一次函数知识点总结与常见题型-一次函数知识点整理(最新最全)

一次函数知识点总结与常见题型

基本概念

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C =2πr 中，变量是________，常量是_________.

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应

例题：下列函数（1）y =πx (2)y =2x －1 (3)y =1x (4)y =2

1

－3x (5)y =x 2－1中，是一次函数的有

（ ）

（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ）

A ．y

B ．y

C ．y

D ．y

函数y =x 的取值范围是___________.

已知函数22

1

+-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是 （ ）

A .2325≤<-y

B .2523<

C .2523<≤y

D .2523≤

5、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 9、正比例函数及性质

一般地，形如y =kx (k 是常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y =kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零

当k >0时，直线y =kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k <0时，?直线y =kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1)解析式：y =kx （k 是常数，k ≠0）

(4)增减性：k >0，y 随x 的增大而增大；k <0，y 随x 增大而减小 (5)倾斜度：|k |越大，越接近y 轴；|k |越小，越接近x 轴

例题：(1).正比例函数(35)y m x =+，当m 时，y 随x 的增大而增大. (2)若23y x b =+-是正比例函数，则b 的值是 （ ）

A .0

B .23

C .23-

D .3

2

-

.(3)函数y =(k －1)x ，y 随x 增大而减小，则k 的范围是 ( ) A .0k C .1≤k D .1

(4)东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y 元与买鲜鸡蛋个数x （个）之间的函数关系式是_______________．

(5)平行四边形相邻的两边长为x 、y ，周长是30，则y 与x 的函数关系式是__________． 10、一次函数及性质

一般地，形如y =kx ＋b (k ,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b =0时，y =kx ＋b 即y =kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y =kx +b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数

一次函数y =kx +b 的图象是经过（0，b ）和（－k

b

，0）两点的一条直线，我们称它为直线y =kx +b ,它

可以看作由直线y =kx 平移|b |个单位长度得到.（当b >0时，向上平移；当b <0时，向下平移）

（1）解析式：y =kx +b (k 、b 是常数，k ≠0 （2）必过点：（0，b ）和（－k

b

，0）

（3）走向： k >0，图象经过第一、三象限；k <0，图象经过第二、四象限 b >0，图象经过第一、二象限；b <0，图象经过第三、四象限 ????>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ????<>00

b k 直线经过第一、三、四象限 ????><00b k 直线经过第一、二、四象限 ???

?<<0

b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k >0，y 随x 的增大而增大；k <0，y 随x 增大而减小.

（5）倾斜度：|k | 越大，图象越接近于y 轴；|k | 越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b >0时，将直线y =kx 的图象向上平移b 个单位； （上加下减，左加右减） 当b <0时，将直线y =kx 的图象向下平移b 个单位. 例题：若关于x 的函数1(1)m y n x -=+是一次函数，则m = ，n . .函数y =ax +b 与y =bx +a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）

将直线y ＝3x 向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y ＝－x －5向上平移5个单位，得到直线 .

若直线a x y +-=和直线b x y +=的交点坐标为(8,m ),则=+b a ____________. 已知函数y ＝3x +1，当自变量增加m 时，相应的函数值增加（ ） Ａ．3m +1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m －1 11、一次函数y =kx ＋b 的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：与y

轴的交点（0，b ），与x 轴的交点（b

-，0）.即横坐标或纵坐标为0的点.

k>0

经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

k<0

经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小

☆k、b的符号对直线位置的影响☆

图像过一、二、三象限图像过一、三、四象限图像过一、二、四象限图像过二、三、四象限（大大不过四）（大小不过二）（小大不过三）（小小不过一）

思考：若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过（）

A.第一象限

B. 第二象限

C.第三象限

D.第四象限

12、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

13、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

（1）两直线平行：k1=k2且b1≠b2 （2）两直线相交：k1≠k2

（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2 （4）两直线垂直：k1·k2= –1

14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

15、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax +b >0或ax +b <0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 17、一次函数与二元一次方程组

（1）以二元一次方程ax +by =c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y =b

c

x b a +-的图象相同.

（2）二元一次方程组???=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y =1111b c x b a +-和y =2222b c

x b a +-的图象交

点.

18、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积

一次函数y =kx ＋b 的图象与两条坐标轴的交点：与y 轴的交点（0，b ），与x 轴的交点（k

b

-，0）. 直线

（b ≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为s =k

b b k b 2212

=??

常见题型

一、考察一次函数定义

1、若函数()2

13

m y m x

=-+是y 关于x 的一次函数，则m 的值为 ；解析式

为 .

2、要使y =(m －2)x n －1

+n 是关于x 的一次函数,n ,m 应满足 , . 二、考查图像性质

1、已知一次函数y =（m －2）x +m －3的图像经过第一，第三，第四象限，则m 的取值范围是________．

2、若一次函数y =（2－m ）x +m 的图像经过第一、?二、?四象限，?则m ?的取值范围是______

3、已知m 是整数，且一次函数(4)2y m x m =+++的图象不过第二象限，则m 为 .

4、直线y kx b =+经过一、二、四象限，则直线y bx k =-的图象只能是图4中的（ ）

5、直线0px qy r ++=(0)pq ≠如图5，则下列条件正确的是（ ）

.,1A p q r == .,0B p q r == .,1C p q r =-= .,0D p q r =-=

6、如果0ab >，0a c <，则直线a c

y x b b

=-+不通过（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 7、如图6，两直线1y kx b =+和2y bx k =+在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）

8、如果0ab >，

0a c <，则直线a c

y x b b

=-+不通过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9、b 为 时，直线2y x b =+与直线34y x =-的交点在x 轴上.

10、要得到y =－32x －4的图像，可把直线y =－3

2

x （ ）．

（A ）向左平移4个单位（B ）向右平移4个单位 （C ）向上平移4个单位 （D ）向下平移4个单位 11、已知一次函数y =－kx +5，如果点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）都在函数的图像上，且当x 1

成立，那么系数k 的取值范围是________．

12、已知点（－4，y 1），（2，y 2）都在直线y =－ 1

2

x +2上，则y 1 、y 2大小关系是( )

（A ）y 1 >y 2 （B ）y 1 =y 2 （C ）y 1

1、若直线y =3x －1与y =x －k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ）．

（A ）k <13 （B ）131 （D ）k >1或k <1

3

2、若直线y x a =-+和直线y x b =+的交点坐标为(,8)m ，则a b += .

3、一次函数y kx b =+的图象过点(,1)m 和(1,)m 两点，且1m >，则k = ，b 的取值范围是 .

4、直线y kx b =+经过点(1,)A m -，(,1)B m (1)m >，则必有（ ）

A . 0,0k b >> .0,0

B k b >< .0,0

C k b <> .0,0

D k b <<

5、如图所示，已知正比例函数x y 2

1-=和一次函数b x y +=，它们的图像都经过点P （a ，1），且一次函

数图像与y 轴交于Q 点。 （1）求a 、b 的值；（2）求△PQO 的面积。

四、面积问题

1、若直线y =3x +6与坐标轴围成的三角形的面积为S ，则S 等于（ ）． A ．6 B ．12 C ．3 D ．24

2、若一次函数y =2x +b 的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，则b =_______．

3、已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图像都经过(2,0)A -，且与y 轴分别交于点B ，c ，则ABC ?的面积为（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

4、已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点（－1，－5），且与正比例函数1

y=x 2

的图像相交于点（2，a ），

求（1）a 的值；（2）k 、b 的值；（3）这两个函数图像与x 轴所围成的三角形面积。

五、一次函数解析式的求法

（1） 定义型 例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。

（2）点斜型 例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。

（3）两点型 例3.已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

（4）图像型 例 4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

（5）斜截型 例5. 已知直线与直线平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为 。 （6）平移型 例6.①把直线向上平移2个单位得到的图像解析式为 。 ②把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为 。 ③把直线向左平移2个单位得到的图像解析式为 。

④把直线向右平移2个单位得到的图像解析式为 。

规律： （7） 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式为 。 （8）面积型 例8. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 。

（9）对称型 例9. 若直线l 与直线关于y 轴对称，则直线l 的解析式为____________。 知识归纳： 若直线与直线关于 （1）x 轴对称，则直线l 的解析式为 （2）y 轴对称，则直线l 的解析式为 （3）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为 （4）直线

对称，则直线l 的解析式为

（5）原点对称，则直线l 的解析式为

（10）开放型 例10.一次函数的图像经过(－1,2)且函数y 的值随x 的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式 .

（11）比例型 例11..已知y 与x +2成正比例，且x ＝1时y ＝－6．求y 与x 之间的函数关系式 练习题：

1. 已知直线y =3x －2, 当x =1时，y =

2. 已知直线经过点A （2,3），B （－1，－3），则直线解析式为________________

3. 点（－1，2）在直线y =2x ＋4上吗？ （填在或不在）

4. 当m 时，函数y =(m －2)3

2

m x +5是一次函数，此时函数解析式为 。 5. 已知直线y =3x +b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则函数的解析式为 .

6. 已知变量y 和x 成正比例，且x =2时，y =－2

1

,则y 和x 的函数关系式为 。

8. 直线y =kx ＋2与x 轴交于点（－1，0），则k = 。

9. 直线y =2x －1与x 轴的交点坐标为 与y 轴的交点坐标 。 10. 若直线y =kx ＋b 平行直线y =3x ＋4，且过点（1，－2），则k = .

11. 已知A (－1,2), B (1,－1), C (5,1), D (2,4), E (2,2),其中在直线y =－x +6上的点有_________,

在直线y =3x －4上的点有_______

12. 某人用充值50元的IC 卡从A 地向B 地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费2.4元，以后每

超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t 分钟（3≤t ≤45），则IC 卡上所余的费用y （元）与t （分）之间的关系式是 .

13. 某商店出售一种瓜子，其售价

质量x （千克） 1 2 3 4 售价y （元） 3.60+0.20 7.20+0.20 10.80+0.20 14.40+0.2

14. 已知:一次函数的图象与正比例函数Y =－3

2

X 平行,且通过点(0,4), (1)求一次函数的解析式.(2)若

点M (－8,m )和N (n ,5)在一次函数的图象上,求m ,n 的值

15. 已知一次函数y =kx +b 的图象经过点(－1, －5),且与正比例函数y = 1

2

x 的图象相交于点(2,a ),

求(1)a 的值 (2)k ,b 的值 (3)这两个函数图象与x 轴所围成的三角形面积.

16. 有两条直线b ax y +=1，c cx y 52+=，学生甲解出它们的交点坐标为（3，－2），学生乙因把c 抄错

了而解出它们的交点坐标为)4

1

,43(，求这两条直线解析式

17. 已知正比例函数x k y 1=的图象与一次函数92-=x k y 的图象交于点P （3，－6） （1）求21,k k 的值。（2）如果一次函数92-=x k y 与x 轴交于点A ，求A 点坐标

18. 某种拖拉机的油箱可储油40L ，加满油并开始工作后，?油箱中的余油

六、分段函数

1、某自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量收费办法，若某户居民应交水费

y （元）与用水

量x （吨）的函数关系如图所示。

（1）写出y 与x 的函数关系式；

（2）若某户该月用水21吨，则应交水费多少元？

2、果农黄大伯进城卖菠萝，他先按某一价格卖出了一部分菠萝后，把剩下

的菠萝全部降价卖完，卖出的菠萝的吨数x 和他收入的钱数y （万元）的

关系如图所示，结合图象回答下列问题： （1）降价前每千克菠萝的价格是多少元？

（2）若降价后每千克菠萝的价格是1.6元，他这次卖菠萝的总收入是2万元，问他一共卖了多少吨菠萝？

3、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月不超过100度时，按每度0.57元计费；每月用电超过100度时，其中的100度按原标准收费；超过部分按每度0.50元计费. （1）设用电x 度时，应交电费y 元，当x ≤100和x ＞100时，分别写出y 关于x 的函数关系式. （2

4、某校需要刻录一批电脑光盘，若电脑公司刻录，每张需要8元（含空白光盘费）；若学校自刻，除租x

吨

七、一次函数应用

1、甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分，（a

1

2

a米/分，下山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同时从点A出发，时间为t（分），离开点A的路程为S（米），?那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t （分）与离开点A的路程S（米）?之间的函数关系的是（）

2、如图7，A、B两站相距42千米，甲骑自行车匀

速行驶，由A站经P处去B站，上午8时，甲位于

距A站18千米处的P处，若再向前行驶15分钟，

使可到达距A站22千米处.设甲从P处出发x小时，

距A站y千米，则y与x之间的关系可用图象表示为

（）

3、汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为( )

A B C

4、某油库有一大型储油罐，在开始的8分钟内，只开进油管，不开出油管，油罐的油进至24吨（原油罐没储油）后将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐内的油从24吨增至40吨，随后又关闭进油管，只开出油管，直到将油罐内的油放完，假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.

（1）试分别写出这一段时间内油的储油量Q（吨）与进出油的时间t(分)的函数关系式.

（2）在同一坐标系中，画出这三个函数的图象.

2 4

200

400

t/h

S/km

2 4

200

400

t/h

S/km

2 4

200

400

t/h

S/km

2 4

200

400

t/h

S/km

吨水泥，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和运费如下表（表中运费栏“元/（吨、千米）”表示

画出它的图象（草图）.

（2）当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？

6、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，?现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10．已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B?市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元．

（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值．

（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值．

7、某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门。乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。

（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果质量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（2）依据购买量判断，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。

8、某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：

注：利润=售价－成本

（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？

（2）该公司如何建房获得利润最大？

（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元（a>0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？

八一次函数与方案设计问题

一次函数是最基本的函数，它与一次方程、一次不等式有密切联系，在实际生活中有广泛的应用。例如，利用一次函数等有关知识可以在某些经济活动中作出具体的方案决策。近几年来一些省市的中考或竞赛试题中出现了这方面的应用题，这些试题新颖灵活，具有较强的时代气息和很强的选拔功能。

1．生产方案的设计

例1某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

(1)要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来；

(2)生产A、B两种产品获总利润是y(元)，其中一种的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?

2.调运方案设计

例2北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台。如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4百元/台、8百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台。求：

(1)若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台?

(2)若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案?

(3)求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元?

例3 某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额(指每日卖出商品所收到的总金额)为60万元。由于营业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润情况如表2。

商场将计划日营业额分配给三个经营部，设分配给百货部、服装部和家电部的营业额分别为x(万元)、y(万元)、z(万元)(x,y,z都是整数)。

(1) 请用含x的代数式分别表示y和z；

(2) 若商场预计每日的总利润为C(万元)，且C满足19≤C≤19.7，问这个商场应怎样分配日营业额给三个经营部?各部应分别安排多少名售货员?

3．优惠方案的设计

例4某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游。甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待。”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠。”若全票价为240元。

(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；

(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；

(3)就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。

练习

装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利润30元。设生产L型号的童装套数为x，用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为y(元)。

(1)写出y(元)关于x(套)的函数解析式；并求出自变量x的取值范围；

(2)该厂在生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?

2．A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往C、D两农村，如果从A城运往C、D两地运费分别是20元/吨与25元/吨，从B城运往C、D两地运费分别是15元/吨与22元/吨，现已知C地需要220吨，D地需要280吨，如果个体户承包了这项运输任务，请帮他算一算，怎样调运花钱最小?

3．下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润。某汽车运输公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售(

(1)若用8?

(2)公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B地销售(每种蔬菜不少于一车)，如何安排装运，可使公司获得最大利润?最大利润是多少?

八一次函数与方案设计问题

??

?≤-+≤-+290

)50(103360

)50(49x x x x )2()1(

解不等式组得 30≤x ≤32。

因为x 是整数，所以x 只取30、31、32，相应的(50-x)的值是20、19、18。

所以，生产的方案有三种，即第一种生产方案：生产A 种产品30件，B 种产品20件；第二种生产方案：生产A 种产品31件，B 种产品19件；第三种生产方案：生产A 种产品32件，B 种产品18件。

(2)设生产A 种产品的件数是x ，则生产B 种产品的件数是50-x 。由题意得

y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。(其中x 只能取30，31，32。)

因为 -500<0, 所以 此一次函数y 随x 的增大而减小， 所以 当x=30时，y 的值最大。

因此，按第一种生产方案安排生产，获总利润最大，最大利润是：-500·3+6000=4500(元)。

本题是利用不等式组的知识，得到几种生产方案的设计，再利用一次函数性质得出最佳设计方案问题。 2解 设上海厂运往汉口x 台，那么上海运往重庆有(4-x)台，北京厂运往汉口(6-x)台，北京厂运往重庆(4+x)台，则总运费W 关于x 的一次函数关系式：

W=3x+4(6-x)+5(4-x)+8(4+x)=76+2x 。

(1) 当W=84(百元)时，则有76+2x=84,解得x=4。 若总运费为8400元，上海厂应运往汉口4台。

(2) 当W ≤82(元)，则?

?

?≤+≤≤822764

0x x

解得0≤x ≤3，因为x 只能取整数，所以x 只有四种可的能值：0、1、2、3。

答：若要求总运费不超过8200元，共有4种调运方案。

(3) 因为一次函数W=76+2x 随着x 的增大而增大，又因为0≤x ≤3，所以当x=0时，函数W=76+2x 有最小值，最小值是W=76(百元)，即最低总运费是7600元。

此时的调运方案是：上海厂的4台全部运往重庆；北京厂运往汉口6台，运往重庆4台。

本题运用了函数思想得出了总运费W 与变量x 的一般关系，再根据要求运用方程思想、不等式等知识解决了调运方案的设计问题。并求出了最低运费价。

例3 解 (1)由题意得??

?=++=++190

24560z y x z y x ，解得 .225,2335x

z x y +=-=

(2) C=0.3x+0.5y+0.2z=-0.35x+22.5。

因为 19≤C ≤19.7， 所以 9≤-0.35x+22.5≤19.7，解得 8≤x ≤10。 因为 x,y,z 是正整，且x 为偶数，所以 x=8或10。

当x=8时，y=23,z=29，售货员分别为40人，92人，58人； 当x=10时，y=20,z=30，售货员分别为50人，80人，60人。

本题是运用方程组的知识，求出了用x 的代数式表示y 、z ，再运用不等式和一次函数等知识解决经营调配方案设计问题。

3.销方案的设计

解 (1)y 甲=120x+240, y 乙=240·60%(x+1)=144x+144。 (2)根据题意，得120x+240=144x+144, 解得 x=4。 答：当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多。 (3)当y 甲>y 乙，120x+240>144x+144， 解得 x<4。

当y 甲4。

答：当学生人数少于4人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠；本题运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了优惠方案的设计问题。

综上所述，利用一次函数的图象、性质及不等式的整数解与方程的有关知识解决了实际生活中许多的

1. (1) y=15x+1500；自变量x的取值范围是18、19、20。

(2) 当x=20时，y的最大值是1800元。

2. 设A城化肥运往C地x吨，总运费为y元，则y=2x+10060 (0≤x≤200)，

当x=0时，y的最小值为10060元。

3. (1) 应安排2辆汽车装运乙种蔬菜，6辆汽车装运丙种蔬菜。

(2) 设安排y辆汽车装运甲种蔬菜，z辆汽车装运乙种蔬菜，则用［20-(y+z)］辆汽车装运丙种蔬菜。得 2y+z+1.5［20-(y+z)］=36，化简，得 z=y-12，所以 y-12=32-2y。

因为 y≥1， z≥1， 20-(y+z)≥1，所以 y≥1， y-12≥1， 32-2y≥1，

所以 13≤y≤15.5。

设获利润S百元，则S=5y+108，

当y=15时，S的最大值是183，z=y-12=3， 20-(y+z)=2。

4. (1) 当成本大于3000元时，年初出售好；

(2) 当成本等于3000元时，年初、年末出售都一样；

(3) 当成本小于3000元时，年末出售好。

一次函数专题训练

一、选择题

1．已知一次函数y kx k =-,若y 随着x 的增大而减小,则该函数图象经过（ ） （A ）第一、二、三象限 （B ）第一、二、四象限 （C ）第二、三、四象限 （D ）第一、三、四象限 2．若正比例函数y =kx 的图象经过点（1，2），则k 的值为

A ．12-

B ．－2

C ．12

D ．2

3．点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2）是一次函数y ＝－4x + 3 图象上的两个点，且x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是（ ）

（A ）y 1＞y 2 （B ）y 1＞y 2＞0 （C ）y 1＜y 2 （D ）y 1＝y 2

4．下列图形中，表示一次函数y =mx +n 与正比例函数y =mnx （m 、n 为常数，且mn ≠0）的图象的是（ ）

5．某棵果树前x 年的总产量y 与x 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前x 年的年平均产量最高，则x 的值为( )

A ．3

B ．5

C ．7

D ．9 6．根据下表中一次函数的自变量x 与函数y 的对应值，可得p 的值为（ ）

x －2 0 1 y 3 p 0 7．如果一个正比例函数的图象经过不同．．

象限的两点A （2，m ），B （n ，３），那么一定有（ ）A ．m >0，n >0 B ．m >0，n <0 C ．m <0，n >0 D ．m <0，n <0

8．已知一次函数y =x ﹣2，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

直线的解析式是（ ） 进球数 0 1 2 3

4 5 人数 1 5 x

y 3 2

A ．y =x +9与y x 2223

3=+

B ．y =﹣x +9与y x 22233=+

C ．y =﹣x +9与y x 22233=-+

D ．y =x +9与y x 222

33

=-+

10．P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是正比例函数y 2

x 1

=-图象上的两点，下列判断中，正确的是（ ）

A ．y 1＞y 2

B ．y 1＜y 2

C ．当x 1＜x 2时，y 1＜y 2

D ．当x 1＜x 2时，y 1＞y 2 11．对于函数y =﹣3x +1，下列结论正确的是（ ）

A ．它的图象必经过点（﹣1，3）

B ．它的图象经过第一、二、三象限

C ．当x ＞1时，y ＜0

D ．y 的值随x 值的增大而增大

12．假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（ ）

A ．5种

B ．4种

C ．3种

D ．2种 13．函数y =3x ﹣4与函数y =2x +3的交点的坐标是（ ） A ． （5，6） B ． （7，﹣7） C ． （﹣7，﹣17） D ． （7，17）

14．如图表示某加工厂今年前5个月每月生产某种产品的产量c （件）与时间t （月）之间的关系，则对这种产品来说，该厂（ ）

A .1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月产量逐月减小

B .1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月产量与3月持平

C .1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月产量均停止生产

D .1月至3月每月产量不变， 4、5两月均停止生产 15．若反比例函数k

y x

=

的图象过点（﹣2，1），则一次函数y =kx ﹣k 的图象过（ ） A ．第一、二、四象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、三象限

16．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数y x 3=+的图象与函数1

y x

=

的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ）

A ．010

B ．011

C ．011

D ．01

17．今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱取购买甲、乙

两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有（ ）

A ．3种

B ．4种

C ．5种

D ．6种

18．已知正比例函数()y kx k 0=≠的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（ ）

A ．y 2x =

B ．y 2x =-

C ．1y x 2=

D ．1y x 2

=-

法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a =24；④b =480．其中正确的是（ ）

A ．①②③

B ．①②④

C ．①③④

D ．①②③④

20．对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），定义一种运算：()()1212A B x x y y ⊕=+++．例如，A （－5，4），B （2，﹣3），()()A B 52432⊕=-++-=-．若互不重合的四点C ，D ，E ，F ，满足C D D E E F F D ⊕=⊕=⊕=⊕，则C ，D ，E ，F 四点（ ）

A ．在同一条直线上

B ．在同一条抛物线上

C ．在同一反比例函数图象上

D ．是同一个正方形的四个顶点 二、填空题

21．函数y =kx 的图象经过点P (3，－1)，则k 的值为 . 22．请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式 ．

23．写出一个过点（0，3），且函数值y 随自变量x 的增大而减小的一次函数关系式： .(填上一个答案即可)

24．已知点P (x ，一3)在一次函数y =2x +9的图象上，则x = . 25．如果直线m x y +=2不经过第二象限，那么实数m 的取值范围是_________.

26．已知，函数y =3x 的图象经过点A （﹣1，y 1），点B （﹣2，y 2），则y 1 y 2（填“＞”“＜”或“=”）

27．已知点（3，5）在直线y =ax +b （a ，b 为常数，且a ≠0）上，则

a

b 5

-的值为 . 28．已知一次函数y =kx +b （k 、b 为常数且k ≠0）的图象经过点A （0，﹣2）和点B （1，0），则k = ，b = ．

29．如图，一个正比例函数图像与一次函数y =x 1-+的图像相交于点P ，则这个正比例函数的表达式是 .

30．把直线y =2x ﹣1向上平移2个单位，所得直线的解析式是 ．

31．直线y 2x 1=-沿y 轴平移3个单位，则平移后直线与y 轴的交点坐标为 .

32．某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，试写出付款金额y （单位：元）与购书数量x （单位：本）之间的函数关系 ．

33．如图，在平面直角坐标中，直线l 经过原点，且与y 轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A （0，1）作y 轴的垂线l 于点B ，过点B 1作作直线l 的垂线交y 轴于点A 1，以A 1B ．BA 为邻边作ABA 1C 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2，以A 2B 1．B 1A 1为邻边作A 1B 1A 2C 2；…；按此作法继续下去，则C n 的坐标是 ．

34．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：

①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；

②兔子和乌龟同时从起点出发；

③乌龟在途中休息了10分钟；

④兔子在途中750米处追上乌龟．

其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）

35．已知直线

2n2

y x

n1n1

=-+

++

（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S n，则S1+S2+S3+┅

+S2012= ．

三、计算题

36．小张骑车往返于甲、乙两地，距甲地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数图象如图所示．

（1）小张在路上停留小时，他从乙地返回时骑车的速度为千米／时．

（2）小王与小张同时出发，按相同路线前往乙地，距甲地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系式为1210

y x

=+．小王与小张在途中共相遇几次？请你计算第一次相遇的时间．

37.已知一次函数y kx k

=+的图象与反比例函数

8

y

x

=图象交于点P（4，n）。

（1）求P点坐标

（2）求一次函数的解析式

（3）若点A（a，b），B（c，d）在上述一次函数的图象上，且a c

>，试比较b、d的大小，并说明理由。

38．如图，直线1l 的解析式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A 、B ，直线1l 、2l 交于点C ．

（1）求点D 的坐标；

（2）求直线2l 的解析表达式；

（3）求ADC △的面积； （4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，

请直接．．

写出点P 的坐标．

39．已知：b c a c a b

k a b c

+++===，试判断直线y kx k =+一定经过哪些象限，并说明理由。

40．已知直线3y x =-与双曲线5

m y x

-=交于点P (1n -，)．

（1）求m 的值；

（2）若点11()A x y ，、22()B x y ，在双曲线5

m y x

-=上．且120x x <<，试比较12y y 、的大小．

四、解答题

41．国家推行“节能减排，低碳经济”的政策后，某企业推出一种叫“CNG ”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b 元.据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）0y 、1y （单位：元）与正常运营时间x （单位：天）之间分别满足关系式：0y ax =、1y b 50x =+，如图所示. 试根据图像解决下列问题： （1）每辆车改装前每天的燃料费a = 元,每辆车的改装费b = 元.正常运营 天后，就可以从节省燃料费中收回改装成本.

l 1

l 2

x

y

D O 3

B C A 32

- （4，