八年级数学(下册)导学案
19.1.1《变量与函数》教学反思 本节课是八年级学生初步接触函数的入门课,必须让学生准确认识变量与常量的特征,初步感受现实世界各种变量之间相互联系的复杂性,同时感受到数学研究方法的化繁为简,知道在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系。 函数定义的关键词是:“两个变量”、“唯一确定”、“与其对应”;函数的要点是:1 有两个变量,2 一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化,3 一个变量的值确定另一个变量总有唯一确定的值与其对应;函数的实质是:两个变量之间的对应关系;学习函数的意义是:用运动变化的观念观察事物。与学习进行仔细的研究,有助于函数意义的理解,但是,不可能在一课的学时内真正理解函数的意义,继续布置作业:每个同学列举出几个反映函数关系的实例,培育学生用函数的观念看待现实世界,最后,我还说明了,函数的学习,是我们数学认识的第二个飞跃,代数式的学习,是数学认识的第一次飞跃:由具体的数、孤立的数到一般的具有普遍意义的数,函数的学习,是由静止的不变的数到运动变化的数。 在函数概念的教学中,应突出“变化”的思想和“对应”的思想。从概念的起源来看,函数是随着数学研究事物的运动、变化而出现的,他刻画了客观世界事物间的动态变化和相互依存的关系,这种关系反映了运动变化过程中的两个变量之间的制约关系。因此,变化是函数概念产生的源头,是制约概念学习的关节点,同时也是概念教学的一个重要突破口。教师可以通过大量的典型实例,让学生反复观察、反复比较、反复分析每个具体问题的量与量之间的变化关系,把静止的表达式看动态的变化过程,让他们从原来的常量、代数式、方程式和算式的静态的关系中,逐步过渡到变量、函数这些表示量与量之间的动态的关系上,使学生的认识实现 为了快速明了的引出课题,课前让学生收集一些变化的实例,从学生的生活入手,开门见山,来指明本节课的学习内容。本课的引例较为丰富,但有些内容学生解决较为困难,于是我采取了三种不同的提问方式:1.教师问,学生答; 2.学生自主回答; 3.学生合作交流回答。为了较好的突出重点突破难点,在处理教学活动过程中,让学生思考每个变化活动中反映的是哪个量随哪个量的变化而变化,并提出一个量确定时另一个量是否唯一确定的问题,在得出变量和常量概念的同时渗透函数的概念.为了更好的让学生理解变量和常量的意义,由“问题中分别涉及哪些量?哪些量是变化的,哪些量是始终不变的?”一系列问题,在借助生活实例回答的过程中,归纳总结出变量与常量的概念,并能指出具体问题中的变量与常量。函数的概念是把学生由常量数学的学习引入变量数学的学习的过程,学生初步接触函数的概念,难以理解定义中“唯一确定”的准确含义,我设置了以下二个问题:1.在前面研究的每个问题中,都出现了几个变量?它们之间是相互影响,相互制约的。2.在二个变量中,一个量在变化的过程中每取一个值,另一个量有多少个值与它对应?来理解具体实例中二个变量的特殊对应关系,初步理解函数的概念。为了进一步让学生理解“唯一对应”关系,借助函数图像,使学生直观的感受二个变量之间特殊对应关系-----唯一对应。通过这种从实际问题出发的探究方式,使学生体验从具体到抽象的认识过程,及时给出函数的定义。再从抽象转化到实际应用中去,加深学生对函数概念的理解。为了加强学生辨析函数的能力,我准备了一道思考题,Y2=X中对于X的每一个值Y都
考点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。 其中,水平的数轴叫做x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y 轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O (即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x 轴和y 轴上的点,不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用(a ,b )表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当b a ≠时, (a ,b )和(b ,a )是两个不同点的坐标。 考点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>? y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=? y ,x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上,y 0=?x 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上,又在y ?轴上x ,y 同时为零,即点P 坐标为(0,0) 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等,纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等,横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (1)点P(x,y)到x 轴的距离等于y (2)点P(x,y)到y 轴的距离等于 x (3)点P(x,y)到原点的距离等于2 2y x + 考点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量x 与y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 :两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。 (2)列表法:把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。 (3)图像法:用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤:(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点 (3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。 考点四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地,如果 b kx y +=(k ,b 是常数,k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数。
19.1.1 变量与函数(第2课时) 一、内容和内容解析 1.内容 函数的概念. 2.内容解析 函数是描述运动变化规律的重要数学模型,是联系方程和不等式相关知识及数与形的纽带.函数概念是中学数学的核心概念,它刻画了变化过程中两个变量之间的对应关系,是继续学习一次函数、二次函数、反比例函数等内容的基础. 本章内容包括函数的概念和表示法、正比例函数、一次函数.一次函数是函数值变化量与自变量变化量的比值固定不变的简单函数模型.研究一次函数可以获得初中函数研究的一般步骤(下定义——画图象——观察图象——概括性质)和基本思想(模型思想、数形结合的思想、运动变化和对应思想),发展数学观察、表征、抽象概括和推理能力.函数概念学习过程中蕴含的核心数学认知活动是数学抽象概括活动. 变量y要成为变量x的函数,需满足两个条件:(1)在同一个变化过程中,有两个变量x 和y,一个变量y随着另一个变量x的变化而变化;(2)变量y的值是由变量x的取值唯一确定的.“单值对应”是函数概念的关键词,是函数概念的核心所在. 综上所述,本课教学的重点:概括并理解函数概念中的单值对应关系. 二、目标和目标解析 1.目标 (1)了解函数的概念. (2)能结合具体实例概括函数的概念. (3)在函数概念形成过程中体会运动变化与对应的思想. 2.目标解析 目标(1)的要求:能在具体实例(包括解析式、表格、图象呈现)中辨别变量之间的关系是否是函数关系,能举出函数的实例. 目标(2)的要求:能观察运动变化的具体实例,分析变量之间的对应关系并发现其单值对应的特征,通过归纳实例中变量之间的单值对应特征概括函数的概念.目标(3)的要求:在函数概念的形成过程中,初步体会变量之间的联系,感受变化与对应的思想.
知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。 其中,水平的数轴叫做x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y 轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O (即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x 轴和y 轴上的点,不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用(a ,b )表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当b a ≠时,(a ,b )和(b ,a )是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=?y ,x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=?x ,y 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上,又在y 轴上?x ,y 同时为零,即点P 坐标为(0,0) 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等,纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等,横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (1)点P(x,y)到x 轴的距离等于y (2)点P(x,y)到y 轴的距离等于x (3)点P(x,y)到原点的距离等于2 2y x + 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量x 与y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。 (2)列表法 把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。 (3)图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点 (3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。 知识点四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念
17.1 变量与函数(1) 教学目标 1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念. 2.了解表示函数关系的三种方法:解析法、列表法、图象法,并会用解析法表示数量关系. 过程性目标 1.通过实际问题,引导学生直观感知,领悟函数基本概念的意义. 2.引导学生联系代数式和方程的相关知识,继续探索数量关系,增强数学建模意识,列出函数关系式. 教学过程 一、创设情境 在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题. 问题1 如图是某地一天内的气温变化图. 看图回答: (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少?任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温. (2)这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少? (3)这一天中,什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低? 解:(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为-1℃、2℃、5℃. (2)这一天中,最高气温是5℃,最低气温是-4℃. (3)这一天中,3时~14时的气温在逐渐升高.0时~3时和14时~24时的气温在逐渐降低. 从图中我们可以看到,随着时间t(时)的变化,相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢? 二、探究归纳 问题2小蕾在过14岁生日的时候,看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重,如下表:周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
体重(kg) 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9 观察上表,说说随着年龄的增长,小蕾的体重是如何变化的?在哪一段时间内体重增加得较快? 解:随着年龄的增长,小蕾的体重也随着增长,且在1-2岁增加得较快. 问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值: 观察上表回答: (1)波长l 和频率f 数值之间有什么关系? (2)波长l 越大,频率f 就________. 解: (1) l 与 f 的乘积是一个定值,即lf =300 000,或者说l 300000 f . (2)波长l 越大,频率f 就越小 . 问题4 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r 表示圆的半径,S 表示圆的面积,则S 与 r 之间满足下列关系:S =_________. 利用这个关系式,试求出半径为1 cm 、1.5 cm 、2 cm 、2.6 cm 、3.2 cm 时圆的面积,并将结果填入下表: 由此可以看出,圆的半径越大,它的面积就_________. 解: S =πr 2. 圆的半径越大,它的面积就越大. 在上面的问题中,我们研究了一些数量关系,它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量,特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中,刻画气温变化规律的量是时间t 和气温T ,气温T 随着时间t 的变化而变化,它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量(variable). 上面各个问题中,都出现了两个变量,它们互相依赖,密切相关.一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量,例如x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,我
变量与函数 【学习目标】 1.知道现实生活中存在变量和常量,变量在变化的过程中有其固有的范围(即变量的取值范围); 2.能初步理解函数的概念;能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法;给出自变量的一个值,会求出相应的函数值. 3. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系,会判断一个点是否在函数的图象上,明确交点坐标反映到函数上的含义. 4. 初步理解函数的图象的概念,掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤,对已知图象能读图、识图,从图象解释函数变化的关系. 【要点梳理】 要点一、变量、常量的概念 在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 要点诠释:一般地,常量是不发生变化的量,变量是发生变化的量,这些都是针对某个变化过程而言的.例如,60s t =,速度60千米/时是常量,时间t 和里程s 为变量. 要点二、函数的定义 一般地,在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说 x 是自变量,y 是x 的函数. 要点诠释:对于函数的定义,应从以下几个方面去理解: (1)函数的实质,揭示了两个变量之间的对应关系; (2)对于自变量x 的取值,必须要使代数式有实际意义; (3)判断两个变量之间是否有函数关系,要看对于x 允许取的每一个值,y 是否 都有唯一确定的值与它相对应. (4)两个函数是同一函数至少具备两个条件: ①函数关系式相同(或变形后相同); ②自变量x 的取值范围相同. 否则,就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到,自变 量x 的取值范围有时容易忽视,这点应注意. 要点三、函数的定义域与函数值 函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域. 要点诠释:考虑自变量的取值必须使解析式有意义。 (1)当解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数; (2)当解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为零的实数; (3)当解析式是二次根式时,自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数; (4)当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时,自变量的取值应使相应的底数 不为零; (5)当解析式表示实际问题时,自变量的取值必须使实际问题有意义. y 是x 的函数,如果当x =a 时y =b ,那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.在函数用记号()y f x =表示时,()f a 表示当x a =时的函数值. 要点诠释: 对于每个确定的自变量值,函数值是唯一的,但反过来,可以不唯一,即一个函数值对