当前位置：搜档网 › 鞍山一中高一上学期期末测试数学试卷

鞍山一中高一上学期期末测试数学试卷

C N

一、知识方法

1、动态几何问题是关于几何图形存在动点、动图形等方面的问题。是用运动变化的观点，创设一个由静止的定态到按某一规则运动的动态情景，通过观察、分析、归纳、推理，动中窥定，变中求静，以静制动，从中探求本质、规律和方法，明确图形之间的内在联系。

2、动态几何型中考题关心“不变量”．所体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来，实际上是一般化与特殊化方法．当求变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系和值时，常建立方程模型求解．

3、解决这类问题时，要搞清图形的变化过程，正确分析变量与其它量之间的内在联系，建立它们之间的关系；要善于探索动点运动的特点和规律，抓住图形在变化过程中不变的东西；必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法。二、考题回顾

（2001年南京市中考数学试题）如图，E 、F 分别是边长为４的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE =1，CF =

，直线FE 交AB 的延长线于G ．过线段FG 上的一个动点H 作HM ⊥AG ，HN ⊥AD ，垂足分别为M 、N ．设HM =x ，矩形AMHN 的面积为y ． (1)求y 与x 之间的函数关系式；

(2)当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积是多少?

注：本题是典型的函数类问题，是几何中函数关系问题．

【解】（1）∵正方形ABCD 的边长为4，CE ＝1，CF ＝34

，∴CF ∥AG ，BE ＝3．∴BG CF ＝BE

CE ，∴BG ＝4．

∵HM ⊥AG ，CB ⊥AG ，∴HM ∥BE ．∴BG

MG ＝BE HM ．∴MG ＝34x ．∴y ＝x （4＋4－34 x ）

＝－

4x 2

＋8x ．（2）∵y ＝－

34x 2＋8x ＝－3

（x －3）2＋12． ∴x ＝3时，y 最大，最大面积是12．

（2004年南京市中考数学试题）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝20 cm ，BC ＝4 cm ，点P 从A

开始沿折线A —B —C —D 以4 cm/s 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1 cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t （s ）．

（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形？

（2）如图4—20，如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2 cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？

【分析】(1)由矩形的判别方法可列方程4t=20-t ，从而解决问题。

(2)

⊙P 和⊙Q 外切要分四种情况：①如果点P 在AB 上运动，当四边形APQD 为QD 为矩形时。②如果点P 在BC 上运动，此时，t ≥5

。则CQ ≥5，PQ ≥CQ ≥5>4，∴⊙P 与⊙Q 外离。③点P 在CD 上运动，且点P 在点Q 的右侧。④点P 在CD 上运动，且点P 在点Q 的左侧。

【解】(1)根据题意，当AP=DQ 时，由AP ∥DQ ，∠A=90o，得四边形APQD 为矩形。此时，4t=20-t 。解得t=4(s)。∴t 为4 s 时，四边形APQD 为QD 为矩形。

(2)当PQ=4时，⊙P 与⊙Q 外切。①如果点P 在AB 上运动，只有当四边形APQD 为QD 为矩形时，PQ=4。由(1)，得t=4(s)。②如果点P 在BC 上运动，此时，t ≥5。则CQ ≥5，PQ ≥CQ ≥5>4，∴⊙P 与⊙Q 外离。③如果点P 在CD 上运动，且点P 在点Q 的右侧。可得CQ=t ，CP=4t-24。当CQ-CP=4

时，⊙P 与⊙Q 外切。此时，t-(4 t-24)=4。解得t=

(s)。④如果点P 在CD 上运动，且点P 在点Q 的左侧。当CP-CQ=4时，⊙P 与⊙Q 外切，此时，4t-24-t=4。解得t=3

(s)。∵点P 从A 开

始沿折线A-B-C-D 移动到D 需要11 s ，点Q 从C 开始沿CD 边移动到D 需要20 s ，而3

<11，∴

当t 为4 s ，320s ，3

s 时，⊙P 与⊙Q 外切。

【点评】本题中，由于点P 、Q 是矩形ABCD 边上的两个动点，点P 运动的速度比点Q 快，所以

在运动过程中，⊙P 与⊙Q 的位置不断发生变化，这两圆外切也可能出现数种情况，必须全面考虑。

（2005年南京市中考数学试题）如图，形如量角器的半圆O 的直径DE ＝12 cm ，形如三角板的△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝12 cm ．半圆O 以2cm/s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上．设运动时间为t （s ），当t ＝0 s 时，半圆O 在△ABC 的左侧，OC ＝8cm ．

（1）当t 为何值时，△ABC 的一边所在的直线与半圆O 所在的圆相切？

（2）当△ABC 的一边所在的直线与半圆O 所在的圆相切时，如果半圆O 与直径DE 围成的区域与△ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

注：例题是从不同侧面考查了三到四种数学思想方法．【解】t=1s t= 4s

重叠部面积为9πcm 2

t=7s t=16s

重叠部分面积为（93+6π）cm 2

三、他山之石

（2002年江西省）如图，正三角形ABC 的边长为63厘米，⊙O 的半径为r 厘米，当圆

心O 从点A 出发，沿着线路AB ---BC ---CA 运动，回到点A 时，⊙O 随着点O 的运动而移动。

（1）若r ＝3厘米，求⊙O 首次与BC 边相切时，A O 的长．

（2）在⊙O 移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同的情况下，r 的取值范围及相应的切点个数。设⊙O 在移动过程中，在△ABC 内部、⊙O 未经过的部分的面积为S ，在S ＞0时，求S 关于

r 的函数解析式，并写出自变量r 的取值范围．【解】

解：（1）设⊙O 首次与BC 相切于点D ，则有OD ⊥BC ，且OD ＝r ＝3，在Rt △BDO 中， ∵ ∠OBD ＝60o，∴ OB ＝

60sin 3

＝2，AO ＝AB －OB ＝（63－2）（厘米）。

（2）由正三角形的边长为63厘米，可得它一边上的高为9厘米。

①∴ 当⊙O 的半径r ＝9厘米时，⊙O 在移动中与△ABC 的边共相切三次，即切点个数为

图9—

O D E

3。

②当0＜r ＜9时，⊙O 里移动中与△ABC 的边共相切六次，即切点个数为6。 ③当r ＞9时，⊙O 与△ABC 不能相切，即切点个数为0。

（3）如图，易知，在S ＞0时，⊙O 在移动中，在△ABC 内部未经过的部分为正三角形，记作△A ′B ′C ′，这个正三角形的三边分别与原正三角形三边平行，且平行线间的距离等于r 。连接AA ′，并延长AA ′，分别交B ′C ′、BC 于E 、F 两点，则AF ⊥BC ， A ′E ⊥B ′C ′，且EF ＝r ．又过点A ′作A ′G ⊥AB 于点G ，则A ′G ＝r 。 ∵ ∠GAA ′＝30°，∴ AA ′＝2r ．∴ △A ′B ′C 的高A ′E ＝AF －3r ＝9－3r ．

B ′

C ′＝3

2A ′E ＝23（3－r ）．∴ △A ′B ′C ′的面积S ＝21·B ′C ′·A ′E ＝33

（3－r ）2．∴ 所求解析式为S ＝33（3－r ）2

（0＜r ＜3

又∵S △BGF ＝

21BF ×G M ，S △BEF ＝2

BF ×E N, ∴S △BGF ＝S △BEF ．同理可证S △BDG ＝S △BDE ．（05嘉兴）在坐标平面内，半径为R 的⊙O 与x 轴交于点D （1，0）、E （5，0），与y 轴的

正半轴相切于点B 。点A 、B 关于x 轴对称，点P （a ，0）在x 的正半轴上运动，作直线AP ，作EH ⊥AP 于H 。

（1）求圆心C 的坐标及半径R 的值；

（2） △POA 和△PHE 随点P 的运动而变化，若它们全等，求a 的值；（3）若给定a=6，试判定直线AP 与⊙C 的位置关系（要求说明理由）。

【解】（1）连BC ，则BC⊥y 轴。取DE 中点M ，连CM ，则CM⊥x 轴。 ∵OD=1，OE=5，∴OM=3。