第七讲 简单三角恒等变换
一、引言
(一)本节的地位:三角函数恒等变换是高中教学的重要知识之一,也是历年高考必考查的内容,体现考纲对运算能力、逻辑推理能力的要求.
(二)考纲要求:通过本节的学习要掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等证明.重点是应用公式进行三角函数式的化简、求值和恒等证明.
(三)考情分析:一般考查对公式理解与熟练运用,以及考查运算能力、逻辑推理能力,在历年的高考中,常常要考查,考试类型有应用公式化简求值、恒等变形、与其它知识交汇等.对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想重点考查.
二、考点梳理
1.两角和与两角差的正弦公式:sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; 余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;
正切公式:tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=
.
2.二倍角的正弦公式:sin 22sin cos ααα=;
二倍角的余弦公式:2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-; 二倍角的正切公式:2
2tan tan 21tan ααα
=-.
3.降幂公式:2
1cos 2sin 2
α
α-=
;2
1cos 2cos 2
α
α+=
.
4.解题时既要会正用这些公式,也要会逆用及变形用,特别是二倍角公式,正用──化单角,逆用──降次.
三、典型问题选讲
(一)化简(求值)问题
例1 求下列各式的值: ⑴???80cos 40cos 20cos ; ⑵???-?+?70tan 50tan 350tan 70tan ;
⑶?+
?10tan 31(50sin ).
分析:本题考查三角公式的应用,会逆用及变形用,特别是二倍角公式,正用──化单角,逆用──降次.
解析:⑴[法一]原式=
8
120sin 8160sin 80cos 40cos 20cos 20sin 220sin 213
3
=
?
?=
???????
.
[法二]原式=
8
180sin 2160sin 40sin 280sin 20sin 240sin =
?
?
?
??
?
??
.
⑵原式
=tan(7050)(1tan 70tan 50)50tan 70?+?-???-???
70tan 50=??-370tan 50tan 3-=??.
⑶原式=?
?+
??=
?
?+
?10cos )
10sin 310(cos 50sin )10cos 10sin 31(50sin
2sin 50(cos 60cos10sin 60sin 10)
2sin 50cos 50cos10cos10???+?????
==
?
?
sin 100cos101cos10cos10??=
==?
?
.
归纳小结:在已知角求值的式子变形中,常通过“造出特殊角”、“对偶式”来简化计算过程.一般情况下,当βα±是特殊角时,使用tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=± 化简式子.
例2 化简下列各式:
(1)
????
?
???? ??∈+
-ππαα2232cos 21
2
12
121,; (2)
?
?
? ??-??? ??+-απ
απαα4cos 4cot 2sin cos 22
2
.
分析:(1)若注意到化简式是开平方根和2的二倍,是
的二倍,是2
α
ααα以及取值范围不难找到解题的突破口;(2)由于分子是一个平方差,分母中的角2
4
4
π
απ
απ
=
-+
+,
若注意到这两大特征,,不难得到解题的切入点.
解:(1)因为
αααπαπcos cos 2cos 2
12122
3==+<<,所以
,
又因
2
sin
2
sin
cos 2
12
12
4
3α
α
απα
π==-
<<
,所以
,
所以,原式=2
sin
α
. (2)原式=
?
?
?
??-??? ??-=?
?
? ??-??? ??-απαπα
απ
απα
4cos 4sin 22cos 4cos 4tan 22cos 2
=
12cos 2cos 22sin 2cos ==
??
? ??-α
ααπα.
归纳小结:(1)在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于2α是α的二倍,要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,同时还要注意απ
απα-+4
4
2,,三个角的内在联系的作
用,??
?
??±??? ??±=???
??±=απαπαπ
α4
cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换.
(2)化简题一定要找准解题的突破口或切入点,其中的降次,消元,切化弦,异名化同名,异角化同角是常用的化简技巧.(3)公式变形,α
ααsin 22sin cos =
2
2cos 1cos 2
α
α+=
,2
2cos 1sin 2α
α-=
.
例3 已知正实数a ,b 满足
的值,求
a
b b a b a 15
8tan
5
sin
5cos
5
cos 5
sin
ππ
πππ=-+.
分析:从方程的观点考虑,如果给等式左边的分子、分母同时除以a ,则已知等式可化为关于的方a b 程,从而可求出a
b
,若注意到等式左边的分子、分母都具有θ
θcos sin b a +的结构,可考虑引入辅助角求解.
解法一:由题设得
8sin
cos sin 5
5158cos
sin
cos
5
5
15
b a b a ππππππ
+=
-
,则
.33tan 5158cos 5158
sin 5sin 158sin 5cos 158cos 5sin
158
cos 5cos 158
sin =
=?
?? ?
?-??? ??-=?+??-?=ππππππππππ
ππ
πa b
解法二:sin
cos
5
5
5
a b π
π
π?
??+=
+ ???
因为,
cos
sin
tan 5
5
58tan tan .
51585
15
3
tan tan tan 33b a b a k k b
k a π
π
π?
?ππ?π
π
?ππ?πππ?π??
-=
+= ?
??
??
+= ???+=+
=+
?
?==+== ??
?,其中,由题设得所以,即,故
解法三:tan 85tan 151tan
5b a b a πππ+
=-原式可变形为:,
()()tan
tan 85tan tan tan 5151tan
tan 5
8,5153tan tan tan 3333b a k k Z k k Z b k a π
α
πααππαππαππαπππαπ+??
=
=+= ???-?+=+∈=+∈??=+=== ???令,则有
,由此可所以,故,即()(
)tan tan 85tan tan tan 5151tan tan
5
8,5153tan tan tan 33b a k k Z k k Z b k a
παπααππαππαππαπππαπ+??
==+= ???-?+=+∈=+∈?
?=+==
= ???
令,则有,由此可所以,故即
归纳小结:以上解法中,方法一用了集中变量的思想,是一种基本解法;解法二通过模式联想,引入辅助角,技巧性较强,且辅助角公式()?ααα++=
+sin cos sin 2
2
b a b a ,
tan b a ??
?
=
??
?
其中,或sin cos a b αα
+()tan a b α????=-= ??
?,其中在历年高考中
使用频率是相当高的,应加以关注;解法三利用了换元法,但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点,所以解法三最佳.
例4 已知2
tan tan 560x x αβ-+=,是方程的两个实根,
求 ()()()()2
22sin
3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值.
分析:由韦达定理可得到tan tan tan tan αβαβ+?及的值,进而可以求出()
tan αβ+的值,再将所求值的三角函数式用tan ()βα+表示便可知其值.
解法一:由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =?=+βαβα,, 所以tan ().16
15tan tan 1tan tan -=-=
?-+=
+β
αβαβα
()()()()
()()
2
2
2
2
2sin
3sin cos cos
sin
cos
αβαβαβα
β
αβα
β
+-++++=
+++原式
()()()()2
2
2tan
3tan 1
21311
3tan
1
11
αβαβαβ+-++?-?-+=
=
=+++.
解法二:由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =?=+βαβα,,
所以tan ().16
15tan tan 1tan tan -=-=
?-+=
+β
αβαβα
()34
k k Z αβππ+=+
∈于是有,
223333312sin sin 2cos 13422422k k k ππ
ππππ?
??
??
?=+-+++=++= ? ? ?
???
???
原式. 归纳小结:(1)本例解法二比解法一要简捷,好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构,从而寻找解答本题的知识“最近发展区”.(2)运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式,我们不仅要记住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的关系,次数关系,三角函数名等.抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的
结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点.(3)对公式的逆用公式,变形式也要熟悉,如
()()()()()()()()。
,
,
,βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβααββαββα+=+++--+=++=-+=+++tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan cos sin sin cos cos
(二)恒等变形
例5 求证:
cos 1sin 1sin cos x x x
x
+=
-.
分析:恒等变形问题可由一边推证得另一边,也可以从两边进行推证得出相等关系. 证法一:由题意知cos 0x ≠,所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠.
所以左边=2
cos (1sin )cos (1sin )
(1sin )(1sin )
cos x x x x x x x
++=-+1sin cos x x
+=
=右边.
则原式成立.
证法二:由题义知cos 0x ≠,所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠. 又2
2
(1sin )(1sin )1sin cos cos cos x x x x x x -+=-==?, 所以
cos 1sin 1sin cos x x x
x
+=
-.
证法三:由题意知cos 0x ≠,所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠.
cos 1sin 1sin cos x x x
x
+--cos cos (1sin )(1sin )
(1sin )cos x x x x x x
?-+-=
-22
cos 1sin 0(1sin )cos x x x x
-+=
=-,
则
cos 1sin 1sin cos x x x
x
+=
-.
归纳小结:证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,
证明时常用的方法有:(1)从一边开始,证明它等于另一边;(2)证明左右两边同等于同一个式子;(3)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.
(三)与其他知识综合
例6 △ABC 中,sin sin tan cos cos A B C A B
+=
+,sin()cos B A C -=.求,A C .
分析:“切化弦”是解决三角问题常用的方法,再利用三角形中角的关系进行恒等变形. 解:因为sin sin tan cos cos A B
C A B +=
+,即
sin sin sin cos cos cos C
A B
C A B
+=
+,
所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+,
即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-, 得sin()sin()C A B C -=-.
所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). 即2C A B =+,得3
C π
=
,所以.23
B A π+=
.
又因为1sin()cos 2
B A
C -==,则6
B A π
-=
,或56
B A π-=(舍去).
得5,412
A B π
π=
=
.
归纳小结:注意三角形中角的范围,注意分类讨论. 例7 已知三点A 、B 、C 的坐标分别为)
4
)(sin (cos Z ∈≠k k A ,,πααα,B (3,0),C (0,
3),若1-=?AC AB ,求
α
α
αtan 12cos 2sin 1+-+的值.
分析:本题将向量知识与三角知识结合起来,综合考查应用知识的能力. 解:ααααsin 3cos ()sin cos 3(--=--=,,,AC AB ),
∵1A B A C ?=-
,∴1)3(sin sin cos )3(cos -=-+?-αααα .
整理得:3
2cos sin =
+αα ①
α
α
α
ααα
α
αcos sin 1cos sin 2sin
2tan 12cos 2sin 12
+
+=
+-+
ααα
αααααcos sin 2cos sin )
cos (sin cos sin 2=++=
. 由①平方得9
4cos sin 21=+αα,∴9
5cos sin 2-
=αα.
即
9
5tan 12cos 2sin 1-
=+-+α
α
α.
归纳小结:正确应用1-=?AC AB ,得到关于角α的三角函数关系,利用二倍角、同角三角函数公式解决问题.
例8(2009,湖南)已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=
(1)若//a b
,求tan θ的值;
(2)若||||,0,a b θπ=<<
求θ的值.
分析:(1)利用向量共线及三角函数同角关系求值,(2)利用向量模相等得出三角函数关系,求得θ的值.
解:(1)因为//a b ,所以2sin cos 2sin ,θθθ=-于是4sin cos θθ=,故1
tan .4
θ=
(2)由||||a b =
知,22sin (cos 2sin )5,θθθ+-= 所以212sin 24sin 5.θθ-+=
从而2sin 22(1cos 2)4θθ-+-=,即sin 2cos 21θθ+=-,
于是sin(2)4
2
π
θ+
=-
.
又由0θπ<<知,924
44π
π
πθ<+<, 所以5244
π
πθ+=,或724
4
π
π
θ+
=
.
因此2
π
θ=
,或3.4πθ=
归纳小结:本题考查向量的模、向量共线及三角函数化简求角.
四、本专题总结
本节课研究三角恒等变换,主要方法有:引入辅助角、换元、降次,消元,切化弦,异名化同名,异角化同角等常用的化简技巧,体现化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等,应注意在应用公式时,更重要的是抓住公式的特征,如角的关系,次数关系,三角函数名等.抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点.对公式的逆用公式,变形式也要熟悉.
第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+; ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-; ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式: sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=, ?2 cos 21cos 2 αα+= ,2 1cos 2sin 2αα-=. ⑶22tan tan 21tan α αα =-. 三、辅助角公式: () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x , 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由,决定
四、三角变换方法: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的 相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ①α2是α的二倍;α4是α2的二倍;α是2α的二倍;2α是4 α的二倍; ②2 304560304515o o o o o o =-=-=; ③()ααββ=+-;④ ()4 24 π π π αα+= --; ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--;等等 (2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。 (3)“1”的代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转 化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有: 221sin cos sin90tan45o o αα=+== (4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 (5)三角函数式的变换通常从:“角、名、形、幂”四方面入手; 基本原则是:见切化弦,异角化同角,倍角化单角,异名化同名, 高次降低次,特殊值与特殊角的三角函数互化等。
简单三角恒等变换复习 一、公式体系 1、和差公式及其变形: (1)βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )s i n (s i n c o s c o s s i n βαβαβα±=± (2)βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )c o s (s i n s i n c o s c o s βαβαβα±= (3)β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形: (1)αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± (2)ααααααααα22 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍,所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 c o s 2c o s 12αα=+ 因为α4是α2的两倍,所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12 =+】 α α αααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是2 α 的两倍,所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2 s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍,所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12 =- 或 αα2s i n 2 4c o s 12=-】
三角函数 cos (a+ B)=CoS a'-cos B - sin a - sin B cos (a-B)=cos a-cos B + sin a - sin B sin (a+ B)=S in a'-cos B cos a - sin B sin (a-B)=sin a-cos B - cos ,a?sin B tan (a+ B)=(ta n a+ta n B)/ (1-tan a - tan B) tan (a-B)=(ta n a-ta n B)/ (1+ta n a - tan B) 二 倍 角 sin (2a) =2sin a - cos a =2tan (a) /[1-ta门(a)] cos (2 a) =cosA2 (a) -si 门八2 (a) =2cosA2 (a)-1=1-2si nA2 (a)=[1-ta 门 八(a)]/[1+tanA2 (a)] tan (2a) =2tan a /[1 -ta门八2 (a)] 三倍角 sin3 a =3sin a -4sinW (a) C0S3 a =4COS A3 (a) - 3C0S a tan3 a = (3tan a -ta门八3 (a))*( 1-3ta门八2 (a)) sin3 a =4sin aX sin ( 60- a) sin (60+a) C0S3 a =4cos aX COS ( 60- a) C0s ( 60+a) tan3 a =tan aX tan ( 60- a) tan (60+a) 半角公式 sin A2 (a /2 )= (1-cos a) /2 cosA2 (a /2 )= (1+cos a) /2 tan A2 (a /2 )= (1-CoS a) / ( 1+cos a) tan ( a /2 ) =sin a / ( 1+cos a) = ( 1- CoS a) /si n a 半角变形 sinA2 (a /2 ) = (1-cos a) /2 sin(a/2 ) =V[ (1-cos a) /2] a/2 在一、二象限 =-V[ (1-cos a) /2] a/2 在三、四象限 C0SA2 (a /2 ) = (1+cos a) /2 cos(a/2 ) =V[ (1+cos a) /2] a/2 在一、四象限 =-V[ (1+cos a) /2] a/2 在二、三象限 tan A2 (a 12 ) = ( 1-COS a) / ( 1+COS a) tan (a /2 ) =S in a / ( 1+COS a) =( 1- COS a) /si n a =V[ ( 1-COS a) / ( 1+COS a)] a/2在一、三象限 =-V [ ( 1- COS a) / ( 1+COS a) ] a/2 在二、四象限
难点41 应用性问题 数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟,大体是三道左右的小题和一道大题,注重问题及方法的新颖性,提高了适应陌生情境的能力要求. ●难点磁场 1.(★★★★★)一只小船以10 m/s 的速度由 南向北匀速驶过湖面,在离湖面高20米的桥上, 一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进(如图), 现在小船在水平P 点以南的40米处,汽车在桥上 以西Q 点30米处(其中PQ ⊥水面),则小船与汽车间的最短距离为 .(不考虑汽车与小船本 身的大小). 2.(★★★★★)小宁中午放学回家自己煮面条吃,有下面几道工序:(1)洗锅盛水2分钟;(2)洗菜6分钟;(3)准备面条及佐料2分钟;(4)用锅把水烧开10分钟;(5)煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除(4)之外,一次只能进行一道工序,小宁要将面条煮好,最少用分钟. 3.(★★★★★)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律:每生产产品x (百台),其总成本为G (x )万元,其中固定成本为2万元,并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R (x )满足 R (x )=???>≤≤-+-)5( 2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律. (1)要使工厂有盈利,产品x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时赢利最大?并求此时每台产品的售价为多少? ●案例探究 [例1]为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2 米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长度为a 米,高度为b 米,已知流出的水 中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比,现有制箱材料 60平方米,问当a 、b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该 杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)? 命题意图:本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力,属★★★★级题目. 知识依托:重要不等式、导数的应用、建立函数关系式. 错解分析:不能理解题意而导致关系式列不出来,或a 与b 间的等量关系找不到. 技巧与方法:关键在于如何求出函数最小值,条件最值可应用重要不等式或利用导数解决. 解法一:设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ,则由条件y = ab k (k >0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ① 要求y 的最小值,只须求ab 的最大值. 由①(a +2)(b +1)=32(a >0,b >0)且ab =30–(a +2b )
难点 12 等差数列、等比数列的性质运用
等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念,通项公式,前 n 项和公式的引申. 应用等差等比数列的性质解题,往往可以回避求其首项和公差或公比,使问题得到整体地解 决,能够在运算时达到运算灵活,方便快捷的目的,故一直受到重视.高考中也一直重点考 查这部分内容.
●难点磁场 (★★★★★)等差数列{an}的前 n 项的和为 30,前 2m 项的和为 100,求它的前 3m 项的 和为_________. ●案例探究
[例 1]已知函数 f(x)= 1 (x<-2). x2 4
(1)求 f(x)的反函数 f--1(x);
(2)设 a1=1, 1 =-f--1(an)(n∈N*),求 an; a n 1
(3)设 Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn 是否存在最小正整数 m,使得对任意 n∈N*,有 bn< m 25
成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 命题意图:本题是一道与函数、数列有关的综合性题目,着重考查学生的逻辑分析能力,
属★★★★★级题目. 知识依托:本题融合了反函数,数列递推公式,等差数列基本问题、数列的和、函数单
调性等知识于一炉,结构巧妙,形式新颖,是一道精致的综合题. 错解分析:本题首问考查反函数,反函数的定义域是原函数的值域,这是一个易错点,
(2)问以数列{
1 an2
}为桥梁求
an,不易突破.
技巧与方法:(2)问由式子 1 an1
1 an2
4得
1
a
2 n1
1 an2
=4,构造等差数列{
1 an2
},从而
求得 an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧;(3)问运用了函数的思想.
解:(1)设 y=
1 ,∵x<-2,∴x=- x2 4
4
1 y2
,
即 y=f--1(x)=-
4
1 y2
(x>0)
(2)∵ 1 an1
4
1 an2
,
1 an12
1 an2
4,
∴{
1 an2
}是公差为
4
的等差数列,
三角恒等变换---完整版 三角函数------三角恒等变换公式: 考点分析:(1)基本识别公式,能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等,余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”(2)二倍角公式的灵活应用,特别是降幂、和升幂公式的应用。(3)结合同角三角函数,化为二次函数求最值 (4)角的整体代换 (5)弦切互化 (6)知一求二 (7)辅助角公式逆向应用
(1)熟悉公式特征:能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等,余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”快速进行逻辑判断。注意构造两角和差因子 1、(二倍角公式)(2007文)下列各式中,值为 3 2 的是( ) A .2sin15cos15 B .2 2 cos 15sin 15- C .2 2sin 151- D .22 sin 15cos 15+ 2、(二倍角公式+平方差公式)(2008六校联考)(sin 75sin15)(cos15cos 75)-+的值是 A.1 B. 1 2 C. 22 D. 32 3、(两角和差公式+诱导公式)(2009四校联考) 84cos 54sin 6cos 36sin -等于 A .-1 2 B .12 C .- 32 D . 32 4.(两角和差公式)下列各式中值为的是(). A . s in45°cos15°+cos45°sin15° B . sin45°cos15°﹣cos45°sin15° C . cos75°cos30°+sin75°sin30° D . 5、(拆角+两角和差公式)(一中2014届高三10月段考数学(理)试题)化简三角式=- 5 cos 5sin 355cos 2() A . 2 3 B .1 C .2 D .3 6、(补全公式)(2013六校联考回归课本题)cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=( ) A . 14 B .18 C .116 D .1 32 常见变式:计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的=__. 7、(构造两角和差因子+两式平方后相加)若sin α-sin β=32,cos α-cos β=12,则cos(α-β)的值为()A.1 2 B. 32C.3 4 D .1 8.(诱导公式)【2015高一期末】sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 B A .- 12 B. 12 C 33 9、(构造两角和差因子+两边平方)【2015高考,理12】=+ 75sin 15sin .. 10、(逆向套用公式)tan 23°+tan 37°+3tan 23°tan 37°的值是________.
难点34 导数的运算法则及基本公式应用 导数是中学限选内容中较为重要的知识,本节内容主要是在导数的定义,常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. ●难点磁场 (★★★★★)已知曲线C :y =x 3-3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0),求直线l 的方程及切点坐标. ●案例探究 [例1]求函数的导数: )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-= x f y x b ax y x x x y ω 命题意图:本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则,复合函数求导的方法,以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型,属于★★★★级题目. 知识依托:解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征,挖掘量的隐含条件,将问题转化为基本函数的导数. 错解分析:本题难点在求导过程中符号判断不清,复合函数的结构分解为基本函数出差错. 技巧与方法:先分析函数式结构,找准复合函数的式子特征,按照求导法则进行求导.
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y 2222222222 22222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(]sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(] ))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+' +--+'-='解 (2)解:y =μ3,μ=ax -b sin 2ωx ,μ=av -by v =x ,y =sin γ γ=ωx y ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av -by )′ =3μ2(av ′-by ′)=3μ2(av ′-by ′γ′) =3(ax -b sin 2ωx )2(a -b ωsin2ωx ) (3)解法一:设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则 y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21 v -21·2x =f ′(12+x )·211 1 2+x ·2x =),1(122+'+x f x x 解法二:y ′=[f (12+x )]′=f ′(12+x )·(12+x )′ =f ′(12+x )·21(x 2+1)21- ·(x 2+1)′
三角恒等变换基本解题方法 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式: ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 = = αβαβαβαβααα αα αβααβααβααααα =±=???→=-↓=-=-±±=?-↓=-m m 如(1)下列各式中,值为12 的是 A 、1515sin cos o o B 、221212cos sin ππ - C 、22251225tan .tan .-o o D (2)命题P :0tan(A B )+=,命题Q :0tan A tan B +=,则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 (3)已知35 sin()cos cos()sin αβααβα---=,那么2cos β的值为____ (4 )11080sin sin -o o 的值是______ (5)已知0tan110a =,求0tan 50的值(用a ,乙求得的结果是212a a -,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()()αβαβα=+--, 22αβαβ++=?,()() 222αββααβ+=---等),
第20讲:简单的三角恒等变换 【学习目标】 1.能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式; 2.掌握公式应用的常规思路和基本技巧; 3.了解积化和差、和差化积公式的推导过程,能初步运用公式进行互化; 4.通过运用公式进行简单的恒等变换,进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性,体会换元思想的作用,发展推理能力和运算能力; 5.通过公式的推导,了解它们的内在联系和知识发展过程,体会特殊与一般的关系,培养利用联系的观点处理问题的能力. 【要点梳理】 要点一:升(降)幂缩(扩)角公式 升幂公式:21cos 22cos αα+=, 21cos 22sin αα-= 降幂公式:21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2 α α-= 要点诠释: 利用二倍角公式的等价变形:2 1cos 2sin 2α α-=,2 1cos 2cos 2 α α+=进行“升、降幂”变 换,即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换,逆用上述公式即为“降幂”变换. 要点二:辅助角公式 1.形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形: sin cos a x b x + x x ??? 令cos ??= = sin cos a x b x + )sin cos cos sin x x ??+ )x ?+ (其中?角所在象限由,a b 的符号确定,?角的值由tan b a ?= 确定, 或由sin ?= 和cos ?= 2.辅助角公式在解题中的应用 通 过 应 用 公 式 sin cos a x b x + = )x ?+(或 sin cos a x b x + =)α?-),将形如sin cos a x b x +(,a b 不同时为零)收缩为一
三角恒等变换公式 1.两角和与差的三角函数 和(差)角公式: sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)= β αβαtan tan 1tan tan ± 倍角公式: sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α=αα2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式 积化和差公式: 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式: sin α+ sin β=2sin 2βα+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2 βα- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2 βα- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2βα- 3.万能公式与半角公式 万能公式:
sin α=2tan 12tan 22 αα+ cos α=2tan 12tan 12 2 αα+- tan α=2tan 12tan 22 αα- 半角公式: sin 2 cos 12αα -±= cos 2 cos 12αα+±= tan ααα cos 1cos 12+-± ==ααsin cos 1-=ααcos 1sin + 其他: cos 2 2cos 12αα+= sin 22cos 12αα-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2
难点22 轨迹方程的求法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义,性质等基础知识的掌握,还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力,因此这类问题成为高考命题的热点,也是同学们的一大难点. ●难点磁场 (★★★★)已知A 、B 为两定点,动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程,并注明轨迹是什么曲线. ●案例探究 [例1]如图所示,已知P (4,0)是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足∠APB =90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 命题意图:本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程,属★★★★★级题目. 知识依托:利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程. 错解分析:欲求Q 的轨迹方程,应先求R 的轨迹方程,若学生思考不深刻,发现不了问题的实质,很难解决此题. 技巧与方法:对某些较复杂的探求轨迹方程的问题,可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程,再以此点作为主动点,所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程. 解:设AB 的中点为R ,坐标为(x ,y ),则在Rt △ABP 中,|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理:在Rt △OAR 中,|AR |2=|AO |2-|OR |2=36-(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +- 所以有(x -4)2+y 2=36-(x 2+y 2),即x 2+y 2-4x -10=0 因此点R 在一个圆上,而当R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y ),R (x 1,y 1),因为R 是PQ 的中点,所以x 1=2 ,241+= +y y x , 代入方程x 2+y 2-4x -10=0,得 2 4 4)2()24( 22+? -++x y x -10=0 整理得:x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. [例2]设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p >0)上原点以外的两个动点,已知OA ⊥OB ,OM ⊥AB ,求点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招) 命题意图:本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程,属★★★★★级题目. 知识依托:直线与抛物线的位置关系. 错解分析:当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时,注意对“x 1=x 2”的讨论. 技巧与方法:将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来,然后再消掉这些量,从而就建立了关于x 、y 的关系. 解法一:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意,有
、知识点总结 1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题 余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n :⑷ sin si n cos cos si n ⑸tan tan tan 1 tan tan ⑹ta n tan tan 1 tan tan 2、二倍角的正弦、 余弦和正切公式: ⑴ sin 2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2 ?2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2 — 2 降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1 sin 2 .2 sin tan tan 2 cos tan tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ) ; ). cos )2 1 2si n 2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式 半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数,一个角,一次方”的y A sin ( x a 2 2 a tan — 2 2 a tan - 2 4、合一变形 把两个三角函数的和或差化为 形式。 sin 2 si n ,其中tan 5. (1)积化和差公式 1 cos = [sin( 2 1 cos =— [cos( 2 和差化积公式 si n cos (2) si n + )+sin( + )+cos( +sin = 2 sin ------ cos --- 2 2 )] )] cos si n si n 1 sin = [sin( + )-sin( 2 1 sin = - — [cos( + )-cos( 2 )] )] -sin = 2 cos ----- sin --- 2 2
高考数学难点突破 函数中的综合问题 函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力,掌握基本解题技巧和方法,并培养考生的思维和创新能力. ●难点磁场 (★★★★★)设函数f (x )的定义域为R ,对任意实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y ),当x >0时f (x )<0且f (3)=-4. (1)求证:f (x )为奇函数; (2)在区间[-9,9]上,求f (x )的最值. ●案例探究 [例1]设f (x )是定义在R 上的偶函数,其图象关于直线x =1对称,对任意x 1、x 2∈[0,2 1 ],都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0. (1)求f ( 21)、f (4 1); (2)证明f (x )是周期函数; (3)记a n =f (n +n 21 ),求).(ln lim n n a ∞→ 命题意图:本题主要考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识,还考查运算能力和逻辑思维能力. 知识依托:认真分析处理好各知识的相互联系,抓住条件f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口. 错解分析:不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形. 技巧与方法:由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为) 2 ()2()2()22()(x f x f x f x x f x f ??=+=是解决问题的关键. (1) 解:因为对x 1,x 2∈[0,21],都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=)2 ()22(x f x x f =+≥ 0, x ∈[0,1] 又因为f (1)=f (21+21)=f (21)·f (21)=[f (2 1 )]2 f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=[f (41)]2 又f (1)=a >0 ∴f (21)=a 21 ,f (4 1)=a 41 (2)证明:依题意设y =f (x )关于直线x =1对称,故f (x )=f (1+1-x ),即f (x )=f (2-x ),x ∈R . 又由f (x )是偶函数知f (-x )=f (x ),x ∈R ∴f (-x )=f (2-x ),x ∈R .
三角恒等变换 【考纲要求】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 4、能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、两角和、差的正、余弦公式 ()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±=m ()tan tan tan()()1tan tan T αβαβ αβαβ ±±±= - 要点诠释: 1.公式的适用条件(定义域) :前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α,β都成立,这表明该公式是R 上的恒等式;公式()T αβ±③中,∈,且R αβk (k Z)2 ±≠ +∈、、π αβαβπ 2.正向用公式()S αβ±,()C αβ±,能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α,β的弦函数;反向用,能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角 ()±αβ的正切值化简。 考点二、二倍角公式 1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中,当时,就可得到二倍角的三角函数公式 222,,S C T ααα: sin 22sin cos ααα= 2()S α;
ααα22sin cos 2cos -=2()C α; 22tan tan 21tan α αα = -2()T α。 要点诠释: 1.在公式22,S C αα中,角α没有限制,但公式2T α中,只有当)(2 24 Z k k k ∈+≠+ ≠ππ αππ α和时才成立; 2. 余弦的二倍角公式有三种:ααα2 2 sin cos 2cos -==1cos 22 -α=α2 sin 21-;解题对应根据不同函数名的需要,函数不同的形式,公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式,其它如4α是2α的二倍, 24α α是的二倍,332 α α是 的二倍等等,要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系,才能熟练地应用二倍角公式,这是灵活运用这些公 式的关键。 考点三、二倍角公式的推论 降幂公式:ααα2sin 21 cos sin = ; 22cos 1sin 2 αα-=; 22cos 1cos 2 αα+=. 万能公式:α α α2 tan 1tan 22sin +=; α α α2 2tan 1tan 12cos +-=. 半角公式:2cos 12 sin α α -± =; 2cos 12 cos α α +± =; α α α cos 1cos 12 tan +-± =. 其中根号的符号由2 α 所在的象限决定. 要点诠释: (1)半角公式中正负号的选取由 2 α 所在的象限确定; (2)半角都是相对于某个角来说的,如2 3α 可以看作是3α的半角,2α可以看作是4α的半角等等。 (3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z)
简单的三角恒等变换 【学习目标】 1.能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式; 2.掌握公式应用的常规思路和基本技巧; 3.了解积化和差、和差化积公 式的推导过程,能初步运用公式进行互化; 4.通过运用公式进行简单的恒等变换,进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性,体会 换元思想的作用,发展推理能力和运算能力; 5.通过公式的推导,了解它们的内在联系和知识发展过程,体会特殊与一般的关系,培养利用联系的观点处理 问题的能力. 要点梳理】 要点一:升(降)幂缩(扩)角公式 升幂公式: 22 1 cos2 2cos , 1 cos2 2sin 降幂公式: 2 1 cos 2 2 1 cos2 cos , sin 22 要点诠释: 利用二倍角公式的等价变形: 1 cos 2sin 2 , 1 cos 2cos 2 进行“升、降幂”变换,即由左边的 22 “一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换,逆用上述公式即为 “降幂”变换. 要点二:辅助角公式 1.形如 asinx b cosx 的三角函数式的变形: asin x bcosx asin x b cosx = a 2 b 2 sin x cos a 2 b 2 sin(x ) (其 中 角所在 象限由 a,b 的 符号确 定, 角的值 由 tan b 确定, 或由 sin b 和 a 确定, 或由 a 2 b 2 a cos 共同确定.) a 2 b 2 2.辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式 asinx bcosx = a 2 b 2 sin (x )(或 asinx bcosx = a 2 b 2 cos ( ) ),将形如 asinx bcosx ( a, b 不同时为零)收缩为一个三角函数 a 2 b 2 sin (x )(或 a 2 b 2 cos ( )).这种 恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数, 这样做有利于函数式的化 简、求值等. a a 2 b 2 sinx cosx 令 cos a a 2 b 2 ,sin cosxsin b a 2 b 2 b
难点38 分类讨论思想 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多,利于考查学生的知识面、分类思想和技巧;同时方式多样,具有较高的逻辑性及很强的综合性,树立分类讨论思想,应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体,明确分类的标准,分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” ●难点磁场 1.(★★★★★)若函数514121)1(31)(23+-+-= x ax x a x f 在其定义域内有极值点,则a 的取值为 . 2.(★★★★★)设函数f (x )=x 2+|x –a |+1,x ∈R . (1)判断函数f (x )的奇偶性; (2)求函数f (x )的最小值. ●案例探究 [例1]已知{a n }是首项为2,公比为 21的等比数列,S n 为它的前n 项和. (1)用S n 表示S n +1; (2)是否存在自然数c 和k ,使得21>--+c S c S k k 成立. 命题意图:本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力,属★★★★★级题目. 知识依托:解决本题依据不等式的分析法转化,放缩、解简单的分式不等式;数列的基本性质. 错解分析:第2问中不等式的等价转化为学生的易错点,不能确定出k k S c S <<-22 3. 技巧与方法:本题属于探索性题型,是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时,采取优化结论的策略,并灵活运用分类讨论的思想:即对双参数k ,c 轮流分类讨论,从而获得答案. 解:(1)由S n =4(1–n 21),得 221)2 11(411+=-=++n n n S S ,(n ∈N *) (2)要使21>--+c S c S k k ,只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>- =--k k k S S S ,(k ∈N *) 故只要2 3S k –2<c <S k ,(k ∈N *)
三角函数知识点总结 1、任意角: 正角: ;负角: ;零角: ; 2、角α的顶点与 重合,角的始边与 重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角,确定()*n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份, 再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象 限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、 叫做1弧度. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是 . 7、弧度制与角度制的换算公式: 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l= .S= 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距 离是() 220r r x y =+>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线:. 12、同角三角函数的基本关系:(1) ; (2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式: ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-.
简单三角恒等变换 一、公式体系 1、和差公式及其变形: (1)βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± (2)βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= (3)β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形: (1)αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± (2)ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍,所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍,所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍,所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍,所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】