有关三角形知识点总结
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三角形知识点汇总
1、三角形
一、三角形三边的关系
1、三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边。(判断三条线段能否组成三角形的依据)
2、已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围:|a-b|<c<a+b
3、给出等腰三角形的两边长度,要求等腰三角形的底边和腰的长(提示:一定要记得分类讨论)
方法:因为不知道这两边哪条边是底边,哪条边是腰,所以要分类讨论,讨论完后要写“综上”,将上面讨论的结果做个总结。
二、三角形的高、中线、角平分线
1、三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角
形的高.(90°角和互余关系)
锐角三角形锐角三角形的三条高都在三角形的内部,三条高的交点也在三角形内部.
直角三角形直角三角形的三条高交于直角顶点.
钝角三角形钝角三角形有两条高落在三角形外部,一条在三角形内部,三条高所在直线交于三角形外一点。
2
、三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三
条中线交于一点,这一点叫做“三角形的重心”。
三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
3、三角形的角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形三条角平分线的交于一点,这一点叫做“三角形的内心”。
要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”,其区别是:三角形的角平分线是条线段;角的平分线是条射线。
4、方法利用:求三角形中未知的高或者底边的长度,可利用“等积法”将三角形的面积用两种方式表达,求其中未知的高或者底边的长度
三、三角形具有稳定性
1. 三角形具有稳定性
2. 四边形及多边形不具有稳定性
要使多边形具有稳定性,方法是将多边形分成多个三角形,这样多边形就具有稳定性了。
四、与三角形有关的角
1. 三角形的内角和定理:三角形的内角和为180°,与三角形的形状无关。
2. 直角三角形两个锐角的关系
直角三角形的两个锐角互余(相加为90°)。有两个角互余的三角形是直角三角形。
3、三角形外角的性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和;三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角;三角形三个外角和为360°。
提示:三角形的内角和为180°,两个锐角互余在解题中经常用到。 4. 基本图形
∠1+∠2=∠3+∠4 ∠BOC =∠A +∠B +∠C
五、多边形及其内角和
1、连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线,把多边形分成(2)n -个三角形
②n 边形共有
(3)
2
n n -条对角线. 2、多边形内角和公式:n 边形的内角和等于(2)n -·180°
3、多边形的外角和:(每个项点取一个外角)多边形的外角和为360°,与多边形的形状和边数无关。
4、正n 边形每个内角相等:n
n ο
180)2(?-,每个外角都相等:n ο360
2、全等三角形
一、全等三角形的判定定理:
1、边边边(SSS ):三边对应相等的两个三角形全等.
2、边角边(SAS ):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
3、角边角(ASA ):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
4、角角边(AAS ):两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
5、斜边、直角边(HL ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
全等.(注意:只适用于直角三角形)
书写格式:在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中,
?????=='
''
'C
A AC B
A A
B ∴ Rt △AB
C ≌Rt △A ′B ′C ′
二、角平分线
1、画法:
①以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M, 交OBN于.
②分别以M,N为圆心.大于 1/2 MN的长为半 径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C.
③作射线OC.射线OC即为所求.
2、性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等. 书写格式:∵OM 是∠AOB 的平分线,C 是OM 上一点, CE ⊥OA 于E ,CF ⊥OB 于F ∴CE=CF 。
3、角平分线的判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
书写格式:∵PE ⊥OA 于E ,PF ⊥OB 于F ,且PE=PF , ∴点P 在∠AOB 的平分线上。
3、等腰三角形
一、等腰三角形的性质
1、三线合一:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
2、有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
二、含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
书写格式:∵在Rt △ABC 中,∠c =90°∠A =30°
∴BC=
2
1
AB ((或AB = 2BC) 注意:在有些题目,若给出的角是15°角时,往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的各
将15°角转化为30°角后,再利用上面的性质解决问题。
例:已知:等腰三角形的底角为150,腰长为20.求:腰上的高. 解:∵∠B=∠ACB=150(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°
∴CD=
21AC=2
1
×20=10 三、最短路径问题
1、求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题
如图,点A ,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点, 当点C 在 l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? 作法:(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′;
(2)连接AB ′,与直线l 相交于点C 则点C 即为所求.
2、利用平移解决最短路径问题
从A 地到B 地需要经过一条小河(河岸平行),今欲在河上建一座桥MN (MN 垂直于河岸),则应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短?
①过点A 作AC 垂直于河岸,且AC 等于河宽, ②连接BC 交靠近点B 的河岸于点N
③过点N 河岸的垂线另一河岸于点M ,则MN 即为所求
4、勾股定理
1、勾股定理内容:如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么222
c b a =+
2、勾股定理的应用:
在ABC ?中,90C ∠=?,则22c a b =+,22b c a =-,22a c b =- 3、勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边。 (若222a b c +<时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,
c 为三边的三角形是锐角三角形。)
(注意:定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边) 4、常见的勾股数:3,4,5; 6,8,10; 8,15,17; 7,24,25; 5,12,13;9,12,15
5、相似三角形
知识点一:相似三角形
相似三角形的性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例。
(1)相似三角形的传递性:若ABC ?∽111C B A ?,111C B A ?∽222C B A ?,则ABC ?∽
222C B A ?,
(4)全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形。
知识点二:平行线分线段成比例
1、平等线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
如右图3l ∥4l ∥4l ,直线1l ,2l 被3l ,4l ,5l 所截,
角 由两个三角形相似确定对应角相等,
对应点拨
拨
那么
EF DE BC AB =,DF DE AC AB =,DF
EF
AC BC = 平行线分线段成比例基本事实的表达式有三种形式,其中EF
DE
BC AB =可简记为“上比下等于上
比下”,
DF DE AC AB =可简记为“上比全等于上比全”,DF
EF
AC BC =
可简记为“下比全等于下比全”
2、平等线分线段成比例的基本事实应用在三角形上的结论:
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。如图①②③所示,若DE//BC ,则有
AC AE AB AD =
,EC AE DB AD =,AC
EC
AB DB =
知识点三:相似三角形的判定定理
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
ΘDE ∥BC ,∴ABC ?∽ADE ?。 2、三边成比例的两个三角形相似。
如图所示: 如果
DF
AC
EF BC DE AB ==,那么ABC ?∽DEF ?。
第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 2)化边为角: C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b < 第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法:最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ,则第三边的取值范围是 两边之差<第三边<两边之和 例:下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例:已知三角形的两边分别是7和12,则第三边长得取值范围为( ) 考点二:5、三角形具有 性,四边形具有 性 例:下列图形具有稳定性的是( ) A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三: 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线,垂足为D , 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注:三角形面积=底×底边上的高 例:AD 是△ABC 的高,∠ADB=∠ADC= 例:AD 是△ABC 的高,AD=3,BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D , 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言: AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注:三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形 D 例:AD 是△ABC 的中线 ,BD=3,则CD= ,BC= , 若△ABC 的面积是18,则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ,那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言: AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例:AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=70度,则∠BAD= ,∠CAD= 考点四:三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言:∠A+∠B+∠C= 例:在△ABC 中,∠B=45度,∠C=55度,则∠A= 考点五:三角形的外角 1、定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言: ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例:如图,已知∠ACD=120度,∠B=50度,则∠A= 考点六:n 边形的内角和公式等于 例:计算五边形的内角和是 例:一个多边形的内角和是720度,则这个多边形的边数是 考点七:多边形的外角和等于 例:十二边形的外角和等于 例:正多边形的每个外角的度数都是40度,则这个正多边形的边数是 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 三角形的定义 三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边,三个角,三个顶点。 三角形中的主要线段 三角形中的主要线段有:三角形的角平分线、中线和高线。 这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点: (1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线。 (2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 (3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形的按边分类 三角形的三条边,有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等。所以三角形按的相等关系分类如下: 等边三角形是等腰三角形的一种特例。 判定三条边能否构成三角形的依据 △ABC的三边长分别是a、b、c,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”。可知: △③a+b>c,①a+c>b,②b+c>a △定理:三角形任意两边的和大于第三边。 △由②、③得b―a<c,且b―a>―c △故|a―b|<c,同理可得|b―c|<a,|a―c|<b。 从而得到推论: 三角形任意两边的差小于第三边。 上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法,定理包含了推论,推论也可以代替定理。另外,定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如:三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形,而三条线段的长度分别是5、3、1,就不能构成三角形。 判定三条边能否构成三角形 对于某一条边来说,如一边a,只要满足|b-c|<a<b+c,则可构成三角形。这是因为|b-c|<a,即b-c<a,且b-c>-a.也就是a+c>b且a+b>c,再加上b+c>a,便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来,只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件,则一定有|b-c|<a<b+c。 在特殊情况下,如果已知线段a最大,只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小,只要满足|b-c|<a,就能判定三条线段a、b、c构成三角形。 证明三角形的内角和定理 除了课本上给出的证明方法外还有多种证法,这里再介绍两种证法的思路: 方法1 如图,过顶点A作DE‖BC,第十一章三角形知识点归纳
最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
最新初三数学三角形知识点总结归纳复习过程
(完整版)数学四年级下三角形知识点总结