24.1.2垂直于弦的直径 教学设计

公开课教案

讲解新课:

1

、证明猜想

⑴提问: 什么是猜想的题设？

什么是猜想的结论？

⑵要求学生根据“猜想”的题设和结论说出已知和求证.

⑶用大屏幕打出证明过程.

结合证明过程提问:

(1)证明利用了圆的什么性质?

(2)证明CE＝DE还有其它方法吗?

教师小结:通过证明,我们知道猜想是正确的,因此我们可以把

它叫做“垂径定理”.

2、垂径定理

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的

﹤2﹥﹤1﹥﹤3﹥﹤4﹥﹤5﹥

两条弧.（优弧、劣弧）

为运用方便,将原定理叙述为:⑴过圆心；⑵垂直于弦；⑶平分

弦⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧.

练习1

⑴若AB为⊙Ｏ的直径,

CD⊥AB于E ,

⑵在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段或的圆弧.

3、例题讲解

例1已知:如图,在⊙Ｏ中,弦AB的长为8㎝,圆心O到AB的距离

为3㎝.

求:⊙Ｏ的半径.（学生回答,教师板书过程）

学生积极思考作答。

积极观察、思考，得

出新的证明方法。

引导学生剖析定理的

条件，结论，有利于

学生的深刻理解和全

面把握。

巩固定理的条件和结

论。

教 学 过 程

学 生 活 动

解:连结OA,作OE ⊥AB,垂足为 E. ∵OE ⊥AB, ∴AE=EB. ∵AB=8 ㎝ ,∴AE=4㎝. 又∵OE=3 ㎝ , 在Rt △AOE 中,

()cm AE OE OA 5432222=+=+=

∴⊙Ｏ的半径为5㎝.

教师强调:从例1可以看出“弦心距”是一条很重要的辅助线,弦心距的作用就是平分弦,平分弦所对的弧,它和直径一样. 练习2

⑴半径为5 ㎝的⊙Ｏ中,弦AB=6 ㎝,那么圆心O 到弦AB 的距离是 ；

⑵⊙Ｏ的直径为10㎝,圆心O 到弦AB 的距离为3 ㎝,那么弦AB 的长是 ；

⑶半径为2㎝的圆中,过半径的中点且垂直于这条半径的弦长是 .

例2①已知:在以O 为圆心 的两个同心圆中,大圆的

直径AB 交小圆于C 、D 两点. 求证:AC=BD.

例2②已知:在以O 为圆心的 两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点. 求证:AC=BD.

课堂小结

⑴垂径定理相当于说一条直线如果具备:⑴过圆心；⑵垂直于弦；则它有以下的性质:⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧.

⑵在圆中解决有关于弦的问题时,经常是过圆心作弦的垂线段（弦心距）,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件.

作业:

① 证明垂径定理（用等腰三角形三线合一性质证明） 书中P88 3 P89 4 ② 目标P90.

学生口述证明过程，教师板书。

引导学生总结出圆的一条重要辅助线。

巩固定理内容。

通过例题的变式，分层教学，使学生达到不同的目标。

设计说明

一、教材处理

“垂径定理”是圆的重要性质，为证明线段相等和进行圆的有关计算提供了方法和依据。由于定理的证明所采用的推理方法学生比较生疏，不易理解，故在讲课时首先复习轴对称图形，根据小学学习“圆的认识”结合轴对称的定义，学生易作出判断：圆是轴对称图形，并且经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。这既是圆的性质，也可用作论证的基础。

定理的得出，采用学生自己动手，动口，动脑，教师引导，注意抓住关键，突破难点，然后通过对定理的分析与强调使学生理解定理的实质。

两个例题属计算、证明两种类型，但解题方法有相同之处，因此，把例２作为例１的延伸，将它们组合在一起，比较自然。练习分两段插入，促进目标达成。

二、教法的设计

1、符合学生的认识规律

“垂径定理”的引入与证明，充分利用教具，并运用“实验——观察——猜想——验证”的思想方法逐步由感性到理性的认识定理，这样安排符合学生的认知规律，揭示了知识的发生、发展过程。也符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点。

2、体现学生的主体地位

在教学的过程中始终体现着“以学生为主体，教师为主导”的原则，通过学生自己的

动手、观察、分析和推理获得新知识。讲练结合，适时点拨，充分调动学生思维。

另外，注重引导学生阅读课本，巩固、总结，给以学法指导。最后给出思考和变式，

引导学生思维向更深更广发展，以培养学生良好的思维品质，并为以后的学习作好铺垫。

X

24.1.2垂直于弦的直径

24.1.2 垂直于弦的直径 教学设计 岫岩满族自治县 雅河中学关良壬

24.1.2垂直于弦的直径教学设计 岫岩雅河中学关良壬 教材分析 本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。 学情分析 本节课实际是圆的计算在八年级下册第十八章勾股定理的基础上加上新知识圆的内容所以上课前先要了解学生对勾股定理的掌握情况。 教学目标 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——作弦心距。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。 3．情感目标：①通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质； ②培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获 得成功的体验。 教学重点垂径定理及其应用。 教学难点垂径定理的语言表述。 教学方法探究发现法。 教具准备圆形纸片、电脑、三角板、圆规。 教学设计 一、教学活动设计：

人教版九年级上册数学学案：24.1.2垂直于弦的直径

24.1.2垂直于弦的直径 一、学习目标： 1. 探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质。 2. 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。 二、学习重点、难点： 1. 重点：垂直于弦的直径所具有的性质以及证明。 2. 难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。 三、学习过程： （一）自主学习： 阅读课本Ｐ81---P83思考下列问题： 1、圆是________图形，其对称轴是____________________的直线。说说你是怎么知道的？答： ２、请同学按下面要求完成下题： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M． （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． 答： 这样，我们就得到垂径定理：。 下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M 求证：AM=BM，AC=BC，AD=BD. 证明： 因此，我们还可以得到推论：。（二）．例题精析： 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400多年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，请你求出赵州桥主桥拱的半径。（结果保留小数点后一位）

（三）达标训练： 1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（）．A．CE=DE B．BC = BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD (图1) (图2) (图3) 2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8 3．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（） A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm 4．如图所示，两个同心圆O，大圆的弦AB交小圆于C、D. 求证：BD AC 5．巩固练习（教材P83练习） 回味反思：谈谈本节课你有哪些收获？ B A O M C E D O

第三章《圆》导学案

3.1 圆的对称性（1） 一、学习目标 1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程 2、掌握垂径定理 3、会运用垂径定理解决有关问题 重点：垂径定理及应用难点：垂径定理的应用 二、知识准备： 1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做_________，这条直线叫做______。 2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。 三、学习内容：（阅读课本68-75，完成学案上的内容） 1、“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？ 结论：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 练习：1、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。 2、将第二个图中的直径AB 改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？ 探索活动：1、如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ，将圆形纸片沿AB 对折，你发现了什么？ 2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明） 3、得出垂径定理： 4、注意：①条件中的“弦”可以是直径； ②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。 5、给出几何语言 B

O F E D C B A A B F M D O 例1、如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ，AC 与BD 相等吗？为什么？ 例 2 如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3。 ⑴求⊙O 的半径； ⑵若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。 四、知识梳理： 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 2、垂径定理的推论，如：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦， 且平分弦所对的弧等。 五、达标检测： 1、 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则 2、已知，如图 ，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点AEC =45°,则 CD 的长为 。 3. 如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ．则有_____= ， ____= ． T3 T4 T5 T6 4.过⊙O 内一点P 作一条弦AB ，使P 为AB 的中点. 5.⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM. 6.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半为 ． 7.⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___ 8.圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 CM 9.在半径为5的圆中,弦AB ∥CD,AB=6,CD=8,则AB 和CD 的距离为 . 10. 一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求： ⑴桥拱半径⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米， 求水面涨高了多少？ O A B P O P B M O A C D P A O C D B O A B

垂直于弦的直径

垂直于弦的直径 ------垂径定理 【教学内容】垂径定理 【教学目标】 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的证明。

【教学方法】探究发现法。 【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。 【教学设计】 一复习提问 1 放映幻灯片，请同学们观察几幅图片，看他们有什么共同特点？ 2那么圆具有这样的特点吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流． 3（老师点评）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径， 我能找到无数多条直径． 4板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 二、实例导入，激疑引趣 1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400

多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离， 也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少？ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。（图1幻灯片放映） 三、尝试诱导，发现定理 （一）学生活动 1让学生将准备好的一张圆形纸片按下列条件操作；教师用电脑演示重叠的过程。 如图，ab是⊙o的一条弦，做直径cd，使cd⊥ab，垂足为e．2教师用电脑演示重叠的过程。 提问：（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由． ⌒ ⌒

垂直于弦的直径知识点总结

24.1.2 垂直于弦的直径 【知能点分类训练】 知能点1 圆的对称性 1．圆是轴对称图形，它的对称轴是_______，圆还是中心对称图形，它的对称中心是_______． 2．两个同心圆的对称轴（）． A．仅有1条 B．仅有2条 C．有无数条 D．仅有有限条 3．如图所示，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （3）①在图中，连接OA，OB，则△OAB是等腰三角形，那 么直径CD既是⊙O 的________，又是△OAB的 ________． ②把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重 合，点A与点B重合，AE与____?重合，AC与______重 合，AD与_____重合． ③同理可得到AE_____BE，AC=_______，AD=________． 知能点2 垂直于弦的直径 4．如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）． A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．BC BD 5．如图所示，在⊙O中，OD⊥AB于P，AP=4cm，PD=2cm，则OP的长等于（）．

A．9cm B．6cm C．3cm D．1cm 6．在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD平分AB于E，OE=3cm，AB=8cm，则⊙O 的半径为________． 7．在⊙O中，直径AB垂直于弦CD于E，∠COD=100°，则∠COE=_______． 8．如图所示，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，当______时，CD ⊥AB．（填写一个你认为适当的条件） 9．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA?为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，求AB，AD的长． 10．如图所示，在⊙O中，AB，CD为两条弦，且AB∥CD，直径MN经过AB中点E，交 吗？ CD于F，试问：（1）点F是CD的中点吗？（2）AC BD 【综合应用提高】 11．如图所示，圆弧形桥拱的跨度AB=12m，拱高CD=4m，则拱桥的直径为（）．A．6.5m B．9m C．13m D．15m (第11题) (第12题) 12．如图，在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽AB=8m，?那么油的最大深度是_________． 13．如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧，即图中CD，点O是CD?的圆心，CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD于F，EF=90m，则这段弯路的半径是多少？

24.1.2垂直于弦的直径 教学设计

公开课教案

讲解新课: 1 、证明猜想 ⑴提问: 什么是猜想的题设？ 什么是猜想的结论？ ⑵要求学生根据“猜想”的题设和结论说出已知和求证. ⑶用大屏幕打出证明过程. 结合证明过程提问: (1)证明利用了圆的什么性质? (2)证明CE＝DE还有其它方法吗? 教师小结:通过证明,我们知道猜想是正确的,因此我们可以把 它叫做“垂径定理”. 2、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的 ﹤2﹥﹤1﹥﹤3﹥﹤4﹥﹤5﹥ 两条弧.（优弧、劣弧） 为运用方便,将原定理叙述为:⑴过圆心；⑵垂直于弦；⑶平分 弦⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧. 练习1 ⑴若AB为⊙Ｏ的直径, CD⊥AB于E , ⑵在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段或的圆弧. 3、例题讲解 例1已知:如图,在⊙Ｏ中,弦AB的长为8㎝,圆心O到AB的距离 为3㎝. 求:⊙Ｏ的半径.（学生回答,教师板书过程） 学生积极思考作答。 积极观察、思考，得 出新的证明方法。 引导学生剖析定理的 条件，结论，有利于 学生的深刻理解和全 面把握。 巩固定理的条件和结 论。

教 学 过 程 学 生 活 动 解:连结OA,作OE ⊥AB,垂足为 E. ∵OE ⊥AB, ∴AE=EB. ∵AB=8 ㎝ ,∴AE=4㎝. 又∵OE=3 ㎝ , 在Rt △AOE 中, ()cm AE OE OA 5432222=+=+= ∴⊙Ｏ的半径为5㎝. 教师强调:从例1可以看出“弦心距”是一条很重要的辅助线,弦心距的作用就是平分弦,平分弦所对的弧,它和直径一样. 练习2 ⑴半径为5 ㎝的⊙Ｏ中,弦AB=6 ㎝,那么圆心O 到弦AB 的距离是 ； ⑵⊙Ｏ的直径为10㎝,圆心O 到弦AB 的距离为3 ㎝,那么弦AB 的长是 ； ⑶半径为2㎝的圆中,过半径的中点且垂直于这条半径的弦长是 . 例2①已知:在以O 为圆心 的两个同心圆中,大圆的 直径AB 交小圆于C 、D 两点. 求证:AC=BD. 例2②已知:在以O 为圆心的 两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点. 求证:AC=BD. 课堂小结 ⑴垂径定理相当于说一条直线如果具备:⑴过圆心；⑵垂直于弦；则它有以下的性质:⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧. ⑵在圆中解决有关于弦的问题时,经常是过圆心作弦的垂线段（弦心距）,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件. 作业: ① 证明垂径定理（用等腰三角形三线合一性质证明） 书中P88 3 P89 4 ② 目标P90. 学生口述证明过程，教师板书。 引导学生总结出圆的一条重要辅助线。 巩固定理内容。 通过例题的变式，分层教学，使学生达到不同的目标。

初三数学第24章圆导学案范文整理

初三数学第24章圆导学案 数学课题24.1.2垂直于弦的直径 课型新授班级九年级姓名 学习 目标1．理解圆的轴对称性； ２.了解拱高、弦心距等概念； ３．使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。； 沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！ 学法指导合作交流、讨论、 一、自主先学————相信自己，你最棒！ ⒈叙述：请同学叙述圆的集合定义？ ⒉连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做_____________， 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______________。 课本P80页有关“赵州桥”问题。 二、展示时刻——集体的智慧是无穷的，携手解决下面的问题吧！ ）、动手实践，发现新知 ⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试，

有方 法的同学请举手。 ⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆_______ ②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每 一条_________。 )、创设情境，探索垂径定理 ⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？ 垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？ ⒉若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察 一下，还有与刚才相类似的结论吗？ ⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿cD折叠,实验后提出猜想。 ⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知，求证。 然后让学生阅读课本P81证明，并回答下列问题： ①书中证明利用了圆的什么性质？ ②若只证AE=BE，还有什么方法？ ⒌垂径定理： 分析：给出定理的推理格式

初中数学九年级24.1.2垂径定理导学案(一)

C B D O A 垂径定理导学案(一) 【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理. 2.利用垂径定理解决一些实际问题． 【学习关键】区分“垂径定理”的题设与结论。 【导学过程】 一．创设情景 引入新课 如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为 m ，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 m ）．（书本82页例题） 二、新知导学 （一）探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么 结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。 （二）探究二： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ． （1）如图是轴对称图形吗如果是，其对称轴是什么 （2）用折叠法猜测图中有哪些相等的线段和弧如何验证 相等的线段：______________ 相等的弧： _____=______；_____=______。 垂径定理： 文字语言：垂直于弦的直径_______，并且__________________。（题设，结论） 符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于E ∴____=_____，_____=______，_____=______。 (三) 探究三：用垂径定理解决问题 已知：⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ， 求⊙O 的半径。 归纳：圆中常用辅助线——作弦心距，构造Rt △.弦（a ）、 半径（r ）、弦心距（d ），三个量关系为 。 (四) 探究四：垂径定理的推论 文字语言：平分弦（ ）的直径_______，并且______ ______。 符号语言：∵AB 是⊙O_____， _____=______ ∴____=_____，_____=______，_____=______。 (五)利用新知 问题回解 赵州桥AB=8，CD=2，求半径。书本82页例题 三、巩固练习，拓展提高 1.如图，两圆都以点O 为圆心，求证:AC=BD 2.已知：⊙O 中弦AB ∥CD 。 求证：AC ＝BD 3.圆的平行两条弦长分别为6cm 、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离 四、我的收获 C E D O

垂径定理学案、教学设计

24.1.2垂直于弦的直径导学案 广水市实验中学张运才 【学习目标】 1.理解圆的轴对称性． 2.理解垂径定理及其推论，并能应用它们解决有关弦的计算和证明问题． 【学习重点】垂直于弦的直径的性质、推论以及证明． 【学习难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题． 【学习过程】 【我能行】学生自学课本Ｐ80---P81，按照提示思考下面问题： （一）情景导入：观看赵州桥视频。聪明的同学们，你能求出赵州桥桥拱所在圆的半径吗？ （二）自主探究：先自主探究，后小组交流。 探究一：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？ 我发现： （1）把圆纸片沿着它的任意一条直径所在的直线对折叠时，两个半圆． （2）上面的实验说明：圆是____ __，对称轴是经过圆心的每一条____ ___．圆有条对称轴． 探究二：请同学们按下面的步骤做一做： 第一步，把一个⊙O对折，使圆的两半部分重合，得到一条折痕CD； 第二步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，再沿垂线折叠，得到新的折痕，其中点E 是两条折痕的交点，即垂足； 第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD．观察你所折纸片：（1）在上述的操作过程中，由圆的轴对称性你能得到哪些相等的线段和相等的弧？ （2）你能用一句话概括上述结论吗？ （3）请作出图形并用符号语言表述这个结论． 练习：如下图，哪些能使用垂径定理？为什么？ 【交流学】先独立完成，后小组交流。 1.垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O②CD⊥AB结论：③AE=BE ④弧AC= 弧BC ⑤弧AD=弧BD.如果交换定理的题设和结论的部分语句，如①③作为题设，②④⑤作为结论，命题成立吗？例如在⊙O中，CD是直径，AB是的弦，CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？注意分情况讨论： （1）若AB是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？ （2）若AB不是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？ 思考：你能用一句话概括上述结论吗？ 推论： 如果交换定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？ 发现：

人教版九年级上册数学学案：24.1.2垂直于弦的直径(1)

24.1.2 垂直于弦的直径(1) 【学习目标】 理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题． 【重点难点】重点：垂径定理及其运用．难点：探索垂径定理及利用垂径定理解决问题． 【学习过程】 【问题探究】 请同学按下面要求完成下题： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ 圆是 对称图形，其对称轴是任意一条过 的直线． （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 相等的线段： 相等的弧： 2、探究结果：垂径定理 几何表述：∵ ， ∴______________ ；_____________；_____________ 文字表述：垂直于 的直径平分弦，并且平分弦所对的两条 ． 3、判断下列3个图是否是表示垂径定理的图形。 4、总结:对垂径定理条件的理解是： ， 。 【例题讲解】 例1 如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为16，⊙O 的半径是10，求圆心O 到AB 的距离。 O A B P

B A O M 图5 图6 B （第16题）A C D E O D B A C 图4 A 图3 B A C O M 例2 如图2，AB 是两个以O 为圆心的同心圆中大圆的弦径， AB 交小圆交于C 、D 两点，求证：AC=BD 【练习巩固】如图3，如果弦HL=6，则HK=__________KL=__________ 变式1： 如图4，已知CD=8，则圆心O 到CD 的距离是3，则弦长AB 是 。 变式2： 如图5，已知⊙O 的半径为5，圆心O 到AB 的距离是3，则弦长AB 是 。 变式3： 如图6，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧）其跨度为AB=24米， 拱的半径为13米，则拱高CD 为 ； 【归纳反思】 1、运用垂径定理求弦长、半径、弦心距时构造的关键图形是 由 、 、 构成是直角三角形。 2、关键三角形：圆的半径用R 表示，弦心距用d 表示，弦长用a 表示， 这三者之间有怎样的关系式？ 【作业布置】1、⊙O 的半径为5，弦AB 的长为6，则AB 的弦心距长为 . 2、已知⊙O?中，?弦AB?的长是8cm ，?圆心O?到AB?的距离为3cm ，?则⊙O?的直径是_____cm ． 3、⊙O 的半径是5，P 是圆内一点，且OP ＝3，过点P 最短弦的长为________、最长弦 的长为 . 4、如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB ⊥CD 于M ，OM=3，DM=2，求弦AB 的长．

垂直弦的直径(垂径定理)

垂直弦的直径（垂径定理） 一、复习与思考： 1．如下图，弦AB对应的弧为为；此图是不是轴对称图形？ 如果是，求你画出它的一条对称轴. 二、新课学习 垂径定理：垂直于弦的直径________弦，并且平分弦所对的两条________． 几何语言：∵________________， ∴________________；________________ ；________________. 垂径定理的推论 平分弦(不是直径)的直径________弦，并且________弦所对的弧． ∵________________， ∴________________；________________；________________. 练习： 2．如图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，则下列结论：①EA＝EB②EO＝ED③DA DB =④CA CB =.一定成立的有 3．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE＝2，则下列结论正确的是（）A．OE＝2B．EC＝2 C．AB垂直平分OC D．OC垂直平分AB 第2题第3题第4题第5题 4．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，AB＝8，OE＝3，则⊙O半径为及ED的长为． 5．如图，⊙O半径为5，OC＝3，OC⊥AB，求AC的长为及AB的长为． 6．如图，在⊙O中，直径CD⊥AB，AB＝6，ED＝ 1，求⊙O半径．

7．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =12米，拱高CD =9米，求圆的半径． 小结：“垂径三角形五线段，知二求三” 8．如图， AB 是⊙O 的弦，点C ，D 是直线AB 上的点，且OC ＝OD .求证AC ＝BD . 9．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴交于O ，A 两点，点A 的坐标为（6，0），⊙ P 的半径为 ，则点P 的坐标为 ． 10．如图，AB 为⊙O 的直径，E 为OB 与CD 的中点.试猜想：△OBD 是什么特殊三角形？四边形 OCBD 是什么特殊四边形？并证明你的猜想.

垂直于弦的直径教学反思

垂直于弦的直径教学反思 垂直于弦的直径教学反思 本节课是在上节课学习了圆的概念及弧、弦等概念的基础上的一节课。鉴于教材特点因此我选用引导发现法和直观演示法。同时，在教学中，我充分利用教具和投影仪，提高教学效果，在实验，演示，操作，观察，练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。另外，教学中我还注重用不同图片的颜色对比来启发学生。由于明确了教学目标，在备课时更多地把促进学生自主参与放在首位，因此在授课中，新知识的引入与使用过程显得更为流畅，学生也更加的投入。经过这节课的学习，学生基本掌握了垂径定理的本质：2个条件和3个结论，并能应用其进行计算和证明，较好的达到了教学目标。这一节课在教学方式上实现了“既重结果又重过程”，在学习方式上运用的是“探究学习”，使学生经历了探究学习的过程，符合九年级学生的特点。 对存在问题的思考： 本节课也存在着不足和需改进，甚至可以进一步完善之处： 在数学教学中，一些结论的表述是很重要的，而我在这节课上有些表述确实不是很精炼；而且我在课堂上，尤其是知识点的联系方面的引导词，更加需要再努力钻研。今后我将在这方面下工夫，在去听其他数学老师的课时，要注意其他老师在知识点同知识点之间的过渡

语句。 一些该让学生知道的知识点，讲得不够透彻。例如：不能够用数量关系求的，应该要适当地引导学生设未知数。而不是直接告诉学生这种题目就是要设未知数。同样在已知一条边，不够条件求解时，也要引导学生利用未知数来解题的这种题目，引导得不够，或者说引导得不够深刻，学生就会觉得是老师直接将知识倒向他，而他不一定能接受。 在学案设计方面，设计的学案内容有点多，在时间上把握得不够准确。在学案的内容上，设问导读的问题有点多，学生完成、核对完答案的时间有点长；我在时间把握上不够到位，还有我讲的有点多，浪费了时间，导致学生的练习时间少，以致课堂检测是在延长课堂时间才完成的。 还有其他很多问题：例题的讲解不够详细，深刻。给学生思考的时间不够；题目的梯度设计得不是很好…… 通过反思这一课的.课堂教学，我发现大部分学生对知识的理解不够，不能灵活应用知识于实际生活（求赵州桥主桥拱的半径）。对这一课进行全面反思后，我认识到要善于处理好教学中知识传授与能力培养的关系，巧妙地引导学生解决生活中的数学问题。不断地激发学生的学习积极性与主动性，培养学生思维能力、想象力和创新精神，使每个学生的身心都能得到充分的发展。这些失误给了我一个今后的努力的方向。在今后的学习中，我会更加努力，改正自己的缺点，努力钻研教材。

垂直于弦的直径(一)

垂直于弦的直径（一） 一、教学目标： （1）知识目标 ①使学生理解圆的轴对称性。 ②掌握垂径定理，并学会运用垂径定理，解决有关的证明，计算。 ③掌握过圆心作一条与弦垂直的线段的辅助线的作法。 （2）、能力目标 ①通过探究、发现定理，培养学生观察，分析、逻辑思维能力和归纳能力 ②提高学生的阅读质疑能力，通过选择最优方法、培养学生思维的灵活性。 （3）、情感目标 ①通过垂径定理的证明，渗透几何变换思想。 ②师生共同探究定理，师生共作，充分发挥学生学习的主体作用，激发学生探究数学问题的兴趣。 2、教学重点：垂径定理的内容、应用及有关辅助线的作法。 3、教学难点：理解垂径定理的题设和结论及垂径定理的证明方法。 4、教学方法：启发式，先做后说，师生共作。 5、教具：课件 教学过程 一、创设情境 问题1：圆具有什么性质呢？请同学们把自己画的圆（课前让学生准备好）对折一下发现什么？这说明圆是一个什么图形？它有多少条对称轴？（显示：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴）。今天我们就利用圆的轴对称来研究“垂直于弦的直径”的问题。（板书课题） 问题2：（教师出示一个擦去圆心的圆心纸片）问：大家能不能用折叠的方法把这个圆的圆心找到？ 二、分析猜想

1、把折线找圆心的方法投影在屏幕上（给出另一种情况，学生未得到，教师直接给出）两种不同的情况在于直径的位置关系不同。教师问，学生观察，猜想。学生回答，教师引导补充：一个是斜交，另一个是垂直。 A B C D O A B C D O A B C D O 2、问题：在直径CD 的两侧相邻的两条弧是否相等？学生观察，回答：右图中 =，=。 3、若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，刚才的结论还成立吗？学生观察，归纳出上述结论依然成立。 4、要求学生在圆纸片上画出上图，并沿CD折叠。 （教师利用投影，增加效果） 5、通过折叠、观察，大家还发现什么结论？（另外还有：AE=BE） 三、论证评价 1、证明 这个结论是同学们通过实验猜想出来的，能否从理论上证明它呢？下面讨论它的证明（在上述板书中加上“已知”、“求证”）。 分析：从刚才的实验中知道：把圆沿直径CD所在直线对折后发现线段AE与BE 重叠，与重叠，与重叠，因此它们分别相等。现在我们中要研究这样折叠为什么会重叠就行了。 证明：……(教师用实物边演示边用电脑在屏幕上逐句显示文字表达及图中有关的部分)： （1）连接OA、OB。 （2）分加用亮条显示CD左右两侧的两个半圆，然后在右侧着色。 （3）用亮光显示点A、B。 （4）用亮条显示AE、BE。

人教版九年级上册数学学案：24.1.2垂直于弦的直径

24.1.2垂直于弦的直径 课时1 垂直于弦的直径1 学习目标 1.利用圆的轴对称性理解垂径定理； 2.能运用垂径定理计算和证明实际问题. 自主学习 阅读教材练习前内容，完成下列问题： 1.圆的对称轴是什么？圆有多少条对称轴？ 2.如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E.如果把圆沿着CD 折叠，使点A 与点B 重合，那么AE= ；?AC = ；? AD = . 3.归纳得出垂径定理： 条件： ① ； ② ； 结论： ③ ； ④ ； ⑤ . 自学检测 完成教材练习第1.2题 归纳：（垂径定理的运用） ①计算：将半弦、半径、弦心距转化在直角三角形中运用勾股定理进行计算 ②证明：利用垂径定理证明线段、弧相等的问题 .应用： 【例】某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？

E O D C B A O C B A E O D C B A 1.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ） A.∠COE=∠DOE ， B. CE=DE C. OE=BE D. BC=BD 2.在⊙O 中，直径为10cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则弦AB 的长为 . 3.在⊙O 中，直径为10cm ，弦AB 的长为8cm ，则圆心O 到AB 的距离为 . 4.⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为____.最大值为____________. 5.ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长. 6.如图,A.B.C 在圆上,且AB=AC=5厘米, BC=8厘米，求圆的半径.

沪教版(上海)九年级数学第二学期导学案设计：27.3(2)垂径定理

D D B A 27.3 垂径定理（2） [学习目标] 1、掌握垂径定理推论，能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题； 2、在证明垂径定理的推论的活动中，领会分类讨论的数学思想. [学习重难点] 能运用垂径定理及推论解决有关数学问题. 一、课前预习 1、垂径定理： . 2、如图，CD 是O e 的直径，AB 是弦（不是直径），CD 与AB 交于点M ， 且AM=BM ，问CD 垂直于AB 吗？为什么？ 提问：如果AB 是直径结论还成立吗？为什么？ 3、如果把第（2）题中的条件“AM=BM ”改成“??AD BD =”，结论还成立吗？为什么？ 4、我们知道过A 、B 两点的圆的圆心一定在线段AB 的 上， 所以，弦AB 的垂直平分线必经过 . 5、如图，在O e 中，弦CD 与弦AB 交于点M. （1）如果AM =BM ，? ?AD BD =，那么CD 与AB 垂直吗？ （2）如果CD AB ⊥，垂足为点M ，? ?AD BD =，那么AM 与BM 相等吗？ 二、课堂学习 1、由课前预习2可以归纳得到： 如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧. 2、由课前预习3可以归纳得到： 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦. 3、在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径. 由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上. 于是得到： 如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧. 4、由课前预习5可以归纳得到： 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦. 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦. 4、总结上面的讨论，可以概括为： 在圆中，对于某一条自线“经过圆心”、“垂直于弦”、 “平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中， 如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立. 5、例题1 如图，已知O e 中，C 是? AB 的中点，OC 交弦AB 于点D ， 120AOB ∠=o ， AD=8，求OA 的长. （提示：已经有OC “经过圆心”、“平分弦所对的弧”， 所以由垂径定理推论可以得到“垂直于弦”、“平分弦”） 6、例题2 已知? AB ，用直尺和圆规平分这条弧. （提示：弦的垂直平分线经过圆心并且平分这条弦所对的弧.） 课堂小结

圆导学案

A D Q P 5．1.1圆（第1课时） 【自主学习】 （一） 新知导学 1．圆的运动定义：把线段OP 的一个端点O ，使线段OP 绕着点O 在 旋转 ，另一端点P 运动所形成的图形叫做圆，其中点O 叫做 ，线段OP 叫做 .以O 为圆心的圆记作 . 2.圆的集合定义：圆是到 的点的集合. 3．点与圆的位置关系：如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，那么 点P 在圆内? ； 点P 在圆上? ； 点P 在圆外? . 【合作探究】 1.如图，已知：点P 、Q ，且PQ=4cm. （1）画出下列图形： ①到点P 的距离等于2cm 的点的集合； ②到点Q 的距离等于3cm 的点的集合； (2)在所画图中，到点P 的距离等于2cm ；且到点Q 的距离等于3cm 的点有几个？请在图中将它们画出来. (3)在所画图中，到点P 的距离小于或等于2cm ；且到点Q 的距离大于或等于3cm 的点的集合是怎样的图形？把它画出来. 【自我检测】 1.到定点O 的距离为2cm 的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆. 2.正方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上. 3.矩形ABCD 边AB=6cm,AD=8cm ， (1)若以A 为圆心，6cm 长为半径作⊙A ，则点B 在⊙A______，点C 在⊙A_______，点D 在 ⊙A________，AC 与BD 的交点O 在⊙A_________； (2)若作⊙A ，使B 、C 、D 三点至少有一个点在⊙A 内，至少有一点在⊙A 外，则⊙A 的半径r 的取值范围是_______. 4.一个点与定圆最近点的距离为4cm, 与最远点的距离是9cm ，则圆的半径是 5.如图，已知在⊿ABC 中，∠ACB=900 ,AC=12,AB=13,CD ⊥AB,以C 为圆心，5为半径作⊙C ， 试判断A,D,B 三点与⊙C 的位置关系 6.如左下图，一根长4米的绳子，一端拴在树上，另一端拴着 一只小狗.请画出小狗的活动区域. 7.已知：如右上图，△ABC ，试用直尺和圆规画出过A ，B ，C 三点的⊙O ． 8.△ABC 中,∠A=90°，AD⊥BC 于D ，AC=5cm ，AB=12cm ，以D 为圆心，AD 为半径作圆，则三个顶点与圆的位置关系是什么？画图说明理由. 9.如右图，(1)若点O 为⊙O 的圆心，则线段__________是圆O 的半径； 线段________是圆O 的弦，其中最长的弦是______； ______是劣弧；______是半圆． (2)若∠A =40°，则∠ABO =______，∠C =______，∠ABC =______． 10．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB =2DE ，∠E =18°，求∠C 及∠AOC 的度数． （一） 树 S 小狗 4m

人教版-数学-九年级上册-第2课时 垂直于弦的直径 教学案

第2课时垂直于弦的直径 自主学习案 ●明确学习内容 教材第81至82页 ●理清学习目标 1.探索并了解圆的对称性和垂径定理. 2.能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题. 清晰重点难点 1.垂径定理、推论及其应用（重点）． 2.发现并证明垂径定理（难点）． ●自主预习练习 1.自读课本第81至82页. 2.学习至此：请完成学生用书“自主学习案”部分. ●激情导入十分 问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题． 课堂探究案 ●聚焦主题合作探究 圆的轴对称性 围绕课本第81页“探究”，实践操作，思考：圆的对称轴有多少条？圆的任何一条直径都是它的对称轴，这种说法正确吗？ 【反思小结】圆有无数条对称轴，直径所在的直线是它的对称轴；因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说“直径是圆的对称轴”．

【针对训练】 1.下列说法错误的是． A．圆的直径都是圆的对称轴B．圆的直径所在直线都是圆的对称轴C．过圆心的每条直线都是圆的对称轴D．圆的半径所在直线都是圆的对称轴垂径定理及其推论的推导 2.阅读课本第81页“探究”及第82页上半部分内容．解决问题： （1）垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且弦所对的 . 符号语言：如图， ∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴ = , = , = . （2）垂径定理的推论： 弦（）的直径垂直于弦，并且弦所对的两条孤. 符号语言：如图，在⊙O中，AB是直径，非直径的弦CD与AB相交于点E，且CE=DE. ∵AB是直径，CE=DE， ∴，， . 思考：为什么要在垂径定理的推论中，加上“（不是直径）”这一限制条件？ 【点拨升华】：解决课本第80页“思考”可以综合利用圆的轴对称性和等腰三角形的轴对称性来观察分析．学习垂径定理要注意：（1）条件中的“弦”可以是直径．（2）结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．学习垂径定理的推论时，一定要注意“弦不是直径”这一条件．这是因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．【针对训练】 2.判断：平分弦的直径垂直于弦（） 3.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，只要再添加 一个条件：，就可得到E是CD的中点． · A B C D O E

《圆》第一节 垂直于弦的直径导学案1

《圆》第一节垂直于弦的直径导学案1 主编人：占利华主审人： 班级：学号：姓名： 学习目标： 【知识与技能】 1理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论 2学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题 3了解拱高、弦心距等概念 【过程与方法】 经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法 【情感、态度与价值观】 在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生的 新意识，良好的运用数学 【重点】 垂径定理及其推论 【难点】 垂径定理及其推论 学习过程: 一、自主学习 （一）复习巩固 判断： 1、直径是弦，弦是直径。（） 2、半圆是弧，弧是半圆。（） 3、周长相等的两个圆是等圆。（） 4、长度相等的两条弧是等弧。（） 5、同一条弦所对的两条弧是等弧。（） 6、在同圆中，优弧一定比劣弧长。（） 7、请在图上画出弦CD，直径AB.并说明___________________________叫做弦； _________________________________ 叫做直径. 8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法.弧：___ _ 半圆：_________________________ 优弧：________________ _ 表示方法：__ 劣弧：______________________________ _,表示方法：______ 9、同心圆: __________________ _ _等圆: __________________________ _. 10、同圆或等圆的半径_______.等弧: _______________________ （二）自主探究 请同学按下面要求完成下题： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ 1

《垂径定理》公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】

《垂径定理》教学设计 圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。该节内容分为2 课时。本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。其对称 轴是任一条过圆心的直线。 【知识与能力目标】 1．理解圆的轴对称性及其相关性质； 2 ．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。 【过程与方法目标】 经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 【情感态度价值观目标】 1． 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。 2． 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。 【教学重点】 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。 【教学难点】 和圆有关的相关概念的辨析理解。 （提前一天布置） 1. 每人制作两张圆纸片（最好用16K 打印纸） 2. 预习课本P 74~P 76内容 第一环节 复习提问

1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。 2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 第二环节讲授新课 活动内容： （一）探索垂径定理。 做一做 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分 重合。 2．得到一条折痕CD。 3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足。 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图 问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。 在⊙O中，AB为弦，CD为直径,CD⊥AB 提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。 证明过程见PPT。 几何语言