新北师大版数学必修一期末测试卷(含详细解析)
综合测试题(二)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·四川理，1)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是（ )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．已知集合A ＝{x |0 D ．(1,2] 3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋e x B ．y ＝x ＋1 x C ．y ＝2x ＋12 x D ．y ＝1＋x 2 4．设f (x )＝???? ? |x －1|－2，|x |≤11 1＋x 2，|x |>1，则f [f (1 2 )]＝( ) C ．－9 5 5．log 43、log 34、log 43 3 4的大小顺序是( ) A．log34 33 4 B．log34>log43>log4 33 4 C．log34>log4 33 4 >log43 D．log4 33 4 >log34>log43 6．函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a，b 的值为( ) A．a＝1，b＝0 B．a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝3 D．以上答案均不正确 7．函数f(x)＝a x＋log a(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为 ( ) C．2 D．4 8．(2015·安徽高考)函数f(x)＝ ax＋b ?x＋c?2 的图像如图所示，则下列结论成立的是 ( ) A．a>0，b>0，c<0 B ．a <0，b >0，c >0 C ．a <0，b >0，c <0 D ．a <0，b <0，c <0 9．(2016·山东理，9)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3 －1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f (x ＋12)＝f (x －1 2 )．则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2 10．函数f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 11．设0 －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，log a 3) D ．(log a 3，＋∞) 12．有浓度为90%的溶液100g ，从中倒出10g 后再倒入10g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝，lg3＝ ( ) A ．19 B ．20 C ．21 D ．22 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知log a 12>0，若a x 2＋2x －4 ≤1a ，则实数x 的取值范围为________． 14．直线y ＝1与曲线y ＝x 2 －|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围________ . 15．若函数y ＝m ·3x －1－1 m ·3x －1＋1 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________． 16．已知实数a ≠0，函数f (x )＝? ?? ?? 2x ＋a ， x <1 －x －2a ， x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设A ＝{x |x 2 ＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2 ＋2(a ＋1)x ＋a 2 －1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的值． (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝错误![(错误!)x －1]，(1)求f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的增减性． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ ax －1 x ＋1 ，其中a ∈R . (1)若a ＝1，f (x )的定义域为区间[0,3]，求f (x )的最大值和最小值； (2)若f (x )的定义域为区间(0，＋∞)，求a 的取值范围，使f (x )在定义域内是单调减函数． 20.(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2 )>0，求实数a 的取值范围． (2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m ) 21．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，且f (x )同时满足以下条件： ①f (x )在D 上单调递增或单调递减函数； ②存在闭区间[a ，b ]∈D (其中a (1)判断f (x )＝－x 3 是不是闭函数若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由． (2)若f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，求实数k 的取值范围． (注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出增函数还是减函数即可) 22.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝错误!(x 2 －mx －m . (1)若m ＝1，求函数f (x )的定义域； (2)若函数f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围； (3)若函数f (x )在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围． 一．选择题 1.[答案] C [解析] 由题可知，A ∩Z ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩Z 中元素的个数为5.故选C. 2.[答案] D [解析] 因为A ＝{x |0 B ＝{x |x ≤2}． 所以A ∩B ＝{x |1 [解析] 令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1 即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以 y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选A. 4.[答案] B [解析] 由于|12|<1，所以f (12)＝|12－1|－2＝－32，而|－32|>1，所以f (－32)＝ 11＋?－32? 2 ＝1134＝413，所以f [f (12)]＝4 13，选B. 5.[答案] B [解析] 将各式与0,1比较．∵log 34>log 33＝1， log 43 3>1， ∴log 43 3 4<0. 6.[答案] B [解析] 对称轴x ＝1，当a >0时在[2,3]上递增， 则? ?? ?? f ?2?＝2， f ?3?＝5，解得? ?? ?? a ＝1， b ＝0. 当a <0时，在[2,3]上递减， 则? ?? ?? f ?2?＝5， f ?3?＝2，解得? ?? ?? a ＝－1， b ＝3. 故选B. 有log 43 3 4 7.[答案] B [解析] ∵当a >1或0 与log a (x ＋1)的单调性一致， ∴f (x )min ＋f (x )max ＝a ， 即1＋log a 1＋a ＋log a (1＋1)＝a ，∴a ＝1 2. 8.[答案] C [解析] 由f (x )＝ax ＋b ?x ＋c ?2及图像可知， x ≠－c ，－c >0，则c <0；当x ＝0时，f (0)＝b c 2>0，所以b >0；当y ＝0，ax ＋b ＝0，所以x ＝－b a >0，所以a <0.故a <0，b >0，c <0，选C. 9.[答案] D [解析] ∵当x >2时，f (x ＋12)＝f (x －1 2 )， ∴f (x ＋1)＝f (x )， ∴f (6)＝f (5)＝f (4)＝…＝f (1)， 又当－1≤x ≤1时，f (x )＝－f (－x )． ∴f (1)＝－f (－1)，又因为当x <0时，f (x )＝x 3 －1， ∴f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3 －1]＝2. 10.[答案] D [解析] f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点就是方程(x －1)ln|x |－1＝0的实数根，而该方程等价于方程ln|x |＝ 1 x －1 ，因此函数的零点也就是函数g (x )＝ln|x |的图像与h (x )＝1 x －1 的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点． 11.[答案] C [解析] 利用指数、对数函数性质．考查简单的指数、对数不等式． 由a 2x －2a x －2>1得a x >3，∴x [解析] 操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－1 2lg3－1 ≈， ∴n ≥21. 二.填空题 13.[答案] (－∞，－3]∪[1，＋∞) [解析] 由log a 1 2 >0得0 由a x 2 ＋2x －4 ≤1a 得a x 2＋2x －4≤a －1 ， ∴x 2 ＋2x －4≥－1，解得x ≤－3或x ≥1. 14.[答案] 1 4 [解析] y ＝? ???? x 2 －x ＋a ，x ≥0 x 2 ＋x ＋a ，x <0 作出图像，如图所示． 此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －1 4<1 ∴1 4 . 15.[答案] [0，＋∞) [解析] 要使函数y ＝m ·3x －1－1 m ·3x －1＋1 的定义域为R ， 则对于任意实数x ，都有m ·3 x －1 ＋1≠0， 即m ≠－? ????13x －1.而? ?? ??13x －1 >0，∴m ≥0. 故所求m 的取值范围是m ≥0，即m ∈[0，＋∞)． 16.[答案] －3 4 [解析] 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系． 当a <0时，1－a >1,1＋a <1， 所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ； f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2. 因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2. 解得a ＝－3 4 . 当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a . f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1， 因为f (1－a )＝f (1＋a ) 所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－3 2(舍去) 综上，满足条件的a ＝－3 4. 三、解答题 17.[分析] A ∩B ＝B ?B ?A ，A ∪B ＝B ?A ?B . [解析] A ＝{－4,0}． (1)∵A ∩B ＝B ，∴B ?A . ①若0∈B ，则a 2 －1＝0，a ＝±1. 当a ＝1时，B ＝A ； 当a ＝－1时，B ＝{0}，则B ?A . ②若－4∈B ，则a 2－8a ＋7＝0，解得a ＝7，或a ＝1. 当a ＝7时，B ＝{－12，－4}，B ?A . ③若B ＝?，则Δ＝4(a ＋1)2 －4(a 2 －1)<0，a <－1. 由①②③得a ＝1，或a ≤－1. (2)∵A ∪B ＝B ，∴A ?B . ∵A ＝{－4,0}，又∵B 中至多只有两个元素， ∴A ＝B . 由(1)知a ＝1. 18.[解析] (1)(12)x －1>0，即x <0， 所以函数f (x )定义域为{x |x <0}． (2)∵y ＝(12)x －1是减函数，f (x )＝错误!x 是减函数， ∴f (x )＝错误![(错误!)x －1]在(－∞，0)上是增函数． 19.[解析] f (x )＝ ax －1x ＋1＝a ?x ＋1?－a －1x ＋1＝a －a ＋1 x ＋1 ， 设x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝ a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝?a ＋1??x 1－x 2? ?x 1＋1??x 2＋1? . (1)当a ＝1时，f (x )＝1－ 2 x ＋1 ，设0≤x 1 ?x 1＋1??x 2＋1?， 又x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1) 2 ， f (x )min ＝f (0)＝1－21 ＝－1. (2)设x 1>x 2>0，则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. 若使f (x )在(0，＋∞)上是减函数，只要f (x 1)－f (x 2)<0， 而f (x 1)－f (x 2)＝?a ＋1??x 1－x 2? ?x 1＋1??x 2＋1? ， ∴当a ＋1<0，即a <－1时，有f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x 1) ∴当a <－1时，f (x )在定义域(0，＋∞)内是单调减函数． 20.[解析] (1)∵f (1－a )＋f (1－a 2 )>0， ∴f (1－a )>－f (1－a 2 )． ∵f (x )是奇函数， ∴f (1－a )>f (a 2 －1)． 又∵f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴???? ?