解斜三角形1
解斜三角形
例1、在ABC ?中，根据下列条件，解三角形。
⑴ 已知,2=b ?=?=75,60C A ，求ABC S a ?,。
⑵ 已知?===30,2,32C c a ，求b A ,。
⑶ 已知?===60,7,8B b a ，求ABC S c ?,。
⑷ 已知7,2,1===c b a ，求ABC S C ?,。
例2、根据下列条件，判断三角形的形状。
⑴ 在ABC ?中，B b A a cos cos =。
⑵ 在ABC ?中，C a b B a c cos ,cos ==。
⑶ 在ABC ?中，A tgB B tgA 22sin sin ?=?。
例3、⑴ 在ABC ?中，已知 1=a , 3,3==
∠?ABC S B π，求tgC 。
⑵ 在ABC ?中，?=∠60A ，b =1, 3=?S ,求
C B A c b a sin sin sin ++++的值。
例4、⑴ 在ABC ?中，若A ∶B ∶C =1∶2∶3，求a ∶b ∶c 。
⑵ 在ABC ?中，已知3
12,212==C tg A tg ，求B sin 。
*例5、在△ABC 中，223,4n m c mn b +==，其中?=>>120,03C n m ，求边长a 及ABC S ?
*例6、水渠横断面为等腰梯形（如图），渠深为h ，梯形面积为S （h 、s 均为定值）。为了使渠道渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底边长之和为最小（即水渠的湿周最小），此时腰与下底夹角α应为多少？
*例7、如图所示，四边形ABCD 中，AB =3，BC =CD =AD =1
设S 为△ABD 的面积，T 为△BCD 的面积， 试求：
(1)22T S +的取值范围；
(2)当22T S +为最大时，△ABD 是怎样的三角形？
练习
1、在ABC ?中，根据下列条件，解三角形。
⑴ 已知?=?==45,30,2B A a ，求ABC S b ?,。
⑵ 已知?===60,3,1C b a ，求A c ,。
⑶ 已知?===60,4,6A b a ，求c B ,。
2、在ABC ?中，A sin ∶B sin ∶C sin =2∶6∶()13+，求出这个三角形的三个内角。
3、在ABC ?中，三边长为连续自然数，且最大角为钝角，求这个三角形三边的长。
4、在ABC ?中，AB =1，BC =2，求角C 的范围。
5、如图所示，隔河看到两目标A 、B ，但不能到达， 在岸边选取相距3千米的C 、D 点，并测得∠ACB=75°，
,30,45?=∠?=∠=∠ADC ADB BCD D C B A ,,,在同一平面内。
求两目标B A ,之间的距离。
6、某观察站C 在A 城的南偏西?
20方向，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东?40，由C 处测得距C 为31千米的公路上B 处，有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后达到D 处，此时CD 间距离为21千米，问这个人还要走多少千米才能到达A 城？
A
7、在ABC ?中，已知AB =,30,26?=∠-C 求BC AC +的最大值。
8、方程设A 、B 、C 为三角形的三个内角，且
0)sin (sin )sin (sin )sin (sin 2=-+-+-C B x A C x B A 有两个相等的实数根，
求证：?≤60B 。
9、在△ABC 中，已知：5,4=+=c b a ，AtgB tg tgB tgA ?=++33，求△ABC 的面积。
10、选择题
⑴ 三角形的三边边长的比为3∶5∶7，则该三角形的最大角是------------（ ）
(A ) 60° (B ) 80° (C ) 90° (D ) 120°
⑵ 已知ABC ?的三个内角A 、B 、C 与对应边a 、b 、c 满足方程
)cos (sin )cos (sin C a b C B a c B -=-，则此三角形的形状是--------------------（ ）
(A )直角三角形；(B )等腰直角三角形；(C )等腰三角形；(D )等腰或直角三角形。 ⑶ 在ABC ?中，B A ∠>∠是B A 22cos cos <的-----------------------------------（ ）
(A ) 充要条件；(B )充分非必要条件；(C )必要非充分条件；(D )非充分非必要条件。 ⑷ 在ABC ?中，三边的长度分别是c b a ,,，若a c b <+，
则△ABC 的形状是---------------------------------------------------------------------（ ）
(A ) 直角三角形；(B )钝角三角形；(C )锐角三角形；(D )直角三角形或锐角三角形 。 ⑸ 在ABC ?中，已知2222c b a =+,则∠C 的取值范围是-----------------------（ ）
(A ) ]4,0[π；(B ) ]3,0(π；(C )]2,0[π ；(D ) ]3
2,0[π。
高中数学三角函数、解三角形知识点
三角函数、解三角形 1.弧长公式：r l α= 扇形面积公式：22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式： 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 商数关系：sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式（把角写成απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如： x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径） 8.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ，2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=．
解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 2）化边为角： C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 解斜三角形应用举例（一） ●教学目标 （一）知识目标 1.实际应用问题中的专用名词； 2.解斜三角形问题的类型. （二）能力目标 1.会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法； 2.搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系； 3.理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等； 4.通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力. （三）德育目标 通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用. ●教学重点 1.实际问题向数学问题的转化； 2.解斜三角形的方法. ●教学难点 实际问题向数学问题转化思路的确定. ●教学方法 启发式 在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理. ●教具准备 投影仪、三角板、幻灯片 第一张：例1、例2（记作§5.10.1 A） ［例1］自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1．95 m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1．40 m，计算BC的长（保留三个有效数字）. ［例2］某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile／h的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间. 第二张：例3、例4（记作§5.10.1 B） ［例3］用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度. ［例4］如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值. 三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin === （R 为外接圆半径） 公式的变形:______________________ ______________ _________________ （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 第一章解三角形 .正弦定理: 2）化边为角： a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 ）化边为角： a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 ）化角为边: sin A sin B a ； sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 ）化角为边：si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ① 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中，已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时，B 无解； ② a bsinA 或a b 时，B 有一个解; ③ bsinA a b 时，B 有两个解。 如：①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B （有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径， 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形：1） a b c a sin sin si sin 2R （其中R 是三角形外接圆的半径） b c sin sinC c 2R 沁；求出 sin C 1.正弦定理：在一个三角形中, bsin A 实用标准 —tanC。 例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6 解三角形知识点小结 ；sin(A B) sinC ； cos(A B) cosC a b c —2 —则 S 「p(p a)(p b)(p c) 在三角形中大边对大角，反之亦然 2.正弦定理：在一个三角形中 ，各边和它的所对角的正弦的比相等 3?余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 两倍.. 形式一： 2 a b 2 c 2 2bccosA ■ b 2 2 c 2 a 2cacosB （遇见二次想余弦） 2 c 2 a b 2 2abcosC 形式二： cos A b 2 2 2 2 2,2 2 . 2 c a a c b 小 abc cos B cosC - 2bc , 2ac , 2ab 、知识梳理 1.内角和定理: A B （ y COSX 在（0,）上单调递减） S ABC 面积公式： 1 1 1 absi nC bcsi nA acs in B 2 2 2 sin A sin B A B cos A cos B 、方法归纳 在 ABC 中，ABC 形式一: a b sin A sin B c sin C 2R （解三角形的重要工 具） 形式二: 2Rsin A 2Rsin B 2Rs inC （边化正弦） 形式三: a :b : c sin A:sin B:sinC （比的性质） 形式四: sinA 2R,sinB B,sinC 2R c 2R （正弦化 边） 【例5】(2011山东文数)在 ABC 中，内角A ，B, C 的对边分别为 a,b, c .已知 cosA-2cos C 2c-a cosB ⑴已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=n 及sin A sinB sinC ，可求出角c,再求b 、c. (2 )已知两边及一角，用余弦定理。 (3 )已知三边，用余弦定理。 (4)求角度，用余弦。 三、经典例题 问题一：利用正弦定理解三角形 1 【例1】在 ABC 中，若b 5， B , si nA —，则a . 4 3 ------------------- 【例2】在厶ABC 中，已知a= . 3 ,b= .2 ,B=45 ° ,求A 、C 和c. 问题二：利用余弦定理解三角形 1 【例3】设 ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知a 1，b 2，cosC -. 4 (I)求 ABC 的周长，(n)求cos A C 的值. 【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式: 2sin(A -)sin(B C -) (I )求sinA 的值；(n )求 4 L 的值. 1 cos2A 若条件改为：3sin 2 B 3sin 2C 3sin 2A 4. 2sin BsinC ? (1)求角B 的大小；(2)若b= J3，a+c=4，求厶ABC 的面积. 问题三：正弦定理余弦定理综合应用 令 sin sin cos cos sin sin 2 2sin cos 令 cos cos cos msin sin cos2 cos 2 sin 2 , tan tan tan 1 mta n tan c 2 2cos 2 1+cos2 cos = 2 2sin .2 1 cos 2 sin = 2 tan 2 2 tan 1 tan 2 【例4】(2010重庆文数)设 ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为 a 、b 、c,且 3b 2 +3 c 2 -3 a ?=4 2 bc . 2 .在厶 ABC 中, a 、b 、c 分别是角A, B ，C 的对边，且 cos B = b cosC 2a c 1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终 边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符 （2）商数关 系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦） （1）平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin : 第一章 解三角形 1、正弦定理： 在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a 注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理： 在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状： 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用： 如图所示：隔河看两目标A 、B, C 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O , 解斜三角形 一、基本知识 1. 正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 是△AB C 外接圆半径） 2.余弦定理 A bc c b a cos 22 2 2 -+= B ac c a b cos 22 2 2 -+= C ab b a c cos 22 2 2 -+= bc a c b A 2cos 2 22-+= ac b c a B 2cos 2 22-+= ab c b a C 2cos 2 22-+= 3. C ab S ABC sin 21 =? r c b a S ABC )(2 1 ++=?（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论 （1） C B A sin )sin(=+ C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+ （2） 2cos 2sin C B A =+ 2 sin 2cos C B A =+ （3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ?? 5. 考题分类 题型一: 求解斜三角形中的基本元素 题型二：判断三角形的形状 题型三：解决与面积有关问题 题型四：三角形中求值问题 题型五：实际应用 二、例题解析 【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 222 2B b a C A -=-外接圆半径为2，求 角C 。 分析： 由,sin )()sin (sin 222 2B b a C A -=-得 R b b a R c R a 2)()44(222222-=- 由于，2= R ，代入并整理，得 ab c b a =-+2 2 2 所以，2 1 22cos 222==-+= ab ab ab c b a C 所以，3 π =C 。 【例2】设ABC ?的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4 a b C === （Ⅰ）求ABC ?的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力 解析：（Ⅰ）∵44 1 441cos 22 2 2 =?-+=-+=C ab b a c ∴2=c ∴ABC ?的周长为5221=++=++c b a . （Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 2 2 =?? ? ??-=-=C C ， ∴8 15 2415 sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角， ∴878151sin 1cos 2 2 =??? ? ??-=-=A A 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是 0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =， () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系： sin tan cos α αα= （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成α π±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin( 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 解斜三角形应用举例三 实习作业 一、实际问题： （一）测量底部不能到达的某物体的高度 问题1：试设计一种方案，测量一山顶上的电视塔的顶部与地面的距离。 问题2：测量如图所示小河两岸,A B 两点之间的距离。 （二）测量都不能到达的两点之间的距离 问题3：如图，在河对岸可以看到两个目标物,M N 但不能到达，试设计一种方案，测量M ， N 之间的的距离。 （1）提示小题：如图，在河对岸可以看到两个目标物,M N ，但不能到达。在河岸边选取相距 40米的,P Q 两点，并测得75MPN ∠= ，45NPQ ∠= ，30MQP ∠= ，45MQN ∠= ， 试求两个目标物,M N 之间的距离。 A B ? ? M N ? ? 地面 M P Q M N （2）一般地：如图，在河对岸可以看到两个目标物,M N ，但不能到达，在河岸边选取相距40 米的,P Q 两点，并测得,,,MPN NPQ MQP MQN βαγδ∠=∠=∠=∠=，试求两个目标物,M N 之间的距离。 （三）测量河宽 问题4：如图，在河的一岸边选定A 和B 两点，望对岸的标记物C 测得：45CAB ∠= ， 75CBA ∠= ，120AB =米，求河宽。 二、作业： 1．如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角5440α'= ，在塔底C 处测得点A 的俯角501β'= ，已知铁塔BC 部分高27.3米，求山高CD （精确到1米）。 2．飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250米，速度为180 千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为1830' ，经过960秒后又看到山顶的俯角为81 ，求 山顶的海拔高度。 A B C 45 75 第11章 解三角形 课时1 §11.1正弦定理(一) 教学目标 掌握正弦定理的推导过程,并利用正弦定理，解决以下两类解斜三角形的问题： （１）已知两角与任一边，求其他两边和一角； （２）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）． 教学重点 三角形的各边和它所对角的正弦之比相等，即正弦定理（ｓｉｎｅｔｈｅｏｒｅｍ）： C c B b A a sin sin sin = = 教学难点 已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角时解的个数的讨论. 教学过程: 通过下面的途径尝试证明正弦定理： （１）转化为直角三角形中的边角关系； （２）建立直角坐标系，利用三角函数的定义； （３）通过三角形的外接圆，将任意三角形问题转化为直角三角形问题； （４）利用向量的投影或向量的数量积（产生三角函数）． 举一反三 1. 在 中，三个内角之比 ，那么相对应的三边之比等于 （ ）．A ． B ． C ． D ． 2. 在△ABC 中，B=1350，C=150，a=5，则此三角形的最大边长为 . 3.在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ． 举一反三 1.、 不确定 二解 一解 无解 是 （ ），此三角形的解的情况，中，在D .C .B .A 45A ,32b 22a ABC 0 ===? 2、根据下列情况，解三角形时，有两组解的是 （ ） A. A ＝300，c ＝20 a=10 B. A ＝300，c ＝20 a=28 C. A ＝300，c ＝20 a=12 D. A ＝300，c ＝20 a=3 11 欢迎阅读 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 第 7 课时 课题：解斜三角形 【教学目标】 （1）掌握正余弦定理的应用； （2）掌握解三角形的题型。 【教学重难点】理解并熟练掌握正余弦定理、应用题型 【知识点归纳】 一、正弦定理 1、三角形面积公式： S= 21ab sinC=21bc sinA=2 1 ac sinB 2、正弦定理 A a sin = B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 的外接圆的直径） 3、 正弦定理的几种常见变形应用 （1）a sinB=b sinA ，b sinC=c sinB ，a sinC=c sinA ； （2）a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ； （3）sinA= R a 2，sinB=R b 2，sinC=R c 2； （4）a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC 【例题精讲】 【例1】已知ABC ?中，24,34,600 ===b a A ，求c C B ,,. 【练习】已知在ABC ?中，,5,8,300 ===a c A 求b 、、B C （结果保留两位小数）. 【例2】已知ABC ?中，4 1 = S ,外接圆半径1=R ,求.abc 【练习】已知ABC ?中，C B A 2 22sin 3sin 3sin 2+=,1)cos(3cos 32cos =-++C B A A ,求.::c b a 【基础练习】 1．在△ABC 中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b= 。 2．已知在△ABC 中，c=10，A=45°，C=30°，求a 、b 和B 。 3．在△ABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A ，C 和c 的长。 二、余弦定理 1、a 2 =b 2 +c 2 ﹣2bc cosA ， b 2 =c 2 +a 2 ﹣2ac cosB ， c 2 =a 2 +b 2 ﹣2ab cosC 2、 余弦定理的变形公式 cosA=bc a c b 2222-+，cosB=ca b a c 2222-+，cosC=ab c b a 22 22-+ 【例题精讲】 【例3】已知在ABC ?中，26,45,320 += ==c B a ，求.C A b 、、 正弦定理、余弦定理和解斜三角形 1、 正弦定理推导 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1.1-2， 在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =， sin b B c =， 又 sin 1c C c == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C = = C a B 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图 1.1-3，当 ?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有 CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而sin sin a b A B = sin c C = A D B (图1.1-3) 证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 21 sin 21sin 21== 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C c sin 证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD D a A a 2sin sin === (R 为外接圆的半径) 同理 B b sin =2R ，C c sin ＝2R 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 从上面的研究过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C = (1) 理解定理 (1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使 sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
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