初中数学竞赛专项训练--找规律题

观察——归纳—猜想——找规律

给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题

的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是： （1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳； （2）猜想符合规律的一般性结论；

（3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题.

一、数字类

基本技巧

（一）标出序列号：

例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。 我们把有关的量放在一起加以比较：

给出的数：0，3，8，15，24，……。 序列号： 1，2，3， 4， 5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n 项是2

n -1 （二）公因式法：

每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n 、3n 有关。

例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n 项为（ 2

)12(-n ），

1，2，3，4，5．。。。。。。，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以

此类推。

（三）增副

A ： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且是n 的3次幂，即：n 3

+1

B ：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：n

2

（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……，

序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n 个数为12

-n 。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在12

-n 的基础上加2，得

到原数列第n 项

12+n （五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并

恢复到原来。

例 ： 4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百个数）

同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n 项即n 2

，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n 的公式后再乘以4即，4 n 2

，则求出第一百个数为4*1002

=40000 (一)等差数列

例题：2，5，8，( )。

例题5： 12，15，18，( )，24，27。 A.20 B.21 C.22 D.23 (二)等比数列

例题1： 2，1，1/2，( )。

A.0

B.1/4

C.1/8

D.-1

例题2： 2，8，32，128，( )。

(三)平方数列

1、完全平方数列：

正序：1，4，9，16，25

逆序：100，81，64，49，36

2、一个数的平方是第二个数。

1)直接得出：2，4，16，( 256 )

解析：前一个数的平方等于第二个数，答案为256。

2)一个数的平方加减一个数等于第二个数：

1，2，5，26，(677) 前一个数的平方加1等于第二个数，答案为677。

3、隐含完全平方数列：

1)通过加减一个常数归成完全平方数列：0，3，8，15，24，( 35 )

前一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，答案35

2)相隔加减，得到一个平方数列：

例：65，35，17，( 3 )，1

A.15

B.13

C.9

D.3

解析：不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是：65等于8的平方加1，35等于6的平方减1，17等于4的平方加1，再观察时发现：奇位置数时都是加1，偶位置数时都是减1，所以下一个数应该是2的平方减1等于3，答案是D。

* (四)立方数列

立方数列与平方数列类似。

例题1： 1，8，27，64，( 125 )

解析：数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为5的立方，为125。

例题2：0，7，26，63 ，( 124 )

解析：前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为5的立方减1，为124。

(五)、加法数列

数列中前两个数的和等于后面第三个数：n1+n2=n3

例题1： 1，1，2，3，5，( 8 )。

A8 B7 C9 D10

解析：第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，按此规律3 +5=8答案为A。

例题2： 4，5，( 9 )，14，23，37

A 6

B 7

C 8

D 9

解析：与例一相同答案为D

例题3： 22，35，56，90，( 145 ) 99年考题

A 162

B 156

C 148

D 145

解析：22 +35-1=56， 35+ 56-1=90 ，56+ 90-1=145，答案为D

(六)、减法数列

前两个数的差等于后面第三个数：n1-n2=n3

例题1：6，3，3，( 0 )，3，-3

A 0

B 1

C 2

D 3

解析：6-3=3，3-3=0 ，3-0=3 ，0-3=-3答案是A。(提醒您别忘了：“空缺项在中间，从两边找规律”)

(七)、乘法数列

1、前两个数的乘积等于第三个数

例题1：1，2，2，4，8，32，( 256 ) 前两个数的乘积等于第三个数，答案是256。 例题2：2，12，36，80，( ) (2007年考题) A.100 B.125 C.150 D.175

解析：2×1， 3×4 ，4×9，5×16 自然下一项应该为6×25＝150 选C ，此题还可以变形为：212

?，

322?，432?，245?…..,以此类推，得出)1(2

+?n n

2、两数相乘的积呈现规律：等差，等比，平方等数列。

例题2：3/2， 2/3， 3/4，1/3，3/8 ( A ) (99年海关考题) A 1/6 B 2/9 C 4/3 D 4/9

解析：3/2×2/3=1 2/3×3/4=1/2 3/4×1/3=1/4 1/3×3/8=1/8 3/8×?=1/16 答案是 A 。 (八)、除法数列

与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式： 1、两数相除等于第三数。

2、两数相除的商呈现规律：顺序，等差，等比，平方等。 (九)、质数数列

由质数从小到大的排列：2，3，5，7，11，13，17，19… (十)、循环数列

几个数按一定的次序循环出现的数列。 例：3，4，5，3，4，5，3，4，5，3，4

以上数列只是一些常用的基本数列，考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的，下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。 1、二级数列

这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。 例1：2 6 12 20 30 ( 42 ) A.38 B.42 C.48 D.56

解析：后一个数与前个数的差分别为：4，6，8，10这显然是一个等差数列，因而要选的答案与30的差应该是12，所以答案应该是B 。

例2：20 22 25 30 37 ( ) A.39 B.45 C.48 D.51

解析：后一个数与前一个数的差分别为：2，3，5，7这是一个质数数列，因而要选的答案与37的差应该是11，所以答案应该是C 。

例3：2 5 11 20 32 ( 47 ) A.43 B.45 C.47 D.49

解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，6，9，12这显然是一个等差数列，因而要 选的答案与32的差应该是15，所以答案应该是C 。 例4：4 5 7 1l 19 ( 35 ) A.27 B.31 C.35 D.41

解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，2，4，8这是一个等比数列，因而要 选的答案与19的差应该是16，所以答案应该是C 。 例5：3 4 7 16 ( 43 ) A.23 B.27 C.39 D.43

解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，3，9这显然也是一个等比数列，因而要选的答案与16的差应该是27，所以答案应该是D 。

例6：32 27 23 20 18 ( 17 )

A.14

B.15

C.16

D.17

解析：后一个数与前一个数的差分别为：-5，-4，-3，-2这显然是一个等差数列，因而要选的答案与18的差应该是-1，所以答案应该是D。

例7：1， 4， 8， 13， 16， 20， ( 25 )

A.20

B.25

C.27

D.28

解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，4，5，3，4这是一个循环数列，因而要选的答案与20的差应该是5，所以答案应该是B。

例8：1， 3， 7， 15， 31， ( 63 )

A.61

B.62

C.63

D.64

解析：后一个数与前一个数的差分别为：2，4，8，16这显然是一个等比数列，因而要选的答案与31的差应该是32，所以答案应该是C。

例9：( 69 )，36，19，10，5，2

A.77

B.69

C.54

D.48

解析：前一个数与后一个数的差分别为：3，5，9，17这个数列中前一个数的2倍减1得后一个数，后面的数应该是17*2-1=33，因而33+36=69答案应该是 B。

例10：1，2，6，15，31，( 56 )

A.53

B.56

C.62

D.87

解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，4，9，16这显然是一个完全平方数列，因而要选的答案与31的差应该是25，所以答案应该是B。

例11：1，3，18，216，( 5184 )

A.1023

B.1892

C.243

D.5184

解析：后一个数与前一个数的比值分别为：3，6，12这显然是一个等比数列，因而要选的答案与216的比值应该是24，所以答案应该是D：216*24=5184。

例12： -2 1 7 16 ( 28 ) 43

A.25

B.28

C.3l

D.35

解析：后一个数与前一个数的差值分别为：3，6，9这显然是一个等差数列，因而要选的答案与16的差值应该是12，所以答案应该是B。

例13：1 3 6 10 15 ( )

A.20

B.21

C.30

D.25

解析：相邻两个数的和构成一个完全平方数列，即：1+3=4=22，6+10=16=42，则15+？=36=62呢，答案应该是B。

例14：102，96，108，84，132，( 36 ) ，（228）

解析：后项减前项分别得-6，12，-24，48，是一个等比数列，则48后面的数应为-96，132-96=36，再看-96后面应是96X2=192，192+36=228。

二、设计类

【例1】在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a 所示的图形。

（1）请你利用这个几何图形求的值为。

（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。

三、动态类

【例3】右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A2，A3，…。若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推。则第10圈的长为。

【例4】已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。在平面直角坐标系，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1，第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2，第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,……。依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P11的坐标是。

解析：【例3】我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1圈的长为1+1+2+2+1，第2圈的长为2+3+4+4+2，第三圈的长为3+5+6+6+3，第四圈的长为4+7+8+8+4，……归纳得到第10圈的长为10+19+20+20+10＝79。

【例4】（－3，－4）

四、计算类

【例10】观察下列等式：

，…… 则第n个等式可以表示为。

解析：【例10】

【例11】观察下列各式：，，

，……根据前面的规律，得：

。（其中n为正整数）

解析：【例11】

【例12】观察下列等式：观察下列等式：4－1=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9，36-25=11，……这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示了自然数，用关于n的等式表示这个规律为。

解析：【例12】（n≥1，n表示了自然数）

五、图形类

【例13】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点共有个。

解析：【例13】第一个正方形的整点数为2×4-4＝4，第二个正方形的正点数有3×4－4＝8，第三个正方形的整点数为4×4－4＝12个，……故第10个正方形的整点数为11×4-4＝40，

【例14】“”代表甲种植物，“”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。按此规律，第六个图案中应种植乙种植物株。

【例14】第一个图案中以乙中植物有2×2＝4个，第二个图案中以乙中植物有3×3＝9个，第三个