小数,分数和百分数
专题讲座
小学数学“分数、小数和百分数”的教学研究与案例评
析
孙兴华（特级教师）
一、《课标》中分数、小数、百分数内容的理解
分数、小数的认识分散安排在两个学段，第一学段是分数和小数的初步认识；第二学段是认识分数和小数概念。百分数的认识安排在第二学段。《标准》中与分数、小数和百分数的认识有关的内容要求如下：
第一学段：能结合具体情境初步认识小数和分数，能读、写小数和分数。能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小。
第二学段：结合具体情境，理解小数和分数的意义 , 理解百分数的意义（参见例一）；会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数）。能比较小数的大小和分数的大小。
分数、小数是数的概念的一次重要扩展，与学习整数相比，学生对于分数、小数的学习要困难得多。分数、小数无论在意义、书写形式、计数单位、计算法则等方面，还是在学生的生活经验等方面，都与自然数有较大不同。分数、小数的学习重点在于，结合学生的生活经验，初步理解分数和小数意义，能够认、读、写小数和分数。
分数与小数的共同点都是有理数，并且本质上小数是特殊的十进制分数。分数有两个含意，一是表示部分与整体的关系，是一个比率，比如，把一个月饼等分为5 份，那么其中的一份是 1/5 ，两份是 2/5 。分数还是一种无量纲的数，也就是说，无论是一块小月饼还是一个大蛋糕，如果分五份的话，那么每一份都是
1/5 ，与整体本身的大小无关。应当注意到的是，通过等分得到分数单位：前面所述的 1/5 就是分数单位，而 2/5 表示的是两个分数单位： 2/5 = 2 ×1/5 =1/5 + 1/5 。分数的另一个含意是表示一个具体的量，如 1/3 米， 1/3 千克等。分数大多数情况下是用来表示一个比率，因此，分数的第一种表示在实际教学应当成为重点。小数表示的是具体的数量，和整数一样是数量的抽象。
在分数的意义中，分数单位很重要。利用分数单位，容易得到同分母分数的加法：1/5 + 2/5 = 3/5 。这个运算表示的是：一个分数单位加上二个分数单位等于三个分数单位。对于分母不同的分数的大小比较以及加法运算，必须对原有的分数单位进一步等分。比如，对分了 5 份的月饼的每份再二等分，得到的新单位是原来整体的 1/10 ，即 1/5 × 1/2 = 1/10 。原来单位与新单位的关系是 1/5 =
2/10 ；进一步，原来单位的两份等价于新单位的四份： 2/5 = 2 × 1/5 = 2 ×2/10 = 4/10 。正是因为这个原因，才有通常所说的分数的性质：分数的分子和分母同时扩大或者缩小相同倍数，分数大小不变；分母不同的分数的大小比较可以化为分母相同的分数比较，进而得到一般的异分母分数的加法运算法则。
小数的表征形式与整数相似，都是十进制。如果以个位为基础，向左扩展就是十位、百位、千位；如果向右扩展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。从这个意义上说，对小数的理解比对分数的理解更容易一些。
百分数是特殊的分数，其数量上的意义与分数完全相同。由于百分数在实际应用中的特殊性，因此，将百分数作为一个专门的内容学习。所以学习百分数的重点在于应用，用百分数表示现实生活中的实际问题。
小数和分数的学习分为两个学段，第一学段是小数和分数的初步认识，第二学段是小数的意义和分数的意义的理解。两个学段的重点不同，呈现的方式和学习的方式也应当有区别。第一学段的初步认识在于从实际情境中具体的了解小数和分数，重在现实情境的选择和运用。如小数的认识一般从物品的标价引入。以元为单位， 3.5 元就表示 3 元 5 角。分数的初步认识是从分物体出发，把一个饼、一个苹果平均分成 5 份，一份就是它的 1/5 。第一学段的初步认识可以先认识分数，再认识小数。知道 1/10 ，再理解 0.1 就更容易一些。而在第二学段也可以先认识小数的意义，再认识分数的意义。因为，接下来的运算问题，小数要比分数容易，小数的运算过程与整数基本相同，分数的计算要复杂得多。
在学习了小数、分数和百分数之后，应当使学生了解它们之间的关系。可以通过具体的问题帮助学生了解分数、小数和百分数的含义，以及它们的联系。
例一：说明 0.25 和 25% 的含义。 (《标准》例 25)
在这个例子中，使学生了解，分数、小数和百分数都是有理数的常用表示方法，
0.25 元；百分数是同分母（统一标准）的比值，便于比较，如去年比前年增长 21% ，今年比去年增长 25% 。希望学生能够理解它们的含义，在生活中能够合理使用。
二、核心内容的深层理解与教学策略
（一）分数的意义
德国数学家克罗内克有一句名言：―上帝创造了自然数，其余都是人造的。‖第一个―人为‖的数是正分数。早在人类文化发展的初期，由于进行测量和均分的需要，人们引入并使用了分数。在拉丁文里，―分数‖一词源于 frangere ，是打破、
断裂的意思，因此分数也曾被人叫做―破碎的数‖。在数的历史上，分数几乎与自然数同样古老，在各个民族最古老的文献里，都能找到有关分数的记载，然而，分数在数学中传播并获得自己的地位却用了几千年的时间。
问题 1 ：小学阶段分数扩充缘于什么需要？分数的作用是什么？分数的无量纲性的意义是什么？
分数的扩充一般由两种需要：一是分东西的过程中，需要对一个物体进行切割与分配时，整体中的―部分‖无法用自然数来表示，就需要有刻画―部分‖的方式方法；二是计算过程中，―2÷3= ？‖无法用自然数表示计算的得数，就需要有刻画这类除法运算结构的方式方法。
分数的两个作用：一个是作为有理数出现的一种数，作为运算中出现的一种数，它能和其他的数一样参加运算。另一个作用是以比例的形式出现的数。最重要的分数是真分数，它代表一件事物的一部分，其本质在于它的无量纲量性。比如：盘子大小的 1/2 代表的实际意义，与足球场大小的 1/2 代表的实际意义是不尽相同的，但在讨论分数时是等价的。
关于分数的无量纲性：―量纲‖一词来源于物理，比较通俗地解释是：基本物理量的度量单位，例如长短、体积、质量、时间等等的单位。这些单位反映物理现象或物理量的度量，叫做―量纲‖。无量纲就是没有单位的量。通常是比值或者概率。分数的本质在于它的无量纲性，即用分数表示部分与整体的关系时，不需要考虑物体的形状、大小，只看把这个物体或整体平均分成了几份，要表示这样的几份，分母、分子就对应的是几。
分数的无量纲性的意义在于，能够把事物的许多不可比的状态变成可比的状态。例如：一个小国家的老百姓的生活质量和富有程度，与一个大国家的老百姓的生活质量和富有程度，在很多情况下并不是可比的，但是，一旦转换成人均 GDP ，得到了 GDP 指数，或者得到恩格尔系数就可以进行相互之间的比较了。通常用百分数来表示这种增长率：增长率 =[ （今年 GDP–去年 GDP ） / 去年GDP]×100% 。
问题 2 ：分数的意义可以从哪些基本维度理解？
北京教育学院的张丹老师对分数从两个基本维度和四个具体方面进行了解释，这对我们理解分数有很大的启发。两个维度一个是比，一个是数。四个具体方面是比率、度量、运作、商。具体来说：
1. 比率：是指部分与整体的关系和部分与部分的关系。
其中部分与整体的关系更多地体现在真分数的含义中。例如一个圆平均分成 4 份，每一份是整体的 1/4 。又如，一个长方形面积是整个长方形的 1/3 ，整体图形的面积应该是多少？显然，整体图形的面积应该是这样的三份。这里的 1/4 和 1/3 所反映的就是取的份数与整体份数之间的关系。
部分与部分之间的关系更多地表现为是一种―记号‖。例如小红有 5 个苹果，小丽有 3 个苹果，小红的苹果是小丽的 5/3 倍。对比率维度的理解，可以帮助学生完成对分数的基本性质以及通分、约分等相关知识的正确认识。
2．度量：指的是可以将分数理解为分数单位的累积。例如 3/4 里面有 3 个
1/4 ，就是用分数 1/4 作为单位度量 3 次的结果。―数起源于数，量起源于量。‖自然数主要用于数个数，即离散量的个数。当测量连续量（如物体的长度）时，先需要选定度量单位，数被测物体中包含多少个度量单位，不能数尽，为了得到更准确的值，把原来的度量单位分割为更小的度量单位（平均分为 10 等份，以其中一份作为新的度量单位）
3．运作：主要指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程。例如，想知道 6 张纸的 2/3 是多少张纸，学生将理解为整体 6 张纸的 2/3 ，即将 6 张纸这个整体平均分成 3 份，取其中的 2 份，列出算式就是 6÷3×2 ，也就是 6×2/3 。
4．商：这个维度主要是指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由―过程‖凝聚到―对象‖，即分数也是一个数，也可以和其他数一样进行运算。
问题 3 ：学生理解分数可以借助哪些模型？
1. 分数的面积模型：用面积的―部分——整体‖表示分数。儿童最早是通过部分——整体来认识分数的，因此在教材中分数概念的引入是通过平均分某个正方形或者圆，取其中的一份或几份（涂上阴影）认识分数的，这些直观模型即为分数的面积模型。对于分数的面积模型，在学习过程中学生经常遇到一些困难，如：
(1) 能否认识到图形―面积相等‖的必要性，即整体 1 是否一样大；
(2) 是否习惯于图形语言到符号语言表达的转换；
(3) 理解大于整体 1 的分数；
(4) 从表示多于一个单位的图形中确定谁作为单位 1 。
2. 分数的集合模型：用集合的―子集——全集‖来表示分数。分数集合模型的核心是把多个看作整体 1 ，分数集合的优点是有利于用比较抽象的数值形式表示比与百分比。分数的集合模型的缺点是容易对假分数产生误解，这与面积模型的问题完全一样：谁作为整体 1 ，这既是认识分数的一个核心，同时也是一个难点。 J·Martin 总结出整体―1‖可以分为以下六种情况（以 1/5 为例）：
(1) 1 个物体，例如一个圆形，平均分为 5 份，取其中的 1 份；
(2) 5 个物体，例如 5 块糖，其中的 1 块占 5 块的 1/5 ；
(3) 5 个以上但是 5 的倍数，例如 15 块糖，平均分为 5 份，取其中的 1 份；
(4) 比 1 多但比 5 少，例如 2 块巧克力作为整体；
(5) 比 5 个多不能被 5 整除，例如 7 根香蕉作为整体；
(6) 一个单独物体的一部分的五分之一，例如，一米的四分之三的五分之一。
以上六种情况不可能让学生同时学习，但学生逐步地经历这些情境对学习分数是非常必要的，特别是前三种情境；第四和第五种情境对于学生进一步理解分数与除法的关系非常必要；情境六则是学生很好地理解分数乘分数的模型。
3. 分数的数线模型：是用数线上的点表示分数。分数的数线模型与分数的面积模型相联系：一个分数可以表示单位面积的一部分，也可以表示单位长度的一部分，前者 2 维，后者 1 维是线性的，是用点来刻画分数。
4. 分数与除法 \ 比的关系：对分数的另一种理解是把分数与除法联系起来，分数是除法的运算结果。分数与除法的互相转化有重要作用：把分数化为小数或百分数。
问题 4 ：分数意义的教学策略有哪些？
1. 分数的初步认识引入可以从以下方面考虑：
（ 1 ）从平均分东西中，由分得的结果是整数，过渡到分得的结果是分数。
（ 2 ）从除法运算入手，当商不能用整数表示时，就引入分数表示两个数相除的商。
（ 3 ）从测量入手，得不到整数结果，可以用分数表示。
（ 4 ）在分数概念教学中，不但要强调―平均分‖，还要强调它是一个―数‖。（ 5 ）在解决―用分数表示图形的大小‖时，要让学生掌握解这类题的思维过程。
引入分数的情境应该让学生体会到分数产生的必要性。既然分数是人们要进行测量和均分才产生的，它的呈现应使人们解决这些问题。那么，我们教学的时候，可以遵循分数产生的历史，设计一个一定要用分数解决问题的情境，让学生感到，分数的出现在情理之中，学这个知识很有用，这样才能够引起学生的充分注意，引发学生的学习兴趣。
下面是三位特级教师上分数初步认识的案例：
例二：分数的初步认识情境 1
从孩子们熟悉的生活中单刀直入开始了知识的学习。―有 4 个桃子，平均分 2 个
人，每人得到几个？‖―啪——啪‖学生用两下整齐的掌声回答了问题。―有 2 个桃子，平均分 2 个人，每人得到几个？‖―啪。‖―只有一个桃子，平均分 2 个人，每人得到几个？‖同学们你看看我，我看看你，面面相觑。突然有几个同学用右手尖点了一下右手心，―半个‖；还有的同学两手心相对并不合上，表示―半个‖。
吴老师继续说：―对，半个。半个该怎么写呢？小朋友们，能用你喜欢的方法来表示一个桃子的一半吗？‖吴老师认真地看着同学们的板书，孩子们用不同的方式表示着自己心中的―一半‖。接着，吴老师请这些同学一一介绍自己的表示方法，解释每种表示方法的含义。
吴老师不紧不慢地说：―小朋友们，你们用自己喜欢的方式表示了桃子的一半，说明你们很有办法。不过，我向大家介绍一种更科学、更简便的表示方法。当把一个桃子平均分成两份，表示这样的一份时，可以像这位同学一样用这个数 1/2 来表示。‖她边说边走到黑板前，用红粉笔框住了 1/2 。―你们知道这个数叫什么名字吗？‖同学们不敢肯定地回答：―分数。‖吴老师边出课题边肯定大家的答案：―对啦，叫做分数。‖接着，吴老师又一次回到 1/2 前，给同学们引荐这位数的大家族中的新朋友 ---―分数‖。孩子们在吴老师的带领下自然而然地进入了新知识的学习。
例三：分数的初步认识情境 2
A. 看连环画听故事
老师：喜欢听故事吗？那我们一起来听有关大头儿子的故事吧！
天热了，小头爸爸到商场买凉席。到了卖凉席垫的柜台，他遇到麻烦了……于是给他的大头儿子打电话。
小头爸爸：我忘了量床的长了，你找把尺子量一量床有多长。
大头儿子：噢！
旁白：大头儿子在家里找来找去，就是没找到一把尺子，怎么办呢？ ( 停 3—5 秒 ) 突然他想了个好主意。
大头儿子：爸爸，你今天打领带了吗？小头爸爸：打领带？哦，真是个聪明的大头，快量吧！
旁白：大头儿子拿来一根爸爸的领带。他用领带一量，嘿！巧啦，床正好是两个领带长。
大头儿子：爸爸，床是两个领带长。
小头爸爸：儿子真有办法！我知道了。嗳，儿子再量一下沙发的长吧！
旁白：大头儿子再用这根领带去量沙发。唉，沙发没有一个领带长。怎么办呢？
大头儿子把领带对折来量。唉，沙发又比对折后的长一些。大头儿子再想办法，他将领带对折再对折。一量，巧啦，沙发正好有 3 个这么长。大头儿子真高兴啊！可是，他也碰到难题了。
大头儿子： ( 自言自语地 ) 床是 2 个领带长，现在我怎么跟爸爸说沙发是多少个领带长呢？
B. 帮助解疑
大头儿子：―怎么跟爸爸说这个沙发有多少个领带长呢？‖
你有办法表示出这样 4 份中的 3 份吗？
学生在纸上创作，教师巡视，指名展示。
C. 揭示分数
老师：小朋友很会动脑筋，用自己喜欢的方式表示出这样 4 份中的 3 份。你认为哪个最好？你想知道大人们是怎样表示的吗？嗯，与这位同学想的一样。 ( 红笔框 ) 你知道这样的数叫什么？ ( 板书：分数 )
老师： 3/4 是什么意思呢？任选一张你喜欢的纸片，想办法表示出 3/4 的意思。可以折一折，也可以画一画。
学生用不同的方法表示了 3/4 。
老师板书：平均分，分 4 份，取 3 份……
例四：分数的初步认识情境 3
师： 1×2 和 2×1 这两个算式都是用 1 和 2 组成的乘法算式，请你用 1 和 2 这两个数组成尽可能多的加法、减法、乘法、除法算式（能写几个就写几个）。
学生听清要求后，开始动笔书写，教师巡视，不一会，学生自信地举起了一双双小手。
生 A ： 1×2 ＝ 2 、 2×1 ＝ 2 、 1 ＋ 2 ＝ 3 、 2 ＋ 1 ＝ 3 、 2÷1 ＝ 2 、2 － 1 ＝ 1 。
生 B ：我补充，从大姐姐的书上看到过倒过来写―1 － 2‖的算式，可是等于多少，我看不懂。
学生 B 的语调由自信渐趋信心不足，并抓耳挠腮起来。这时，还有几个学生迫不及待地把手高举过头，唯恐老师没注意。
生 C ：爸爸教过我 1 － 2 ＝－ 1 。
生 D ：我还有补充， 2÷1 倒过来可以写出 1÷2 的除法算式。
师：你们知道的真多！ 1 减 2 的确等于负 1 ，今天这节课我们不研究 1 － 2 ，我们来研究 1÷2= ？
师：根据除法的意义，想想 1÷2 是什么意思？
学生愕然，有的紧锁眉头，有的摇头，教师用亲切的目光扫视着学生；学生用期盼的目光凝视着老师。
师：想知道吧！我们还是从除法的意义开始吧！
教师引导学生回顾并板书了―被除数÷除数 = 商‖后，紧接着先后出示了―4÷2= 2‖、―2÷2= 1‖让学生分别说出了―平均分‖的具体意义。
师： 1÷2= ？表示什么？
生 E ：把 1 个苹果平均分成 2 份，每份是半个。
生 F ：把 1 块饼平均分成 2 份，每份是半块。
生 G ：把 1 个东西平均分成 2 份，每份是 2 份里的 1 份，也就是 1÷2 。
师：半个东西原来是指把一个东西平均分成 2 份，是一个分数，它是 1÷2 的商。
师追问：如果把 1 看成是一张纸的话， 1÷2= 表示什么？
2. 分数的再认识，重点要让学生理解单位―1‖的含义，可以从以下考虑：
（ 1 ）先复习由一个图形组成的单位―1‖，然后把这个图形平均分若干份，让学生直观地认识到，分成的若干份可以合成一个整体，形成单位―1‖的概念。
（ 2 ）联系学生的生活实际，先说一说―多‖和―1‖，再引出单位―1‖的含义。如：大家来说―多‖和―1‖——4 个人组成 1 个小组； 6 个小方块组成 1 个整体； 13 亿人组成 1 个国家； 30 个人组成 1 个班级； 50 朵花装满 1 只花篮； 48 个班级组成 1 个学校； 12 个三角形组成 1 个整体；……
（二）小数的意义
1. 小数的产生
16 世纪荷兰的数学家、物理学家同时也是一位军人的斯蒂文最早发明小数，当时是为了便于计算复杂的利息问题。斯蒂文发现，当利率都是以 10 、 100 、
1000 等作为分母时，按照复利计算的利息问题将变得简单，其结果都是以分母是 10 、 100 、 1000 等的分数表示，但还是不太便于比较大小和计算。于是他发现用―小数‖（当时的小数书写形式不是现在的样子，没有小数点）表示非常方便，于是创造出―十进小数‖，进行小数的四则计算非常简单，类似于自然数的四则计算。从其发生的本源来看，小数是基于十进分数而创造出来的，是―原创的‖。实际上，人为的―约定‖、―规定‖就是人的一种创造，是一种新的顿悟与发现。
18 世纪人们才建立起稳定的十进位小数表达形式，这比微积分的出现还要晚100 多年。建立小数的概念，一方面是为了现实世界中数量表达的需要，比如：6 元 7 角 5 分就可以表示为 6.75 元；另一方面是为了数学本身的需要，主要
是为了表示无理数。比如：虽然人们很早就知道
无理数的加法运算。如果借助小数，就可以把这两个无理数分别表示为：
…和…，
这样，于是就可以进行加法运算了：
… + 1.7320508…=3.1462643…。
小数是一种特殊的分数，但是又独立于分数，小数是十进制记数向相反方向延伸的结果。无限循环小数使得我们不得不正面处理无限，向无限进军。
小数产生的两个前提：一是十进制记数法的使用；二是分数概念的完善。
小数产生的两个动因：一是十进制计数法扩展完善的需要；二是分数书写形式的优化改进。
小数的出现标志着十进制记数法从整数扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一。我们现在的小数定义就是根据这种形式变换过程来定义的，将十进分数改写成不带分母形式的数就叫做小数。（英文 a decimal fraction ； a decimal figure ； a decimal ）
小数的出现，是基于十进制表示数量的需要。人们在度量物体的过程中，总是把人容易感知、触及的量作为合适的单位，如一尺、一斤、一元等，然后依十进制发展出大数目的位值系统。然而社会生活往往还需要比单位 1 更小的计量，于是有了尺以下的寸、分；斤以下的两、钱；元以下的角、分。按照十进制的要求，产生 10 寸为一尺， 10 两为一斤， 10 角为 1 元的设置。这是十进制记数的制度，沿着相反方向延伸。小数产生的本原在于计量的需要，并非分数概念的附庸。
2. 小数的教学策略
生活中的小数的经验远比分数要多。货币中的元、角、分，长度度量中的米、分米、厘米都是实际使用的小数。所以学习小数具有充分的实践基础。小数的认识在教学中应注意以下几个方面：
(1) 引导学生经历小数形成的过程，整体感悟小数与整数、分数之间的内在联系，感悟小数的各个数位及其含义。
(2) 引导学生对小数进行分类和根据数位顺序表进行小数的读写。
(3) 引导学生了解小数在生活中的意义和作用，理解小数的不同组成。
(4) 引导学生对整数和小数基本概念的梳理，使学生形成对数概念认知的结构化，同时也为后续的学习奠定基础。
小数的教学具体可以从以下几个方面进行把握：
(1) 基于学生的生活经验学习小数，在具体的―量‖中理解小数的现实意义。这里具体的量主要指钱数、长度，可以从―生活中的小数（价钱）‖引入，理解用小数表示的价钱是什么意思，通过呈现小数在生活中的应用场景让学生感受到小数是一个生活中常见的―数‖，进而以―米制系统‖为直观模型认识一位小数就是十分之几的分数、二位小数就是百分之几的分数，认识小数数位上的数字的―分数意义‖以及―现实意义‖。在此基础上，再用整数、分数、小数表示―钱数‖，进一步让学生认识到―同一个量，既可以用自然数表示，也可以用小数、分数表示‖。其难点是当两位小数中十分位、百分位是―0‖时如何用小数表示现实的量。
(2) 利用学生的旧知经验引导探索发现小数的意义。小数的本质意义不是十进分数的另一种写法，而是基于―十进制计数法‖的拓展。因此，教师要创作一个素材，让学生把小数和十进分数联系起来，而且是能形象地看到这种联系的现象，那么学生就能自主发现小数的意义了。比如有的老师做了这样的设计：长度是 10 厘米的长方形纸条，当把纸条看做 1 元时，让学生表示出 0.3 元，借用了学生的已知经验 1 元 =10 角来进行分数、小数的联系。这样的设计利用了学生的已知经验来探索，变抽象的数学概念为直观的数学模型，让学生经历这个―再创造‖
的过程，远比告知学生―十分之几就可以记作零点几‖更有价值，学生从这一探索中发现的不仅是小数，而是研究小数的方法和意义。
(3) 利用学生的实际经验突破混小数的认识。认识混小数要突破学生总认为小数是比 1 小的数的错误思维定势。如：有的老师利用了学生已知的量身高的经验理解几点几。先出示一个婴儿的身高，用 1 米去量足够了，然后再量三年级同学的身高，当 1 米量三年级同学的身高不够时怎么办？学生自然而然想到了再接一段，再接的那段是 0.3 米，然后 1 米和 0.3 米合起来是 1.3 米，这一教学环节很好地沟通了纯小数和混小数的联系，让学生从实际生活经验中轻松地理解了混小数的意义。
(4) 用可视化的―形‖认识抽象的―数‖。教学不应停留在教师直接的讲解和―告诉‖，而应让学生充分展开探索过程，借助于直观图示的形象支撑，建立起了一位小数的―直观模型‖（长方形等分、涂色）。然后将一位小数（纯小数、混小数）的认识拓展到―米制系统‖，进而再在半抽象、半形象的―数轴‖上认识小数（从―米尺‖到―数轴‖的抽象过程非常巧妙）。从借助―面积模型‖、―线段图模型‖到―数轴‖来认识小数，所用的工具从直观形象到半抽象半形象，符合学生的认知特点，有助于学生数学学习过程的顺利展开与实施。其实更为重要的是，恰当地运用这些直观模型为学生理解和运用―数形结合‖思想积累了数学活动经验。
（三）百分数的认识
百分数在形式上不同于分数，但是，它们都是从分数中分离出来的。分数中分离出十进分数，将其改写成不带分母形式的数（按计数原则进行计数）就是小数；
分数中分离出分母是 100 （
百分号（ % ）形式的数就是百分数（十分数、百分数、千分数、万分数、……）。百分数有两种不同的定义：
1. 分母是 100 的分数叫做百分数。这种定义着眼于形式，把百分数作为分数的一种特殊形式。
2. 表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的数叫做百分数。这种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分数又叫百分比或百分率。百分数通常不写成分数形式，而采用符号―％‖来表示，叫做百分号。
百分数与分数的区别：
1. 意义不同，百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可带单位名称。
2. 百分数的分子可以是整数，也可以是小数；而分数的分子不能是小数只是除 0 以外的自然数；百分数不可以约分，而分数一般通过约分化成最简分数。
3. 任何一个百分数都可以写成分母是 100 的分数，而分母是 100 的分数并不都具有百分数的意义。
4. 应用范围的不同，百分数在生产和生活中，常用于调查、统计、分析和比较，而分数常常在计算、测量中的不到整数结果时使用。
百分数一般有三种情况：
1. 可以大于 100% ，如：增长率、增产率等。
2. 只能 100% 以下，如：出油率、出面粉率等。
3. 最大只能 100% ，如：正确率，合格率。
最新小数、分数、百分数和比知识点归纳
知识要点归总——总复习 数的认识（二）小数、分数、百分数和比 知识点一小数 1．读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作：“点”，小数部分从高位到低位顺次读出每个数位上的数字。 2．写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作“0”，小数点点在个位的右下角，小数部分从高位到低位顺次写出每一个数位上的数字。 3．小数的大小比较：比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同的，百分位上的数大的那个数就大……4．求小数的近似数：根据要求保留小数位数，确定好从哪一位起按照“四舍五入”的方法省略尾数。 5．小数化成分数的方法：先把小数改写成分母是10，100，1000…的分数，再约分，就化成了分数。 6．小数化成百分数的方法：先将小数点向右移动两位，再在后面添上“%”，就化成了百分数。 7．小数的分类： （1）按整数部分分类：分为“纯小数”和“带小数”两种。“纯小数”是指整数部分为“0”的小数。例如：0.8，0.207，0.0012等。“带小数”是指整数部分不为“0”的小数。例如：2.3，12.608，300.168
等。一般说来，纯小数都小于1，而带小数都大于1或等于1。（2）按小数部分分类：分为“有限小数”和“无限小数”两种。小数部分的位数有限的小数，叫做有限小数；小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。 （3）无限小数的分类：在无限小数中又分为无限循环不数和无限不循环小数。无限循环小数是指一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做无限循环小数，简称“循环小数”。无限不循环小数是指一个小数的数位无限多，而且小数部分各数位上的数字是不循环的，这样的小数叫做无限不循环小数。在小学数学中，圆周率（π）3.1415926…便是一个无限不循环小数（无理数）。 （4）循环节：依次不断重复出现的一个或几个数字，叫做这个循环小数的循环节。 （5）循环点：记循环小数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“˙”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。这样的圆点叫做循环点。 （6）无限循环小数的分类：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。8．小数的基本性质： 小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。 知识点二分数
百分率、小数和分数化成百分数
蒙自市教科所学导设计(四小修改版) 学校：蒙自市第四小学教师：苏慧清 科目数学年级六年级课型新授 课题百分率、小数和分数化成百分数课时1 课堂目标及重难点 1、理解各种百分率的意义，会求常见的百分率。 2、理解并掌握小数、分数化成百分数的方法，能正确地将小数或分数化成百分数。 目标达成、反馈、拓展延伸及时间预设（分钟） 任务一复习旧知识 1、把下面的小数化成分数。 0.6＝ 3 5 1.85＝ 37 200.236＝ 59 250 2.把下面的分数化成小数。 3 25 ＝0.12 73 100 ＝0.73 153 90＝1.7 3、百分数的意义是什么? 4、引入新课——百分率。 任务二(15) 探索新知 1、课件出示教材例1主题图组织学生观察、获取数学信息。 2、组织学生学习小精灵的话，探究命中率的计算方法。命中率指 的是什么？（小组交流） 3、组织学生自学解题过程，汇报收获。
（1）组织学生汇报把小数、分数化成百分数的方法。（小组交流） （2）质疑：当分母无法化成是100的分数时应该怎么办？（小组交流） 4、了解生活中常见的百分率。 （1）自学教材84页生活中的百分率的部分内容，交流收获。 （2）质疑：在计算百分率时，需要注意什么？ （3）拓展：你还知道生活中哪些求百分率的问题？ 反 馈 目 标 (8) 1. 把小数化成百分数 0.24＝（ ）＝（ ） 1.4＝（ ）＝（ ）＝（ ） 0.125＝（ ）＝（ ）＝（ ） 2、把分数化成百分数。 3.判断。 （1）生产101个零件全部是合格，合格率 为101%。（ ） （2）六（3）班有学生50人，某天缺勤2 人，出勤率为96%。（ ） 拓 展 延 伸 ( 5 ) 榨油厂的李叔叔告诉小静：“2000kg 花生仁能榨出花生油760kg 。”这些花生的出油率是多少？ 1588209
六年级上册百分数的意义和简单的百分数应用题含答案
主题认识百分数、百分数的简单应用 学习目标互动探索1、认识百分数的意义、读法、写法、与分数、小数之间的转化 2、会百分数的简单应用 教学内容 1、上次课后巩固作业复习； 2、互动探索 学校篮球队组织投篮练习。李星明等三名队员的投篮情况如下。 姓名投篮次数投中次数 李星明25 16 张小华20 13 吴力军30 18 提问：根据这张表，你认为哪位同学的投篮练习成绩好一些？为什么？ 姓名投篮次数投中次数投中次数占投篮次数的几分之几（投中的比率）分母是一百的分数李星明 张小华 吴力军 像这样分母不同的分数进行比较时，一般要进行通分，使分母相同。尤其是在日常生活、生产、科研 中，通常把分母化成是100的分数，这样便于比较。 姓名投篮次数投中次数投中次数占投篮次数的几分之几（投中的比率）分母是一百的分数 李星明25 16 张小华20 13 吴力军30 18 精讲提升 百分数的意义 【知识梳理1】 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，百分数也就叫做百分率或百分比。★百分数表示两个数之间什么关系？应不应该有单位名称？ 倍数关系。不应该有单位
★百分数和分数比，相同点和不同点是什么？ ★百分数应该用什么形式表示呢？ (1)写法：写百分数时，通常不写成分数形式，而采用(%)表示。写百分数时，去掉分数线和分母，在分子后面添上百分号。 例如：百分之九十写作90%； 百分之六十四写作64%； 百分之一百零八点五写作108.5%。 读法：读百分数时，只要把百分号看作分母是100，百分号前面的数看作分子，就可以和分数一样读了。 例如：17% 读作百分之十七； 0.03% 读作百分之零点零三； 15.2% 读作百分之十五点二。 ★百分数与分数的互 化 先改写成分母是 100的分数，再约分成最简分数 百分数分数先将分数化成小数（遇到除不尽时，一般保留三位小数）。再改写成百分数 ★百分数与小数的互化 去掉百分号，再将小数点向左移动两位 百分数 小数 将小数点向右移动两位，再在后面添上% 【例题精讲】 例1. （1）分母是100的分数叫做百分数。???????????????????（）（2）一批米吃了37吨，也可以写成37%吨。???????????????（） 100 答案:（1）×（2）× 例2. (1)表示一个数是另一个数 的( ) 叫做百分数.百分数也叫做()或( ). )%
小数分数百分数和比知识点归纳
小数分数百分数和比知识 点归纳 Newly compiled on November 23, 2020
知识要点归总——总复习 数的认识（二）小数、分数、百分数和比 知识点一小数 1．读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作：“点”，小数部分从高位到低位顺次读出每个数位上的数字。 2．写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作“0”，小数点点在个位的右下角，小数部分从高位到低位顺次写出每一个数位上的数字。 3．小数的大小比较：比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同的，百分位上的数大的那个数就大…… 4．求小数的近似数：根据要求保留小数位数，确定好从哪一位起按照“四舍五入”的方法省略尾数。 5．小数化成分数的方法：先把小数改写成分母是10，100，1000…的分数，再约分，就化成了分数。 6．小数化成百分数的方法：先将小数点向右移动两位，再在后面添上“%”，就化成了百分数。 7．小数的分类： （1）按整数部分分类：分为“纯小数”和“带小数”两种。“纯小数”是指整数部分为“0”的小数。例如：，，等。“带小数”是指整数部分不为“0”的小数。例如：，，等。一般说来，纯小数都小于1，而带小数都
大于1或等于1。 （2）按小数部分分类：分为“有限小数”和“无限小数”两种。小数部分的位数有限的小数，叫做有限小数；小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。 （3）无限小数的分类：在无限小数中又分为无限循环不数和无限不循环小数。无限循环小数是指一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做无限循环小数，简称“循环小数”。无限不循环小数是指一个小数的数位无限多，而且小数部分各数位上的数字是不循环的，这样的小数叫做无限不循环小数。在小学数学中，圆周率（π）…便是一个无限不循环小数（无理数）。 （4）循环节：依次不断重复出现的一个或几个数字，叫做这个循环小数的循环节。 （5）循环点：记循环小数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“˙”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。这样的圆点叫做循环点。 （6）无限循环小数的分类：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 8．小数的基本性质： 小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。 知识点二分数
百分数分数小数互相转换百分数应用题
1、百分数在生活中的应用 2、百分数与分数的区别与联系 题型1：小数，分数，百分数的互相转化1、把下面的数化为百分数
=（ ） =（ ） =（ ） =（ ） 2=（ ） =（ ） =（ ） =（ ） =（ ） 10=（ ） =（ ） =（ ） =（ ） =（ ） 100=（ ） 2、把下面的数化为小数或整数 78%=（ ） %=（ ） 180%=（ ） %=（ ） 500%=（ ） %=（ ） 201%=（ ） 1700%=（ ） %=（ ） 4000%=（ ） %=（ ） 32%=（ ） %=（ ） 100%=（ ） 780%=（ ） 3、把下面的数化为分数或整数 80%=（ ） 140%=（ ） %=（ ） %=（ ） 400%=（ ） 75%=（ ） %=（ ） 180%=（ ） %=（ ） %=（ ） %=（ ） 25%=（ ） %=（ ） %=（ ） 4000%=（ ） 4、把下面的数化为百分数 =41（ ） =42（ ） =43（ ） =44（ ） =21 （ ） =81（ ） =82（ ） =83（ ） =84（ ） =85 （ ） =86（ ） =87（ ） =88（ ） =51（ ） =52 （ ） =53（ ） =54（ ） =55（ ） =511（ ） =4 5（ ）
31≈（ ） 61≈（ ） 65≈（ ） 17 5≈（ ） 114≈（ ） 5、填空 题型2： 1、概念猜想 出勤率： 成活率： 命中率： 发芽率： 正确率： 2、知识应用： 例1：六（一）班有50人，计算机课来了47个人，这个班的出勤率是多少？ 举一反三： （1）六（二）班计算机课来了37个人，3个人没来，这个班的出勤率是多少？ （2）六（二）班有56人，美术课的出勤率是75%，美术课上出勤人数是多少？ （3）六（二）班出勤人数是45人，美术课的出勤率是75%，共有多少人上美术课？ 例2：梁屹康射箭，射出了16支箭，命中了8次，他的命中率是多少？ . 举一反三： （1）樊柳权投篮，投中了8次，16次没有中，他的命中率是多少？
最新人教版小学数学六年级上《小数和分数化成百分数》教案教学设计
最新人教版小学数学六年级上《小数和分数化成百分数》教案教学设计 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 设计说明 1．在合作交流中经历知识的探究过程。 《数学课程标准》强调让学生经历数学学习过程与获得数学结论同样重要，为此，在教学中让学生经历自主探究、合作交流等活动，对于发展学生的数学能力有着重要的作用。在探究新知的过程中，本节课的教学设计采用小组合作学习的方式，引导学生应用学过的分数、小数互化的知识进行迁移、类推，让学生在探究活动中获取新知，提升能力。 2．充分发挥学生的主体作用，引导学生主动获取知识。 教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。因此，在教学设计中注重以学生为主体，放手让学生探究，及时肯定学生合理的转化方法，引导学生在体会数学方法的多样化和合理化的过程中，通
过观察、对比、分析，发现规律。 课前准备 教师准备PPT学情检测卡 教学过程 ⊙激趣导入 师：同学们，你们喜欢打篮球吗？你们最喜欢的篮球运动员是谁？ 师：前两天，姚明来到了我们学校，为同学们讲授了投篮的技巧，还留下他亲笔签名的篮球。学校为了开展健身活动，增强学生体质，组织了一次投篮比赛，冠军可以获得姚明亲笔签名的篮球。很多同学都踊跃参加，经过一番激烈的争夺，六班的王涛和六班的李强脱颖而出。到底谁是冠军呢？我们一起来看看他们两人的成绩吧。 师：怎样判断谁是冠军呢？ 师：要比较两人的成绩，必须求出两人的命中率分别是多少，这节课我们就来探究有关百分率方面的知识。 设计意图：通过生活中的投篮情境导入新知，既激发了学生的学习积极性，又激发了学生强烈的好奇心和求知欲，为学习新知奠定了良好的情感基础。 ⊙探究新知
小学数学知识点总结：数的概念(整数小数分数百分数)
小学数学知识点总结：数的概念（整数小数分数百分数） 整数的概念 1 整数的意义：自然数和0都是整数。 2 自然数： 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3 计数单位： 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5 数的整除： （1）整数a除以整数b（b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 （2）如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 （3）一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 （4）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 （5）个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。 （6）个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。
（7）一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 （8）一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。 （9）能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 （10）一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 （11）一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 （12）能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 （13）一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 （14）一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。 （15）1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。 （16）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。 （17）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （18）几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公约数，6是它们的最大公约数。 （19）公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质。 （20）当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 （21）两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。 （22）如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
小数、分数、百分数和比
小数、分数、百分数和比 一、教学目标： 1．巩固加深对所学知识的理解，沟通各部分知识的内在联系，将所学的知识系统化。 2．从多角度体会分数的意义，感受分数、除法、比之间的关系。 3．沟通小数、分数、百分数、比、除法等之间的关系。 4．体会知识与生活之间的联系，增强应用数学的意识，体会数学的魅力。 二、教学重点： 1、多角度体会分数的意义，感受分数、除法、比之间的关系。 2、沟通小数、分数、百分数、比、除法等之间的关系。 三、教学课时：一课时。 四、教学过程 一、回顾与交流 1、从多角度体会分数的意义，沟通分数、除法、比、小数和百分数的内在联系。 师：以“3/4”为例，你能用尽可能多的方式解释它的含义吗？（同桌讨论汇报，生可能会做出以下几种回答） 生1：把一个蛋糕平均分成4份，吃了其中的3份…… 生2：把3个苹果平均分成4份…… 生3：阴影部分…… 生4：用4厘米的长度为单位，3厘米的长为4厘米的3/4…… 生5：3÷4=…… 生6：3︰4=3/4…… 生6：0.75=3/4…… 生7：75%=3/4…… 【设计意图：用多种方式解释3/4的含义，进一步使学生从多角度体会分数的意义，并在这个过程中，自然地把分数、除法、比的关系联系起来。调动学生已有的经验，让学生在独立思考、全班交流的过程中，体会分数、除法和比的意义及内在联系。】（2）独立完成课本第46页“巩固与应用”的第1题“读一读”。 2004年全国总用水量5548亿立方米，其中生活用水占11.7%，工业用水占22.2%，农业用水占64.6%，生态用水占1.55%。与2003年比较，全国总用水量增加227亿立方米，生活和工业用水比重逐渐减小，农业用水比重逐渐增大。 师：从上面的资料中你了解到什么？你能解释一下这些数据的具体意义吗？你有哪些体会和感想？ 师：请你举例说出生活中的“小数、分数、百分数和比”。（课前安排） 【设计意图：目的是利用现时生活中的数据，再次复习分数、小数、百分数的意义。为下面“结合具体的例子说说小数、分数、百分数之间的联系”起一个抛砖引玉的作用。】（3）师：小数、分数、百分数和比和我们的生活息息相关，你能结合具体例子说一说小数、分数、百分数之间的关系吗？ （小数——有限小数、无限循环小数实际上是十进分数；分数可以表示两种含义——后面带上计量单位可以表示一个具体的量，如3/5米，不带计量单位可以表示两个量的倍数关系；而百分数只能表示后一种情况，即表示一个量是另一个量的百分之几，不能带上计量单位来表示具体的量。另外小数、分数和百分数之间可以进行互化。）
新人教版小学数学六年级上册《百分数化成小数和分数》教学设计案例_教学设计
新人教版小学数学六年级上册《百分数化成小数和分数》教学设计案例_教学设计 1．引导学生主动进行新旧知识的类比，利用知识间的迁移解决问题。 儿童心理学指出：类比、迁移能充分调动学生利用原有的知识经验解决新问题。因为百分数应用题的解题思路及方法与分数应用题大致相同，所以教学中要有效地利用两者之间的联系。上课伊始，通过对例题改编而成的分数应用题的分析、列式、解答，使学生进一步明确解答此类题的关键是弄清谁是单位“1”，谁和谁相比。 2．体会算法的多样化。 在解决问题的过程中，鼓励学生采用不同的计算方法，体会算法的多样化，充分培养学生用不同策略解决问题的能力。所以在教学时，鼓励学生自主解决问题，组织交流解决问题的过程，使学生明确根据数据的特点可以灵活地进行转化，再解决问题。 课前准备 教师准备PPT课件学情检测卡 教学过程 ⊙复习导入 1．复习。 (1)课件出示复习题。 春蕾小学的一项调查表明，有牙病的学生人数占全校人数的。春蕾小学共有750名学生，有牙病的学生有多少人？ (2)引导学生思考。 ①解答此题的关键是什么？(解答此题的关键是弄清谁是单位“1”，谁和谁相比) ②用什么方法计算？怎样列式？(用乘法计算，列式为750×) (3)尝试解答。(指名板演，其他学生自己做) 2．导入。 师：刚才我们复习了用分数解决问题，下面我们就来学习用百分数解决问题。(板书课题) 设计意图：通过复习“求一个数的几分之几是多少”的问题，引导学生复习解答此类问题的关键及解法，为实现知识间的迁移作铺垫。 ⊙学习新课 1．旧知迁移，探究新知。 (1)课件出示教材85页例2。 (2)学生尝试解题，交流计算过程。 预设 生1：求有牙病的学生有多少人，就是求750的20%是多少。题中的数量关系符合“求一个数的几分之几是多少”，所以列式为750×20%，计算时可以把百分数直接化成小数进行计算。 上一篇文章：人教版小学六年级上册数学《分数乘、除法和比》最新教案教学设计 下一篇文章：没有了相关文章：给您推荐：没有相关文章小学数学老师随笔：辅导学生学会学 2017教师生活随笔假期的畅想
《百分数和分数、小数的互化》教学设计说明
《百分数、分数和小数的互化》教学设计【教学内容】五年级数学上册第二单元相关链接，课题：《百分数和分数、小数的互化》。 【教学目标制定的依据】 一、课标相关陈述与解读 《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出：“体验从具体情境中抽象出数的过程，认识万以上的数；理解分数、小数、百分数的意义”“结合具体情境，理解小数和分数的意义，理解百分数的意义；会进行小数、分数和百分数的转化（包括将循环小数化为分数）”“能解决小数、分数和百分数的简单实际问题。” 《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出：“能解决小数、分数和百分数的简单实际问题”。 本单元内容使学生真正理解百分数的意义，而不止是记住百分数的概念。要让学生认识到百分数和分数虽然在本质上是相同的，但在意义上还是有一定的区别；分数既可以表示一个具体的数，又可以表示两个数之间的关系，而百分数只表示两个数之间的关系。 在对百分数意义正确理解的基础上，结合分数应用题的解题方法，使学生能够运用迁移完成自主学习，获得发现问题、提出问题、解决问题的能力。因此本单元的练习形式应该多样：文字信息、表格数据、图画等等多种方式呈现与百分数相关的内容，紧密联系生产和生活实际，使学生了解百分数的应用，提高应用意识。 二、单元内容分析与单元训练重点 本单元内容被安排在人教版六年级教材上册第六单元，主要内容包括：百分数的意义和读写法，百分数、分数、小数互化和用百分数解决问题。 本单元是继续学生在之前学习“分数”和本册学习“比”之后深入了解它在实际中的应用，会正确读写百分数。能够进行小数、分数和百分数的互化，进一步理解分数的意义，沟通分数和百分数的联系和区别。在理解、分析数量关系的
百分数与分数小数的相互转化
-- 第三讲百分数与分数、小数的相互转化，百分率应用题 小数，分数，百分数互化一、、把下面的数化为百分数1 ）（ 0.137=（0.15=（ 0.08=（ 2.75= ）））1.8= （（ 1.01=（ 0.05=（ 0.075=））））0.695= 13.14=（ 100=（（ 0.0514=（）））） 2、把下面 的数化为分数或整数（ 2.65%=0.45%= 40%=（（80%=（）））） 0.09%=（（ 180%=（ 3.5%=75%=（）））） 12.5%=（） 0.2%=（ 25%=87.5%=（（））） 二、计算 0.8×（ 3.2+20%） 56×25%+44× 25% 32×（ 1+60%） +3.2 78× 45%-28× 45% 三、解决问题 1、花市里有 500 盆兰花，杏花的盆数是兰花的 40%，杏花有多少盆？ 2、用 400 吨小麦磨面粉，出粉率是 85%。可以磨面粉多少
吨？ 3、服装厂有职工 250 人，今天出勤 248 人，求今天的出勤率和缺勤率。 ---- -- 4、用 1200 粒黄豆种子做发芽试验，结果又 72 粒没有发芽，求发芽率。 5、下面是甲、乙两所学校参加体育达标测试的成绩统计。根据表格回答：哪所学校的达标率高？达标率乙校参加人数甲校参加人数达标率 60% 50 60% 70 男生男生 40%
30 5 40% 女生女生 课堂练习一、填空题： 50 吨；）吨的 25%是 30%是（）吨；（吨多1、比 25 ） % 60 千米比（）千米少 40% ； 45 千克比 50 千克少（ 2、把甲的 12.5%给乙，甲乙相等，甲比乙多（） % % ）3、甲的 25%等于乙，甲是乙的（ ），甲是乙的（ %。4、甲除乙的商是 1.6 18 % ÷（） =（）=0.45=5、（）：60=36() 12中，（）＞（）＞（）＞（）＞（），， 0.202 ， 22%6、在，0.219 5 二、巩固提高 1、花生的出油率是 38%， 7600 千克花生可榨多少千克油？ ---- --
小数、分数化成百分数,常用百分率
《小数、分数化成百分数，常用百分率》 教学内容:教材第84页例1及85页“做一做”，练习十八（4-6）题 教学目标： 知识目标：1、使学生理解并掌握小数、分数化成百分数的方法。2、会解决求一个数是另一个数的百分之几的问题，在求命中率的基础上，理解更多生活中的百分率的实际含义，感受百分率在生活中应用的广泛性。 能力目标：通过探索分数、小数化成百分数的规律，激发学生的数学探索意识。 情感目标：养成书写规范的良好学习习惯，培养学生观察，比较和分析的能力提高数学素养。 教学重点：掌握小数，分数化成百分数的方法。 教学难点：理解生活中百分率的实际含义。 教学准备：课件 教学过程： 一、复习导入 1、先把下面的小数化成分数，再说一说小数化成分数的方法。 0.43 1.5 0.312 2、把下面的分数化成小数，说一说分数化成小数的方法 3/25 21/100 103/100 二、探究新知 1、创设情景导入。（出示例1的情境图。） （1）从图中你能获得哪些信息？根据这两条信息，你想知道什么？该怎么比较呢？ （2）先学生独立列式，再小组讨论（2人一组） （3）指名汇报，集体交流。 （4）出示例题的问题，揭示课题 2、揭示命中率 什么叫“投篮命中率”？教师提示命中率 3、小数、分数化成百分数 命中率是一个百分数，你能把刚才的两种结果化成百分数吗？ 可能出现的情况：3÷5＝0.6= 60/100＝60% 4÷6≈0.667 ＝66.7/100 ＝66.7% 4÷6除不尽，该怎么办？ 4、引导归纳，得出方法（见课件） 5、练一练：把0.25 1.4 1/2 3/4化成百分数指名口答，集体订正。 三、联系实际，了解并掌握常用百分率 上面例1我们提到了百分率，在实际生活中，像上面这样常用的百分率还有许多。如学生的出勤率、绿豆的发芽率、产品的合格率、小麦的出粉率、树木的成活率等。 命中率=（）×100% 出勤率=（）×100% 发芽率= （）×100% 四、知识应用：1、做一做第1题2、补充练（见课件） 五、布置作业：1、85页第2题和练习十八4---6题。 六、全课总结：今天你学了什么？有什么收获？
小数分数百分数和比知识点归纳
小数分数百分数和比知 识点归纳 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
知识要点归总——总复习 数的认识（二）小数、分数、百分数和比 知识点一小数 1．读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作：“点”，小数部分从高位到低位顺次读出每个数位上的数字。2．写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作“0”，小数点点在个位的右下角，小数部分从高位到低位顺次写出每一个数位上的数字。 3．小数的大小比较：比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同的，百分位上的数大的那个数就大…… 4．求小数的近似数：根据要求保留小数位数，确定好从哪一位起按照“四舍五入”的方法省略尾数。 5．小数化成分数的方法：先把小数改写成分母是10，100，1000…的分数，再约分，就化成了分数。 6．小数化成百分数的方法：先将小数点向右移动两位，再在后面添上“%”，就化成了百分数。 7．小数的分类： （1）按整数部分分类：分为“纯小数”和“带小数”两种。“纯小数”是指整数部分为“0”的小数。例如：0.8，0.207，0.0012等。“带小数”是指整数部分不为“0”的小数。例如：2.3，12.608，300.168等。一般说来，纯小数都小于1，而带小数都大于1或等于1。
（2）按小数部分分类：分为“有限小数”和“无限小数”两种。小数部分的位数有限的小数，叫做有限小数；小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。 （3）无限小数的分类：在无限小数中又分为无限循环不数和无限不循环小数。无限循环小数是指一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做无限循环小数，简称“循环小数”。无限不循环小数是指一个小数的数位无限多，而且小数部分各数位上的数字是不循环的，这样的小数叫做无限不循环小数。在小学数学中，圆周率（π）3.1415926…便是一个无限不循环小数（无理数）。 （4）循环节：依次不断重复出现的一个或几个数字，叫做这个循环小数的循环节。 （5）循环点：记循环小数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“˙”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。这样的圆点叫做循环点。 （6）无限循环小数的分类：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 8．小数的基本性质： 小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。 知识点二 分数 1．分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数是这个分数的分数单位。 2．分数的分类：真分数（分子比分母小的分数）、假分数（分子比分母大或者分子等于分母的分数）、带分数(一个整数和一个真分数构成一个带分数)。 3．真分数和假分数的读法：先读分母，再读“分之”，最后读分子。例如：2 1读作：二分之一。
(完整版)分数、小数和百分数的互化表
一、常用的π倍 二、常用的分数、小数及百分数的互化 12 =0.5=50% 14 =0.25=25% 34 =0.75=75% 15 =0.2=20% 25 =0.4=40% 35 =0.6=60% 45 =0.8=80% 18 =0.125=12.5% 38 =0.375=37.5% 58 =0.625=62.5% 78 =0.875=87.5% 110 =0.1=10% 116 =0.0625=6.25% 120 =0.05=5% 125 =0.04=4% 140 =0.025=2.5% 150 =0.02=2% 1100 =0.01=1% 1、把6 kg 盐平均分成8包，每包重（ ）kg,每包重量是6kg 的（ ）。 2、一个数乘真分数，积一定小于这个数。（ ） 3、10米长的铁丝，如果用去1/4还剩（ ）米，如果用去1/4米，还剩（ ）米。 4、小明骑自行车一分钟可以行2/3千米，照这样计算，他行2千米要用多少分钟？ 5、一根钢管，用去它的40%后还剩12米，如果用去它的5/8，则剩下（ ）米。 6、一辆汽车每行8千米耗油3/5千克，平均每行1千米要耗油（ ） 千克。每千克汽油可以行驶（ ）千米。 7、一种钢材4/5米重1/25吨，这样的钢材每吨长（ ）米，每米重（ ）吨。 8、汽车从甲城开往乙城，已经行了全程的2/5，距离中点还有120千米。那么甲乙两城相距多少千米？ 9、如果A:B=4:7，那么A=4,B=7。（ ）。 10、1.5小时：1小时50分钟=（ ）。 11、用120厘米的铁丝做一个长方体的框架，长、宽、高的比是3：2：1。这个长方体的长、宽、高分别是多少？ 12、用一根长36厘米长的铁丝围成一个长和宽的比是5：4的长方形，那么这个长方形的面积是多少？ 13、已知d=10cm,求半圆周长。 PS: 半圆的周长≠圆周长的一半; 圆的周长要记清,3.14乘直径。半圆周长要记清，5.14乘半径。
百分率,小数和分数化成百分数
百分数、小数和分数互化 班级：姓名：执笔人：党慧芳参与人：温静亚 1、我能理解并掌握百分数和分数、小数的互化的方法，能正确熟练地把分数、小数化成百分数或把百分数化成分数、小数。 2、重点、难点：能正确熟练地把分数、小数化成百分数或把百分数化成分数、小数。 复习旧知： 1、判断对错。 分母是100的分数就是百分数。（）百分数都是分母是100的分数。（）一根绳子长50％米。（）2、解释下列百分数的实际意义，并用乘法关系式表示它们的数量关系。 糖占糖水的5% 六（1）班的考试优秀率为80% 自学指导： 认真看课本84页、85页的内容，将例题补充完整，思考下面的问题： 1、百分数和分数、小数的互化的方法。 2、绿豆的发芽率= 产品的合格率= 小麦的岀粉率= 树木的成活率 = 1、小数化成百分数，可以先把小数改写为（）的分数，再改写成百分数；也可以把小数的小数点向（）移动（）位，位数不够时，用（）补足，再在后面添上（）。 2、把分数化成百分数，可以把分数改写成分母是（）的分数，再写成百分
数的形式；也可以把分数化成（ ），再化成百分数，除不尽时要保留（ ）位小数。 1、把下列小数化成百分数。 1 =（ ） 2=（ ） 1.6=（ ）2.35=（ ）0.308=（ ） 2、把下列分数化成百分数。 52=（ ） 251 =（ ） 851 =（ ）132 ≈ （ ） 3.把百分数化成分数或整数。 8%=（ ） 100%=（ ） 120%=（ ） 87.5%=（ ） 4.把百分数化成小数或整数。 7.8%=（ ） 300%=（ ） 0.1%=（ ） 150%=（ ） 5.在○里填上“<”“>”或“＝”。 0.25 3.5% 44% 0.67 0.8 8% 99.9% 1 6.将0.8、0.87、和8.75%按从大到小 的顺序排列如下。 7．8 3=（ ）÷（ ）＝（ ）%=( )（小数） （ ）÷（ ）＝0.875＝（ ） ＝（ ）％ 8.选择： （1）与2.5相等的数有（ ） A 、25% B 、2 C 、2.5% D 、250% （2）与0.75相等的数有（ ） A 、7.5% B 、750% C 、0.0075 D 、 75% 9、某小组种了40棵小树苗，死了4 棵，这批小树苗的成活率是多少？ 10、一个数添上百分号，这个数就减 少了29.7，这个数原来是多少？
分数小数百分数除法算式比练习题
“总复习”单元学习水平检测题小数、分数、百分数和比 1. 看图填空。 上面各数中，（）是自然数，（）是小数，（）是整数，（）是正 数，（）是负数。 把这些数按从小到大的顺序排列起来是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2. 读一读，填一填。 一秒钟的变化：光可行驶三十万千米（写作：＿＿＿＿）；猎狗可跑零点零八千米（写作：＿＿＿＿）；蜗牛可爬行0.00105米（读作：＿＿＿＿）；芦苇每天可生长0.0040毫米（读作：＿＿＿＿）。 3. 图A ： （1） 用分数表示是（），这个分数的意义是把单位“1”平均分成了（） 份，涂色部分占()份。 （2）用小数表示是（）,这个小数是由()个0.1和（）个0.01组成的。 （3）用百分数表示是（），这个数表示涂色部分占整个图形的（）。 图B ： （1）用分数表示是（），这个分数由（）个（）组成。 （2）用小数表示是（）。 （3）用百分数表示是（）。 4.在8 7、0.87、八成七、87%和0.8这五个数中，按从大到小排列，第一个数 是（），第四个数是（），最小的数是（）。 5．2.4米∶ 60厘米化成最简单的整数比是（），比值是（）。 6.14∶()=()30=0.7=7÷（）=（）% 7.把7米长的钢筋，锯成每段一样长的小段，共锯了6次，每段占全长的()()，每段长（）米。 8.把2.75化成最简分数后的分数单位是（）；至少添上（）个这样的分数单位等于最小的合数。写出分子是6的所有假分数：（）。 9.写出分母是8的所有真分数是（），是最简真分数的有（）。 11.女生人数是男生的5 4，男生比女生多（）%。 12.找规律填数。90%、5 4、0.7（）、（）、（） 填百分数填分数填小数 13.汽车4时行240千米，路程与时间的比是（），比值是（）。 -2 -1 0 1 2 3 4 0.4 1.8 2.5 3.7 图B 用不同的数表示上图中涂色部分的面积。（整个图形的面积是“1”）
百分数和分数小数的互化练习题
百分数和分数小数的互化 练习题 Newly compiled on November 23, 2020
101、百分数和分数、小数的互化 （一） 1、把下面各数化成百分数： ＝＝＝＝ ＝＝32＝＝ 2、把下面百分数化成小数或整数： 52%＝%＝248%＝70%＝ %＝15%＝100%＝2000%＝ 3、分别用分数、小数、百分数表示下面各图中的阴影部分： 分数（）分数（）分数（）分数（） 小数（）小数（）小数（）小数（） 百分数（）百分数（）百分数（）百分数（）4、37%的计数单位是（），它有 （）个这样的单位。 5、六年级一班跳绳测验全部合格，可以用百分数（）来表示。 6、把%的百分号去掉，这个百分数就会扩大（）倍。 7、把下面各组数从小到大排列。（1）%650%（2）、在括号里填上“＞”、“＜”或“＝”。 ()67%()313%260%() 10 10 ()100% 1%() 2 1 、某厂男工320人，女工180人。男工人数是女工人数的几分之几女工人数是男工人数的几分之几男工人数比女工人数多几分之几女工人数比男工人数少几分之几 102、百分数和分数、小数的互化 （二） 1、把下面各数化成百分数：
＝＝＝＝ ＝1＝20＝＝ 2、把下面百分数化成小数或整 数： %＝%＝200%＝40%＝ 106%＝%＝%＝1000%＝ 3、谨慎选择： （1）%化成小数是（） 0.09 C （2）里面有（）个 1% A8B80 C800 （3）下面各数中最大的数是 （） ……% 4、在□中填写合适的百分数： 、把下面各组数从大到小排列。 （1）%750%（2）、在括号里填上“＞”、“＜”或“＝”。 ()45%()13%206%()99()100% 10%()51、今年共植树1050棵，其中的31是白杨树，52是槐树。哪种树植得多多多少棵 8、一根电线长400米，已经用去了150米。再用去多少米就一共用去这根电线的8 5 103、百分数和分数、小数的互化（三） 1、把下面的分数化成百分数： 21＝41＝43＝5 1＝ 52＝53＝54＝8 1＝ 83＝85＝87＝10 1＝ 103＝107＝109＝20 1＝ 1043＝58 5＝2012013＝45021＝
《小数、分数、百分数和比》教学
北师大版数学六下：《小数、分数、百分数和比总复习》 教案 一、教材分析 这部分内容是小学阶段“数与代数”第一部分“数的认识”中的“小数、分数、百分数和比”的复习。通过系统地引导学生整理和复习小数、分数、百分数和比的意义，数之间的关系，数的大小比较，运用数刻画事物等，使学生巩固和加深理解小学阶段所学的“数与代数”第一部分“数的认识”中的“小数、分数、百分数和比”的知识，进一步沟通知识之间的联系，发展学生数感，提高学生解决实际问题的能力，体会代数的思想，为进一步的学习和发展奠定基础。 本节内容的教材编写力求体现以下几个方面的主要特点： 1、重视沟通知识的内在联系。教材在安排复习时，首先注重沟通知识的内在联系，把平时相对独立学习的知识以分类、归纳、转化等方法串起来，使相关内容条理化、结构化，形成整体框架，以加深学生对所学内容的理解。教材中设计了很多整理的内容，如学过的数的联系、数之间的相互转化的总结。 2、注重学习方法的渗透。教材既关注数学内容的整理及其内容之间的联系，也关注在学生过程中渗透整理和反思的方法。 3、注重整理与应用相结合。复习内容分为“回顾与交流”“巩固与应用”两部分。 二、学生分析
所有学生都有小数、分数、百分数和比这些知识基础，对数的意义是了解的，具备基本的比较数的大小、数之间的转化等技能。从三年级认识分数、四年级认识小数到五年级的百分数、六年级的比，学生在逐步学习的过程中逐步渗透于生活之中，对于分数和小数产生的必要性是有生活体验的。实际教学显示学生复习该内容在沟通小数、分数、百分数、比和除法等之间的关系有一定的困难，他们考虑问题不够全面，语言表述不够准确，需要教师适当引导。学生在复习本部分内容时，表现积极，特别是在“用尽可能多的方式解释“3/4”的含义”这部分的复习时，学生思维踊跃，能很好的结合生活实际说出多方面的含义来。因为这是总复习中的内容，学生的学习方式以自主复习为主，同时需要进行学习前相关数据的收集和整理。在学法上以小范围的交流、展示为主。 三、学习目标 1．巩固加深对所学知识的理解，沟通各部分知识的内在联系，将所学的知识系统化。 2．再次体会引入分数和小数的必要性，沟通分数和小数之间的联系。 3．从多角度体会分数的意义，感受分数、除法、比之间的关系。 4．沟通小数、分数、百分数、比、除法等之间的关系。 5．复习十进制记数法。 6．体会知识与生活之间的联系，增强应用数学的意识，体会数学的魅力。
小学数学“分数、小数和百分数”的教学研究与案例评析
小学数学“分数、小数和百分数”的教学研究与案例 评析 【课程简介】 分数、小数是数的概念的一次重要扩展，与学习整数相比，学生对于分数、小数的学习要困难得多。分数、小数无论在意义、书写形式、计数单位、计算法则等方面，还是在学生的生活经验等方面，都与自然数有较大不同。分数、小数的学习重点在于，结合学生的生活经验，初步理解分数的意义和小数的意义，能够认、读、写小数与分数。 分数与小数的共同点都是有理数，并且本质上小数是特殊的十进制分数。在分数的意义中，分数单位很重要。小数的表征形式与整数相似，都是十进制。如果以个位为基础，向左扩展就是十位、百位、千位；如果向右扩展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。从这个意义上说，对小数的理解比对分数的理解更容易一些。 百分数是特殊的分数，其数量上的意义与分数完全相同。因为百分数在实际应用中的特殊性，所以，将百分数作为一个专门的内容学习。所以学习百分数的重点在于应用，用百分数表示现实生活中的实际问题。 小数和分数的学习分为两个学段，第一学段是小数和分数的初步理解，第二学段是小数的意义和分数的意义的理解。两个学段的重点不同，表现的方式和学习的方式也理应有区别。第一学段的初步理解在于从实际情境中具体的了解小数和分数，重在现实情境的选择和使用。如小数的理解一般从物品的标价引入。以元为单位， 3.5 元就表示 3 元 5 角。分数的初步理解是从分物体出发，把一个饼，一个平果平均分成 5 份，一份就是它的 1/5 。第一学段的初步理解能够先理解分数，再理解小数。知道 1/10 ，再理解 0.1 就更容易一些。而在第二学段也能够先理解小数的意义，再理解分数的意义。因为，接下来的运算问题，小数要比分数容易，小数的运算过程与整数基本相同，分数的计算要复杂得多。 在学习了小数、分数和百分数之后，理应使学生了解它们之间的关系。能够通过具体的问题协助学生了解分数、小数和百分数的含义，以及它们的联系。 本专题主要对分数、小数、百分数理解实行深层次理解，并提供相对应的教学策略。 【学习要求】 1. 学习者首先要对教材中分数、小数、百分数的内容有个整体的把握，对课标的要求要明确；