离散数学专科期末复习提要
《离散数学》专科期末复习提要
四川电大孙继荣
2004年5月
《离散数学》使用的教材为中央电大出版的《离散数学》（刘叙华等编）和《离散数学学习指导书》（虞恩蔚等编）。离散数学主要研究离散量结构及相互关系，使学生得到良好的数学训练，提高学生抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。其先修课程为：高等数学、线性代数；后续课程为：数据结构、数据库、操作系统、计算机网络等。
课程的主要内容
1、集合论部分（集合的基本概念和运算、关系及其性质）；
2、数理逻辑部分（命题逻辑、谓词逻辑）；
3、图论部分（图的基本概念、树及其性质）。
4、布尔代数（此部分对专科要求不高）
学习建议
离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学（集合论、数理逻辑和图论）有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用，并要多做练习。
教学要求的层次
各章教学要求的层次为了解、理解和掌握。了解即能正确判别有关概念和方法；理解是能正确表达有关概念和方法的含义；掌握是在理解的基础上加以灵活应用。
一、各章复习要求与重点
第一章集合
[复习知识点]
1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集
2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、De Morgan 律等），文氏（Venn）图
3、序偶与迪卡尔积
本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明
[复习要求]
1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。
4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。
[疑难解析]
1、集合的概念
因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n。
2、集合恒等式的证明
通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~?=-证明中的特殊作用。 [例题分析]
例1 设A ，B 是两个集合，A={1，2，3}，B={1，2}，则=-)()(B A ρρ 。 解 }}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)(φρ=A
}}2,1{},2{},1{,{)(φρ=B
于是}}3,2,1{},3,2{},3,1{},3{{)()(=-B A ρρ 例2 设{}{}Φ=,,,,b a b a A ，试求：
(1){}b a A ,-； (2)Φ-A ； (3){}Φ-A ； (4){}{}A b a -,； (5)A -Φ； (6){}A -Φ。
解 (1){}{}{}Φ=-,,,b a b a A (2)A A =Φ- (3){}{}{}b a b a A ,,,=Φ- (4){}{}Φ=-A b a , (5)Φ=-ΦA (6){}Φ=-ΦA 例3 试证明()()()()B A B A B A B A ~~~~???=??? 证明
()()()()()()
()()()()()()
()()()()()()
B A B A B A B A B B B A A B A A B B A A B A B A B A ~~~~~~~~~~~~~???=Φ?????Φ=???????=?????=???
第二章 二元关系
[复习知识点]
1、关系、关系矩阵与关系图
2、复合关系与逆关系
3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）
4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）
5、等价关系与等价类
6、偏序关系与哈斯图（Hasse ）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界
7、函数及其性质（单射、满射、双射）
8、复合函数与反函数
本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念
[复习要求]
1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。
2、掌握求复合关系与逆关系的方法。
3、理解关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），掌握其判别方法（定义、矩阵、图）。
4、掌握求关系的闭包 （自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。
5、理解等价关系和偏序关系的概念，掌握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法，极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。
6、理解函数概念：函数、函数相等、复合函数和反函数。
7、理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。 [疑难解析]
1、关系的概念
关系的概念是第二章全章的基础，又是第一章集合概念的应用。因此，学生应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。 2、关系的性质及其判定
关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。对于四种性质的判定，可以依据教材中P49上总结的规律。这其中对传递性的判定，难度稍大一点，这里要提及两点：一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性与反对称性，但是不具有自反性。另一点是介绍一种判定传递性的“跟踪法”，即若()()()R a a R a a R a a i i ∈∈∈-,,,,,,13221ΛΛ，则()R a a i ∈,1。如
若()()R a b R b a ∈∈,,
,，则有()R a a ∈,，且()R b b ∈,。
３、关系的闭包
在理解掌握关系闭包概念的基础上，主要掌握闭包的求法。关键是熟记三个定理的结论：定理2， ()A I R R r ?=；定理3， ()1
-?=R R R s ；定理4，推论 ()Y n
i i
R
R t 1
==
。
４、半序关系及半序集中特殊元素的确定
理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大（小）元，极大（小）元也就容易了。这里要注意，最大（小）元与极大（小）元只能在子集内确定，而上界与下界可在子集之外的全集中确定，最小上界为所有上界中最小者，最小上界再小也不小于子集中的任一元素，可以与某一元素相等，最大下界也同样。
５、映射的概念与映射种类的判定
映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。判定的方法除定义外，可借助于关系图，而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行，尤其是对各种初等函数。 [例题分析]
例1 设集合{}d c b a A ,,,=，判定下列关系，哪些是自反的，对称的，反对称的和传递的：
()(){}()()(){}(){}()()(){}
()(){}
d b c a R c c b b a a R d c R a d c b a a R a b a a R ,,,,,,,,,,,,,,,,,,54321=====解：均不是自反的；R 4是对称的；R 1 ,R 2 ,R 3 , R 4 ,R 5是反对称的；R 1 ,R 2 ,R 3 , R 4 ,R 5是传递的。
例2 设集合{
}5,4,3,2,1=A ，A 上的二元关系R 为 ()()()()()()()(){}5,5,4,5,3,5,4,4,4,3,3,3,2,2,1,1=R （１）写出R 的关系矩阵，画出R 的关系图；
（２）证明R 是A 上的半序关系，画出其哈斯图；
（３）若A B ?，且{}5,4,3,2=B ，求B 的最大元，最小元，极大元，极小元，最小上界和最大下界。
解 （1）R 的关系矩阵为
???
??
?
?
?
??=111000100001100
00010
00001R M R 的关系图略
（2）因为R 是自反的，反对称的和传递的，所以R 是A 上的半序关系。(A,R)为半序集， (A,R)
的哈斯图如下
(3) 当{}5,4,3,2=B ，B 的极大元为2，4；极小元为2，5；B 无最大元与最小元；B 也无上界与下界，更无最小上界与最大下界。
第三章 命题逻辑
[复习知识点]
１、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题 ２、命题公式与解释，真值表，公式分类（恒真、恒假、可满足），公式的等价 ３、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式 ４、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法） ５、公式的蕴涵与逻辑结果 ６、形式演绎
本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、形式演绎 [复习要求]
１、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
２、理解公式与解释的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等价式化简其他公式，公式在解释下的真值。
３、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
。4 。1
。3 。2
。5
４、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。
５、理解公式蕴涵与逻辑结果的概念，掌握基本蕴涵式。 6、掌握形式演绎的证明方法。 [疑难解析]
1、公式恒真性的判定
判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。具体方法有两种，一是真值表法，对于任给一个公式，主要列出该公式的真值表，观察真值表的最后一列是否全为1（或全为0），就可以判定该公式是否恒真（或恒假），若不全为0，则为可满足的。二是推导法，即利用基本等价式推导出结果为1，或者利用恒真（恒假）判定定理：公式G 是恒真的（恒假的）当且仅当等价于它的合取范式（析取范式）中，每个子句（短语）均至少包含一个原子及其否定。
这里要求的析取范式中所含有的每个短语不是极小项，一定要与求主析取范式相区别，对于合取范式也同样。
2、范式
求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律和互补律，结果的前一步适当使用等幂律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
另外，由已经得到的主析取（合取）范式，根据()G G G G =??=?∨,
1原理，参阅
《离散数学学习指导书》P71例15，可以求得主合取（析取）范式。
3、形式演绎法
掌握形式演绎进行逻辑推理时，一是要理解并掌握14个基本蕴涵式，二是会使用三个规则：规则P 、规则Q 和规则D ，需要进行一定的练习。 [例题分析]
例1 求()()P R Q P G →?∨∧=的主析取范式与主合取范式。 解 （1）求主析取范式，
()()()()()()
R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P G ∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨∧∧?∨∧?∧?=
方法2：推导法
()()()()()()()()()()()()()()
()()()
()()()()()()()()()()()()()()
R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R R Q Q P P P R Q Q Q R P P R Q R P P R Q P P R Q P P R R Q P G ?∧?∧∨?∧∧∨∧∧∨∧?∧∨∧?∧?∨∧∧?=?∧?∧∨∧?∧∨?∧∧∨∧∧∨∧?∧?∨∧?∧∨∧?∧?∨∧∧?=?∨∧?∨∧∨?∨∧∧?∨∨?∧∧?=∨∧?∨∧?=∨∧?∨?=∨?∨∧?=→?∨∧=
（2）求主合取范式
方法1：利用上面的真值表
()()P R Q P →?∨∧为0的有两行，它们对应的极大项分别为R Q P R Q P ∨?∨∨∨,
因此，()()()()R Q P R Q P P R Q P ∨?∨∧∨∨=→?∨∧ 方法2：利用已求出的主析取范式求主合取范式
已用去6个极小项，尚有2个极小项，即 R Q P ?∧?∧?与R Q P ?∧∧? 于是
()()
()()()()()()
R Q P R Q P R Q P R Q P G G R Q P R Q P G ∨?∨∧∨∨=?∧∧?∨?∧?∧??=??=?∧∧?∨?∧?∧?=?
例2 试证明公式()()()()R P R Q Q P G →→→∧→=为恒真公式。 证法一： 见〈离散数学学习指导书〉P60例6（4）的解答。（真值表法） 证法二 ： G=?（（?P ∨Q ）∧（?Q ∨R ））∨（?P ∨R ） =（P ∧?Q ）∨（Q ∧?R ）∨?P ∨R =（（（P ∨Q ）∧（P ∨?R ）∧（?Q ∨Q ）∧（?Q ∨?R ））∨?P ）∨R =（（P ∨Q ∨?P ）∧（P ∨?R ∨?P ）∧（?Q ∨?R ∨?P ））∨R =（1∧（?Q ∨?R ∨?P ））∨R =?Q ∨?R ∨?P ∨R =1
故G 为恒真公式。
例3 利用形式演绎法证明 { P →（Q →R ），?S ∨P ，Q}蕴涵S →R 。 证明：
（1）?S ∨P 规则P （2）S 规则D
（3）P 规则Q ，根据（1），（2） （4）P →（Q →R ） 规则P
（5）Q →R 规则Q ，根据（3），（4） （6）Q 规则P
（7）R 规则 Q ，根据（5），（6） （8）S →R 规则D ，根据（2），（7）
第四章 谓词逻辑
[复习知识点]
1、谓词、量词、个体词、个体域、变元（约束变元与自由变元）
2、谓词公式与解释，谓词公式的类型（恒真、恒假、可满足）
3、谓词公式的等价和蕴涵
4、前束范式
本章重点内容：谓词与量词、公式与解释、前束范式 [复习要求]
1、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题；了解命题符号化。
2、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。
3、理解用解释的方法证明等价式和蕴涵式。
4、掌握求公式前束范式的方法。 [疑难解析]
1、谓词与量词
反复理解谓词与量词引入的意义，概念的含义及在谓词与量词作用下变量的自由性、约束性与改名规则。
2、公式与解释
能将一阶逻辑公式表达式中的量词消除，写成与之等价的公式，然后将解释I 中的数值代入公式，求出真值。
3、前束范式
在充分理解掌握前束范式概念的基础上，利用改名规则、基本等价式与蕴涵式（一阶逻辑中），将给定公式中量词提到母式之前称为首标。 [典型例题]
例1 设I 是如下一个解释：{}3,2=D
F(2) F(3) P(2) P(3) Q(2,2) Q(2,3) Q(3,2) Q(3,3) 3 2 0 1 1 1 0 1 求()()()()y ,x F Q x P y x ∧??的真值。 解
()()()()()()()()()()()()()
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1
10111110003,3F Q 3P 2,3F Q 3P 3,2F Q 2P 2,2F Q 2P 3,x F Q x P 2,x F Q x P x y ,x F Q x P y x =∨=∧∧∧∨∧∧∧=∧∧∧∨∧∧∧=∧∧∧?=∧??
例2 试将一阶逻辑公式化成前束范式。 解
()()()()()()()()()()()()()()()()()()
x R z Q y x P z y x x R z Q z y x yP x x R y Q y y x yP x x R y yQ y x yP x G ∨?∨???=∨??∨??=∨??∨??=∨??∨??=,,,,
第七章 图论
[复习知识点]
1、图、完全图、子图、母图、支撑子图、图的同构
2、关联矩阵、相邻矩阵
3、权图、路、最短路径，迪克斯特拉算法（Dijkstra ）
4、树、支撑树、二叉树
5、权图中的最小树，克鲁斯卡尔算法（Kruskal ）
6、有向图、有向树
本章重点内容： 权图的最短路、二叉树的遍历、权图中的最优支撑树 [复习要求]
1、理解图的有关概念：图、完全图、子图、母图、支撑子图、图的同构。
2、掌握图的矩阵表示（关联矩阵、相邻矩阵）。
3、理解权图、路的概念，掌握用Dijkstra 算法求权图中最短路的方法。
4、理解树、二叉树与支撑树的有关概念；掌握二叉树的三种遍历方法，用Kruskal 算法求权图中最小树的方法。
5、理解有向图与有向树的概念。 [疑难解析]
1.本章的概念较多，学习时需要认真比较各概念的含义，如：图、子图、有向图、权图；树、支撑树、二叉树、有向树；路、简单路、回路等，这些都是图的基本概念，今后将在数据结构、数据库、计算机网络等课程中用到。
2、权图中的最短路
严格执行迪克斯特拉（Dijkstra ）算法步骤，从起点起，到每一点求出最短路，然后进行仔细比较，最后到达终点，算出最小权和。
3、权图中的最优支撑树
权图中的最优支撑树是图中所带权和最小的支撑树，使用克鲁斯卡尔（Kruskal ）算法。 [典型例题]
例1 在具有n 个顶点的完全图K n 中删去多少条边才能得到树？ 解：n 个顶点的完全图K n 中共有n ?（n-1）/2条边，
n 个顶点的树应有n-1条边，
于是，删去的边有：n ?（n-1）/2-（n-1）=（n-1）?（n-2）/2 例2 求下面有限图中点u 到各点间的最短路。（图上数字见教材P231，第3题。）
解 u →u 1 ， d(u, u 1)=1, 路(u, u 1
)
u→ u2 , d(u, u2)=9, 路(u, u4, u3, u7, u2)
u→ u3 , d(u, u3)=5, 路(u, u4, u3 ,)
u→ u4 , d(u, u4)=3, 路(u, u4 )
u→ u5 , d(u, u5)=11, 路(u, u1, u5)或路(u, u4, u3 , u7 , u2 , u5)
u→ u6 , d(u, u6)=13, 路(u, u1, u5, u6)
u→ u7 , d(u, u7)=8, 路(u, u4 , u3 , u7)
u→ u8 , d(u, u8)=11, 路(u, u4, u8)
u→v, d(u, v)=15, 路(u, u1, u5 , u6 ,v) 或路(u, u4 , u3 , u7 , u6 ,v)
二、考核说明
本课程的考核实行形成性考核和终结性考核的形式。形成性考核占总成绩的20%，以课程作业的形式进行（共三次，由四川电大统一布置）；终结性考核即期末考试，占总成绩的80%。总成绩为100分，60分及格。
期末考试实行统一闭卷考核，试卷满分为100。由四川电大统一命题，统一评分标准，统一考试时间（考试时间为120分钟）。
1、试题类型
试题类型有填空题（分数约占15%）、单项选择题（分数约占10%）、判断题（分数约占10％），计算简答题（分数约占50%）和证明题（分数约占15%）。
填空题和单项选择题主要涉及基本概念、基本理论，重要性质和结论、公式及其简单计算。计算题主要考核学生的基本运算技能，要求书写计算、推论过程或理由。证明题主要考查应用概念、性质、定理及主要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程。
2、考核试卷题量分配
试卷题量在各部分的分配是：集合论约占30%，数理逻辑约占40%，图论约占20%，布尔代数10％。
具体课程考核情况见课程考核说明。
附录：试题类型及规范解答举例
[填空题]
1.设R 是集合A上的二元关系，如果关系R同时具有性、对称性和性，则称
R是等价关系。
2.命题公式G=（P∧Q）→R，则G共有个不同的解释；把G在其所有解释下所
取真值列成一个表，称为G的；解释（?P，Q，?R）或（0，1，0）使G 的真值为。
3.设G=（P，L）是图，如果G是连通的，并且，则G是树。如果根树T的
每个点v最多有两棵子树，则称T为。
[单项选择题]（选择一个正确答案的代号，填入括号中）
1.由集合运算定义，下列各式正确的有（）。
A．X?X?Y B.X?X?Y C.X?X?Y D.Y?X?Y
2.设R1，R2是集合A={a，b，c，d}上的两个关系，其中R1={（a，a），（b，b），（b，c），
（d，d）}，R2={（a，a），（b，b），（b，c），（c，b），（d，d）}，则R2是R1的（）闭包。
A．自反B．对称C．传递D．以上都不是
3.设G是由5个顶点组成的完全图，则从G中删去（）条边可以得到树。
A．4 B．5 C．6 D．10
[计算题]
1. 化简下式：
（A -B -C ）?（（A -B ）?C ）?（A ?B -C ）?（A ?B ?C ） 2. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等值。
（1）（P ∧Q ）∨（?P ∧Q ∧R ）； （2）（P ∨（Q ∧R ））∧（Q ∨（?P ∧R ））；
3. 求图中A 到其余各顶点的最短路径，并写出它们的权。
[证明题]
1. 利用基本等价式证明下面命题公式为恒真公式。
（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）
2. 用形式演绎法证明：{P →Q ， R →S ，P ∨R }蕴涵Q ∨S 。
试题答案及评分标准
[填空题]
1、自反；传递
2、8；真值表；1
3、无回路；二叉树
[单项选择题]（选择一个正确答案的代号，填入括号中） 1、 A 2、 B 3、C [计算题] 1. 解：
（A -B -C ）?（（A -B ）?C ）?（A ?B -C ）?（A ?B ?C ）
=（A ?~B ?~C ）?（A ?~B ?C ）?（A ?B ?~C ）?（A ?B ?C ） =（（A ?~B ）?（~C ?C ））?（（A ?B ）?（~C ?C ）） =（（A ?~B ）?E ）?（（A ?B ）?E ） E 为全集 =（A ?~B ）?（A ?B ） = A ?（~B ?B ） = A ?E = A 2. 解：
（P ∧Q ）∨（?P ∧Q ∧R ）
?（P ∧Q ∧（?R ∨R ））∨（?P ∧Q ∧R ）
?（P ∧Q ∧?R ）∨（P ∧Q ∧R ）∨（?P ∧Q ∧R ）
? m 6∨m 7∨m 3 ? m 3∨m 6∨m 7 （P ∨（Q ∧R ））∧（Q ∨（?P ∧R ））
B 7 C
A D
?（P∧Q）∨（Q∧R）∨（P∧?P∧R）∨（?P∧ Q ∧R）（分配律）?（P∧Q∧（?R∨R））∨（（?P∨P）∧Q∧R）∨（?P∧ Q ∧R）
?（P∧Q∧?R）∨（P∧Q∧R）∨（?P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（?P∧ Q ∧R）
?m6∨m7∨m3∨m7∨m3
?m3∨m6∨m7
由此可见（P∧Q）∨（?P∧Q∧R）?（P∨（Q∧R））∧（Q∨（?P∧R））
3.解：
A到B的最短路径为AB，权为1；
A到E的最短路径为ABE，权为3；
A到F的最短路径为ABEF，权为4；
A到C的最短路径为ABEFC，权为7；
A到D的最短路径为ABEFCD，权为9。
[证明题]
1.证明：
（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）
?（（?P∨Q）∧（?Q∨R））→（?P∨R）
??（（?P∨Q）∧（?Q∨R））∨（?P∨R）
?（P∧?Q）∨（Q∧?R）∨?P∨R
?（（P∧?Q）∨?P ）∨（（Q∧?R）∨R）
?（1∧（?Q∨?P ））∨（（Q∨R）∧1）
??Q∨?P∨Q∨R
?（?Q∨Q）∨?P ∨R
? 1 ∨?P ∨R
? 1
2.证明：
（1）P∨R 规则P
（2）?R→P 规则Q ，根据（1）
（3）P→Q 规则P
（4）?R →Q 规则Q，根据（2）（3）
（5）?Q→R 规则Q，根据（4）
（6）R→S 规则P
（7）?Q→S 规则Q，根据（5）（6）
（8）Q∨S 规则Q ，根据（7）
2004补充练习题：请自己完成，此处不提供标准答案
一、单项选择题(下列各题，给出的答案中只有一个是正确的，选出正确答案填在题目的括号中。每题2分)
1. 下列命题正确的是（ ）。 A 、{a}},,{c b a ∈
B 、{a}},,{c b a ?
C 、?},,{c b a ∈
D 、{a,b}},,{c b a ∈
2. 设个体域为整数，下列公式中真值为1是( )
)
()D ()()C ()
()B ()()A (0=+???0=+??0=+??0=+??v u v u z y z y t x t x z x z x
3、设集合A={1,2,3,4},A 上的关系R={(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)},则R 具有（ ）。 A 、自反性 B 、传递性 C 、对称的
D 、以上答案都不对
4、设图G 为下图，那么G 是 ( )。 平面图 完全图 欧拉图 哈密顿图
5、如图1－1所示，其中存在哈密顿回路的图是 ( )。
6. 设a ，b ，c 各不相同，下面等式中为真的是（ ）
(A) {{a ，b }，c , ? }={{a ，b }，c } (B) {a ，b ，a }={a ，b }
(C) {{a }，{b }}={{a ，b }} (D) {?，{?}，a ，b }={{?，{?}}，a ，b }
7、设命题公式）Q P ()(G ∨?∧→=P Q ，则G 是（ ）。 A 、永真的
B 、永假的
C 、可满足的
D 、析取范式
8. 设个体域为整数，下列公式中真值为1是( )
)
()D ()()C ()
()B ()
()A (0=+???0=+??0=+??0=+??v u v u z y z y t x t x z x z x
8. 设图G ＝
(A) deg(V )=2∣E ∣ (B) deg(V )=∣E ∣ (C)
E v V
v 2)deg(=∑∈ (D) E v V
v =
∑∈)deg(
9. 定义实数集R 上的二元运算*为：?a ,b ∈R ，a *b =( )，则二元运算*同时满足交换律和结合律，其中＋，－，? 是普通加法，减法和乘法。
b a b b a b a b a +2+?-+)D ()C ()B ()A (
10. 已知集合A ＝{a ,b ,c }上的二元关系R 的关系矩阵M R ＝????
?
?????001011010，那么R ＝( )，
11. 设P ：我将去市里，Q ：我有时间。命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为( )
Q P Q P Q P P Q ?∨??→→)D ()C ()B ()A (
12.设F (x )：x 是鸟，G (x )：x 会飞翔。则命题“鸟都会飞”符号化为( )
))
()(()D ())()(()C ()
()(()B ())
()(()A (x G x F x x G x F x x G x F x x G x F x →?∨?→?∧?
13. n 阶无向完全图K n 中的边数为（ ） (A)
2)1(-n n (B) 2
)
1(+n n (C) n (D)n (n +1) 14. 设A ,B ,C 为任意集合下列命题为真的是( )
如果A ?B ＝A ?C ，则B ＝C (B) 如果A －B ＝?，则A ＝B (C) A ⊕A =A (D) ?是?的子集 15、设命题公式）Q P ()(G ∨?∧→=P Q ，则G 是（ ）。 A 、永真的
B 、永假的
C 、可满足的
D 、析取范式
16、设集合A={1,2,3,4},A 上的关系R={(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)},则R 具有（ ）。 A 、自反性 B 、传递性 C 、对称的
D 、以上答案都不对
17.对任意集合S ，S ??＝S ，满足( )
(A) 幂等律 (B) 零一律 (C) 同一律 (D) 互补律 18.设集合A ={1,2,3,4}, A 上的二元关系R 的关系矩阵为
M R ＝?
?
???
????
???0000000001011001
则关系R 的表达式是( )
(A) {<1,1>,<1,4>,<2,1>,<2,3>} (B) {<1,1>,<1,2>,<1,4>,<2,3>} (C) {<1,1>,<2,1>,<3,2>,<1,4>} (D) {<1,1>,<2,1>,<3,2>,<4,1>} 19. 无向图G 是欧拉图，当且仅当( )
A.G 中所有结点的度数全为偶数
B. G 中所有结点的度数全为奇数
C.G 连通且所有结点的度数全为偶数
D. G 连通且所有结点的度数全为奇数 20.下列偏序集中是格的为( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题(每空2分)
1、设P ：天下雨，Q ：天刮风，H ：我去书店。则将命题“如果天不下雨，而且也不刮风，我就去书店”符号化为 。
2、设谓词命题公式)()(x xQ x xP ??∧?的前束范式是 。
3、设G ＝
4、已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 。
5、设集合A ＝{1，2，3}，在A 上定义二元运算ο为：},m in{,,b a b a A y x =∈?ο，则ο的运算表为：
6. 设A 、B 为有限集，且|A|=m ,|B|=n ,那末A 与B 间存在双射，当且仅当 .
7. 如果关系R 是传递的，则R ?R ? .
8. 设(R *
,ο)是代数系统，其中R *
＝R －{0}，二元运算ο定义为ab b a R b a =∈?ο,,*
,那么，
a R a ,*∈?的逆元是
9.设给定集合A ＝{a ,b }， P (A)＝ ，那么P (A)上的包含关系?集合表达式为 ． 10 已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 。
11. 设给定图G (如第11题图所示)，则图G 的 点割集是
12. 设N (x )：x 是自然数，H (x ,y )；y 是x 的后继数，则谓词命题“每个自然数都有后继数”
符号化为 。
13. 设命题公式G 的主合取范式是)()(Q P Q P ∨?∧∨，那么G 的主析取范式是
? a ? b
f ? ? c
e ? ? d
第11题图
14. 设代数系统(G ，+，*)，如果 ， 且运算*对+满足分配律，则称代数系统(G ，+，*)为环．
15. 若命题变元P ，Q ，R 赋值为(1,0,1)，则命题公式G ＝)())((Q P R Q P ∨??→∧ 的真值是
16. 设G ＝
17. 设A ＝{{a}，a},则P (A )=
18. 在布尔代数中，有b a b a a +=?+)(成立，则其对偶式 一定成立。
19、设集合A ＝{1，2，3}，在A 上定义二元运算ο为：},m in{,,b a b a A y x =∈?ο，则ο的运算表为：
20、设集合A ＝{a ,b ,c },B ={a ,b },那么P (A )－P (B )= P (B )－P (A )= 。
三、判断题(每小题1分)
1、a ∈{{a}}；
2、{a}?{ a ，b ，c }；
3、?∈{ a ，b ，c }；
4、??{ a ，b ，c }；
5、{a ，b}?{a ，b ，c ，{ a ，b ，c }}；
6、 一个集合的最大元一定存在而且唯一；
7、孤立节点既是极小元又是极大元；
8、函数首先是二元关系并且满足一一对应关系。
9、如果集合{}d c b a A ,,,=,R ＝{(a,a),(b,b),(c,c),(a,c)},那么R 具有自反性。
10、设I 是如下一个解释：{}3,2=D
F(2) F(3) P(2) P(3) Q(2,2) Q(2,3) Q(3,2) Q(3,3) 3 2 0 1 1 1 0 1 则()()()()y x F Q x P y x ,∧??为真。 11、{{a}，1，3，4}?{{a}，3，4，1}； 12、{a ，b}?{a ，b ，{ a ，b }}； 13、如果A ?B=B ，则A=E 。
四、化简解答题(每小题8分)
1.化简下式：A C B A C B A →∧∧?∨∧?∧))(())((
2. 判别谓词公式),(),(y x xF y y x yF x ??→??的类型.
3. 求谓词公式),()(y x yG x xF ?→??的前束范式。
4. 求命题公式R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((的真值．
5.
设偏序集≤><,A 的哈斯图如第16题图。
(1) 试写出集合A 和≤的集合表达式； (2) 偏序集≤><,A 的极大元、极小元、 最大元和最小元；
6.回答问题：下列集合中哪些是相等的, 说明理由. A 1＝{a ,b } A 2＝{b ,a } A 3＝{a ,a ,b } A 4＝{a ,b ,c }
A 5＝{0))()((=---c x b x a x x } A 6＝{0)(2=++-ab b a x x }
7. 已知P ，Q ，F 的真值表如下表。试用P ，Q 和联结词?，→构造命题公式A ，使得A 与F 等值。
8.
画出集合A ＝{1,2,…,9}上的整除关系的哈斯图。
9.化简布尔表达式)(b a c b a a +??+ 10.求命题公式)()(Q P Q P ?∨?∧∧的真值表
11. 设f 是一元运算，P 是一元谓词，Q 是二元谓词，给定解释如下
,1)3(,0)2(,3)3(,2)2(},3,2{=====P P f f D I 1)3,3()3,2(,0)2,3()2,2(====Q Q Q Q 求在解释I 下))())),(((x P y x f Q y x →??的真值． 12. 设集合S ＝{1,2,3,4},定义S 上的二元关系
})(,,{2y x S y x S y x y x R >∧∈-∧∈><=
},,{是素数y
x
S y x y x T ∧
∈><=，试求R ，T 的元素表达式，并计算RT 。 13. .用列真值表的方法求命题公式R Q P →→)(的主析取范式和主合取范式。 14.设有向图D ，如第14题图所示，
求从v 1到v 4长度为3的通路有几条？ 并详细列出。
e
v 3 第14题图
15.试求谓词公式),()),(),()((y x A y x yR y x xQ x P x ∨?→?∧?中，?x ,?x ,?y 的辖域，试问R (x ,y )和A (x ,y )中x ,y 是自由变元，还是约束变元？
16. 设代数系统(R *, ?)，其中R *是非0实数集，二元运算?为：?a ,b ∈R , a ?b =ab. 试问?是否满足交换律、结合律，并求单位元以及可逆元素的逆元.
17. 求命题公式R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((的真值． 18. 求图G (如图第18题图所示) 的一棵最小生成树。
19.(1)设集合A ＝{a,b,c},给出A 上的二元关系R ，S ，使得R ，S 均具有传递性，但R ?S 不具有传递性。 (2) 设集合A ＝{1,2,3,4,5},定义A 上的二元关系
},,{5<+≤3∧<∧∈><=y x y x A y x y x R
试写出R 的集合表达式和关系矩阵。
20. 设R 1是A 1＝{1,2}到A 2＝(a,b,c)的二元关系，R 2是A 2到A 3＝{βα,}的二元关系，
R 1= {<1,a>,<1,b>,<2,c>}, R 2={
五、证明题(共10分)
1.设R 是集合A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对?a ∈A,?b ∈A ，使得(a,b)∈R,则R 是等价关系.
2. 证明S S P R R Q Q P ???∨∧?∧∨?∧→))())(()(
3. 给定代数系统(G ,+,*), 二元运算见表19-1，表19-2.
表19－1 表19－2
证明(G ,+,*)是域
离散数学(第五版)清华大学出版社第2章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令F(x):x是鸟 G(x):x会飞翔. 命题符号化为 ?x(F(x)→G(x)). (2)令F(x):x为人. G(x):x爱吃糖 命题符号化为 ??x(F(x)→G(x)) 或者 ?x(F(x)∧?G(x)) (3)令F(x):x为人. G(x):x爱看小说. 命题符号化为 ?x(F(x)∧G(x)). (4) F(x):x为人. G(x):x爱看电视. 命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)). 分析1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的F(x)都是特性谓词。 2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 27 ?x(F(x)∧G(x)) 即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。
3°（2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 ?xF(x) 其中F(x):(x+1)2=x2+2x+1,此命题在(a),(b),(c)中均为真命题。 （2）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xG(x) 其中G(x):x+2=0，此命题在（a）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。 （3）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xH(x) 其中H(x):5x=1.此命题在(a),(b)中均为假命题，在(c)中为真命题。 分析1°命题的真值与个体域有关。 2°有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时，应符号化为 ?xF(x) 这里，F(x):x呼吸，没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时，应符号化为 ?x(F(x)→G(x)) 这里，F(x):x为人，且F(x)为特性谓词。G(x):x呼吸。 28 2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。 （1）令：F(x):x是大学生，G(x):x是文科生，H(x):x是理科生，命题符号化为?x(F(x)→(G(x)∨H(x)) （2）令F(x):x是人，G(y):y是化，H(x):x喜欢，命题符号化为 ?x(F(x)∧?y(G(y)→H(x,y))) （3）令F(x):x是人，G(x):x犯错误，命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)), 或另一种等值的形式为 ?x(F(x)→G(x)
离散数学期末试题
离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。
离散数学期末试题及答案
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).
《离散数学》清华大学出版社 前四章小测验
一、判断题 (正确的在括号内填写“√”，错误的写“×”) （ ）1、“只有天下大雨，他才乘班车上班”与“除非天下大雨，否则他不乘班车上班”所表达的逻辑关系是一样的。 （ ）2、公式B A ,含相同的命题变项,若B A ∨是重言式,则A 与B 都是重言式。 （ ）3、在命题逻辑中，任何命题公式的主合取范式都是存在的，并且是惟一的。 （ ）4、永真式的主合取范式是1，矛盾式的主析取范式是0。 （ ）5、同一个谓词公式，在不同个体域中，真值不一定相同。 二、单项选择题 1、下列命题是复合命题的是（ ） A 、黄色和蓝色可以调配成绿色； B 、李辛与李未是兄弟； C 、黄色和蓝色都是常用颜色； D 、张辉与王力是同学 ； 2、设p:天下大雨，q:小王乘公共汽车上班，命题“只有天下大雨，小王才乘公共汽车上班”的符号化形式为（ ） A 、p →q ； B 、q →p ； C 、p →┐q ； D 、┐p →q ； 3、公式()p q r ∧?∨的公式类型为（ ） A 、重言式； B 、矛盾式； C 、非重言式的可满足式； 4、下列联结词集是联结词完备集的是（ ） A 、{,,}∧∨→； B 、{,}?→； C 、{,,}∨→?； D 、{,,,}∧∨→?； 5、设解释I 如下：个体域D={a,b},F(a,a)=(b,b)=0,F(a,b)=F(b,a)=1，在解释I 下，下列公式中真值为1的是（ ） A 、(,)x yF x y ??； B 、(,)x yF x y ??； C 、(,)x yF x y ??； D 、(,)y xF x y ??； 三、填空题 1、公式)(q p ??与)()(q p q p ∧?∨?∧共同的成真赋值为 。 2、设命题公式A 为含命题变项,p q r ,的重言式，则公式(())A p q r ∨∧→的类型为 。
离散数学期末试卷A卷及答案
《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???.
2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？
离散数学课后习题答案 (邱学绍)
第一章 命题逻辑 习题1.11．解 ⑴不是陈述句，所以不是命题。 ⑵x 取值不确定，所以不是命题。 ⑶问句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑷惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑸是命题，真值由具体情况确定。 ⑹是命题，真值由具体情况确定。 ⑺是真命题。 ⑻是悖论，所以不是命题。 ⑼是假命题。 2．解 ⑴是复合命题。设p ：他们明天去百货公司；q ：他们后天去百货公司。命题符号化为q p ∨。 ⑵是疑问句，所以不是命题。 ⑶是悖论，所以不是命题。 ⑷是原子命题。 ⑸是复合命题。设p ：王海在学习；q ：李春在学习。命题符号化为p ∧q 。 ⑹是复合命题。设p ：你努力学习；q ：你一定能取得优异成绩。p →q 。 ⑺不是命题。 ⑻不是命题 ⑼。是复合命题。设p ：王海是女孩子。命题符号化为：?p 。 3．解 ⑴如果李春迟到了，那么他错过考试。 ⑵要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。 ⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。 ⑷如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。 4．解 ⑴?p →(q ∨r )。⑵p →q 。⑶q →p 。⑷q → p 。 习题1.2 1．解 ⑴是1层公式。 ⑵不是公式。 ⑶一层： p ∨q ，?p 二层：?p ?q 所以，)()(q p q p ??→∨是3层公式。 ⑷不是公式。 ⑸(p →q )∧?(?q ?( q →?r ))是5层公式，这是因为 一层：p →q ，?q ，?r 二层：q →?r 三层：?q ?( q →?r ) 四层：?(?q ?( q →?r )) 2．解 ⑴A =(p ∨q )∧q 是2层公式。真值表如表2-1所示： 表2-1 ⑵p q p q A →→∧= )(是3层公式。真值表如表2-2所示：
安徽大学期末试卷离散数学上卷及参考答案.doc
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学（上）》考试试卷（A 卷） （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、单选题（每小题2分，共20分） 1. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( ) A.R ∪I A B.R C.R ∪{〈c,a 〉} D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等 价关系，R 应取( ) A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝ B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 4. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 一、培养目标 信息科学技术学院(以下简称信息学院)本科培养方案面向电子信息科学与技术、计算机科学与技术、自动化、微电子学、示范性软件学院的计算机软件等五个专业，从2003级开始实行多学科交叉背景下、通识教育基础上的宽口径专业教育，构建具有各专业共性基础的学院平台课程体系以及具有一定特长的专业核心课程体系，强调对学生进行基本理论、基础知识、基本能力(技能)以及健全人格、综合素质和创新精神培养，为学生提供增强基础、选择专业的机制，培养基础厚、专业面宽、具有自主学习能力的复合型人才。 从2011级开始，信息学院对培养方案进行了全面修订，进一步将学科交叉范围扩大到专业核心课程体系，为学生提供更加灵活的选课机制和更加宽广的专业空间；并将继续深入研究和不断改进课程内容和教学方法，加强实践环节，更好地培养适应时代要求的信息科学技术专业人才。 信息学院致力于为学生全面参与教育教学、科学研究、文化艺术、社会服务等活动创造条件，提倡学生在参与中发现自己的能力和兴趣，最大限度地发展自己的智力和潜能，鼓励学生敢于面对挑战、不断探索、努力创造、追求卓越，并提供一种基础和环境，促使学生养成独立工作的能力和终身学习的习惯。 二、基本要求 信息学院各专业通过各种教育教学活动发展学生个性，培养学生具有健全人格；具有成为高素质、高层次、多样化、创造性人才所具备的人文精神以及人文、社科方面的背景知识；具有国际化视野；具有创新精神；具有提出、解决带有挑战性问题的能力。具有进行有效的交流与团队合作的能力；在信息科学技术领域掌握扎实的基础理论、相关领域基础理论和专门知识及基本技能，具有在相关领域跟踪、发展新理论、新知识、新技术的能力，能从事相关领域的科学研究、技术开发、教育和管理等工作。 电子信息科学与技术专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能，从事信号获取、处理和应用，通信及系统和网络，模拟及数字集成电路设计和应用，微波及电磁技术理论、信号与信息处理的新型电子材料、器件和系统，包括信息光电子和光子器件、微纳电子器件、微光机电系统、大规模集成电路和电子信息系统芯片的理论和应用等方面的科研、开发与教育工作。 微电子学专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能，从事大规模模拟及数字集成电路设计和应用，工艺开发，EDA工具开发，新型电子材料、微纳电子器件和系统，量子信息和电子信息系统的理论和应用等方面的科研、开发与教育工作。培养基础扎实，创新能力突出，有国际视野的微纳电子专业人才。 计算机科学与技术专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能，从事计算机科学理论、计算机系统结构、计算机网络、计算机软件及计算机应用技术等方面的科研、开发与教育工作。 自动化专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能，从事国民经济、国防和科研各部门的运动控制、过程控制、机器人智能控制、导航制导与控制，现代集成制造系统、模式识别与智能系统、生物信息学、人工智能与神经网络、系统工程理论与实践、新型传感器、电子与自动检测系统、复杂网络与计算机应用系统等领域的科学研究、技术开发、教育及管理等工作。 计算机软件专业的本科毕业生应该具备扎实的软件理论和软件工程专业基础知识，具有良好的工具使用与实验能力、软件分析与开发能力、过程控制与管理能力、团队协作与沟通能力。 三、学制与学位授予 离散数学期末测验试题（有几套带答案1) ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ? 离散数学试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） １)(?P∧(?Q∧Ｒ)）∨(Q∧R）∨(P∧R）?Ｒ 证明：左端?(?P∧?Q∧R)∨（(Q∨Ｐ)∧R)?（(?P∧?Q)∧R))∨((Ｑ∨Ｐ)∧R） ?(?(P∨Q）∧R)∨((Q∨P)∧Ｒ)?(?(P∨Q)∨(Ｑ∨Ｐ))∧R ?(?(P∨Q)∨(Ｐ∨Ｑ))∧R?T∧R(置换）?R 2）?x(Ａ（ｘ)→B(x)）??xＡ(x）→?xB(x) 证明:?x(A(x)→Ｂ(x））??x（?A（x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA（x)∨?xB(x)??xA(x)→?xＢ(ｘ） 二、求命题公式(P∨(Q∧Ｒ))→(Ｐ∧Q∧R）的主析取范式和主合取范式(１０分) 证明:(P∨（Ｑ∧Ｒ））→(P∧Q∧R)??(P∨(Ｑ∧Ｒ）)∨（P∧Q∧R)) ?（?P∧（?Q∨?R)）∨(Ｐ∧Q∧Ｒ） ?(?P∧?Ｑ)∨(?P∧?R)）∨(Ｐ∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Ｑ∧?R）∨(?Ｐ∧Q∧?R)）∨(?P∧?Q∧?R)）∨(Ｐ∧Ｑ∧R) ?m0∨ｍ1∨m2∨ｍ７ ?Ｍ3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10分) 1）Ｃ∨D， (C∨D)→?E, ?Ｅ→(A∧?B), (A∧?B)→(R ∨S)?R∨S 证明:(1) (C∨D）→?E (２) ?E→（A∧?Ｂ) ?? (3）（C∨D）→（A∧?Ｂ) （４) （Ａ∧?B)→(R∨Ｓ) ?? (5) （C∨D）→（R∨Ｓ) ? (6) C∨Ｄ?? (7) R∨S 2) ?x(P(ｘ)→Q(ｙ）∧R(x)），?xP(x)?Q(y）∧?x（P(x)∧R(x)) 证明（1)?xP(ｘ) (2）P(a) （3)?ｘ(P(x)→Q(y）∧R(x)) (4）P（a)→Q(y)∧R(a) (５)Q(y)∧Ｒ(a) (6)Q(y) （７)R(a） (8)P(a) (9)P(ａ)∧R(a) （10)?x(Ｐ(x)∧R(ｘ)) (11)Q（ｙ)∧?x(P（x）∧R(x)） 五、已知Ａ、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （１5分) 证明∵x∈A-（Ｂ∪C)?x∈A∧x?（Ｂ∪C)?x∈A∧(x?Ｂ∧ｘ?C）?(x∈A∧x?B)∧（x∈A∧x?C）?x∈（Ａ-B)∧ｘ∈(A－C）?x∈(A－B）∩（A-Ｃ)∴A-(B∪Ｃ）=（A-B)∩(A-C） 六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：Ｒ=｛＜x，ｙ>| x，y∈N∧y=x2｝，Ｓ={ 选择题 1.设P :他在听音乐，Q :他学习，将命题“他在学习或在听音乐”符号化正确的是（ ） A.P →Q B.P ∧Q C.P ∨Q D.Q →?P 2.下列命题公式不是．． 永真式的是( ) A.()P Q P →→ B.()P Q →∨P C.P ?∨()Q P → D.()P Q P →→ 3.下列等价式正确的是（ ） A.()()()()x A x x A x ????? B.()()()(())A x B x x A B x →???→ C.()(())()()x A x B x A x B ?→??→ D.()(())()()x A x B x A x B ?→??→ 4.设A(x):x 是鸟，B(x):x 会飞，命题“有的鸟不会飞”符号化为（ ） A.()(()x A x ??∧())B x B.()(()x A x ??∧())B x C.()(()())x A x B x ??→ D.()(()())x A x B x ??→ 5.设X ={,{},{,}}a a ??，则下列陈述正确的是（ ） A.a X ∈ B.{,}a X ?? C.{{,}}a X ?? D.{}X ?∈ 6.设A B B = ,则有（ ） A.A B A = B.A B -=? C.A B B = D.A B ? 7.设A =｛a ,{b , c }｝,则其幂集P （A ）的元素总个数为（ ） A.3 B.4 C.6 D.8 8.在整数集Z 上，下列定义的运算满足结合律的是（ ） A.1a b b *=+ B.1a b a *=- C.1a b ab *=- D.1a b a b *=++ 9.设 一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{ 精品文档院术师范学广东技模拟试题 科目：离散数学 120 分钟考试时间: 考试形式：闭卷 姓名：学号：系别、班级： 2分，共10分）一．填空题（每小题__________。?x?y?P(x)∨Q(y) 1. 谓词公式的前束范式是 __)xxQ(?xP(x)????????____，，2. 设全集A?_{4,5}B =__则A∩ {2}__,,?E?1,2,3,4,55,A?21,,32,B_____ __ {1,3,4,5}??BA????b,c}} __________，则3. 设__ ， b?,c,b,a,A?Ba???B(A)?)(_____Φ_______。???)(AB()?4. 在代数系统（N，+）中，其单位元是0，仅有_1___ 有逆元。 ne条边，则G有___e+2-n____个面。5．如果连通平面图G有个顶点，二．选择题（每小题2分，共10分） P?(Q?R)等价的公式是（1. 与命题公式） （A）（B）（C）（D）R?P?Q)()?R)R?(QPP?(Q?R?Q)(P??????b?b,?a,aA??a,b,cR?,不具备关系( 2. 设集合上的二元关系,A)性质 （A）(A)传递性(B)反对称性(C)对称性(D)自反性 G??V,E?中,结点总度数与边数的关系是3. 在图( ) ??E?Edeg(v)deg(v)?2deg(v)?Evdeg()?2E(A)(C)(B) (D) iiiiVv?Vv?4. 设D是有n个结点的有向完全图,则图D的边数为( ) n(n?1)n(n?1)n(n?1)/2n(n?1)/2(A)(B)(D)(C) 5. 无向图G是欧拉图,当且仅当( ) (A)G的所有结点的度数都是偶数(B)G的所有结点的度数都是奇数 精品文档． 精品文档 (C)G连通且所有结点的度数都是偶数(D) G连通且G的所有结点度数都是奇数。 三．计算题（共43分） p?q?r的主合取范式与主析取范式。（1. 求命题公式6分） 解：主合取方式：p∧q∨r?(p∨q∨r)∧(p∨?q∨r)∧(?p∨q∨r)= ∏0.2.4 主析取范式：p∧q∨r?(p∧q∧r) ∨(p∧q∧?r)∨(?p∧q∧r) ∨(?p∧?q∧r) ∨(p∧?q∧r)=∑1.3.5.6.7 1000????0111?????Md,A?a,b,c,的上的二元关集2. 设合系R关系矩阵为求 ??R0000????1000??)tR(),(RsRr()(),(),(rRsRtR),的关系图。R的关系矩阵，并画出分）10（， 安徽大学2006-2007学年第1学期 《离散数学》期末考试试卷（A卷） （时间120分钟） 开课院（系、部）姓名学号. 一、选择题（每小题2分，共20分）1．下列语句中，哪个是真命题（）A、 4 2= + x； B、我们要努力学习； C、如果ab为奇数，那么a是奇数，或b是偶数； D、如果时间流逝不止，你就可以长生不老。 2．下列命题公式中，永真式的是（） A、P Q P→ →) (； B、P P Q∧ → ?) (； C、Q P P? ? ∧) (； D、) (Q P P∨ →。3．在谓词逻辑中，令) (x F表示x是火车；) (y G表示y是汽车；) , (y x L表示x比y快。 命题“并不是所有的火车比所有的汽车快”的符号表示中哪些是正确的（） I.)),()()((y x L y G x F y x →∧??? II.)),()()((y x L y G x F y x ?∧∧?? III. )),()()((y x L y G x F y x ?→∧?? A 、仅I ； B 、仅III ； C 、I 和II ； D 、都不对。 4．下列结论正确的是：（ ） A 、若C A B A =，则 C B =； B 、若B A B A ?，则B A =； C 、若C A B A =，则C B =； D 、若B A ?且D C ?，则D B C A ?。 5．设φ=1A ，}{2φ=A ，})({3φρ=A ，)(4φρ=A ，以下命题为假的是（ ） A 、42A A ∈； B 、31A A ?； C 、24A A ?； D 、34A A ∈。 6．设R 是集合},,,{d c b a A =上的二元关系， },,,,,,,,,,,{><><><><><><=b d d b a c c a a d d a R 。下列哪些命题为真（ ） I.R R ?是对称的 II. R R ?是自反的 III. R R ?不是传递的 A 、仅I ； B 、仅II ； C 、I 和II ； D 、全真。 离散数学试题(Ｂ卷答案１） 一、证明题(10分） 1）(P∧（Ｑ∧Ｒ）)∨(Q∧R）∨（Ｐ∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧Ｒ）∨((Q∨P）∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((Ｐ∨Ｑ）∧R）∨((Ｑ∨P)∧Ｒ) (（P∨Q）∨（Ｑ∨P))∧Ｒ （(P∨Ｑ)∨(Ｐ∨Q))∧R T∧Ｒ(置换)Ｒ 2) x (A(x)B(ｘ）)xA(x)xＢ(ｘ) 证明：x(A(ｘ)B(x))x(Ａ(ｘ)∨B(x)） x A(ｘ)∨xB（ｘ) xA(x)∨xB(x） xＡ(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨（Q∧R)）(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分）。 证明：(P∨（Q∧R))(P∧Q∧R)（P∨(Q∧R)）∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨Ｒ))∨（P∧Q∧Ｒ） （Ｐ∧Q)∨（P∧R)）∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧Ｒ)∨(P∧Q∧Ｒ))∨(P∧Ｑ∧R）)∨(Ｐ∧Q∧R） m0∨ｍ1∨m２∨ｍ７ Ｍ３∨M４∨Ｍ５∨M6 三、推理证明题（１0分) 1）Ｃ∨D，（C∨D)E, E(A∧B)，(A∧Ｂ)(R∨S)R∨Ｓ证明：(１） (C∨D) E ?P (2) E（A∧Ｂ) ??P （3) (Ｃ∨D）（A∧B) Ｔ（1）(2），I (4) （A∧B)(R∨S）??P (5) (Ｃ∨D)(Ｒ∨S) ? T(3)(4)，I (6） C∨Ｄ P (7) R∨S T(5)，I 2) x(P(ｘ)Ｑ(y)∧R(ｘ)），xＰ(ｘ)Q（y)∧x(Ｐ(x)∧R(x)) 证明(1)ｘP(x) Ｐ （2)Ｐ(ａ） T(1），ＥS (3)ｘ（P(x)Q（y)∧R(x）) Ｐ (４)P(a)Q（y)∧R(a） T(3)，ＵS (５)Q（ｙ)∧R(a） T(2)（4），I （6）Q(y) Ｔ(５)，I （7)R(ａ) T(5),I (8)P(a)∧Ｒ（ａ) T(2)(7),I （9)x(Ｐ(x）∧R(x)) Ｔ(8),ＥG (10)Q(ｙ)∧x(P(x)∧R(ｘ)) Ｔ(６）(9)，I 四、某班有２5名学生,其中14人会打篮球,１2人会打排球，6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解：A，B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则｜A|=1２，|Ｂ|＝6,｜Ｃ|=14，｜A∩C|=6，｜B∩C｜=5，|Ａ∩Ｂ∩C｜=２。 先求|A∩B|。 ∵6＝|（Ａ∪C)∩B|=|（A∩B）∪（Ｂ∩C)|=|（A∩B）|＋|（B∩C）｜-|A∩B∩C|=|(Ａ∩B)|+5-２，∴|(A∩B）|=３。 于是|A∪Ｂ∪C｜=12+6+14-6-5－３＋２=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知Ａ、B、Ｃ是三个集合,证明A-(B∪Ｃ)=(A-B)∩(Ａ-C）(10分)。 证明：∵x A-（B∪C） x A∧x（B∪C） xＡ∧(xＢ∧x C） （x A∧x B）∧(x A∧ｘC） x（A-B）∧x(Ａ-C） ｘ（Ａ-Ｂ）∩(A-C） ∴Ａ-（B∪Ｃ)=（Ａ－B）∩(A－Ｃ） 六、已知R、S是Ｎ上的关系,其定义如下：R={ 清华大学计算机系培养方案一 信息科学技术学院 本科指导性教学计划 第一年 课程编号课程名称学分周学时考核方式说明及主要先修课 12090043 军事理论与技能训练3 3 考查 秋季学期 课程编号课程名称学分周学时考核方式说明及主要先修课 107 1 体育(1) 1 2 考查 10610183 思想道德修养与法律基础3 2 考查 10640532 英语（1） 2 2 考查 10420874 一元微积分 4 4 考试 10420904 几何与代数(1) 4 4 考试 0412 工程图学基础 2 2 考试 2选1 20240023 离散数学(2) 3 3 考试 程序设计课组 3 3 考试选１门，详见附录2 30210041 信息科学技术概论 1 1 考查 文化素质选修课≥1 1 合计≥21 注：计算机科学与技术专业必修“离散数学(2)”，其它专业必修“工程图学基础”。 春季学期 课程编号课程名称学分周学时考核方式说明及主要先修课 107 1 体育(2) 1 2 考查 10610193 中国近现代史纲要 3 2 考试 10640682 英语（2） 2 2 考查 10420884 多元微积分 4 4 考试先修一元微积分 10421002 几何与代数(2) 2 2 考试 大学物理课组1 4 4 考试先修一元微积分 20220214 电路原理 4 4 考试 20220221 电路原理实验 1 1 考查 合计≥21 夏季学期 课程编号课程名称学分周学时考核方式说明及 主要先修课 - 3 - - 4 - 21510192 电子工艺实习（集中） 2 考查 2周 程序训练课组 2 考查 3周 合计： 4 第二年 秋季学期 课程编号 课程名称 学分 周学时 考核方式 说明及 主要先修课 107 1 体育(3) 1 2 考查 10610204 马克思主义基本原理 4 3 考试 10420892 高等微积分B 2 2 考试 10420252 复变函数引论 2 2 考试 304 3 复分析 3 3 考试 大学物理课组2 4 4 考试 见附录2 10430782 物理实验A(1) 2 2 考查 10430801 物理实验B(1) 1 1 考查 电子基础课组１ 3 3 考试 电子基础课组２ 3 3 考试 21550012 电子技术实验 2 2 考查 文化素质选修课 ≥1 2 10420262 数理方程引论 2 2 考查 20240013 离散数学(1) 3 3 考试 3选1 选1门，详见2选1，大学 2选1，一元微 离散数学期末试卷(A) XXXX大学XX学院2007 ～2008学年第一学期《离散数学》期末试卷年级专业题号得分适用年级专业：2006级软件工程专业试卷说明：闭卷考试，考试时间120分钟一、单项选择题1．下列语句中只有不是命题。C A．今年元旦会下雪。B．1+1=10。C．嫦娥一号太棒了！D．嫦娥奔月的神话已成为现实。2．p?q 的主合取范式是。 B A．(p?q)?(p??q)B．(p??q)?(?p?q) C．(p?q)?(?p??q)D．(p?q)?(?p?q) 3．与p? q等值的命题公式是。D A．?p?q B．p??q C．p??q D．?p?q 4．在一阶逻辑中使用的量词只有个。B A．1B．2 C．3D．4 5．??xA(x)?。C A．??xA(x) B．?x?A(x) C．?x?A(x) D．?xA(x) 6．若|A|=4，则|P(A)|=。 C A．4B．8C．16 D．64 7．设A、B、C为任意集合，集合的对称差运算不具有的性质是。 D A．A?B = B?A B．(A?B)?C = B?(A?C) 班级学号一二三姓名____________ 四总分C．A?A = ?D．A?A = A 8．二元关系是。B A．两个集合的笛卡儿积B．序偶的集合C．映射的集合D．以上都不是9．下面关于函数的叙述中正确的是。D A．函数一定是满射B．函数一定是单射C．函数不是满射就单射D．函数是特殊的关系10．半群中的二元运算一定满足=。B A．交换律B．结合律C．分配律D．幂等律11．环中有个二元运算。 B A．一B．二C．三D．四12．群与独异点的区别是。 C A．满足交换律B．满足结离散数学期末试题及答案完整版
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