一、选择题:
1.
10i
2-i
= A. -2+4i B. -2-4i C. 2+4i D. 2-4i
解:原式10i(2+i)
24(2-i)(2+i)
i =
=-+.故选A.
2. 设集合{}1|3,|
04x A x x B x x -??
=>=?-?
?
,则A B = A. ? B. ()3,4 C.()2,1- D. ()4.+∞
解:{}{}1|
0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -??
=<=--<=<?-?
?
.(3,4)A B ∴=.故选B.
3. 已知ABC ?中,12
cot 5
A =-, 则cos A = A.
1213
B.
513 C.513
- D. 12
13
-
解:已知ABC ?中,12cot 5A =-,(,)2
A π
π∴∈.
12
cos 13
A ===-
故选D. 4.曲线21
x
y x =
-在点()1,1处的切线方程为
A. 20x y --=
B. 20x y +-=
C.450x y +-=
D.
450x y --=
解:11122
2121
||[]|1(21)(21)
x x x x x y x x ===--'=
=-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.
5. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,E 为1AA 中点,则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为
A.
10
10
B. 15
C.
310
10
D.
35
解:令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B
与BE 所成的角。在1A BE ?中由余弦定理易得1310
cos A BE ∠=。故选C 6. 已知向量()2,1,10,||52a a b a b =?=+=,则||b = A. 5
B. 10
C.5
D. 25
解:222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。故选C 7. 设323log ,log 3,log 2a b c π===,则 A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >>
解:322log 2log 2log 3b c <<∴>
2233log 3log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A.
8. 若将函数()tan 04y x πωω??=+> ?
?
?
的图像向右平移6
π个单位长度后,与函数tan 6y x πω??
=+ ??
?
的图像重合,则ω的最小值为
A .1
6
B. 14
C. 13
D.
12
解:6tan tan[(]ta )6446n y x y x x π
ππππωωω???
?=+??????
→=-=+ ?
+? ????向右平移个单位 1
64
()6
62k k k Z π
π
ωπωπ
+=
∴=+∈∴
-
, 又min
1
02
ωω>∴=.故选D 9. 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线
2:8C y x =相交于A B 、两点,F 为C 的焦点,
若||2||FA FB =,则k = A. 13
B.
2
C. 23
D.
22
解:设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-直线 ()()20y k x k =+>恒过定
点P ()2,0- .如图过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,于N , 由
||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结OB ,则
1
||||2
OB AF =
, ||||OB BF ∴
= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为22022
(1,22)1(2)3
k -∴=
=
--, 故选D 10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
A. 6种
B. 12种
C. 30种
D. 36种 解:用间接法即可.22244430C C C ?-=种. 故选C
11. 已知双曲线()22
2210,0x y C a b a b
-=>>:的右焦点为F ,过F 且斜率为
3的直线交C 于A B 、两点,若4AF FB =,则C 的离心率为A .6
5 B. 75 C. 58 D.
95
解:设双曲线22
221x y C a b
-=:的右准线为l ,过
A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N ,
BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率为3,知
直线AB 的倾斜角为
1
6060,||||2
BAD AD AB ?∴∠=?=
, 由双曲线的第二定义有
1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-11
||(||||)22AB AF FB ==+.
又156
43||||25
AF FB FB FB e e =∴?=∴= 故选A
12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“?”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西
D. 下
BN l ⊥解:展、折问题。易判断选B
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡上。
13. (4
y x 的展开式中33x y 的系数为 6 。
解:(4
224y x x y x y =,只需求4()x y 展开式中的含xy 项
的系数:246C =
14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若535a a =则9
5
S S = 9 . 解:{}n a 为等差数列,95
53
995S a S a ∴
== 15.设OA 是球O 的半径,M 是OA 的中点,过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。若圆C 的面积等于74
π
,则球O 的表面积等于 8π.
解:设球半径为R ,圆C 的半径为r ,2277.44
4r r ππ==,得由 因为222R OC =
=。由2222217)84
R r R =+=+得22R =.故球
O 的表面积等于8π.
16. 已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦,垂足为
(
M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为 。
解:设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+.
四边形ABCD 的面积22121||||8()52
S AB CD d d =?=≤-+= 三、解答题: 17设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,
3
cos()cos 2
A C
B -+=
,2b ac =,求B 。 分析:由3
cos()cos 2
A C
B -+=,易想到先将()B A
C π=-+代入
3cos()cos 2A C B -+=得3
cos()cos()2
A C A C --+=然后利用两角和与差的
余弦公式展开得3
sin sin 4A C =;又由2b ac =,利用正弦定理进行边角互
化,得2sin sin sin B A C =,进而得sin B =.故233
B ππ
=或。大部分考生做到这里忽略了检验,事实上,当23B π=
时,由1cos cos()2
B A
C =-+=-,进而得3
cos()cos()212
A C A C -=++=>,矛盾,应舍去。
也可利用若2b ac =则b a b c ≤≤或从而舍去23
B π
=。不过这种方法学生不易想到。
18(本小题满分12分)
如图,直三棱柱111ABC A B C -中,,AB AC D ⊥、E 分别为1AA 、1B C 的中点,DE ⊥平面1BCC (I )证明:AB AC =
(II )设二面角A BD C --为60°,求1B C 与平面BCD 所成的角的大小。 (I )分析一:连结BE ,111ABC A B C -为直三棱柱, 190,B BC ∴∠=?
E 为1B C 的中点,BE EC ∴=。又DE ⊥平面1BCC ,
BD DC ∴=(射影相等的两条斜线段相等)而DA ⊥平面ABC ,
AB AC ∴=(相等的斜线段的射影相等)
。 分析二:取BC 的中点F ,证四边形AFED 为平行四边形,进而证AF
∥DE ,AF BC ⊥,得AB AC =也可。
分析三:利用空间向量的方法。具体解法略。
(II )分析一:求1B C 与平面BCD 所成的线面角,只需求点1B 到面BDC
的距离即可。
作AG BD ⊥于G ,连GC ,则GC BD ⊥,AGC ∠为二面角A BD C --的平面角,60AGC ∠=?.不妨设23AC =,则2,4AG GC ==.在RT ABD ?中,由
AD AB BD AG ?=?,易得6AD =.
设点1B 到面BDC 的距离为h ,
1B C 与平面BCD 所成的角为α。利用
111
33
B B
C BC
D S D
E S h ???=?,可求得h =23,又
可求得
1
43BC = 11
sin 30.2
h B C αα=
=∴=? 即1B C 与平面BCD 所成的角为30.?
分析二:作出1B C 与平面BCD 所成的角再行求解。如图可证得
BC AFED ⊥面,所以面AFED BDC ⊥面。由分析一易知:四边形AFED
为正方形,连AE DF 、,并设交点为O ,则EO BDC ⊥面,OC ∴为EC 在面BDC 内的射影。ECO ∴∠即为所求。以下略。
19(本小题满分12分)
设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ (I )设12n n n b a a +=-,证明数列{}n b 是等比数列 (II )求数列{}n a 的通项公式。 解
:(
I
)
由
11,
a =与
142
n n S a +=+,有
12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=
由142n n S a +=+,...① 则当2n ≥时,有142n n S a -=+.....② ②-①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-
又12n n n b a a +=-,12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =,公比为2的等比数列.
(II )由(I )可得11232n n n n b a a -+=-=?,113
224
n n n n a a ++∴
-= ∴数列{}2
n n a
是首项为12
,公差为34
的等比数列. ∴
1331(1)22444
n n
a n n =+-=-,2
(31)2n n a n -=-? 评析:第(I )问思路明确,只需利用已知条件寻找1n n b b -与的关系即可.
第(II )问中由(I )易得11232n n n a a -+-=?,这个递推式明显是一个构造新数列的模型:1(,n n n a pa q p q +=+为常数),主要的处理手段是两边除以1n q +. 20(本小题满分12分)
某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。
(I )求从甲、乙两组各抽取的人数;
(II )求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(III )记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列与数学期望。
(II )在第一问的基础上,这一问处理起来也并不困难。
从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率11462108
15
C C P C ?==
(III )ξ的可能取值为0,1,2,3
1234211056(0)75C C P C C ξ==?=,11121
46342212110510528
(1)75
C C C C C P C C C C ξ==?+?=
, 21622110510(3)75
C C P C C ξ==?=
,31
(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-== 21(本小题满分12分)
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>
的离心率为3,过右焦点F 的直
线l 与C 相交于A 、B 两点,当l 的斜率为1时,坐标原点O 到l 的距
离为
2
(I )求a ,b 的值;
(II )C 上是否存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有
OP OA OB =+成立?
若存在,求出所有的P 的坐标与l 的方程;若不存在,说明理由。 解:(I )设(,0)F c ,直线:0l x y c --=,由坐标原点O 到l
=
1c =.
又c e a b a ==∴==
(II )由(I )知椭圆的方程为22
:132
x y C +=.设11(,)A x y 、B 22(,)x y
由题意知l 的斜率为一定不为0,故不妨设 :1l x my =+
代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=,显然0?>。 由韦达定理有:1224,23m y y m +=-
+12
24
,23
y y m =-+........① .假设存在点P ,使OP OA OB =+成立,则其充要条件为: 点1212P (,)x x y y ++的坐标为,点
P 在椭圆上,即
22
1212()()132
x x y y +++=。
整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=。 又A B 、在椭圆上,即22221122236,236x y x y +=+=.
故12122330x x y y ++=................................② 将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++与①代入②解得
212
m =
1222y y ∴+=-,12x x +=22432232
m m -+=+,即3(,22P ±.
当3,(,:12222
m P l x y =
-=+; 22.(本小题满分12分)
设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、,且12x x < (I )求a 的取值范围,并讨论()f x 的单调性; (II )证明:()2122
4
In f x ->
解: (I )()2222(1)11a x x a f x x x x x
++'=+=>-++
令2()22g x x x a =++,其对称轴为12
x =-。由题意知12x x 、是方程
()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根,其充要条件为
480(1)0a g a ?=->??
-=>?
,得1
02a << ⑴当1(1,)x x ∈-时,()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数; ⑵当12(,)x x x ∈时,()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数;
当3,(,),:12222
m P l x y =-
=-+. ⑶当2,()x x ∈+∞时,()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数;
(II )由(I )21
(0)0,02
g a x =>∴-<<,222(2)a x x =-+2
()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2
设()()221(22)1()2
h x x x x ln x x =-++>-,
则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++ ⑴当1(,0)2x ∈-时,()0,()h x h x '>∴在1[,0)2
-单调递增; ⑵当(0,)x ∈+∞时,()0h x '<,()h x 在(0,)+∞单调递减。
()1112ln 2
(,0),()224
x h x h -∴∈->-=
当时 故()22122
()4
In f x h x -=>.