【2014西城一模】北京市西城区2014届高三一模试卷 数学文 Word版含答案

北京市西城区2014年高三一模试卷

数 学（文科） 2014.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．设全集{|02}U x x =<<，集合1{|0}A x x =<≤，则集合U A =e（ ）

（A ）(0,1) （B ）(0,1]

（C ）(1,2)

（D ）[1,2)

2．已知平面向量(2,1)=-a ，(1,3)=b ，那么|a +b |等于（ ） （A ）5 （B

（C

（D ）13

3．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心

率为（ ） （A

（B ）2

（C

（D

4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）2 （B ）

43

（C ）4 （D ）5

正(主)视图

俯视图

侧(左)视图

6． 设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数”是“函数3(2)y a x =-在

R 上是增函数”的（ ）

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） （A ）4 （B ）5

（C ）6

（D ）7

8. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）

（A ） 4个 （B ）6个

（C ）10个

（D ）14个

5．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ）

（A ）()sin =f x x （B ）()sin 2=f x x （C ）()cos =f x x （D ）()cos 2=f x x

B

A

D

C

. P

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数1i

i 2i

x y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．

10．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为

_____．

11．已知函数3, 0,()1, 0,1≤+??

=?>?+?

x x f x x x 若0()2=f x ，则实数0=x ______；函数()f x 的最大

值为_____．

12．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为______．

13．若不等式组1,

0,26,a

x y x y x y ???

?+??+?≥≥≤≤表示的平面区域是一个

四边形，则实数a 的取值范围是__________.

14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，

AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点. 设AP xAD =

，

PB PC y ?=

，记()=y f x ，则(

1)=f ____； 函数()f x 的值域为_________.

A D C P

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知2

2

2

b c a bc +=+.

（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ

）如果cos =

B ，2b =，求a 的值. 16．（本小题满分13分）

某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.

（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b ，c 的值；

（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率； （Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了()*

∈n n

N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽样．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值.

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥， N 是棱AD 的中点.

（Ⅰ）求证：//AB 平面SCD ； （Ⅱ）求证：SN ⊥平面ABCD ；

（Ⅲ）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面⊥PBD 平

面ABCD ?若存在，求出

SP

PC

的值；若不存在，说明理由. 18．（本小题满分13分）

已知函数()ln a

f x x x

=-

，其中a ∈R ． （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆22

221(0)x y W a b a b

+=>>：的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜

率为1-，O 为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆W 的方程.

（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 与W 相交于,A B 两点，记AOB ?面积的最大值为k S ，证明：

12S S =.

20．（本小题满分13分）

在数列{}n a 中，1

()n a n n

*=∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111

,,,2358

为{}n a 的一个4项子

列.

（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等比数列；

（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足1

04

d -

<<； （Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列，且{}n c 为等比数列，证明：

1234566332

c c c c c c +++++≤

.

北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学（文科） 2014.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．2

5

-

10．4 2=-x 11．1- 3 12．256

13． (3,5) 14．1 4[,4]5

注：第10、11、14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为 2

2

2

b c a bc +=+，

所以 2221

cos 22

b c a A bc +-=

=， ……………… 4分

又因为 (0,π)∈A ，

所以 π

3

A =. ……………… 6分

（Ⅱ）解：因为 cos =

B ，(0,π)∈B ，

所以 sin 3

B ==， ………………8分

由正弦定理

sin sin =a b

A B

， (11)

得 sin 3sin ==b A

a B

. ………………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：0.15a =，30b =，0.3=c . ……………… 3分

（Ⅱ）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A . ……………… 4分

由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个， 所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为100604

()2005

+==P A . …………… 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:403:5:2=.

(10)

分

所以按分层抽样法，购买灯泡数 35210()*

=++=∈n k k k k k N ，

所以n 的最小值为10． ……………… 13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是矩形，

所以 //AB CD ， ……………… 1分

又因为 AB ?平面SCD ，CD ?平面SCD ，

所以 //AB 平面SCD . ……………… 3分

（Ⅱ）证明：因为 , , AB SA AB AD SA AD A ⊥⊥= ，

所以 ⊥AB 平面SAD ， (5)

又因为 SN ?平面SAD ，

所以 AB SN ⊥. ……………… 6分

因为 SA SD =，且N 为AD 中点， 所以 SN AD ⊥. 又因为 AB AD A = ，

所以 SN ⊥平面ABCD . ……………… 8分

（Ⅲ）解：如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作//FP SN 交SC 于点P ，连

接PB ，PD .

因为 SN ⊥平面ABCD ，

所以 FP ⊥平面ABCD . (11)

又因为 FP ?平面PBD ，

所以平面PBD ⊥平面ABCD . …………… 12在矩形ABCD 中，因为//ND BC ， 所以

1

2

NF ND FC BC ==. 在SNC ?中，因为//FP SN ， 所以

1

2

NF SP FC PC ==. 则在棱SC 上存在点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ，此时1

2

SP PC =. ……… 14分

18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由2

()ln f x x x

=-，得

212()f x x x '=+， ……………… 2分

所以 (1)3f '=， 又因为 (1)2f =-，

所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为350x y --=. (4)

（Ⅱ）解：由 ()2f x x >-+，得ln 2a

x x x

-

>-+， 即 2ln 2a x x x x <+-. ……………… 6分

设函数2()ln 2g x x x x x =+-，

则 ()ln 21g x x x '=+-， ……………… 8分

因为(1,)x ∈+∞，

所以ln 0x >，210x ->，

所以当(1,)x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->， ……………… 10分

故函数()g x 在(1,)x ∈+∞上单调递增，

所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)1g x g >=-. ……………… 11分

因为对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立， 所以对于任意(1,)x ∈+∞，都有()a g x <成立.

所以1a -≤. ……………… 13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由题意，得椭圆W 的半焦距1c =，右焦点(1,0)F ，上顶点(0,)M b ，…… 1分 所以直线MF 的斜率为0

101

-=

=--MF b k ， 解得 1b =， ……………… 3分

由 2

2

2

a b c =+，得2

2a =，

所以椭圆W 的方程为2

212

x y +=. ……………… 5分

（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中1k =或2，11(,)A x y ，22(,)B x y .… 6分

由方程组22

12

y kx m x y =+???+=?? 得222

(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分

所以 2

2

16880k m ?=-+>， （*）

由韦达定理，得122412km x x k -+=+, 2122

22

12m x x k -=+. (8)

分

所以

||AB ==

(9)

分

因为原点O 到直线y kx m =+

的距离d =， (10)

分

所以 1||2AOB S AB d ?=

?= ……………… 11分

当1k =

时，因为AOB S ?=

所以当2

32m =

时，AOB S ?

的最大值12

S =， 验证知（*）成立； ……………… 12分

当2k =

时，因为AOB S ?=

所以当2

92m =

时，AOB S ?的最大值22

S =； 验证知（*）成立.

所以 12S S =. ……………… 14分

注：本题中对于任意给定的k ，AOB ?的面积的最大值都是2

.

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列：12，14，1

8

. ……………… 2分

（Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥，

所以 210d b b =-<. ……………… 4分

因为 514b b d =+，151,0b b >≤， 所以 514011d b b =->-=-，

解得 14

d >-. 所以1

04

d -<<. ……………… 7分

（Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，

则 2

3

4

5

1234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++. 因为{}n c 为{}n a 的一个6项子列， 所以 q 为正有理数，且1q <，111

()c a a

*=∈N ≤. ……………… 8分

设 (,K

q K L L

*=

∈N ，且,K L 互质，2L ≥）.

当1K =时，

因为 112

q L =

≤， 所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++ 2345

111111()()()()22222

+

++++≤， 所以 12345663

32

c c c c c c +++++≤

. ……………… 10分

当1K ≠时，

因为 5

5

6151==?K c c q a L

是{}n a 中的项，且,K L 互质，

所以 5*()a K M M =?∈N ，

所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++

543223*********()M K K L K L K L KL L

=

+++++. 因为 2L ≥，*,K M ∈N ，

所以 23451234561111163

1()()()()2222232

c c c c c c ++++++++++=≤. 综上， 12345663

32

c c c c c c +++++≤. ……………… 13分