有 105.0<

概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示 下列事件：

广西大学数理统计试卷2004-2005

广西大学研究生课程考试试卷 2004 --- 2005 学年度第二学期 课程名称：数理统计试卷类型：A 卷 命题教师签名：院长(系主任)签名： 注：考试过程不允许将试卷拆开! 一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1、假设子样 9 2 1 , , ,X X X 来自正态母体) 81 .0, (μ N，测得样本均值5 = x， 则μ的置信度是95 .0的置信区间为。（96 .1 025 .0 = u） 2、假设子样 n X X X, , , 2 1 来自正态母体) , (2 σ μ N，μ与2σ未知，计算得75 . 14 16 116 1 = ∑ =i i X，则原假设 H：15 = μ的t检验选用的统计量为。3、 某产品以往废品率为5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否低于5%， 此问题的原假设为。 6、设 n X X X , , 2 1 为母体X的一个子样，如果) , , ( 2 1n X X X g ，则称) , , ( 2 1n X X X g 为统计量。

二、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分) 1、母体均值的区间估计中，正确的是 （ ① ） ① 置信度α-1一定时，样本容量增加，则置信区间长度变短 ② 置信度α-1一定时，样本容量增加，则置信区间长度变长 ③ 置信度α-1增大，则置信区间长度变短 ④ 置信度α-1减少，则置信区间长度变短 2、对于给定的正数α，10<<α，设αz 是标准正态分布的α上侧分位数，则有（ ④ ） ① αα-=<1)(2 u U P ② αα=<)|(|2 u U P ③ αα-=>1)(2 u U P ④ αα=>)|(|2 u U P 3、设n x x x ,,,21 为来自),(~2 σμN X 的子样观察值，2 ,σμ未知，∑==n i i x n x 1 1 则2 σ的矩估计值为 （ ② ） ① ∑=-n i i x x n 12)(1② ∑=-n i i x x n 1)(1 ③ ∑=--n i i x x n 12)(11 ④∑=--n i i x x n 1 )(11 4、在假设检验中，记0H 为原假设，则犯第二类错误是（ ③） ① 0H 成立而接受0H ② 0H 成立而拒绝0H ③ 0H 不成立而接受0H ④ 0H 不成立而拒绝0H 5、假设母体X 的数学期望μ的置信度是95.0，置信区间上下限分别为样本函数 ),(1n X X b 与 ),,(1n X X a ，则该区间的意义是（ ① ） ① 95.0)(=<

最新研究生《应用数理统计基础》庄楚强-何春雄编制---课后答案

研究生 习题2： 2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=， 试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2 χ分布。 2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η 所以 )1,0(~3 1 N η ， )1,0(~3 2 N η )2(~)(3 1332 22212 22 1χηηηη+=??? ??+??? ?? 由于 2 22 1ηηη+= 因此 当 3 1=c 时，)2(~2 χηc 。 2-8. 设 ),,,(1021ξξξΛ为)3.0,0(2 N 的一个样本，求 ? ?? ???>∑=101244.1i i P ξ 。（参考数据：） 2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(2 1021N ξξξξΛ=， 所以 )1,0(~3 .0N ξ ， 即有)10(~3.0210 12 χξ∑=?? ? ??i i 所以 ??? ???>∑=101244.1i i P ξ??????>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ??????>=∑=10122163.0i i P ξ ? ?? ???≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-= 2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{} 20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样 本均值。（参考数据：）

2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212( -Φ--Φ=)2 1 ()21(-Φ-Φ= 1)2 1 (2-Φ=3830.016915.02=-?= 由于 )4,1(~N ξ ， 所以 )1,0(~21 1 16 21N -=-ξξ {} 20≤≤ξP ????? ?-≤-≤-=21122112110ξP ? ?? ???≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-?=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2 N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的 绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2 N ξ， 所以 )1,0(~2 80 100 20 80 N -= -ξξ 所以 {}380>-ξP {} 3801≤--=ξP ?? ? ?????? ?≤--=232801ξP ? ?? ???≤ -≤--=23280 231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-= 2-25. 设总体ξ的密度函数为 ?? ?<<=其它 102)(x x x p 取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求： （1） 顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）??? ? ??>21)3(ξP 。 2-25解：（1）由 ()()[][])()(1)(! !1! )(1)(x p x F x F k n k n x p k n k k -----= ξ 所以 当 10<