博迪《投资学》笔记和课后习题详解(指数模型)【圣才出品】

第10章指数模型

10.1 复习笔记

1．单指数证券市场

(1)单指数模型

①单指数模型的定义式

马科维茨模型在实际操作中存在两个问题，一是需要估计大量的数据；二是该模型应用中相关系数确定或者估计中的误差会导致结果无效。

单指数模型大降低了马科维茨资产组合选择程序的数据数量，它把精力放在了对证券的专门分析中。

因为不同企业对宏观经济事件有不同的敏感度。所以，如果记宏观因素的非预测成分为F，记证券i对宏观经济事件的敏感度为βi；则证券i的宏观成分为，则股票收益的单因素模型为：

②单指数模型收益率的构成

因为指数模型可以把实际的或已实现的证券收益率区分成宏观(系统)的与微观(公司特有)的两部分。每个证券的收益率是三个部分的总和：

如果记市场超额收益R M的方差为σ2M，则可以把每个股票收益率的方差拆分成两部分：

（2）指数模型的估计

单指数模型表明，股票GM的超额收益与标准普尔500指数的超额收益之间的关系由下式给定：

R i=αi+βi R M+e i

该式通过βi来测度股票i对市场的敏感度，βi是回归直线的斜率。回归直线的截距是αi，它代表了平均的公司特有收益。在任一时期里，回归直线的特定观测偏差记为e i，称为残值。每一个残值都是实际股票收益与由描述股票同市场之间的一般关系的回归方程所预测出的股票收益之间的差异。这些量可以用标准回归技术来估计。

（3）指数模型与分散化

资产组合的方差为

其中定义资产组合方差的系统风险成分为依赖于市场运动的部分为它也

依赖于单个证券的敏感度系数。这部分风险依赖于资产组合的贝塔和σ2M，不管资产组合分散化程度如何都不会改变。

相比较，资产组合方差的非系统成分是σ2(e P)，它来源于公司特有成分e i。因为这些e i 是独立的，都具有零期望值，所以可以得出这样的结论：随着越来越多的股票加入到资产组合中，公司特有风险倾向于被消除掉，非市场风险越来越小。

当各资产为等权重，且e i不相关时，有。式中，为公司特有方差的均值。当n变大时，σ2(e p)就变得小得可以忽略了。

图10—1 证券数量与分散风险

2．资本资产定价模型与指数模型

（1）真实收益与期望收益

资本资产定价模表示了各种期望收益之间的关系，而可以观察到的只是实际的或已实现的持有期收益；构造一个规模巨大的市值加权的资产组合也是难以实现的。因此资本资产定价模型的有效性难以进行实证检验。

（2）指数模型与已实现的收益

资本资产定价模型用来研究期望收益，但是实际上，投资者关心的是已实现的收益。为了使期望收益变成已实现收益，可以运用指数模型把超额收益写成下列形式：

（3）指数模型与期望收益—贝塔关系

资本资产定价模型的期望收益—贝塔关系为，任意资产i和市场资产组合，有：

其中，。这显示了相对于(理论的)市场资产组合的平均超额收益的资产平均期望超额收益的情况。

如果式中的指数M代表了真实的市场资产组合，对等式每边取期望，即：

指数模型关系与资本资产定价模型的期望收益—贝塔关系式的比较表明，资本资产定价模型预言αi对所有资产都将为零。在整个样本期间将显示出正的或负的阿尔法值。但这些较好或较差的表现不可能被提前预知。

3．指数模型的行业版本

（1）决定系数R2

决定系数R2表示r i与r M之间相关性的平方。R2是总方差上的系统方差，表明一个行

业小量波动的原因是市场的运动：

公司特有方差σ2(e)是不能由市场指数来解释的资产的方差。因此决定系数也可表示为：

式中e是从回归残值的估计中得出的，所以称之为标准方差N残值。

（2）调整后的贝塔值及其预测

调整贝塔估计值的目的是使股票的贝塔系数在平均水平上似乎随时间向l 靠近。贝塔的预测法试图预言这一趋势。另外，其他的财务变量也可以用来预测贝塔值。 贝塔值的预测模型如下：

现在的β=a+b (过去的β)，未来的β=a+b (现在的β)

以下变量有助于贝塔值的预测：收益的方差、现金流的方差、每股收益的增长、市场资本化、红利收益率和资产负债比率。

4.指数模型与证券组合追踪

追踪基金是一种避险工具，用来规避不希望出现的风险。对冲基金管理人使用指数回归方法，以及更为复杂的变量来创建追踪组合，这是套头策略的核心内容。对冲基金大都使用“长—短策略”，对冲基金管理人锁定某一价格被低估了的证券，然后设法获得一个“单一经营企业”，抵消所有外生风险，将投资下在察觉的“阿尔法”上。

10.2 课后习题详解

一、概念题

1．单因素模型（single-factor model ）

答：单因素模型又称为“单指数模型（Single-Index Model ）”，是因素模型（Factor Model ）的一种具体形式。具体来说，单因素模型认为，任何资产的实际收益是由唯一的

一个因素所决定的，并且该资产的实际收益率与该因素成线性关系，即：

i i i i F b a r ε++=，式中，i r 表示第i 种资产的实际收益率；i a 是一个待估计的常数；i b 表示第i 种资产的实际

收益率对因素F 的敏感度，它是一个待估计的系数；i ε表示由非因素风险（non-factor risk ）

所引起的误差，且它的期望值E （i ε）=0。单因素模型中的因素F 可以是市场证券组合（market portfolio ）的超额收益率（m r －f r ），也可以是通货膨胀率、国民生产总值、利

率等，可见，单因素模型要比特征线（Characteristic Line）方程广泛得多。但是，单因素模型并没有指出决定资产收益率的因素是什么，它不象特征线方程那样已经明确给出决定因素，因此，人们在应用单因素模型时必须根据经验和需要预先确定决定因素。

2．单指数模型（single-index model）

答：参见本章概念题第1题“单因素模型”。

3．散点图（scatter diagram）

答：散点图又称“散布图”、“相关图”，是表示两个变量之间关系的图，用于分析两测定值之间相关关系，它有直观简便的优点。通过作散布图对数据的相关性进行直观地观察，不但可以得到定性的结论，而且可以通过观察剔除异常数据，从而提高用计算法估算相关程度的准确性。

在本书中，散点图特指证券收益与另一证券收益的图示，图中每一点都表示给定持有期内的一组收益。

4．回归方程（regression equation）

答：回归方程是描述被因变量与一组自变量的平均关系的方程，它是根据回归分析方法得出的数学表达式，可能是直线方程,也可能是曲线方程,视具体资料的性质而定,一般用得较多的是直线回归方程。

5．残值（residuals）

答：残值是不能由自变量（市场指数收益）解释的部分股票收益，它测度了在特定时期