第2章第5讲 指数与指数函数
第5讲 指数与指数函数
基础知识整合
一、指数及指数运算 1．根式的概念
根式的概念
符号表示 备注 如果□
01x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根 — n >1且n ∈N * 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个□
02正数，负数的n 次方根是一个□
03负数 n
a
零的n 次方根是零 当n 为偶数时，正数的n 次方根有□04两个，它们互为□
05相反数 ±n
a (a ＞0)
负数没有偶次方
根
2．分数指数幂
(1)a m n
＝□ n
a m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)； (2)a
－m n
＝□
071
a m n
＝□
1
n
a m
(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)；
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a r ·a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 二、指数函数及其性质 1．指数函数的概念
函数□
09y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数．
说明：形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数．
2．指数函数的图象和性质
底数 a >1 0 图 象 性 质 函数的定义域为R ，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 当x >0时，恒有y >1； 当x <0时，恒有0 函数在定义域R 上为减函数 1．(n a )n ＝a (n ∈N *且n >1)． 2.n a n ＝??? ?? a ，n 为奇数且n >1，|a |＝??? a ，a ≥0，－a ，a ＜0， n 为偶数且n >1. 3．底数对函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的函数值的影响如图(a 1>a 2>a 3>a 4)，不论是a >1，还是0 4．当a >0，且a ≠1时，函数y ＝a x 与函数y ＝? ?? ?? 1a x 的图象关于y 轴对称． 1．化简[(－2)6] 12 －(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 答案 B 解析 [(－2)6] 12 －(－1) ＝(26) 12 －1＝7. 2．函数f (x )＝? ???? 13x ＋1(x ≥0)的值域为( ) A ．(－∞，2] B ．(2，＋∞) C ．(0,2] D ．(1,2] 答案 D 解析 ∵当x ≥0时，? ????13x ∈(0,1]，∴? ????13x ＋1∈(1,2]，即f (x )的值域为(1,2]． 3．(a 2－a ＋2)－x －1<(a 2－a ＋2)2x ＋5的解集为( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－2，＋∞) 答案 D 解析 ∵a 2－a ＋2>1，∴－x －1<2x ＋5， ∴x >－2，选D ． 4．(2019·德州模拟)已知a ＝? ????3525 ，b ＝? ????2535 ，c ＝? ? ???2525 ，则( ) A ．a B ．c C ．c D ．b 答案 D 解析 因为y ＝? ?? ??25x 在R 上为减函数，35>25，所以b 上为增函数，35>2 5，所以a >c ，所以b 5．(2020·蒙城月考)已知0 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 A 解析 y ＝a x ＋b 的图象如图．由图象可知，y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第一 象限． 6．若x ＋x －1 ＝3，则x 12 ＋x －1 2 ＝________；x 2＋x －2＝________. 答案 5 7 解析 ∵(x 12 ＋x －1 2 )2 ＝x ＋x －1 ＋2＝5，且 x 12 ＋x －1 2 >0，∴x 1 2 ＋x －1 2 ＝ 5. 又(x ＋x －1)2＝x 2＋x －2＋2＝9，∴x 2＋x －2＝7. 核心考向突破 考向一 指数幂的运算 例1 求值与化简： (1)823 ×100－1 2 ×? ????14－3×? ?? ??1681－3 4 ； (2) (a 2 3 ·b －1)－ 1 2 ·a －1 2 ·b 13 6 a ·b 5 (a >0，b >0)； (3) 3 a 9 2 a －3÷ 3 a －73 a 13(a >0)； (4)已知a >0，a 1 2 ＋a －12 ＝3，求a 2＋a －2＋1 a ＋a －1＋1的值． 解 (1)原式＝(23) 23 ×(102) －12 ×(2 －2)－3 ×??????? ????234－34 ＝22×10－1×26×? ?? ??23－3 ＝8625 . (2)原式＝ a － 1 3 ·b －12 ·a －12 ·b 13 a 16 ·b 56 ＝a －13 －12 －1 6 ·b 12 ＋13 － 56 ＝1 a . (3)原式＝(a 9 2 a －2 3 )13 ÷(a －7 3 a 133 )12 ＝(a 3 ) 13 ÷(a 2 ) 12 ＝a ÷a ＝1. (4)将 a 1 2 ＋a －1 2 ＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7.将a ＋a －1 ＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47，所以a 2 ＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝47＋1 7＋1 ＝ 6. 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． [即时训练] 1.化简： a 3 b 23 ab 2 (a 14 b 12 )4 a －1 3 b 13 (a >0，b >0)． 解 原式＝ (a 3b 2a 13 b 23 )12 ab 2a －13 b 13 ＝a 32 ＋16 －1＋1 3 ·b 1＋13 －2－1 3 ＝ab －1＝a b . 2．计算0.027－1 3 －? ????17－2＋? ?? ??2791 2 －(2－1)0. 解 原式＝(0.33) －13 －72 ＋? ?? ??2591 2 －1＝103－49＋53－1＝－45. 3．化简：56a 1 3 ·b －2·(－3a －12 b －1)÷(4a 23 ·b －3 )12 (a >0，b >0)． 解 原式＝－52a －16 b －3÷(4a 23·b －3)12 ＝－54a －16 b －3÷(a 13 b －23 )＝－54a －12 ·b －23 ＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2. 4．已知a －1 a ＝3(a >0)，求a 2＋a ＋a －2＋a －1的值． 解 ∵a －1 a ＝3， ∴a 2＋1a 2＝? ????a －1a 2＋2·a · 1 a ＝9＋2＝11， 而? ? ???a ＋1a 2＝a 2＋1a 2＋2＝13， ∴a ＋1 a ＝13， ∴a 2＋a ＋a －2＋a －1＝11＋13. 考向二 指数函数的图象及其应用 例2 (1)(2019·山西晋城模拟)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．0 答案 D 解析 由图象知f (x )是减函数，所以00，所以b <0.故选D ． (2)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________. 答案 ? ? ? ??0，12 解析 ①当0 2. ②当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2，而此时直线y ＝2a 不可能与y ＝|a x －1|的图象有两个交点．综上，0 2. (1)研究指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象要抓住三个特殊点：(1，a )，(0,1)，? ? ? ??－1，1a . (2)与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． (3)根据函数图象的变换规律得到的结论 ①函数y ＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)的图象可由指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度得到． ②函数y ＝a x ＋b 的图象可由指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度得到． ③函数y ＝a |x |的图象关于y 轴对称，当x ≥0时，其图象与指数函数y ＝a x (a >0， 且a ≠1)在[0，＋∞)的图象相同；当x <0时，其图象与x ≥0时的图象关于y 轴对称． [即时训练] 5.已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( ) 答案 B 解析 y ＝|f (x )|＝|2x －2|＝??? 2x －2，x ≥1， 2－2x ，x <1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f (x )|≥0，又y ＝|f (x )|在(－∞，1)上单调递减，故选B ． 6．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 答案 [－1,1] 解析 曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]． 精准设计考向，多角度探究突破 考向三 指数函数的性质及其应用 角度1 比较指数幂的大小 例3 (1)(2019·南昌模拟)下列不等关系正确的是( ) A ．3－2 3 <3－4 <32 B ．32 ??131 3 <33 C ．2.60 ?? 12 2.6<22.6 D ．? ?? ?? 12 2.6<2.60<22.6 答案 D 解析 因为y ＝3x 是增函数，所以3－4 <3－2 3 <32 ，? ?? ??1313 ＝3－13 <32<33，故排除 A ， B ；因为y ＝2x 是增函数，所以? ?? ?? 12 2.6＝2－2.6<20＝2.60<22.6，故选D ． (2)已知实数a ，b 满足等式2019a ＝2020b ，下列五个关系式： ①0 D ．4个 答案 B 解析 在同一坐标系下画出y ＝2019x 与y ＝2020x 的图象，结合图象可知①②⑤可能成立，所以不可能成立的有2个，选B ． 比较指数式大小的方法 比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指． (1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助1,0等中间量进行比较． [即时训练] 7.(2020·山东实验中学月考)已知? ????12m 12n <1，则有( ) A ．0 B ．n C ．0 D ．m 答案 A 解析 因为指数函数y ＝? ????12x 在R 上递减，所以由? ????12m 120，得 m >n >0，故选A ． 8．已知0y >1，则下列各式中正确的是( ) A ．x a 答案 B 解析 对于A ，∵x y >1，∴x a y a ＝? ????x y a >? ?? ??x y 0 ＝1， ∴x a >y a ，∴A 错误；∵0y >1，∴a x ∵a x y 0＝1，∴a x 例4 (1)(2019·宜昌调研)设函数 f (x )＝????? ? ?? ??12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－3,1) D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案 C 解析 当a <0时，不等式f (a )<1为? ????12a －7<1，即? ????12a <8，即? ????12a 12－3，因为 0<1 2<1，所以a >－3，此时－3 (2)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．(－4,3) C ．(－3,4) D ．(－1,2) 答案 D 解析 ∵(m 2－m )·4x －2x <0在(－∞，－1]上恒成立，∴(m 2－m )<12x 在x ∈(－∞，－1]上恒成立．∵y ＝1 2x 在(－∞，－1]上单调递减，∴当x ∈(－∞，－1]时，y ＝1 2x ≥2，∴m 2－m <2，∴－1 解指数不等式的思路方法 对于形如a x >a b 的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解． [即时训练] 9.已知函数f (x )＝????? －? ?? ??12x ，a ≤x <0， －x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实 数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3,0) C ．[－3，－1] D ．{－3} 答案 B 解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x <0时，f (x )∈?????? －? ????12a ，－1，∴ ???? ?? －12a ，－1[－8，1]，即－8≤－1 2a <－1，即－3≤a <0，∴实数a 的取值范围是 [－3,0)．故选B ． 10．若x 满足不等式2x 2＋1≤? ???? 14x －2，则函数y ＝2x 的值域是( ) A ．??????18，2 B ．??????18，2 C ．? ? ???－∞，18 D ．[2，＋∞) 答案 B 解析 将2x 2＋1≤? ???? 14x －2化为x 2＋1≤－2(x －2)，即x 2＋2x －3≤0，解得x ∈ [－3,1]，所以2－3≤2x ≤21，所以函数y ＝2x 的值域是???? ?? 18，2.故选B ． 角度3 与指数函数有关的复合函数问题 例5 (1)函数y ＝? ???? 12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为________. 答案 (－∞，1] 解析 设u ＝－x 2 ＋2x ＋1，∵y ＝? ?? ??12u 为减函数， ∴函数y ＝? ???? 12－x 2＋2x ＋1的减区间即函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴所求减区间为(－∞，1]． (2)函数y ＝? ????14x －? ????12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________. 答案 ?????? 34，57 解析 令t ＝? ?? ??12x ， 因为x ∈[－3,2]，所以t ∈?????? 14，8. 故y ＝t 2－t ＋1＝? ????t －122＋3 4. 当t ＝12时，y min ＝3 4； 当t ＝8时，y max ＝57. 故所求函数的值域为???? ?? 34，57. 与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤 (1)求复合函数的定义域． (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的． (3)分 层 逐 一 求 解 函数 的 单 调 区 间． (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)． [即时训练] 11.已知函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2，2]上单调递减，则m 的取值范围为________. 答案 (－∞，－18] 解析 设t ＝3x ，则y ＝9x ＋m ·3x －3＝t 2＋mt －3.因为x ∈[－2,2]，所以t ∈??????19，9. 又函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2,2]上单调递减，即y ＝t 2＋mt －3在区间?????? 19，9上 单调递减，故有－m 2≥9，解得m ≤－18.所以m 的取值范围为(－∞，－18]． 12．已知函数f (x )＝? ????13a x 2 －4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝? ????13－x 2 －4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3， 由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝? ??? ?13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝a x 2－4x ＋3 ，f (x )＝? ?? ?? 13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值 －1，因此必有??? a >0， 3a －4 a ＝－1， 解得a ＝1， 即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)令g (x )＝a x 2－4x ＋3 ，f (x )＝? ?? ??13g (x ) ， 由指数函数的性质知， 要使y ＝? ???? 13g (x )的值域为(0，＋∞)． 应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ， 因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )． 故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0. 课时作业 1．计算1.5－1 3 ×? ?? ??－760 ＋80.25×42－ ? ?? ??232 3 ＝( ) A ．0 B ．1 C ． 2 D ．2 答案 D 解析 原式＝? ????2313 ＋234 ×21 4 －? ?? ??231 3 ＝2.故选D ． 2．函数f (x )＝ 2 2x －1 的值域是( ) A ．(－2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，－2) 答案 B 解析 设y ＝f (x )＝22x －1 ，令u ＝2x －1，则u >－1，y ＝ 2u ，则y <－2或y >0.故选B ． 3．给出下列结论： ①当a <0 时，(a 2) 32 ＝a 3； ②n a n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)； ③函数 f (x )＝(x －2)1 2 －(3x －7)0的定义域是??? ? ?? x |x ≥2且x ≠73； ④若5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 答案 B 解析 (a 2) 3 2 >0，a 3<0，故①错误；∵0<5a <1,0<0.7b <1，∴a <0，b >0，∴ab <0. 故④错误． 4．(2019·北京市通州区高三模拟)已知c <0，则下列不等式中成立的是( ) A ．c >2c B ．c >? ????12c C ．2c >? ?? ??12c D ．2c ??12c 答案 D 解析 ∵c <0，∴? ????12c >1,0<2c <1，∴? ?? ?? 12c >2c ，故选D ． 5．(2020·四川泸州期末)已知函数f (x )＝e x －? ???? 1e x ，则下列判断正确的是( ) A ．函数f (x )是奇函数，且在R 上是增函数 B ．函数f (x )是偶函数，且在R 上是增函数 C ．函数f (x )是奇函数，且在R 上是减函数 D ．函数f (x )是偶函数，且在R 上是减函数 答案 A 解析 f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝1 e x －e x ＝－ f (x )，∴f (x )是奇函数，又y ＝ e x 和y ＝－? ????1e x 都是R 上的增函数，∴ f (x )＝e x －? ?? ?? 1e x 是R 上的增函数．故选A ． 6．已知f (x )＝a x 和g (x )＝b x 是指数函数，则“f (2)>g (2)”是“a >b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由f (x )＝a x 与g (x )＝b x 是指数函数可知a >0，b >0.充分性：若“f (2)>g (2)”成立，即a 2>b 2，由于a ，b 都是正数，则a >b ，充分性成立；必要性：若a >b ，则f (2)＝a 2>b 2＝g (2)，必要性成立． 综上所述，“f (2)>g (2)”是“a >b ”的充分必要条件．故选C ． 7．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝? ???? 131－x C ．y ＝? ?? ??12x －1 D ．y ＝3|x | 答案 B 解析 ∵1－x ∈R ，y ＝? ???? 13x 的值域是正实数集， ∴y ＝? ?? ?? 131－x 的值域是正实数集． 8．若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数和偶函数，且满足f (x )－g (x )＝2x ，则有( ) A ．f (2) B ．f (0) C ．f (2) D ．f (0) 答案 D 解析 ∵函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数和偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．由f (x )－g (x )＝2x ，得f (－x )－g (－x )＝2－x ，∴－f (x )－g (x )＝2－x ，即f (x ) ＋g (x )＝－2－x ，与f (x )－g (x )＝2x 联立，得f (x )＝2x －2－x 2，∴f (0)＝0，f (2)＝22 －2 －22 ＝15 8，f (3)＝23－2－32＝6316，∴f (0) 9．(2019·西安调研)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝1 9 ，则f(x) 的单调递减区间是() A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 答案 B 解析由f(1)＝1 9，得a2＝1 9 ，解得a＝1 3 或a＝－1 3(舍去)，即f(x)＝? ? ? ? ?1 3 |2x－4|. 由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B． 10．(2019·福建厦门第一次质量检查)已知a>b>0，x＝a＋b e b，y＝b＋a e a，z ＝b＋a e b，则() A．x C．z 答案 A 解析∵x＝a＋b e b，y＝b＋a e a，z＝b＋a e b， ∴y－z＝a(e a－e b)，又a>b>0，e>1， ∴e a>e b，∴y>z， ∵z－x＝(b－a)＋(a－b)e b＝(a－b)(e b－1)， 又a>b>0，e b>1，∴z>x，综上x 故选A． 11．(2020·安徽皖江名校开学考)若e a＋πb≥e－b＋π－a，e为自然对数的底数，则有() A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0 答案 D 解析令f(x)＝e x－π－x，则f(x)在R上单调递增，又e a＋πb≥e－b＋π－a，所以e a－π－a≥e－b－πb，即f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0，故选D． 12．(2019·齐鲁名校教科研协作体湖北、山东部分重点中学第一次联考)已知 函数y ＝4x －3·2x ＋3，若其值域为[1,7]，则x 可能的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0] C ．(0,1]∪[2,4] D ．(－∞，0]∪[1,2] 答案 D 解析 令t ＝2x ，则y ＝t 2 －3t ＋3＝? ?? ??t －322＋3 4，对称轴为直线t ＝32.当x ∈[2,4] 时，t ∈[4,16]，此时y ∈[7,211]，不满足题意；当x ∈(－∞，0]时，t ∈(0,1]，此时y ∈[1，3)，不满足题意；当x ∈(0,1]∪[2,4]时，t ∈(1,2]∪[4,16]，此时y ∈?????? 34，1∪ [7,211]，不满足题意；当x ∈(－∞，0]∪[1,2]时，t ∈(0,1]∪[2,4]，此时y ∈[1,7]，满足题意．故选D ． 13．函数y ＝? ????12x 2 ＋2x －1的值域为________. 答案 (0,4] 解析 设t ＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，则t ≥－2. 因为y ＝? ????12t 是关于t 的减函数，所以y ≤? ???? 12－2＝4.又y >0，所以0 14．(2019·福州质检)已知实数a ≠1，函数f (x )＝??? 4x ，x ≥0， 2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________. 答案 1 2 解析 当a <1时，41－a ＝21，a ＝1 2，符合题意．当a >1时，代入不成立． 15．(2019·贵阳监测)已知函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)满足f (1)>1，若函数g (x )＝f (x ＋1)－4的图象不过第二象限，则a 的取值范围是________. 答案 (2,5] 解析 ∵f (1)>1，∴a －1>1，即a >2.∵函数g (x )＝f (x ＋1)－4的图象不过第二象限，∴g (0)＝a 1－1－4≤0，∴a ≤5，∴a 的取值范围是(2,5]． 16．已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)内单调递增，则a 的取值范围为________. 答案 [6，＋∞) 解析 函数y ＝2－x 2＋ax ＋1是由函数y ＝2t 和t ＝－x 2＋ax ＋1复合而成．因为函数t ＝－x 2＋ax ＋1在区间? ????－∞，a 2上单调递增，在区间?????? a 2，＋∞上单调递 减，且函数y ＝2t 在R 上单调递增，所以函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间? ? ? ??－∞，a 2上 单调递增，在区间?????? a 2，＋∞上单调递减．又函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞， 3)内单调递增，所以3≤a 2，即a ≥6. 17．(2019·安徽皖东名校联盟高三第二次联考)已知关于x 的函数f (x )＝2x ＋(a －a 2 )·4x ，其中a ∈R . (1)当a ＝2时，求满足f (x )≥0的实数x 的取值范围； (2)若当x ∈(－∞，1]时，函数f (x )的图象总在直线y ＝－1的上方，求a 的整数值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝2x －2·4x ≥0， 即2x ≥22x ＋1，x ≥2x ＋1，x ≤－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1]． (2)f (x )>－1在x ∈(－∞，1]上恒成立， 即a －a 2>－???? ?? ? ????14x ＋? ????12x 在x ∈(－∞，1]上恒成立． 因为函数? ????14x 和? ????12x 在x ∈(－∞，1]上均为单调递减函数，所以－????? ? ? ????14x ＋? ????12x 在(－∞，1]上为单调递增函数， 最大值为－?????? ? ????141＋? ????121＝－34.