北京四中数学必修五教案第二章 数列综合之提高篇

数列综合

编稿：张希勇 审稿：

【学习目标】

1．系统掌握数列的有关概念和公式；

2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题；

3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ；

4．掌握常见的几种数列求和方法.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、数列的通项公式 数列的通项公式

一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式()n a f n =来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.

要点诠释：

①不是每个数列都能写出它的通项公式.如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；

②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：数列―1，1，―1，1，…

的通项公式可以写成(1)n

n a =-，也可以写成cos n a n π=；

③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的. 通项n a 与前n 项和n S 的关系： 任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =++

+；

1

1

(1)(2)

n n n S n a S S n -=??=?

-≥??

要点诠释：

由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： （1）求11a S =，

（2）求出当n≥2时的n a ，

（3）如果令n≥2时得出的n a 中的n=1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.

数列的递推式：

如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项n a 与它的前一项1n a -或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式.

要点诠释：

利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等. 要点二、等差数列

判定一个数列为等差数列的常用方法

①定义法：1n n a a d +-=（常数）?{}n a 是等差数列； ②中项公式法：122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈?是等差数列； ③通项公式法：n a pn q =+（p ，q 为常数）?{}n a 是等差数列；

④前n 项和公式法：2

n S An Bn =+（A ，B 为常数）?{}n a 是等差数列.

要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性.

等差数列的有关性质：

（1）通项公式的推广：+(n m n m a a =－）d

（2）若*

()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a +=+；

特别，若2m n p +=，则2m n p a a a += （

3

）

等

差

数

列

{}

n a 中，若

*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等差数列.

（4）公差为d 的等差数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等差数列.

（5）等差数列{}n a ，前n 项和为n S

①当n 为奇数时，12

n n S n a +=?；12

n S S a +-=奇偶；

1

1S n S n +=

-奇偶

； ②当n 为偶数时，1

2

2

(

)2

n n

n a a S n ++=?；1

2

S S dn -=

偶奇；

21

2

n

n a S S a +=奇

偶. （6）等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，则

m n m n

S S S m n m n

+-=

-+（m 、n ∈N*，且m ≠n ）. （7）等差数列{}n a 中，若m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈N*，且m≠n ，p≠q ），则

p q

m n S S S S m n p q

--=--.

（8）等差数列{}n a 中，公差d ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列，新公差2

'd k d =.

等差数列前n 项和n S 的最值问题： 等差数列{}n a 中

① 若a 1＞0，d ＜0，n S 有最大值，可由不等式组10

n n a a +≥??

≤?来确定n ；

② 若a 1＜0，d ＞0，n S 有最小值，可由不等式组10

n n a a +≤??≥?来确定n ，也可由前n 项

和公式21()22

n d d

S n a n =

+-来确定n. 要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 要点三、：等比数列

判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：

1

n n

a q a +=（q 是不为0的常数，n ∈N*）{}n a ?是等比数列； （2）通项公式法：n

n a cq =（c 、q 均是不为0的常数n ∈N*）{}n a ?是等比数列； （3）中项公式法：2

12n n n a a a ++=?（120n n n a a a ++??≠，*n N ∈）{}n a ?是等比数列.

等比数列的主要性质：

（1）通项公式的推广：n m

n m a a q -=

（2）若*

()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a ?=?.

特别，若2m n p +=，则2

m n p a a a ?= （

4

）

等

比

数

列

{}

n a 中，若

*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等比数列.

（5）公比为q 的等比数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等比数列.

（6）等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，当n 为偶数时，S S q =偶奇.

（7）等比数列{}n a 中，公比为q ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -…成公比为q k 的等比数列.

（8）若{}n a 为正项等比数列，则{log }a n a （a ＞0且a≠1）为等差数列；反之，若{}n a 为等差数列，则{}n a

a （a ＞0且a≠1）为等比数列.

（9）等比数列{}n a 前n 项积为n V ，则(1)2

1

(*)n n n

n V a q n N -=∈

等比数列的通项公式与函数：

11n n a a q -=

①方程观点：知二求一； ②函数观点：1

11n n

n a a a q

q q

-==

? 01q q >≠且时，是关于n 的指数型函数；

1q = 时，是常数函数；

要点诠释：

当1q >时，若10a >，等比数列{}n a 是递增数列；若10a <，等比数列{}n a 是递减数列；

当01q <<时，若10a >，等比数列{}n a 是递减数列；若10a <，等比数列{}n a 是递增数列；

当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列； 当1q =时，等比数列{}n a 是非零常数列. 要点四、常见的数列求和方法 公式法：

如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n 项和公式求和. 分组求和法：

将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：a n =2n+3n .

裂项相消求和法：

把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.

若1

()()

n a An B An C =++，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的

形式,

则)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=

，如a n = 1(1)n n +11

1

n n =-+

错位相减求和法：

通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：n n n c b a ?=, 其中 {}n b 是公差d≠0等差数列，{}n c 是公比q≠1等比数列，如a n =(2n-1)2n .

一般步骤：

n n n n n c b c b c b c b S ++?++=--112211，则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+??++

所以有13211)()1(+-??+++=-n n n n c b d c c c c b S q

要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点. 要点五、数列应用问题

数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.

建立数学模型的一般方法步骤.

①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的主要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么.

②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.

③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.

要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.

【典型例题】

类型一：数列的概念与通项 例1．写出数列：15-，103，517-，26

7

，……的一个通项公式. 【思路点拨】

从各项符号看，负正相间，可用符号(1)n

-表示；数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用21n -表示；数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是221+,2

31+,

241+,251+,…可用2(1)1n ++表示；

【解析】通项公式为：2

21

(1)(1)1

n

n n a n -=-++. 【总结升华】

①求数列的通项公式就是求数列中第n 项与项数n 之间的数学关系式.如果把数列的第1，2，3，…项分别记作(1)f ，(2)f ，(3)f ，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数

n (项数)为自变量的函数()f n 的表达式；

②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；

③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.

举一反三：

【变式1】数列：1-，

58，157-，9

24，……的一个通项公式是（ ） A.2(1)21n

n n n a n +=-+ B.(3)(1)21

n n n n a n +=-+

C.2(1)1(1)21n

n n a n +-=-- D.(2)(1)21

n n n n a n +=-+ 【答案】采用验证排除法，令1n =,则A 、B 、C 皆被排除，故选D. 【变式2】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式： （1）113,21+==+n n a a a ； (2)111

,2+==-n n

a a a a ； 【答案】

（1）12343,7,15,31a a a a ====， 猜想得121n n a +=-；

(2)a 1=a,a 2=

a -21,a 3=a a 232--,a 4=a

a 3423--， 猜想得a n =a

n n a

n n )1()2()1(-----；

类型二：等差、等比数列概念及其性质 例2. 在n

1

和1+n 之间插入n 个正数，使这2+n 个数依次成等比数列，求所插入的n 个数之积；

【解析】

方法一：设插入的n 个数为n x x x ,,,21 ，且公比为q ，则111n n q n

++= ∴1

(1)n q

n n +=+，1k

k x q n

=

（1,2,,k n =）

2

2

)1(21221)1(1

1111n

n n n n n n n n n

n q

n

q n q n q n q n x x x T +===???=???=++++

方法二：设插入的n 个数为n x x x ,,,21 ，1,1

10+==

+n x n

x n ， n

n x x x x x x n n n 1

12110+=

=?=?=?-+ n n x x x T ???= 21，n

n n n n n

n x x x x x x T )1(

)()()(11212

+=???=- ， 2

)1(n

n n

n T +=∴

【总结升华】第一种解法利用等比数列的基本量1a 、q ，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到.

举一反三：

【高清课堂：数列综合381084 例1】

【变式1】已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足1(0)a a a =>，111b a -=，

222b a -=，333b a -=.

（1）若1a =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 唯一，求a 的值.

【答案】（1

）1(2n n a -=+

或1(2n n a -= （2）13

a =

【变式2】已知等差数列{}n a ，公差0d ≠，{}n a 中部分项组成的数列1k a ，2k a ，3k a ，…，

n k a ，…恰为等比数列，且知11k =,25k =,317k =.

（1）求n k ；

（2）证明: 12...31n

n k k k n +++=--.

【答案】依题意:11k a a =，2514k a a a d ==+，317116k a a a d ==+.

∵1k a ，2k a ，3k a 为等比数列，

∴2

111(4)(16)a d a a d +=+，解得12a d =.

∴等比数列{}n k a 的首项112k a a d ==，公比5111

43a a d q a a +===， ∴11

123n n n k k a a q

d --=?=?

又n k a 在等差数列{}n a 中是第n k 项， ∴1(1)(1)n k n n a a k d k d =+-=+ ∴1

(1)23

n n k n a k d d -=+=?（0d ≠），

解得1

231n n k -=?-.

（2）12...n k k k +++

11211(231)(231)...(231)n ---=?-+?-++?-

0112(33...3)31

n n

n n -=+++-=--

例3. 已知等差数列{}n a ，25n S =, 2100n S =, 则3n S =（ ） A.125 B.175 C.225 D.250 【答案】C 【解析】

方法一：∵{}n a 为等差数列，

∴n S ,2n n S S -,32n n S S -成等差数列，即2322()()n n n n n S S S S S -=+- ∴32(10025)25(100)n S -=+-， 解得3225n S =, ∴选C.

方法二：取特殊值，令1n =，由题意可得1125n S S a ===,2212100n S S a a ==+=, ∴275a =，2150d a a =-=， ∴3313(31)

32252

n S S a d ?-==+=, ∴选C.

方法三：1(1)252n n n S na d -=+=,212(21)

21002n n n S na d -=+=, 两式相减可得1(31)

752

n n na d -+=，

∴313(31)

37532252

n n n S na d -=+=?=.

∴选C.

【总结升华】解法一应用等差数列性质，解法二采用特殊值法，解法三运用整体思想，注意认真体会每一种解法，灵活应用.

举一反三：

【变式】已知等比数列{}n b ，48n S =, 260n S =, 则3n S =（ ） A.75 B.2880 C.4

5

D.63 【答案】D

例4． 如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.

【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ，则

????

?

???????==???

?=-=+?=

???+???++=???+520253546612273225621625621)(635411122112111111d a d a d a d

a d d a d a 【总结升华】

1. 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解.方程思想在数列中很重要.

2. 等差（比）数列的首项和公差（比）是关键. 举一反三：

【变式】已知：三个数成等比数列，积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列,求这三个数.

【答案】这三个数为2，6，18或18，6，2.

例5．等差数列{}n a 中，113a =,311S S =，则它的前__ 项和最大，最大项的值是____. 【答案】7，49

【解析】设公差为d, 由题意得3a 1+223?d=11a 1+2

10

11?d ，得d=-2, ∴n S 有最大值.

又S 3=S 11,可得n=

2

11

3+=7， ∴S 7为最大值，即S 7=7×13+2

6

7?(-2)=49.

【总结升华】等差数列的前n 项和公式是一个二次的函数，当0d <时，函数有最大值. 举一反三：

【变式】若数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n =a n ·a n+1·a n+2(n ∈N)，{b n }的前n 项和用S n 表示，若{a n }中满足3a 5=8a 12>0，试问n 多大时，S n 取得最大值，证明你的结论.

【答案】∵3a 5=8a 12>0，∴3a 5=8(a 5+7d),解得a 5=-5

56

d>0 ∴d<0，∴a 1=-

5

76d ， 故{a n }是首项为正的递减数列.

则有???≤+=≥-+=+00)1(111nd a a d n a a n n ,即???????≤+-≥-+-0

5

760

)1(576

nd d d n d

解得：15

51≤n≤165

1

，∴n=16，即a 16>0，a 17<0 即：a 1>a 2>…>a 16>0>a 17>a 18>… 于是b 1>b 2>…>b 14>0>b 17>b 18>…… 而b 15=a 15·a 16·a 17<0 b 16=a 16·a 17·a 18>0 ∴S 14>S 13>…>S 1 ,S 14>S 15，S 15

又a 15=-

56d>0，a 18=5

9

d<0 ∴a 15<|a 18|，∴|b 15|0 ∴S 16>S 14，故S n 中S 16最大

例6、设S n 、T n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，满足71427n n S n T n +=+，求1111

a

b . 【思路点拨】

用好等差数列中S n 与a n 的一个关系： S 2n+1=(2n+1) a n 是解好本题的一个关键 【解析】

方法一：

1211111121211111121

2112121

()272114

2212421273()2

a a a a a a S

b b b b T b b ++?+======+?++的关系 方法二：设(71),(427)n n S k n n T k n n =+=+(k≠0)， ∴a 11=S 11-S 10=11k(7×11+1)-10k(7×10+1)=148k b 11=T 11-T 10=11k(4×11+27)-10k(4×10+27)=111k ∴

11111484

1113

a k

b k ==. 【总结升华】等差数列的中项在前n 项和式中的应用是解决本例的关键，也应注意到前n 项和与通项公式的联系.

举一反三：

【变式1】等差数列{a n }中，S n =50，

123430a a a a +++=，32110n n n n a a a a ---+++=，求项数n.

【答案】10

【高清课堂：数列综合381084 例2】

【变式2】在数列{}n a 中，121,2a a ==，11(1)n n n a q a qa +-=+-(2,0)n q ≥≠

（1）设*1()n n n b a a n N +=-∈，证明{}n b 是等比数列.

(2) 求数列{}n a 的通项公式.

(3) 若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值；并证明：对任意的*

n N ∈，n a 是3n a +与

6n a +的等差中项.

【答案】（1）利用定义证明1n n b qb -=

（2）1,111,11n n n

q a q q q -=??

=-?+≠?-?

（3）证明1q =时，n a n =不合题意

1q ≠时，1

11,1n n q a q

--=+

- 由3a 是6a 与9a 的等差中项可求32q =- 又2521

36

1122211221111n n n n n n q q q q a a q q q q

+++-++--+-+=+++=+=+----

1

12(1)21n n q a q

--=+=-

即n a 是3n a +与6n a +的等差中项. 类型三：n a 与n S 的关系式的综合运用

例7. 在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13

S n (n ≥1)，则a n ＝________. 【思路点拨】

n a 与n S 的关系式的综合运用，如果已知条件是关于n a 、n S 的关系式(,)0n n f a S =，

可利用n ≥2时1n n n a S S -=-，将条件转化为仅含n a 或n S 的关系式。注意分n=1和n ≥2两种情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。

【答案】21

,114,233n n n a n -=??

=????≥ ????

?

【解析】 ∵a n ＋1＝13S n (n ≥1)，∴a n ＝13

S n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－a n ＝13a n (n ≥2)，即a n ＋1＝

4

3

a n (n ≥2)，

当n ≥2时，214()33

n n a -=?，当n ＝1时，a 1＝1.

∴21

,114,233n n n a n -=??

=????≥ ????

?

【总结升华】已知S n 求a n 要先分n=1和n≥2两种情况进行计算，然后验证能否统一. 举一反三：

【变式1】已知数列{a n }的前n 项和公式分别为（1）S n =n 2-2n+2.（2）S n =

n

n

n 223-分别求它们的通项公式.

【答案】

(1)当n=1时, a 1=S 1=1；

当n≥2时, a n =S n -S n-1=(n 2-2n+2)-[(n-1)2-2(n-1)+2]=2n-3, 又n=1时，2n-3≠a 1,

∴1

(1)23(2)n n a n n =?=?-≥?

（2）当n=1时, a 1=S 1=21

； 当n≥2时, a n =S n -S n-1=[(23)n -1]-[(23)n-1-1]=21×(2

3)n-1

,

又n=1时, 21(23)0=21

=a 1,

∴1

1322

n n a -=?（）(*n N ∈).

【变式2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1

(1)(*)3

n n S a n N =-∈.

（1）求12,a a ；

（2）求证：数列{}n a 是等比数列. 【答案】 （1）由111(1)3S a =-，得111

(1)3

a a =-， ∴112

a =-

，

又221(1)3S a =

-，即1221(1)3a a a +=-，得214

a =. （2）证明：当2n ≥时，1n n n a S S -=-111

(1)(1)33

n n a a -=

---， 得

112n n a a -=-，又211

2

a a =-， 所以{}n a 为首项为12-

，公比为1

2

-的等比数列. 例8. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于1,=+∈n n na S N n 恒成立，求n S . 【思路点拨】

已知n n S a 与的混合式，一般采用降角标作差的方法，化为n a 的递推关系式 【答案】1

n n S n =+ 【解析】

1=+n n na S ①

则1)1(11=-+--n n a n S

②

①—②得0)1(1=--+-n n n a n na a ，

1)1()1(--=+∴n n a n a n ，即

1

1

1+-=-n n a a n n ， 在①中，当n=1时，2

1,1111=

∴=+a a a 1

11)1(111253423121....1213423121+-=+=+-?-???=????

=∴---n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n n

11111111

...(1)()()()12233411n S n n n ∴=-+-+-++-=-++，

1

n n

S n ∴=+.

【总结升华】本例利用了n S 与n a 的关系，注意对1n =的验证. 举一反三：

【变式1】在数列}{n a 中，已知,11=a 前n 项和n S 与通项n a 满足

....)3,2(222

=-=n a S a S n n n n ，求这个数列的通项公式.

【答案】

因为,1--=n n n S S a 从而由已知得到：).)(12(212

---=n n n n S S S S 即2111

=--n n S S ， 于是得到121-=

n S n ，就可以得到：)2(3

21

121≥---=n n n a n . 【变式2】若数列}{n a 的相邻两项n a 、1n a +是方程0)3

1(2

=+-n n x C x 的两根，又

12a =，求数列{}n C 的前n 项和n S .

【答案】由韦达定理得1n n n a a c ++=，11()3

n

n n a a +?=，

∴1

121()

3

n n n a a +++?=，得

3

1

2=+n n a a ， ∴ 数列2{}k a 与21{}k a -均成等比数列，且公比都为3

1

， 由12a =，3121=

?a a ，得612=a , ∴1122111()()363k k k a a --=?=?,11112)3

1

(2)31(---?=?=k k k a a

(I)当n 为偶数时，令2n k =（*k N ∈）,

1232122334212221...()()()...()()

n k

k k k k S C C C C a a a a a a a a a a -+=++++=++++++++++

135********(...)2(...)k k k a a a a a a a a -+=+++++++++

132111[1()][1()]

1332222()1131133

2111[1()][1()]133632222()22333k k k

k k k

a a ----=+?+?

+?----=+?+?

+?

2971971()()223223

n

k =-=-. (II)当n 为奇数时，令21n k =-（*k N ∈），

12321

1223342221212...()()()...()()

n k k k k k S C C C C a a a a a a a a a a ----=++++=++++++++++

135********(...)2(...)k k k a a a a a a a a --=+++++++++

1132111[1()][1()]

1133222()11631133k k k a a -----=+?+?+--

111)31(613

2]

)31(1[61232])31(1[3

222---+-?+-?+=k k k 2

1

)3

1

(729)31(729+-=?-=n k .

类型四：特殊数列的求和

例10. 求数列1，)0(,......,,,6

5434322≠++++++a a a a a a a a a a 的前n 项和n S . 【思路点拨】本题求和后，不宜直接分组，应该把通项化简变形后，再决定如何分组求和。

【解析】

（1）当1≠a 时，2

21

...--+++=n n n n a

a a

a )(111)1(1211-----=--=n n n n a a a

a a a

[]

)(...)()()1(11

121523---++-+-+--=

∴n n n a a a a a a a a

S 212422

22

121(1...)(1...)111(1)()111(1)(1)(1)(1)

n n n n n n a a a a a a a a

a a a a a a a a a a --+??=

++++-++++??-??

--=-??---??--=

-+ （2）当1=a 时，)1(2

1

+=

n n S n ； （3）当1-=a ，原数列为1，0，1，0，1，0……，

若n 为偶数，令2n k =（k N +

∈），则21010 (102)

n k n S S k ==++++++==； 若

n

为奇数，令

21

n k =-（

k N +

∈），

则

21

1010 (1012)

n k n S S +==+++++++=

.

【总结升华】分类讨论a 和n 的奇偶是本例化简的关键. 举一反三：

【变式1】求数列)})1(1()11)...(311()211{(2

222+?--?-

n n 的前n 项和. 【答案】2(1)

n n

S n =

+.

【变式2】求和：)(*122221

N n b ab b a b a b a

a S n n n n n n

n ∈++++++=----

【答案】a=0或b=0时，)(n

n n a b S = 当a=b 时，n

n a n S )1(+=；

当a ≠b 时，b

a b

a S n n n --=++11

类型五：由递推关系求数列通项公式 例11．已知数列{}n a 中，11a =，12

13

n n a a +=

+，求n a . 【思路点拨】把1213n n a a +=+整理成12

3(3)3

n n a a +-=-，得数列{3}n a -为等比数

列。

【解析】

法一：设12

()()3n n a A a A ++=

+，解得3A =- 即原式化为12

(3)(3)3

n n a a +-=-

设3n n b a =-，则数列{}n b 为等比数列，且1132b a =-=- ∴1

22

3(2)()33()3

3

n n n n n b a a -=-=-??=-?

法二：∵12

13

n n a a +-

= ① 12

1(2)3

n n a a n --=≥ ②

由①－②得：112

()3

n n n n a a a a +--=-

设1n n n b a a +=-，则数列{}n b 为等比数列 ∴11222()()333

n n n n n b a a -+=-=

?=

∴221()33

n n n a a +-= ∴233()3

n

n a =-?

法

三

：

212

13

a a =

+，

2322221()1

333

a a =+=++，

32432222

1()()13333

a a =+=+++，……，

11222

1()1333

n n n a a --=+==+++，

∴233()3

n

n a =-?

【总结升华】求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘等基本方法外，还应注意根据递推关系式的特点，进行转化，变形为与是等差（等比）有关的数列.

举一反三：

【变式1】 数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则

32b =-，1012b =，则8a =

A ．0

B ．3

C ．8

D ．11

【答案】B

【变式2】在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=

n

n

na a +1，求a n .

【答案】*

2

2()2

=

∈-+n a n N n n 类型六：应用题

例12．某地区现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=

耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数

总产量

）

【思路点拨】应用题须认真读懂关键词句，容易看出每年的人均粮食占有量和人口数均构成等比数列。

【解析】

方法一：由题意，设现在总人口为A 人，人均粮食占有量为b 吨，现在耕地共有4

10公

顷，于是现在的粮食单产量

4

10

Ab 吨/公顷，10年后总人口为10

(10.01)A +，人均粮食占有量(10.1)b +吨，若设平均每年允许减少x 公顷，则10年耕地共有(41010x -)公顷，于是10年后粮食单产量为x

b A 1010)

1.01()01.01(4

10-+?+吨/公顷. 由粮食单产10年后比现在增加22%得不等式：

1044(10.01)(10.1)(10.22)101010

A b Ab

x +?+≤+-

化简可得4

10

4

10(10.01)(10.1) 1.22(1010)x +?+≤-

即441010 1.2210(10.01)(10.1)10 1.22

x ?-++≤?，

∴4x ≤(公顷)

答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.

方法二：由题意，设现在总人口为A 人，粮食单产为M 吨/公顷，现在共有耕地4

10公

顷，于是现在人均粮食占有量A

M 410吨/人，10年后总人口为10

(10.01)A +，粮食单产1.22M

吨/公顷，若设平均每年允许减少x 公顷，则10年后耕地将有(4

1010x -)公顷，于是10年

后粮食总产量为4

1.22(1010)M x -，人均粮食占有量为10

4)

01.01()

1010)(22.01(+-+A x M ，由人均粮食占有量10年后比现在增加10%得不等式：

44

10(10.22)(1010)10 1.1(10.01)M x M A A

+-?≥?+，（余与上同）.

【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式.

举一反三：

【变式】某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区森林木材存量.

（1）写出n a 的表达式.

高中数学必修3第三章教案

3.1 随机事件的概率 1、基本概念： （1）必然事件： ； （2）不可能事件： ； （3）确定事件： ； （4）随机事件： ； （5）频数与频率：在 下重复 试验，观察 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的 ；称事件A 出现的比例f n (A)= n n A 为事件A 出现的频率。对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在 ，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的 。 （6）似然法与极大似然法： 例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）“抛一石块，下落”. （2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”； （3）“某人射击一次，中靶”； （4）“如果a ＞b ,那么a －b ＞0”; （5）“掷一枚硬币，出现正面”； （6）“导体通电后，发热”； （7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； （8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有水份，种子能发芽”； （10）“在常温下，焊锡熔化”． 例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： （1）填写表中击中靶心的频率； （2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？ 例3 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多大？中10环的概率约为多大？ 课堂练习 1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（ ） A ．必然事件 B ．随机事件 C ．不可能事件 D ．无法确定 2．下列说法正确的是（ ） A ．任一事件的概率总在（0.1）内 B ．不可能事件的概率不一定为0 C ．必然事件的概率一定为1 D ．以上均不对 3.下列事件中随机事件的个数为 （ ） (1) 物体在重力作用下自由下落。(2) 方程2 230x x -+=有两个不相等的实根

人教版高中数学必修2全套教案

人教版A版高一数学必修2 全套教案

第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 （2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的

必修5等差数列基础(一般)

高中数学必修5等差数列基础 一般测试试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．单选题（共__小题） 1．下列通项公式表示的数列为等差数列的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．设a p 、a q 是数列{a n }的任意两项（p ，q ，n ∈N +），且a p =a q +2003（p-q ），那么数列{a n }（ ） A ．不是等差数列 B ．是等差数列 C ．可能是等比数列 D ．是常数列 3．设a n =（n+1）2，b n =n 2-n （n ∈N *），则下列命题中不正确的是（ ） A ．{a n+1-a n }是等差数列 B ．{b n+1-b n }是等差数列 C ．{a n -b n }是等差数列 D ．{a n +b n }是等差数列 4．若数列{a n }是一个以d 为公差的等差数列，b n =2a n +3（n ∈N *），则数列{b n }是（ ） A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列 D ．公差为2d+3的等差数列 5．已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1+a n =2n ，则该数列前25项之和S 25=（ ） A ．309 B ．311 C ．313 D ．315 6．设2a =3，2b =6，2c =12，则数列a ，b ， c 成 （ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．非等差也非等比数列 D ．既等差也等比数列 7．已知数列{a n }的a 1=1，a 2=2且a n+2=2a n+1-a n ，则a 2007=（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008

(完整word版)高中数学必修五等差数列测试题

等差数列测试题 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的 ( ) A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项 2.在-1和8之间插入两个数a ,b ，使这四个数成等差数列，则 ( ) A. a =2，b =5 B. a =-2，b =5 C. a =2，b =-5 D. a =-2，b =-5 3.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83 ＜d ≤3 4．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( ) A ．3 B ．-3 C ．-2 D ．-1 5．在等差数列}{n a 中，,0,01110>，则在n S 中最大的负数为 ( ) A ．17S B ．18S C ．19S D ．20S 6.等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是: ( ) A.a 11 B.a 10 C.a 9 D.a 8 7.设函数f (x )满足f (n +1)= 2)(2n n f +(n ∈N *)且f (1)=2,则f (20)为 ( ) A.95 B.97 C.105 D.192 8．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6S 8 ,则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7最大 B ．在数列{a n }中,a 3或a 4最大 C ．前三项之和S 3必与前11项之和S 11相等 D ．当n ≥8时，a n <0 二、填空题（每小题6分，共30分） 9．集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________. 10．在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=-记123n n S a a a a =++++L ，则13S =_____

数学必修三教案

第一章：算法初步 1.1 算法与程序框图 第一课时 1.1.1 算法的概念 教学要求：了解算法的含义，体会算法的思想；能够用自然语言叙述算法；掌握正确的算法应满足的要求；会写出解线性方程（组）的算法、判断一个数为质数的算法、用二分法求方程近似根的算法. 教学重点：解二元一次方程组等几个典型的的算法设计. 教学难点：算法的含义、把自然语言转化为算法语言. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：我们古代的计算工具？近代计算手段？（算筹与算盘→计算器与计算机，见章头图） 2. 提问：①小学四则运算的规则？（先乘除，后加减） ②初中解二元一次方程组的方法？（消元法） ③高中二分法求方程近似解的步骤？ （给定精度ε，二分法求方程根近似值步骤如下： A ．确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b < ，给定精度ε；B. 求区间(,)a b 的中点1x ； C. 计算1()f x ： 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点； 若1()()0f a f x < ，则令1b x =（此时零点 01(,)x a x ∈）； 若1()()0f x f b < ，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）； D. 判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4． 二、讲授新课： 1. 教学算法的含义： ① 出示例：写出解二元一次方程组22(1) 24(2)x y x y -=??+=? 的具体步骤. 先具体解方程组，学生说解答，教师写解法 → 针对解答过程分析具体步骤，构成其算法 第一步：②－①×2，得5y =0 ③； 第二步：解③得y =0； 第三步：将y =0代入①，得x =2. ② 理解算法： 12世纪时，指用阿拉伯数字进行算术运算的过程. 现代意义上的算法是可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，程序和步骤必须是明确和有效的，且能在有限步完成. 广义的算法是指做某一件事的步骤或程序. 算法特点：确定性；有限性；顺序性；正确性；普遍性. 举例生活中的算法：菜谱是做菜肴的算法；洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法；歌谱是一首歌曲的算法；渡河问题. ③ 练习：写出解方程组()11112212 22(1) 0(2)a x b y c a b a b a x b y c +=?-≠?+=?的算法. 2. 教学几个典型的算法： ① 出示例1：任意给定一个大于1的整数n ，试设计一个程序或步骤对n 是否为质数做出判断. 提问：什么叫质数？如何判断一个数是否质数？ → 写出算法. 分析：此算法是用自然语言的形式描述的. 设计算法要求：写出的算法必须能解决一类问题，并且能够重复使用. 要使算法尽量简单、步骤尽量少. 要保证算法正确，且计算机能够执行. ② 出示例2：用二分法设计一个求方程230x -=的近似根的算法. 提问：二分法的思想及步骤？如何求方程近似解 →写出算法. ③ 练习：举例更多的算法例子； → 对比一般解决问题的过程，讨论算法的主要特征. 3. 小结：算法含义与特征；两类算法问题（数值型、非数值型）；算法的自然语言表示. 三、巩固练习：1. 写出下列算法：解方程x 2 －2x －3＝0；求1×3×5×7×9×11的值 2. 有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题. 3. 根据教材P6 的框图表示，使用程序框表示以上算法. 4. 作业：教材P4 1、2题.

人教版高中数学必修2第二章《直线与直线的方程》教案8

第八课时 两条直线的位置关系―点到直线的距离公式 一、三维目标： 1、知识与技能：理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 2、能力和方法： 会用点到直线距离公式求解两平行线距离 3、情感和价值：认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题 二、教学重点：点到直线的距离公式 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 三、教学方法：学导式 教具：多媒体、实物投影仪 四、教学过程 （一）、情境设置，导入新课 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离。 用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？ 两条直线方程如下： ?? ?=++=++0 222111C y B x A C y B x A （二）、研探新课 1．点到直线距离公式： 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2 2 00B A C By Ax d +++= （1）提出问题 在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00y x ，直线＝0或B ＝0时，以上公式0:=++C By Ax l ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢? 学生可自由讨论。 （2）数行结合，分析问题，提出解决方案

高中数学必修5高中数学必修5等差数列复习教案 (1)

等差数列复习 知识归纳 1. 等差数列这单元学习了哪些内容？ 2. 等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题: n ≥2，a n －a n －1＝d (常数) 3. 等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？ a n ＝a 1＋(n －1) d a n ＝An ＋B (d ＝A ∈R ) 4. 等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？ 5. 用什么方法推导等差数列前n 项和公式的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n 项和公式结构有什么特点? 2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= S n ＝An 2＋Bn (A ∈R) 注意: d ＝2A ! 6. 你知道等差数列的哪些性质? 等差数列{a n }中，(m 、 n 、p 、q ∈N+): ①a n ＝a m ＋(n －m )d ； ②若 m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 等差数列定义通项 前n 项和 主要性质n a n d ＜0n a n d ＞0

③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列； ④每n项和S n, S2n－S n , S3n－S2n…组成的数列仍是等差数列. 知识运用 1.下列说法: (1)若{a n}为等差数列,则{a n2}也为等差数列 (2)若{a n} 为等差数列,则{a n＋a n＋1}也为等差数列 (3)若a n＝1－3n,则{a n}为等差数列. (4)若{a n}的前n和S n＝n2＋2n＋1, 则{a n}为等差数列. 其中正确的有( (2)(3) ) 2. 等差数列{a n}前三项分别为a－1,a＋2, 2a＋3, 则a n＝3n－2 . 3.等差数列{an}中, a1＋a4＋a7＝39, a2＋a5＋a8＝33, 则a3＋a6＋a9＝27 . 4.等差数列{a n}中, a5＝10, a10＝5, a15＝0 . 5.等差数列{a n}, a1－a5＋a9－a13＋a17＝10, a3＋a15＝20 . 6. 等差数列{a n}, S15＝90, a8＝ 6 . 7.等差数列{an}, a1= －5, 前11项平均值为5, 从中抽去一项,余下的平均值为4, 则抽取的项为( A ) A. a11 B. a10 C. a9 D. a8 8.等差数列{a n}, Sn＝3n－2n2, 则( B) A. na1＜S n＜na n B. na n＜S n＜na1 C. na n＜na1＜S n D. S n＜na n＜na1能力提高 1. 等差数列{a n}中, S10＝100, S100＝10, 求S110. 2. 等差数列{a n}中, a1＞0, S12＞0, S13＜0,S1、S2、…S12哪一个最大？

2020年人教版高中数学必修三全套教案(全册完整版)

教育精品资料 2020年人教版高中数学必修三全套教案（全册完整版） 按住Ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2) 1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1算法的概念（第1课时） 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点；

2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想； 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤） 例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解：算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步：计算1+2，得到3； 第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；

新人教版高中数学必修3教案(全册)

新人教版高中数学必修三教案（全册）第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2) 1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1算法的概念（第1课时） 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点； 2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想； 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤） 例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解：算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步：计算1+2，得到3；

第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6； 第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10； 第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15. 算法2 可以运用公式1+2+3+…+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。直接计算 第一步：取错误！未找到引用源。=5； 第二步：计算错误！未找到引用源。； 第三步：输出运算结果. （说明算法不唯一） 例3：（课本第2页，解二元一次方程组的步骤） （可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性） 例4：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： 第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程； 第二步：根据条件列出关于错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！ 未找到引用源。或错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 的方程组； 第三步：解出错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，代入标准方程或一般方程. 三、算法的概念 通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些 在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程 序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 四、知识应用 例5：（课本第3页例1）（难点是由质数的定义判断一个大于1的正整数错误！未找到引 用源。是否为质数的基本方法） 练习1：（课本第4页练习2）任意给定一个大于1的正整数错误！未找到引用源。，设计一个算法求出错误！未找到引用源。的所有因数. 解：根据因数的定义，可设计出下面的一个算法： 第一步：输入大于1的正整数错误！未找到引用源。 .

人教版高中数学必修2全部教案(最全最新)

人教版高中数学必修2 第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法： （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 （2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观： （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪。 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 1、由六根火柴最多可搭成几个三角形？（空间：4个） 2在我们周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子 吗？这些建筑的几何结构特征如何？

3、展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体。 问题：请根据某种标准对以上空间物体进行分类。 （二）、研探新知 空间几何体：多面体（面、棱、顶点）：棱柱、棱锥、棱台； 旋转体（轴）：圆柱、圆锥、圆台、球。 1、棱柱的结构特征： （1）观察棱柱的几何物体以及投影出棱柱的图片， 思考：它们各自的特点是什么？共同特点是什么？ （学生讨论） （2）棱柱的主要结构特征（棱柱的概念）： ①有两个面互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两上四边形的公共边互相平行。 （3）棱柱的表示法及分类：

北师大版高中数学必修五《等差数列》第一课时教案-新版

2.1 等差数列（一） 教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题； 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导， 归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式； 会用公式解决一些简单的问题。 教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 教学过程： 创设情境导入新课 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 先看下面的问题： 为了使孩子上大学有足够的费用，一对夫妇从小孩上初一的时候开始存钱，第一次存了5000元，并计划每年比前一年多存2000元。若小孩正常考上大学，请问该家长后5年每年应存多少钱？ 引导学生行先写出这个数列的前几项：7000，9000，11000，13000，15000 观察这个数列项的变化规律，提出生活中这样样问题很多，要解决类似的问题，我们有必要研究具有这样牲的数列——等差数列 师生互动新课探究 像这样的数列你能举出几个例子吗？ 0，5，10，15，20，……① 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 48，53，58，63 ② 3，3，3，3，3，……④

看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析） 引导学生观察相邻两项间的关系，得到： 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ； 对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0 ； 由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。 归纳总结 形成概念 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义： 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，0。 注意：从第二项起．．．．．，后一项减去前一项的差等于同一个常数．．．．． 。 1．名称：等差数列，首项 )(1a ， 公差 )(d 2．若0=d 则该数列为常数列 3．寻求等差数列的通项公式： d a d d a d a a d a d d a d a a d a a 3)2(2)(1134112312+=++=+=+=++=+=+= 由此归纳为 d n a a n )1(1-+= 当1=n 时 11a a = （成立） 选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式： （迭加法）： }{n a 是等差数列，所以 ,1d a a n n =-- ,21d a a n n =--- ,32d a a n n =--- …… ,12d a a =- 两边分别相加得 ,)1(1d n a a n -=- 所以 d n a a n )1(1-+=

高一数学必修1第一章集合教案

第一章集合与函数概念 §1．1集合 教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 1.1.1 （一）集合的有关概念 ⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对 象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

数学北师大版必修3教案： 第三章概率1.1

第三章概率 本章教材分析 随机现象在日常生活中随处可见，概率论就是研究客观世界中随机现象规律的科学，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础.通过对生活中随机事件发生的可能性的刻画，概率的知识可以帮助人们作出合理的决策.概率的基础知识，有利于培养学生应付变化和不确定事件的能力，有利于培养学生以随机的观点来认识世界的意识，是每一个未来公民生活和工作的必备常识，也是其进一步学习所不可缺少的内容.因此，概率成为高中必修课，是适应社会发展的需要的. 教科书首先通过学生掷图钉的活动以及阅读材料，让学生了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；然后,通过活动让学生澄清生活中的一些对概率的错误认识，进一步体会频率的稳定性和随机的思想,随机思想贯穿始终.其次，通过具体实例让学生理解古典概型的两个基本特征及其概率计算公式，初步学会把一些实际问题转化为古典概型，了解可以建立不同的模型来解决实际问题；通过实例，让学生了解两个互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率计算公式，以及它们在古典概率计算中的应用. 最后通过实例，让学生了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义，能够运用模拟方法估计概率. 值得注意的是：数学教学是师生交流、互动和互相促进的过程，在教学中，应注意发挥教师的主导作用和学生的主体作用. 1.注意联系实际，通过学生喜闻乐见的具体实例让学生了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，从而建立随机观念.在日常生活中有很多随机现象，教师可以通过大量的随机现象的例子，让学生了解学习概率知识的必要性及概率知识在日常生活中的作用，体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，建立随机观念，让学生认识到随机事件的概率确实是存在的，概率就在我们身边. 2.设置丰富的问题情境，让学生经历探索、解决问题的过程.在教学过程中，要注意充分利用教科书中“思考交流”“动手实践”等栏目提供的问题情境，调动起学生学习的积极性和主动性，组织学生开展研究性学习，培养学生的思维能力和分析解决实际问题的能力.对于“思考交流”“动手实践”等栏目，教师一定要给学生留有充足的时间进行思考和实践，并适时给予引导.教学时不能急于求成，更不能让学生活动形同虚设，而应在学生积极参与的前提下注重知识的落实和能力的提高. 3.通过一些简单的例子关注建立概率模型的思想及模拟方法的应用，注意控制难度.古典概率计算的教学，应让学生在理解古典概型的两个基本特征的基础上，初步学会把一些实际问题转化为古典概型，并会用列举法计算出随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.教学的重点不要放在“如何计数”上，这也是把排列组合安排为选修内容的原因之一.古典概率的计算可提倡一题多解，但对于一个实际问题，建立不同的概率模型来解决，一般来说有一定难度，因此教师应通过一些简单的例子让学生体会建立概率模型来解决实际问题的思想.教科书在练习和习题中配有一些可建立不同的模型来解决的题目，教师应结合这些题的讲解，突出建模的思想.此外，教学时应重点强调对古典概型基本特征的理解及用画树状图和列表的方法列举出所有可能结果，同时应让学生注意两个互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式的运用. 用模拟方法估计概率的教学，主要是让学生初步体会几何概型的意义，并能够运用模拟方法解决简单的实际问题.教学时难度控制在例题和习题的水平即可，不要补充太多太难的题.由于我国很多地方还没有普及计算机(甚至还没有普及计算器)，教科书在用随机数进行模拟时仅要求用随机数表产生随机数，而用计算机(计算器)产生随机数则作为了解.但随着信息

高一数学必修2第二章教案(完整版)教学文案

（必修二） 高 中 数 学 第 二 章 教 案

2.1.1 平面 二、教学重点、难点 重点：1.平面的概念及表示； 2.平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言. 难点：平面基本性质的掌握与运用. 观察并思考以下问题： 1.长方体由哪些基本元素构成? 答：点、线、面. 2.观察长方体的面,说说它的特点？答：是平的. 指出：长方体的面给我们以平面的印象；生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象. （二）探究新知 1.平面含义 指出：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的。平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象；一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分. 2.平面的画法及表示 ①平面的画法：和学生一起,老师边说边画,学生跟着画. 在立体几何中，常用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，通常把平行四45，且横边长画成邻边长的两倍；画两个平面相交时，当一个平边形的锐角画成0 面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画. ②平面的表示方法 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等. 3.点与平面的关系及其表示方法 指出：平面内有无数个点，平面可以看成点的集合.

点A 在平面α内，记作：A α∈ 点B 在平面α外，记作：B α? 想一想：点和平面的位置关系有几种? 4.平面的基本性质 思考：如果直线与平面有一个公共点P ，直线是否在平面内?如果直线与平面有两个公共点呢? 要让学生充分发表自己的见解. 观察理解：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上. 得出结论： 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 （教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析） 符号表示为 A l B l l A B ααα∈??∈? ???∈??∈? 公理1作用：判断直线是否在平面内 师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等…… 引导学生归纳出公理2 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α 使A ∈α、B ∈α、C ∈α 公理2作用：确定一个平面的依据. 补充3个推论： 推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义. 引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3

高中数学必修3第三章教案肖海生

1、基本概念： （1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件； （2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件； （4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件； 3、例题分析： 例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）“抛一石块，下落”. （2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”； （3）“某人射击一次，中靶”； （4）“如果a＞b,那么a－b＞0”; （5）“掷一枚硬币，出现正面”； （6）“导体通电后，发热”； （7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； （8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； （9）“没有水份，种子能发芽”； （10）“在常温下，焊锡熔化”． 答：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件． （2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？ 分析：事件A出现的频数n A与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率f n（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率。 解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91. （2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89。 5、自我评价与课堂练习： 1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（） A．必然事件B．随机事件 C．不可能事件D．无法确定 2．下列说法正确的是（） A．任一事件的概率总在（0.1）内 B．不可能事件的概率不一定为0 C．必然事件的概率一定为1 D．以上均不对 （2）该油菜子发芽的概率约是多少？

人教版高中数学必修2第二章直线、平面平行的判定及其性质 同步教案2

直线、平面平行的判定及其性质辅导教案 学生姓名性别年级学科数学 授课教师上课时间年月日 第（）次课 共（）次课 课时：2课时教学课题人教版必修2第二章直线、平面平行的判定及其性质同步教案2 教学目标 知识目标：理解并掌握直线与平面平行的判定性质定理，理解并掌握平面与平面平行的判定性质 定理 能力目标：利用判定定理证明线面平行问题，平面与平面平行 情感态度价值观：进一步提高学生学习热情 教学重点 与难点 重点：利用判定定理解决有关线面、面面平行问题． 难点：线线平行、线面平行、面面平行之间的转化 教学过程 （一）直线与平面平行的判定 知识梳理 直线与平面平行的判定定理 例题精讲 【题型一、线面平行判定定理的理解】 【例1】判断下列命题是否正确： (1)一条直线平行于一个平面，这条直线就平行于平面内的任何直线； (2)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行； (3)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行； (4)与两条异面直线都平行的平面有无穷多个．

【方法技巧】理解线面平行的定义和判定定理→逐个判断是否正确 【题型二、线面平行判定定理的应用】 【例2】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD. 【方法技巧】： 1.应用判定定理证明线面平行的步骤 上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理． 2．线面平行判定定理应用的误区 (1)条件罗列不全，最易忘记的条件是a?α与b?α. (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线． 3．证明直线与平面平行的方法 (1)定义：证明直线与平面无公共点(不易操作)． (2)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内． (3)判定定理法． 变式1：如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′A′CC′. ●误区警示 易错点：忽略线面平行的判定定理使用的前提条件 例：如果两条平行直线a，b中的a∥α，那么b∥α.这个命题正确吗？为什么？

人教版高数必修五第4讲：等差数列的概念、性质（教师版）

等差数列的概念、性质 教学目标 教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系； 教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。 知识梳理 1. 等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。用递推关系系表示为()1n n a a d n N ++-=∈或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式 若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d =+- 3. 等差中项 如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项 4. 通项公式的变形 对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有： ()11p a a p d =+- ()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>= 5. 等差数列与函数的关系 由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。 6. 等差数列的性质及应用 （1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=

（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数） （3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数） （4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数） （5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈ （6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列 （7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列 典例讲练 类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解 例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n = A.672 B.673 C.662 D.663 解析：由题意得()()1111334,n a a n d n n =+-=-+-?=-令2015n a =，解得673n = 答案：B 练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n = A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A 练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n = A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B 例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-6 解析：由题意知670,0a a ≥< 所以有 1152350 62360a d d a d d +=+≥+=+<解得 2323,456 d d Z d -≤<-∈∴=- 答案：C 练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D 练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4