第4章--生产函数习题(含答案)

第四章生产理论

一、名词解释

生产函数总产量平均产量边际产量边际报酬递减规律等产量线边际技术替代率边际技术替代率递减规律等成本线生产要素最优组合规模报酬规模报酬递增规模报酬不变规模报酬递减

二、选择题

1．生产要素(投入)和产出水平的关系称为( )。

A．生产函数B．生产可能性曲线

C．总成本曲线D．平均成本曲线

2．生产函数表示( )。

A．一定数量的投入，至少能生产多少产品

B．生产一定数量的产品，最多要投入多少生产要素

C．投入与产出的关系

D．以上都对

3．当生产函数Q = f (L，K)的AP L为正且递减时，MP L可以是( )。

A．递减且为正B．为0 C．递减且为负D．上述任何一种情况都有可能

4．在总产量、平均产量和边际产量的变化过程中，下列说法中正确的是( )。

A．总产量最先开始下降D．平均产量首先开始下降

C．边际产量首先开始下降D．平均产量下降速度最快

5．下列各项中，正确的是( )。

A．只要平均产量减少，边际产量就减少

B．只要总产量减少，边际产量就一定为负值

C．只要边际产量减少，总产量就减少

D．只要平均产量减少，总产量就减少

6．劳动(L)的总产量下降时( )。

A．AP L是递减的B．AP L为零C．MP L为零D．MP L为负

7．在总产量、平均产量和边际产量的变化过程中，首先发生变化的是( )。

A．边际产量下降B．平均产量下降C．总产量下降D．B和C

8．如果一种投入要素的平均产量高于其边际产量，则( )。

A．随着投入的增加，边际产量增加

B．边际产量将向平均产量趋近

C．随着投入的增加，平均产量一定增加

D．平均产量将随投人的增加而降低

9．总产量最大，边际产量( )。

A．为零B．最大C．最小D．无法确定

10．当且AP L为正但递减时，MP L是( )

A．递减B．AP L为零C．零D．MP L为负

11．下列说法中错误的是( )。

A．只要总产量减少，边际产量一定是负数

B．只要边际产量减少，总产量一定也减少

C．随着某种生产要素投入量的增加，边际产量和平均产量增加到一定程度将趋于下降；其中边际产量的下降一定先于平均产量

D．边际产量曲线一定在平均产量曲线的最高点与之相交

12．如图4—2所示，厂商的理性决策应是( )

A．3

B．4.5

C．3

D．0

13．经济学中短期与长期的划分取决于( )。

A．时间长短B．可否调整产量

C．可否调整产品价格D

14．关于生产函数Q = f (L，K)的生产的第二阶段，即厂商要素投入的合理区域，应该是( )。

A．开始于AP L开始递减处，终止于MP L为零处

E．开始于AP L曲线和MP L曲线的相交处，终止于MP L曲线和水平轴的相交处

C．开始于AP L的最高点，终止于MP L为零处

D．上述说法都对

15．如果是连续地增加某种生产要素，在总产量达到最大时，边际产量曲线( )。

A．与纵轴相交B．经过原点

C．与平均产量曲线相交D．与横轴相交

16．下列说法中正确的是( )。

A．生产要素的边际技术替代率递减是规模报酬递减规律造成的

B．生产要素的边际技术替代率递减是边际报酬递减规律造成的

C．规模报酬递减是边际报酬规律造成的

D．边际报酬递减是规模报酬递减造成的

17．在边际产量发生递减时，如果要增加同样数量的产品，应该( )。

A．增加变动生产要素的投入量B．减少变动生产要素的投入量

C．停止增加变动生产要素D．同比例增加各种生产要素

18．如果一种投入要素的边际产量为正值，随着投入的增加，边际产量递减，则( )。

A．总的产量已经达到了最高点，正在不断下降

B．总的产量不断增加，但是增加的速度越来越慢

C．平均产量一定下降

D ．厂商应当减少产出

19．边际收益递减规律发生作用的前提条件是( )。

A ．连续地投入某种生产要素而保持其他生产要素不变

B ．生产技术既定不变

C ．按比例同时增加各种生产要素

D ．A 和B

20．在以横轴L 表示劳动数量，纵轴K 表示资本数量，w 表示劳动的价格，r 表示资本的价格，相应的

平面坐标中所绘出的等成本线的斜率为( )。

A ．

r w B ．r w - C ．w

r D ．w r -

21．在以横轴表示生产要素L ，纵轴表示生产要素K 的坐标系中，等成本曲线的斜率的绝对值等于2表

明( )。

A ．

2=r w B ．2=K

L Q Q C ．2=w r

D ．上述任意一项 22．等成本曲线向外平行移动说明了( )。

A ．成本增加了

B ．生产要素的价格上升了

C ．产量提高了

D ．以上都不对

23．等产量曲线是指这条曲线上的各点代表( )。

A ．为生产同样产量投入要素的各种组合的比例是不能变化的

B ．为生产同等产量投入要素的价格是不变的

C ．不管投入各种要素量如何，产量总是相等的

D ．投入要素的各种组合所能生产的产量都是相等的

24．等产量曲线( )。

A ．说明为了生产一个给定的产量两种投入要素各种可能的组合

B ．除非得到所有要素的价格，否则不能画出这条曲线

C ．表明了投入与产出的关系

D ．表明了无论投入的数量如何变化，产出量都是一定的

25．若厂商增加使用一个单位的劳动，减少三个单位的资本，仍能生产相同产出，则MRTS LK 是( )。

A ．1/3

B ．3

C ．1

D ．6

26．当某厂商以最小成本生产出既定产量时，那它( )。

A ．总收益为零

B ．一定获得最大利润

C ．一定未获得最大利润

D ．无法确定是否获得最大利润

27．如果确定了最优的生产要素组合，则( )。

A ．在生产函数已知时可以确定一条总成本曲线

B ．就可以确定一条总成本曲线

C ．在生产要素价格已知时可以确定一条总成本曲线

D ．在生产函数和生产要素价格已知时可以确定总成本曲线上的一个点

28．在生产者均衡点上( )

A ．等产量曲线与等成本曲线相切

B ．K

L

LK P P MRTS =

C ．

K

K

L L P MP P MP =

D ．上述情况都正确

29．规模报酬递减是在下述情况下发生的( )。

A ．按比例连续增加各种生产要素 D ．不按比例连续增加各种生产要素 C ．连续地投入某种生产要素而保持其他要素不变 D ．上述都正确

30．规模报酬递减是在( )的情况下发生的。

A ．按比例投入生产要素

B ．不按比例投入生产要素

C ．连续投入某种生产要素而其余生产要素不变

D ．不投入某种生产要素而增加其余生产要素的投入

三、判断题

1．在任何一种产品的短期生产中，随着一种可变要素投入量的增加，边际产量最终会呈现递减的特征。

( )

2．假定生产某种产品要用两种要素，如果这两种要素的价格相等，则该厂商最好就是要用同等数量的

这两种要素投入。 ( )

3．规模报酬递增的厂商不可能会面临报酬递减的现象。 ( )

4．只要边际产量为正，总产量总是增加的。 ( )

5．只要边际产量为负，总产量总是减少的。 ( )

6．只要边际产量大于平均产量，平均产量递减。 ( )

7．只要边际产量小于平均产量，平均产量递减。 ( )

8．边际技术替代率等于两要素的边际产量之比。 ( )

9．等成本线的斜率即为两种生产要素的价格之比。 ( )

10．边际技术替代率是正的，并且呈递减趋势。 ( )

11．任何生产函数都以一定时期内的生产技术水平作为前提条件，一旦生产技术水平发生变化，原有的

生产函数就会发生变化，从而形成新的生产函数。 ( )

12．平均产量曲线和边际产量曲线的关系表现为：两条曲线相交于平均产量曲线的最高点，在此点之前，

边际产量曲线高于平均产量曲线，在此点之后。边际产量曲线低于平均产量曲线。 ( )

13．等产量曲线上某一点的边际技术替代率就是等产量曲线在该点的斜率。 ( )

14．边际技术替代率递减规律使得向右下方倾斜的等产量曲线必然凸向原点。 ( )

15．边际产量总是小于平均产量。( )

16．边际技术替代率为两种投入要素的边际产量之比，其值为负。( )

17．如果连续地增加某种生产要素的投入量，总产出将不断递增，边际产量在开始时递增然后趋于递减。( )

18．只要边际产量减少，总产量一定也在减少。( )

19．随着某生产要素投入量的增加，边际产量和平均产量增加到一定程度将同时趋于下降。( )

20．边际产量曲线一定在平均产量曲线的最高点与它相交。( )

21．边际产量曲线与平均产量曲线的交点，一定在边际产量曲线向右下方倾斜的部分。( )

22．利用等产量曲线上任意一点所表示的生产要素组合，都可以生产出同一数量的产品。( )

23．生产要素的价格一旦确定，等成本曲线的斜率也随之确定。( )

24．生产要素的边际技术替代率递减是边际收益递减规律造成的。( )

25．不变投入是指在短期内不会随产出数量变化的投入。( )

四、简答题

1．简述边际报酬递减规律的内容。

2．简述规模报酬变动规律及其成因。

3．等产量曲线有哪些特征? 这些特征的经济含义是什么?

4．为了实现既定成本条件下的最大产量或既定产量条件下的最小成本，如果企业处 于r w MRTS LK > 或者r

w

MRTS LK < 时，企业应该分别如何调整劳动和资本的投入量，以达到最优的要素组合?

5．生产的三阶段是如何划分的? 为什么厂商通常会在第二阶段进行生产

6．为什么边际技术替代率递减 (或为什么等产量曲线凸向原点)?

7．利用图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。

五、计算题

1．某企业在短期生产中的生产函数为L L L Q 2402423++-=，计算企业在下列情况下的L 的取值范围：

(1) 在第I 阶段； (2) 在第II 阶段； (3) 在第III 阶段。

2．已知生产函数为2232.05.0),(K L KL K L f Q --==，其中Q 表示产量，K 表示资本，L 表示劳动。令上式的K ＝10。试：

(1) 写出劳动的平均产量函数和边际产量函数；

(2) 分别计算当总产量、平均产量和边际产量达到最大时，厂商雇佣的劳动数量。 3．已知某企业的生产函数为3

231K L Q =，劳动的价格w = 2，资本的价格r = 1。求： (1) 当成本C = 3 000时，企业实现最大产量时的L 、K 和Q 的均衡值。 (2) 当产量Q = 800时，企业实现最小成本时的L 、K 和C 的均衡值。

4．设某国有企业的生产函数为25.075

.030K L

Q =，劳动年工资为0.5万元，资本(万元)年利率为10％，

问：

(1) 当总成本为5 000万元时，企业能够达到的最大产量及其劳动、资本雇用量； (2) 当总产量为1 000单位时，企业必须投入的最低总成本及其劳动、资本雇用量；

(3) 当总成本为5 000万元时，若劳动年工资从0.5万元下降到0.4万元，其总效应、替代效应、产

量效应各多少?

参考答案

第二题：单选

第三题：判断题

第五题：计算 1、解：

由240242++-==

L L L

Q

AP L 得知，当0='L P A 时，L AP 最大，亦即由0242=+-L ，得出12=L ，此时L AP 最大；

同样，02404832

=++-=L L MP L ，解方程得20=L ，4-=L （舍去）；

因此得出，

第一阶段，12

第二阶段，2012≤≤L ； 第三阶段，20>L 。 2．解：

（1）将K = 10 代入生产函数，得325.0102

--=L L Q

L L L Q AP L 325.010--==

L dL

dQ

MP L -==10 （2）对于总产量函数325.0102

--=L L Q ，要求其最大值，只需使其对L 的一阶导数为零即可得出，

亦即令

010=-==L MP dL

dQ

L ，得10=L ，此即为总产量函数有极大值的点。

同样，对于平均产量函数L L L Q AP L 325.010--==

，令0=dL dAP L

，有0325.02=+-L

，解方程得8=L ，即当场上雇佣的劳动量为8个单位时，平均产量达到最大。

对于劳动的边际产量L dL

dQ

MP L -==

10，由于L MPP 为向右下方倾斜的直线，而且劳动L 不可能小于0，故当0=L 时，有极大值10，亦即是说，当边际产量达到极大值时，厂商的劳动雇佣量为0

3．解：

(1)根据企业实现既定成本条件下产量最大化的均衡条件：

r

w

MP MP K L =， 其中，313132k L dL dQ MP L ?==-，3

2

3231-?==k L dK dQ MP K ，2=w ，1=r 。

将MP L 、MP K 、w 、r 代入均衡方程，得：123

132323

23

1

31

=??--k L k

L 化简后的K L =，再将K L =代入约束条件30002=+K L ，有30003=K ， 得L=1000;K=1000

将L=K=1000代入生产函数，求得最大产量Q=1000。

因此，在成本C=3000时，厂商以L=1000，K=1000进行市场所达到的最大产量为Q=1000。

(2)当产量Q=800时，由于根据最优生产要素组合的条件得出L=K,因此L=K=800，由此得出C=2*800+800=2400

4、解

（1）由5000%)101(5.0=++K L ，以及L K 53=，可得3571=K ，2143=L ，进而可得

730443025.075.0==K L Q 。

（2）由10003025.075

.0==K L

Q 和 L K 53=，得49=K ，4.29=L ，

进而可得6.68%)101(5.0=++=K L TC 。 （3）

1

.04

.03=L K ，L K 43=。 当总成本为5000万元时，易得3571=K ，2143=L 。

当劳动工资从0.5万元下降到0.4万元时，为使该企业仍能生产同劳动工资变化前一样的产量，需要的总成本为2.442835174.02143=+?。

当总成本为2.4428，劳动工资为4.0万元时，该企业事实上不仅仅是使用2143单位的劳动，而且

会增加劳动的使用量，此时需要的劳动量为2.4428%)101(4=++K L ，? L K 43=，即2372=L 。

由于该企业的成本为5000万元，因此，不仅替代效应会增加劳动的使用，同时，产量效应也会增加对劳动的使用。此时的劳动需求量为5000%)101(4=++K L ， ? L K 43=，即2679=L 。

所以，替代效应为 22921432372=-，

产量效应为 30723722679=-。

函数及其表示练习题及答案

函数及其表示练习题 一．选择题 1 函数)2 3 (,32)(-≠+= x x cx x f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于（ ） A 3 B 3- C 33-或 D 35-或 2. 已知)0(1)]([,21)(2 2 ≠-=-=x x x x g f x x g ，那么)21(f 等于（ ） A 15 B 1 C 3 D 30 3． 函数2y =的值域是（ ） A [2,2]- B [1,2] C [0,2] D [ 4 已知2 211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ ） A 21x x + B 2 12x x +- C 212x x + D 2 1x x +- 5．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 ( ) (A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数 (C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数 6. 下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是 （ ） 7．已知二次函数)0()(2 >++=a a x x x f ，若0)(

A ．正数 B ．负数 C ．0 D ．符号与a 有关 8. 已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为 （ ） A ．)2,1[- B ．]1,1[- C ．)2,2(- D ．)2,2[- 9. 已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，将y 表示成x 的函数 关系式 （ ） A ．x b c a c y --= B ．x c b a c y --= C ．x a c b c y --= D ．x a c c b y --= 10．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 （ ） A ．q p + B ．q p 23+ C ．q p 32+ D ．23q p + 11. 某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为 （A ）y ＝[ 10 x ] （B ）y ＝[ 3 10x +] （C ）y ＝[410x +] （D ）y ＝[5 10 x +] 12.已知函数()()2113,f x x x =+≤≤则 A ．()()12202f x x x -=+≤≤ B ．()()12124f x x x -=-+≤≤ C ．()()12202f x x x -=-≤≤ D ．()()12104f x x x -=-≤≤ 13.函数 ln 1x y += 的定义域为 A ．4,1-- B ．()4,1- C ．()1,1- D ．(1,1]- 14.设函数()221, 1,2, 1, x x f x x x x ?-≤? =?+->??则 ()12f f ?? ? ??? 的值为 A ． 1516 B ．2716- C ．8 9 D.18 15. 定义在R 上的函数()f x 满足 ()()()()()2,,12f x y f x f y xy x y R f +=++∈= 则()3f -等于（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D ． 9 16.下列函数中与函数y = 有相同定义域的是 （ ） A ．()ln f x x = B 。 ()1f x x = C 。 ()f x x = D 。 ()x f x e =

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高一数学必修1 函数及其表示练习题 1、判断下列对应:f A B →是否是从集合Ａ到集合Ｂ的函数： （１）{} ,0,:,:;A R B x R x f x x f A B ==∈>→→ （２）*,,:1,:.A N B N f x x f A B ==→-→ （３）{} 2 0,,:,:.A x R x B R f x x f A B =∈>=→→ 2、已知函数()()()3,10, ,85,10,x x f x x N f f f x x -≥??=∈=? +? ==-??????

(全面突破)高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 2.1函数及其表示学案

2.1函数及其表示 考情分析 1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法． 2．考查分段函数的简单应用． 3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．基础知识 1．函数的基本概念 1.符号:f A B →表示集合A到集合B的一个映射，它有以下特点： (1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同; (2)集合A中任何一个元素,在 f下在集合B中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C与B间关系是C B ?. 2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A和B都是非空数集. 函数三要素是指定义域、值域、对应法则. 同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同. 3.分段函数是指函数由n个不同部分组成,但是一个函数. 4.函数解析式求法: (1)已知函数类型,可设参,用待定系数法；（2）已知复合函数 [(()] f g x的表达式，求() f x可 用换元法；（3）配凑法与方程组法. 注意事项 1.求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法： ①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域； ②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域． 2.。(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性． 3.。函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f. 典型例题 题型一求函数的定义域 【例1】?求下列函数的定义域： (1)f(x)＝|x－2|－1 log2x－1 ；

函数及其表示练习题

1.2 函数及其表示 一、 选择题 1、函数()y f x =的图象与直线x m =的交点个数为（ ） A ．可能无数个 B ．只有一个 C ．至多一个 D ．至少一个 2、设{}{} M=22,02x x N y y -≤≤=≤≤，函数()f x 的定义域为M ，值域为N ，则 ()f x 的图象可以是（ ） 3、函数()x f x x =+ 的图象是如图中的（ ） A ． B ． C ． D ． 4、已知()f x 是一次函数且()()()()()22315,2011,f f f f f x -=--==则（ ） A ．32x + B ．32x - C ．23x + D ．23x - 5、设函数()()221,1 1,22,1x x f x f f x x x ???-≤=???+->??? 则的值为（ ） A ． 15 16 B ．2716 - C ． 89 D ．18 6、一个面积为2 100cm 的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它

的高y 表示成x 的函数为（ ） A ．()500y x x => B ．()1000y x x => C ．()50 0y x x = > D ．()100 0y x x = > 7、函数( )1 3 f x x = -的定义域为（ ） A ．[)(]22+∞-∞- ，， B ．[)()2,33+∞ ， C ．[)()(]2,332+∞-∞- ，， D ．(]2-∞-， 8、设()() ()()1,0,00,0x x f x x x π+>?? ==??

复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)第四章课后的习题答案

习题四 1. 复级数1 n n a ∞=∑与1 n n b ∞=∑都发散,则级数1 ()n n n a b ∞ =±∑和 1 n n n a b ∞ =∑发散.这个命题是否成立?为什 么? 答.不一定．反例: 2211111111 i ,i n n n n n n a b n n n n ∞∞∞∞ =====+=-+∑∑∑∑发散 但2 1 1 2()i n n n n a b n ∞ ∞ ==+=? ∑∑收敛 112()n n n n a b n ∞ ∞ ==-=∑∑发散 2411 11 [()]n n n n a b n n ∞∞ ===-+∑∑收敛. 2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛? (1)2111i n n n +∞ =+∑ (2)115i ( )2n n ∞=+∑ (3) π 1 e i n n n ∞=∑ (4) 1i ln n n n ∞ =∑ (5) 0 cosi 2n n n ∞=∑ 解 (1) 21111 1i 1(1)i 1(1)i n n n n n n n n n n +∞ ∞∞===++-?-==+?∑∑∑ 因为11n n ∞ =∑发散,所以21 1 1i n n n +∞ =+∑发散 (2)11 15i (22n n n n ∞ ∞ ==+=∑∑发散 又因为15i 15lim()lim(i)0222 n n n n →∞ →∞+=+≠ 所以1 15i ()2n n ∞ =+∑发散 (3) πi 1 1e 1 n n n n n ∞ ∞===∑ ∑发散,又因为π11 1 ππcos isin e 1ππ(cos isin )i n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ===+==+∑∑∑收敛,所以不绝对收敛.

1.2函数及其表示练习题及答案

1.2函数及其表示练习题 一．选择题 1 函数)2 3 (,32)(-≠+= x x cx x f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于（ ） A 3 B 3- C 33-或 D 35-或 2. 已知)0(1)]([,21)(2 2 ≠-=-=x x x x g f x x g ，那么)21(f 等于（ ） A 15 B 1 C 3 D 30 3． 函数2y =的值域是（ ） A [2,2]- B [1,2] C [0,2] D [] 4 已知2 211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ ） A 21x x + B 2 12x x +- C 212x x + D 2 1x x +- 5．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 ( ) (A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数 (C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数 6. 下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是 （ ） 7．已知二次函数)0()(2 >++=a a x x x f ，若0)(

A ．正数 B ．负数 C ．0 D ．符号与a 有关 8. 已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为 （ ） A ．)2,1[- B ．]1,1[- C ．)2,2(- D ．)2,2[- 9. 已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，将y 表示成x 的函数关系式 （ ） A ．x b c a c y --= B ．x c b a c y --= C ．x a c b c y --= D ．x a c c b y --= 10．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 （ ） A ．q p + B ．q p 23+ C ．q p 32+ D ．23q p + 11. （2010陕西文数）某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为 （A ）y ＝[ 10x ] （B ）y ＝[ 3 10x +] （C ）y ＝[4 10 x +] （D ）y ＝[5 10 x +] 12.（2009海口模拟）已知函数()()2113,f x x x =+≤≤则 A ．()()12202f x x x -=+≤≤ B ．()()12124f x x x -=-+≤≤ C ．()()12202f x x x -=-≤≤ D ．()()12104f x x x -=-≤≤ 13.（2009江西理）函数 ln 1x y += 的定义域为 A ．()4,1-- B ．4,1- C ．()1,1- D ．(1,1]- 14.（2008山东）设函数()2 21, 1, 2, 1,x x f x x x x ?-≤?=?+->??则 ()12f f ?? ? ??? 的值为 A ． 1516 B ．2716- C ．8 9 D.18 15.（2008陕西) 定义在R 上的函数()f x 满足 ()()()()()2,,12f x y f x f y xy x y R f +=++∈= 则()3f -等于（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D ．9 16.（ 2009福建）下列函数中与函数y = 有相同定义域的是 （ ） A ．()ln f x x = B 。 ()1f x x = C 。 ()f x x = D 。 ()x f x e =

复变函数习题集(1-4)

第一章 复数与复变函数 一、选择题： 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 32 1+ - （D ）i 2 12 3+ - 3．复数z -3(cos -isin )5 5 π π =的三角表示式为（ ） A ．44-3(cos isin )5 5 ππ＋ B ． 443(cos isin )55ππ－ C ． 443(cos isin )5 5 ππ＋ D ．44-3(cos isin )5 5 ππ－ 4．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 二、填空题 1．设) 2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线. 5．=+++→)21(lim 4 2 1z z i z 三.求方程z 3+8=0的所有复根. 第二章 解析函数 一、选择题：

高一数学教案：函数及其表示

第一课时： 1.2.1 函数的概念（一） 教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。 教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课： 1.教学函数模型思想及函数概念： ①给出三个实例： A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-. B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图） C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表） ②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？ 归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B → ③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.

高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)

函数及其表示 （一）知识梳理 1．映射的概念 设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x). 2．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成 值域。 (3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则 3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 （1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； （2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 4．分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 （二）考点分析 考点1：判断两函数是否为同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。 考点2：求函数解析式 方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 一、选择题 1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ C ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f . A. ⑴、⑵ B. ⑵、⑶ C. ⑷ D. ⑶、⑸

复变函数课后习题答案(全)

习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=--（3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=--

2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2 ）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+ （4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+--

复变函数第四章学习方法导学

第四章级数 复级数也是研究解析函数的一种重要的工具，实际上，解析函数的许多重要性质，还需要借助适当的级数才能得到比较好的解决。例如，解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性、解析函数在其孤立奇点去心邻域内的取值特点等等。 根据所研究的解析函数所涉及的问题的需要，在本章中，我们重点介绍两类特殊的复函数项级数，一类是幂级数，通常考虑函数在其解析的区域内的整体性质或函数在其解析点邻域内的性质时，用这类级数；另一类是洛朗级数，通常考虑函数在其孤立奇点附近的有关性质时，用这类级数． 本章，我们主要介绍以下内容： 首先，平行介绍复数项级数和复函数项级数一般理论． 其次，作为函数项级数的特例，我们平行介绍形式简单且在实际中的应用广泛的幂级数，并建立如何将圆形区域内解析的函数表示成幂级数的方法，以及如何利用这种方法来研究解析函数的有关良好的性质（比如：解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性以及作为解析函数基本理论之一的最大模原理等）．第三，进一步介绍由正、负整数次幂项构成的形式幂级数(也称为洛朗级数或双 <-<（0r≤，边幂级数）的概念及其性质，并建立(挖去奇点a的)圆环形区域r z a R R≤+∞）内解析函数的级数表示（即解析函数在圆环形区域内的洛朗展式），然后再用洛朗展式作为工具研究解析函数在其孤立奇点附近的性质．作为解析函数孤立奇点性质的应用，再简要介绍复变函数的进一步研究中经常涉及到的两类重要的函数，即整函数与亚纯函数及其简单分类． 一、学习的基本要求

1．能正确理解复级数收敛和发散以及绝对收敛等概念．掌握复级数收敛的必要条件和充要条件，特别是复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系，并能熟练地运用这种关系来讨论复级数的有关问题以及利用复级数来讨论实级数的有关问题（比如：利用复级数的和求实级数的和的问题等）． 2．了解复级数绝对收敛与条件收敛，掌握收敛以及绝对收敛级数的若干性质（比如收敛级数的线性性、添项减项性和添加括号性；绝对收敛级数的项的重排性、乘积性等；二次求和的可交换性，即在 ,1 1 ()n m n m A ∞∞ ==∑∑，,1 1 ()n m m n A ∞∞ ==∑∑以及 ,,1 n m n m A ∞ =∑ 都收敛的条件下，有 ,,1 1 1 1 ()()n m n m n m m n A A ∞∞ ∞∞ =====∑∑∑∑ 成立）． 3．了解复函数项级数收敛、一致收敛和内闭（紧）一致收敛的含义，掌握一致收敛的柯西准则和魏尔斯特拉斯判别法，并能熟练运用此判别法判断复函数项级数的一致或内闭一致收敛，掌握一致或内闭一致收敛的函数项级数和函数的连续性、逐项积分性以及解析函数项级数和函数的解析性、逐项求任意阶导数性． 4．熟练掌握幂级数收敛半径的两种计算方法： 记00()()n n n f z a z z ∞ ==-∑，l =1z 是()f z 的不解析点中距0z 最近的点，

高中数学函数及其表示典型经典例题精讲精练

函数及其表示 考点一 求定义域的几种情况 ①若ｆ（x)是整式，则函数的定义域是实数集Ｒ； ②若ｆ（x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于０的实数集合； ④若ｆ(ｘ)是对数函数,真数应大于零。 ⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。 ⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑦若f(x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 考点二 映射个数公式 C ａrd(A)=m ，card(B)=ｎ, m,n ∈N * ，则从A 到B 的映射个数为 n m 。简单说成“前指后底”。 方法技巧清单 方法一 函数定义域的求法 2.（2００9江西卷理)函数 2 34 y x x = --+的定义域为? ?? ( ) Ａ．(4,1)-- B ．(4,1)- C.(1,1)- Ｄ.(1,1]- 解析 由2 10 1 1141 340x x x x x x +>>-????-<??.故选C ５.求下列函数的定义域。①y= 22+?-x x .②ｙ＝ () x x x -+12 .③y= x x -+-11 6.已知函数f(x)的定义域为(),51，求函数F （x)=f(3ｘ-1)-ｆ（3ｘ+1)的定义域。 1. 下列各组函数中表示同一函数的是（ )A.y=5 5 x 和 x y 2 = B ．y ＝ｌn e x 和 e x y ln = Ｃ. ()()() ()3131+=-+-= x y x x x y 和 D. x x y y 0 1 = = 和 ２．函数y=f(ｘ)的图像与直线x ＝２的公共点个数为 A. 0个Ｂ． 1个 Ｃ. ０个或1个 D. 不能确定 ３．已知函数y= 22 -x 定义域为{}2,1.0,1-，则其值域为 方法三 分段函数的考察 ⅰ 求分段函数的定义域和值域 ２ｘ+２ x []0,1-∈ 1求函数f(ｘ)= x 2 1- ｘ()2,0∈ 的定义域和值域 3 x [)+∞∈ ,2

函数及其表示 精品教案

1.2 函数及其表示 [课标、大纲、考纲内容]： 函数的表示是本节的主要内容之一，学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的是用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识，教材从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法。函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念，结合信息技术的使用，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合的思想方法。 1、重点：使学生在已有认识的基础上，学会用集合与对应的语言刻画函数概念，认识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。 2、难点：对函数概念的整体性认识，对函数符号的理解。

第1课时 1.2.函数及其表示 【学习目标】 1、通过丰富的实例，使学生进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型 2、学习用集合语言刻画函数 3、理解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域并能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域。 4、使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。 【教学重难点】 1. 教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念 2. 教学难点：函数的概念及符号y=f(x)的理解 【教学过程设计】 (一）、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； (二)、教学过程 一、情境引入：函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题通过多教材上三个例子的研究，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 二、合作交流 1．用集合语言刻画函数关键词语有哪些？ 2．明确函数的三要素：定义域、值域、解析式 注意：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思

知识讲解-函数及其表示方法-基础

函数及其表示方法 编稿：丁会敏审稿：王静伟 【学习目标】 (1)会用集合与对应的语言刻画函数，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用. (2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. (3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用． 【要点梳理】 要点一、函数的概念 1．函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数. 记作：y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 要点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 区间表示： <<= {x|a≤x≤b}=[a，b]； x a x b a b {|}(,); (] x a x b a b ≤<=； {|}, x a x b a b {|}, <≤=；[) (][) x x b b x a x a ≤=∞≤=+∞. {|}-,; {|}, 要点二、函数的表示法 1．函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 要点三、映射与函数 1.映射定义： 设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B. 象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a

复变函数习题答案第4章习题详解

第四章习题详解 1．下列数列a是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： n 1)a n 1 1 ni mi ； 2) a n n i 1； 2 3)a i n n1； n1 4) ni 2 a n e； 1ni a n e。 n 5)2 0,a1 2．证明：lim n a n 1 , , a a1 1 不存在，a1,a1 3．判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：n i 1) ；n n1 n i 2) ；ln n n2 3) 65i n 08 n；

4) n cos 02 n in 。 4．下列说法是否正确？为什么？ 1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； 1

2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3)每一个在z连续的函数一定可以在z 0的邻域内展开成泰勒级数。 5．幂级数 n c能否在z0收敛而在z3发散？ n z2 n0 6．求下列幂级数的收敛半径： 1) n1 n z p n （p为正整数）； 2 n! n 2)z ； n nn1 3) 1 n n iz； n0 4) i n ez； n n1 5) n1 i n chz1； n nz 6) 。ln in n1 7．如果 n c n z的收敛半径为R，证明 n Re的收敛半径R。[提示： c n z n n Re c n zcz] n n0n0 8．证明：如果 c n1 lim存在，下列三个幂级数有相同的收敛半径 nc n n c n z； c n1z n1 n1 ； n1 nc n z。

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9．设级数c收敛，而 n c发散，证明 n n c n z的收敛半径为1。 n0n0n0 10．如果级数 n c n z在它的收敛圆的圆周上一点z0处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收n0 敛。 11．把下列各函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径： 1) 11 3 z ； 2) 11 z 22 ； 3) 2 cos z； 4)shz； 5)chz； 6)e 2 z sin； 2 z z 7) z1 e； 8) 1 sin。 1z 12．求下列各函数在指定点z处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半 径： 1) z z 1 1 ，z1； 2) z z 1z2 ，z2； 3