三角函数的图象与性质
——正弦函数、余弦函数的性质
【教学目标】
1.理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义;
2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间;
3.掌握正弦函数的周期及求法。(n )si y A x ω?=+
【教学重点】
正、余弦函数的性质。
【教学难点】
正、余弦函数性质的理解与应用。
【教学过程】
一、讲解新课:
(1)定义域:
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集[或],
R (,)-∞+∞分别记作:
sin y x x ∈R
=,cos ,y x x =∈R
(2)值域
,1sin 1x ≤≤--1cos 1
x ≤≤也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是。[
]-1,1其中正弦函数,sin y x =x ∈R
(1)当且仅当,时,取得最大值1。
x 2k 2π
π=+k ∈Z (2)当且仅当,时,取得最小值。
x 2k 2π
π=+k ∈Z 1-
而余弦函数,cos y x =x ∈R
当且仅当,时,取得最大值1,时,取得最小值。
2x k π=k ∈Z (21)x k π=+k ∈Z 1-(3)周期性
由,()知:
sin(2)sin x k x π+=cos(2)cos x k x π+=k ∈Z 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。
一般地,对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值()f x T x 时,都有,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周()()f x T f x +=T 期。
由此可知,,,…,,,…(且)都是这两个函数的周期。2π4π2π-4π-2k πk ∈Z 0k ≠对于一个周期函数
,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正()f x 数就叫做
的最小正周期。()f x 注意:
1.周期函数定义域,则必有,且若则定义域无上界;则定义域x ∈M x T M +∈0T >0T <无下界;
2.“每一个值”只要有一个反例,则就不为周期函数(如)
()f x ()()001f x t f x +3.往往是多值的(如,,,…,,,…都是周期)周期中最T sin y x =2π4π2π-4π-T 小的正数叫做的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)
()f x 根据上述定义,可知:正弦函数、余弦函数都是周期函数,(且)都是它的2k πk ∈Z 0k ≠周期,最小正周期是2π
(4)奇偶性
由sin()sin x x
-=-可知:为奇函数
()cos x cosx -=sin y x =为偶函数
cos y x =∴正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称
(5)单调性
从,的图象上可看出:
sin y x =3,22x ππ??∈-????当
时,曲线逐渐上升,的值由增大到1。,22x ππ??∈-????sin x 1-当
时,曲线逐渐下降,的值由1减小到。3x ,22ππ??∈????sin x 1-结合上述周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到1;
2,222k k ππππ??-++????()k ∈Z 1-在每一个闭区间上都是减函数,其值从1减小到。
32,2()22k k k ππππ??++∈????Z 1-余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到1;在每一[(2k 1),2k ](k )ππ-∈Z 1-个闭区间上都是减函数,其值从1减小到。
[2,(21)]()k k k ππ+∈Z 1-二、讲解范例:
例1:
求使下列函数取得最大值的自变量的集合,并说出最大值是什么。
x (1),;
cos 1y x =+x ∈R (2),。
sin 2y x =x ∈R 解:(1)使函数,取得最大值的x 的集合,就是使函数,cos 1y x =+x ∈R cos y x =x ∈R 取得最大值的的集合。
x {|2,}x x k k π=∈Z 函数,的最大值是。
cos 1y x =+x ∈R 112=+(2)令,那么必须并且只需,且使函数,取得最大值的2 z x =x ∈R z ∈R y sin z =z ∈R z 的集合是|2,2z z k k ππ??=+∈???
?Z 由,
222x z k π
π==+
得4x k π
π
=+即使函数,取得最大值的x 的集合是。sin 2y x =x ∈R |,4x x k k ππ??=+∈???
?Z 函数,的最大值是1。
sin 2y x =x ∈R 例2求下列函数的定义域:
(1) (2)1
n 1si x y =+y =解:(1)由,得1sin 0x +≠sin -1
x ≠即
32()2x k k Z ππ≠+∈∴原函数的定义域为3|2,2x x k k ππ??≠+∈???
?Z (2)由得cos 0x ≥22()
22k x k k π
π
ππ-++∈Z ∴原函数的定义域为2,2()22k k k ππππ??-++∈???
?Z 例3求函数的单调区间
cos y x =-
解:由的图象可知:
cos y x =-单调增区间为[2,(21)]()
k k k ππ+∈Z 单调减区间为[(21),2]()
k k k ππ-∈Z 例4求下列三角函数的周期:1.
2. 3.sin 3y x π??=+ ???y cos 2x =3sin 25x y π??=+ ???解:1.令而 即:3z x π
=+sin(2)sin z z π+=(2)()
f z f z π+=(2)33f x f x πππ????++=+ ??????
?
∴周期2T π
=2.令2z x
=∴()cos 2cos cos(2)cos(22)cos[2()]f x x z z x x πππ===+=+=+即:()()
f x f x π+=∴周期T π
=3.令则25x z π=+4()3sin 3sin(2)3sin 23sin (4)2525x x f x z z f x ππππππ+????==+=++=+=+ ? ????
?∴周期
4T π=三、课堂练习:
1.求下列函数的周期:
(1)
(2) (3)sin 22cos 346y x x ππ????=++- ? ?????sin y x =cos 2cos 21y x x x =+-解:(1)
最小正周期1sin 24y x π??=+ ???1T π=最小正周期22cos 36y x π??=- ???22T 3
π=∴为,的最小公倍数∴T 1T 2T 2πT π
=(2)T π
=
(3)∴2cos 2y x x =+T π
=2. 直接写出下列函数的定义域、值域:
(1)(2)1
1sin x y +=y =解:(1)当时函数有意义,值域:x 2k 2ππ≠-k ∈Z 1,2
??+∞????
(2)
()时有意义,值域3x 2k ,2k 22ππππ??∈++????k ∈Z 3.求下列函数的最值:
(1)
(2)(3)y=sin 314y x π??=+- ???sin 24sin 5y x x =-+x x cos 3cos 3+-解:(1)当
即 x= ()时3242x k ππ
π+=+1232ππ+k k ∈Z max 0y =当即 ()时3242x k π
π
π+=-234k x ππ-=k ∈Z min 2
y =-(2)()sin 221y x =-+∴当 时22x k π
π=-k ∈Z max 10y =当 时22x k π
π=-k ∈Z min 2
y =(3)当 时1
3c 1os x y +=-+2x k ππ=+k ∈Z max 2
y =当 时
2x k π=k ∈Z 1
min 2y =4.函数的最大值为2,最小值为,求,的值。
sin y k x b =+4-k b 解:当时0k >???-==????-=+-=+1
342b k b k b k 当时(矛盾舍去)∴ 0k <???-==??
??-=+=+-1342b k b k b k 3k =1b =-5.求下列函数的定义域:
(1)2)(3)y =()lg 2si n 1y x =++y =解:(1) ∵∴
3cos 12cos 20x x --≥co 112s x ≤≤
∴定义域为: 223()3k k k ππππ?-?∈???
+?Z (2)7122sin 662()1cos 22233k x k x k x k x k ππππππ
ππ??-<<+>-?????∈????≥-≤≤+?
???Z 22()63k x k k π
πππ?-<≤+
∈Z ∴定义域为:
(2,2)63k k k π
πππ-+∈Z (3)∵
()cos sin 0x ≥∴22()
22k x k k π
π
ππ-≤≤+∈Z ∵1sin 1
x ≤≤∴
x R ∈1y ≤≤