三角形三边关系、三角形内角和定理

三角形三边关系、三角形角和定理

三角形边的性质

（1）三角形三边关系定理及推论

定理：三角形两边的和大于第三边。

推论：三角形两边的差小于第三边。

（2）表达式：△ABC中，设a＞b＞c

则b-c＜a＜b+c

a-c＜b＜a+c

a-b＜c＜a+b

（3）应用

1、给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。

方法（设a、b、c为三边的长）

①若a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a都成立，则以a、b、c为三边的长可构成三角形；

②若c为最长边且a+b＞c，则以a、b、c为三边的长可构成三角形；

③若c为最短边且c＞|a-b|，则以a、b、c为三边的长可构成三角形。

2、已知三角形两边长为a、b，求第三边x的围：|a-b|＜x＜a+b。

3、已知三角形两边长为a、b(a＞b)，求周长L的围：2a＜L＜2(a+b)。

4、证明线段之间的不等关系。

复习巩固，引入新课

1画出下列三角形是高

2、已知：如图△ABC中AG是BC中线，AB=5cm AC=3cm，则△ABG和△ACG的周长的差为多少？△ABG和△ACG的面积有何关系？

3、三角形的角平分线、中线、高线都是（）

A、直线

B、线段

C、射线

D、以上都不对

4、三角形三条高的交点一定在（）

A、三角形的部

B、三角形的外部

C、顶点上

D、以上三种情况都有可能

5、直角三角形中高线的条数是（）

A、3

B、2

C、1

D、0

6、判断：

（1）有理数可分为正数和负数。

（2）有理数可分为正有理数、正分数、负有理数和负分数。

7、现有10cm的线段三条，15cm的线段一条，20cm的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？

三角形三边的关系

一、三角形按边分类（见同步辅导二）

练习

１、两种分类方法是否正确：

不等边三角形不等三角形

三角形三角形等腰三角形

等腰三角形等边三角形

2、如图，从家A上学时要走近路到学校B，你会选哪条路线？

３、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？

（1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm

（3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ

应用举例1

已知△ABC中，a=6，b=14，则c边的围是

练习

１、三角形的两边为3cm和5cm，则第三边x的围是

２、果三角形的两边长分别为７和２，且它的周长为偶数，那么第三边的长为

3、长度分别为12cm，10cm，5cm，4cm的四条线段任选三条线段组成三角形的个数为

（）

A、1

B、2

C、3

D、4

4、具备下列长度的各组线段中能够成三角形的是（）

A、5，9，3

B、5，7，3

C、5，2，3

D、5，8，3

应用举例2

1、已知一个等腰三角形的两边分别是8cm和6cm，则它的周长是

______cm。

分析：若这个等腰三角形的腰长为8cm,则三边分别为8cm,8cm,6cm，满

足两边之和大于第三边，若腰长为7cm,则三边分别为6cm，6cm,8cm，也

成立。

解：这个等腰三角形的周长为22cm或20cm。

2、已知：△ABC的周长为11，AB=4，CM是△ABC的中线，△BC M的周

长比△ACM的周长大3，求BC和AC的长。

分析：由已知△ABC的周长=AB+AC+BC=11，AB=4，可得

BC+AC=7。

又△BCM的周长-△ACM的周长=(BC+CM+MB)-(AC+CM+MA)=3，而AM=MB，

故BC-AC=3，解方程组可求BC与AC的长。

略解：∵△ABC的周长=AB+BC+CA=11，AB=4

∴BC+AC=11-4=7

又CM是△ABC的中线（已知）

∴AM=MB（三角形中线定义）

又△BCM的周长-△ACM的周长=(BC+CM+MB)-(AC+CM+MA)=BC-AC=3

解得：BC=5 AC=2

专题检测

1、1.指出下列每组线段能否组成三角形图形

（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4

（3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=6

2.已知等腰三角形的两边长分别为11cm和5cm，求它的周长。

3.已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰的中线把三角形的周长分为两

部分，其中一部分比另一部分长2cm，求这个三角形的腰长。

4、三角形三边为3，5， a，则a的围是。

5、三角形两边长分别为25cm和10cm，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为。

6、等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，则腰长为

7、一个三角形周长为27cm，三边长比为2∶3∶4，则最长边比最短边长。

8、等腰三角形两边为5cm和12cm，则周长为。

9、已知：等腰三角形的底边长为6cm，那么其腰长的围是

10、已知：一个三角形两边分别为4和7，则第三边上的中线的围是

11、下列条件中能组成三角形的是（）

A、5cm, 7cm, 13cm

B、3cm, 5cm, 9cm

C、6cm, 9cm, 14cm

D、5cm, 6cm, 11cm

12、等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分别为（）

A、5，6

B、6，4

C、7，2

D、以上三种情况都有可能

13、一个三角形两边分别为3和7，第三边为偶数，第三边长为（）

A、4，6

B、4，6，8

C、6，8

D、6，8，10

14、已知等腰三角形一边长为24cm，腰长是底边的2倍。

求这个三角形的周长。

三角形角的性质

（1）三角形角和定理

1）定理：三角形三个角的和等于180°。

2）表达式：△ABC中

∠A+∠B+∠C=180°（三角形角和定理）

（2）三角形角和定理及推论的作用

1）在三角形中，利用三角形角和定理，已知两角求第三角或已知各角之间的关系求各角。

2）在直角三角形中，已知一个锐角利用推论1求另一个锐角或已知两个锐角的关系，求这两个锐角。另外，推论1常与同角（等角）的余角相等结合来证角相等。

3）利用推论3证三角形中角的不等关系。

4）、三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性。

（3）三角形按角分类

说明：

三角形有两种分类方法，一种是按边分类，另一种是按角分类，两种分

类方法分辩清楚。

复习巩固，引入新课

1、三角形的两边为7cm和5cm，则第三边x的围是

2、如果三角形的两边长分别为７和２，且它的周长为偶数，那么第三边的长为

3、已知一个等腰三角形的两边分别是8cm和6cm，则它的周长是

______cm。

4、下列条件中能组成三角形的是（）

A、5cm, 7cm, 13cm

B、3cm, 5cm, 9cm

C、6cm, 9cm, 14cm

D、5cm, 6cm, 11cm

三角形三个角的关系

三角形三个角的和等于180°

证明思路：通过添加辅助线，把三角形三个分散的角，全部或适当地集中起来，利用平角定义或两直线平行，同旁角互补来证明。

下面是几种辅助线的添置方法，请同学们自己分析证明。

1、作BC的延长线CD，在△ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边，画∠1=∠A。

2、作BC的延长线CD，过C点作CE∥AB。

3、过A点作DE∥BC。

4、过A点作射线AD∥BC。

5、在BC上任取点D，过D作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F 。

（2）三角形角和定理的推论

推论1：直角三角形的两个锐角互余。

表达式：∵在Rt△ACB中，∠C=90°（已知）

∴∠A+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余）

推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和。

推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角。

表达式：△ACB中，∠ACD=∠A+∠B ∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B 练习

1、三角形的三个角中最多有

个锐角，最多有个直角，个钝角。

2、一个三角形的最大角不能超过度，最小角不能大于度。

3、已知△ABC

①若∠A=50°，∠B=60°，则∠C= 。

②若∠A=50°，∠B=∠C，则∠C = ，∠B= 。

③若∠A=50°，∠B-∠C=10°，则∠B = ，∠C= 。

④若∠A+∠B=130°，∠A-∠C=25°，则∠A = ，∠B = ，∠C= 。

⑤若∠A∶∠B∶∠C =1∶2∶3，则∠A = ，∠B = ，∠C= ，这个三角形是三角形。

例题讲解已知：如图02-13△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的平分线AD、BE交于点O，求：∠AOB的度数。

解二：同上可得到∠1+∠2=45°

∴∠3=∠1+∠2=45°（三角形外角等于和它不相邻的两个角和）

∵∠AOB+∠3=180°（平角定义）

∴∠AOB=180°-∠3=180°-45°=135°

∴∠AOB=135°

例2．AB与CD相交于点O，求证：∠A+∠C=∠B+∠D

思路分析：在△AOC中，

∠A+∠C+∠AOC=180°（三角形角定理）

在△BOD中，∠B+∠D+∠BOD=180°（三角形角和定理）

∴∠ A+∠C+∠AOC=∠B+∠D+∠BOD（等量代换）

∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等）

∴∠A+∠C=∠B+∠D

这道几何题是一对对顶三角形组成的几何图形．因为我们发现了两个三角形，所以便联想到三角形角和定理，探索思路，使问题解决了．可是这道题的应用价值很值得开发，它是一类几何题打开思路的“桥梁”，借助它可顺利到达“彼岸”，请看实例．变式：如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．

揭示思路：从图形中观察出现对顶三角形，此时便使我们设法把5个分散的角转化在一个图形中，在这种想法趋使下，使我们想到对顶三角形这“桥梁”．

结合图形，连CD，立即可发现，∠B+∠E=∠1+∠2

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E

=∠A+∠ACD+∠ADC=180°（三角形角和定理）

专题检测1、直角三角形的两个锐角相等，则每一个锐角等于度。

2、△ABC中，∠A=∠B+∠C，这个三角形是三角形。

3、国旗上的五角星中，五个锐角的和等于度。

4、在△ABC中（1）已知：∠A=32.5°，∠B=84.2°，求∠C的度数。

（2）已知：∠A=50°，∠B比∠C小15°，求∠B的度数。

（3）已知：∠C=2∠B，∠B比∠A大20°，求∠A、∠B、∠C的度数。

5、已知，在△ABC中与最大的角相邻的外角是120°，则这个三角形一定是（）

A、不等边三角形

B、钝角三角形

C、等边三角形

D、等腰直角三角形

6、、△ABC中，∠B=∠C=50°，AD平分∠BAC，则∠BAD=

7、、在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大30°，则∠C的外角为度，这个三角形是三角形

8、、△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则与∠C相邻的外角等于

9、、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠B=（）

A、30°

B、60°

C、90°

D、120°

10、一个三角形有一外角是88°，这个三角形是（）

A、锐角三角形

B、直角三角形

C、钝角三角形

D、无法确定

11、已知△ABC中，∠A为锐角，则△ABC是（）

A、锐角三角形

B、直角三角形

C、钝角三角形

D、无法确定

12、已知三角形的一个外角小于与它相邻的角，那么这个三角形（）

A、是锐角三角形

B、是直角三角形

C、是钝角三角形

D、以上三种都有可能