最新八年级数学因式分解知识点

第四章 因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 一、提公因式法.

如多项式),(c b a m cm bm am ++=++

其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用

)

)((,

)(2),

)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！

=))((b a n m ++ 思考：此题还可以怎样分组？

此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- （二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ay ax y x ++-2

2

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=)()(22

ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+ 例4、分解因式：2

222c b ab a -+- 解：原式=2

2

2

)2(c b ab a -+- =2

2

)(c b a -- =))((c b a c b a +---

练习：分解因式3、y y x x 392

2

--- 4、yz z y x 22

2

2

---

练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-2

2

（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 491262

2-++-

（5）922

34-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--

（7）222y yz xz xy x ++-- （8）12222

2++-+-ab b b a a

（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+

（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 33

33-++

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2

q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：652

++x x

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

解：652

++x x =32)32(2

?+++x x 1 3

=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：672

+-x x

解：原式=)6)(1()]6()1[(2

--+-+-+x x 1 -1

=)6)(1(--x x 1 -6

（-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542

-+x x

练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102

--x x

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：（1）21a a a = 1a 1c

（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2

=))((2211c x a c x a ++

例7、分解因式：101132

+-x x

分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解：101132

+-x x =)53)(2(--x x

练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732

+-x x

（3）317102

+-x x （4）101162

++-y y

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：2

21288b ab a --

分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b

1 -16b 8b+(-16b)= -8b

解：2

21288b ab a --=)16(8)]16(8[2

b b a b b a -?+-++

=)16)(8(b a b a -+

练习8、分解因式(1)2

2

23y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)2

26b ab a -- （四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、2

2

672y xy x +- 例10、232

2

+-xy y x 1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2

(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy

练习9、分解因式：（1）2

2

4715y xy x -+ （2）862

2+-ax x a

综合练习10、（1）1783

6--x x （2）22151112y xy x --

（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2

+--+b a b a

（5）222265x y x y x -- （6）263442

2++-+-n m n mn m

（7）3424422---++y x y xy x （8）2

222)(10)(23)(5b a b a b a ---++

（9）10364422-++--y y x xy x （10）2

222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++

思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2

222

五、主元法.

例11、分解因式：91032

2

++--x y xy x 解法一：以x 为主元解：原式=)2910()13(2

2

+----y y y x x (-5)+(-4)= -9

=)12)(25(-++-y x y x -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1) 解法二：以y 为主元

解：原式=)93(102

+---x y y =)93(10[2

-+-y x y =2- 2 (x -1) =- 5 -(x +2) =)25)(12(---+-x y x y 5(x -1)-2(x +2)=(3x -9)

练习11、分解因式(1)56422-++-y x y x (2)6722

2-+--+y x y xy x

(3)613622-++-+y x y xy x (4)3635562

2-++-+b a b ab a

六、双十字相乘法。

定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++2

2

型多项式的分解因式。 条件：（1）21a a A =，21c c C =，21f f F =

（2）B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221 即： 1a 1c 1f

2a 2c 2f

B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221 则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 2

2))((222111f c x a f y c x a ++++

例12、分解因式（1）291032

2

-++--y x y xy x （2）61362

2

-++-+y x y xy x 解：（1）2910322

-++--y x y xy x

应用双十字相乘法： x y 5- 2

x y 2 1-

xy xy xy 352-=-，y y y 945=+，x x x =+-2

∴原式=)12)(25(-++-y x y x （2）61362

2

-++-+y x y xy x

应用双十字相乘法： x y 2- 3

x y 3 2-

xy xy xy =-23，y y y 1394=+，x x x =+-32

∴原式=)23)(32(-++-y x y x

练习12、分解因式（1）6722

2-+--+y x y xy x

（2）2

2

2

27376z yz xz y xy x -+--- 七、换元法。

例13、分解因式（1）2005)12005(20052

2

---x x （2）2

)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++ 解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(2

2

=))(1(a x ax -+ =)2005)(12005(-+x x

（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=2

2

2

)65)(67(x x x x x +++++

设A x x =++652，则x A x x 2672

+=++

∴原式=2

)2(x A x A ++=2

22x Ax A ++

=2)(x A +=2

2)66(++x x

练习13、分解因式（1）)(4)(2

2

2

22

y x xy y xy x +-++

（2）90)384)(23(22+++++x x x x （3）2

22222)3(4)5()1(+-+++a a a

例14、分解因式（1）2622

34+---x x x x

观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式=)1162(22

2

x x x x x +-

--=[]6)1

()1(2222-+-+x x x

x x 设t x x =+1，则212

22-=+t x x

∴原式=[

]6)2222

---t t x （

=()10222--t t x =()()2522+-t t x =??

? ??++??? ??-+215222x x x x x =???

??++??? ??-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2

--+x x x

（2）1442

34+++-x x x x

解：原式=??? ?

?

++

+-22

2

1414x x x x x =??????+??? ??--??? ?

?+1141222x x x x x 设y x x =-1，则212

22+=+y x x

∴原式=()3422+-y y x =()()312

--y y x

=)31)(11(2

----x

x x x x =()()13122----x x x x

练习14、（1）6736762

34+--+x x x x （2）)(2122234x x x x x +++++

八、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）432

3+-x x

解法1——拆项。 解法2——添项。 原式=33123+-+x x 原式=44432

3++--x x x x

=)1)(1(3)1)(1(2

-+-+-+x x x x x =)44()43(2

++--x x x x =)331)(1(2+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x =)44)(1(2

+-+x x x =)44)(1(2

+-+x x x =2

)2)(1(-+x x =2

)2)(1(-+x x

（2）33

69-++x x x

解：原式=)1()1()1(3

6

9

-+-+-x x x

=)1()1)(1()1)(1(3

3

3

3

6

3

-++-+++-x x x x x x =)111)(1(3

3

6

3

+++++-x x x x =)32)(1)(1(3

6

2

++++-x x x x x

练习15、分解因式（1）893

+-x x （2）4

2

2

4

)1()1()1(-+-++x x x

（3）1724+-x x （4）2

2412a ax x x -+++

（5）444)(y x y x +++ （6）4

44222222222c b a c b c a b a ---++

九、待定系数法。

例16、分解因式61362

2

-++-+y x y xy x

分析：原式的前3项2

2

6y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为

)2)(3(n y x m y x +-++

解：设61362

2-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++

∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(62

2

∴61362

2

-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(62

2

对比左右两边相同项的系数可得??

?

??-==-=+6

13231

mn m n n m ，解得???=-=32n m

∴原式=)32)(23(+--+y x y x

例17、（1）当m 为何值时，多项式652

2-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式。

（2）如果82

3

+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。

（1）分析：前两项可以分解为))((y x y x -+，故此多项式分解的形式必为

))((b y x a y x +-++

解：设652

2-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++

则652

2

-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(2

2

比较对应的系数可得：?????-==-=+65ab a b m b a ，解得：?????==-=132m b a 或??

?

??-=-==132m b a

∴当1±=m 时，原多项式可以分解；

当1=m 时，原式=)3)(2(+--+y x y x ； 当1-=m 时，原式=)3)(2(--++y x y x

（2）分析：82

3+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式。

解：设82

3+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++

则82

3+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(2

3

+++++

∴?????=+=+=82323c c b c a ，解得??

?

??===4147c b a ， ∴b a +=21

练习17、（1）分解因式291032

2

-++--y x y xy x （2）分解因式6752322

+++++y x y xy x

（3）已知：p y x y xy x +-+--146322

2

能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因

式。

（4）k 为何值时，25322

2+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多

项式。

旅客投诉管理制度

各部门、班组：

为进一步规范旅客投诉处理工作，明确投诉处理的职责、流程和方法，根据我的工作实际，制定了《旅客投诉管理制度》，现印发给你们，请认真贯彻执行。

附件：旅客投诉管理制度

附件

旅客投诉管理制度

1. 目标

为进一步提升服务质量，优化服务流程、规范旅客投诉处理工作，确保旅客投诉能够及时有效地处理，明确投诉处理的职责、流程和方法，特制订本制度。 2. 投诉主要原因及类型 1) 对车站硬件设施的投诉。

2) 由于员工的服务质量未达要求引起的投诉。 3) 由于员工的服务态度引起的投诉。

因式分解知识点总复习含答案

因式分解知识点总复习含答案 一、选择题 1．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（） A．（a+3）（a-3）=a2-9 B．x2+x-5=（x-2）（x+3）+1 C．a2b+ab2=ab（a+b）D．x2+1=x（x+1 x ） 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】 A、是整式的乘法，故A错误； B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误； C、因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确； D、因式中含有分式，故D错误； 故选：C． 【点睛】 本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 2．将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（） A．2x B．﹣4x C．4x4 D．4x 【答案】A 【解析】 【分析】 分别将四个选项中的式子与多项式4x2+1结合，然后判断是否为完全平方式即可得答案.【详解】 A、4x2+1+2x，不是完全平方式，不能利用完全平方公式进行因式分解，故符合题意； B、4x2+1-4x=(2x-1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； C、4x2+1+4x4=(2x2+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； D 、4x2+1+4x=(2x+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意， 故选A. 【点睛】 本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的结构特征是解题的关键. 3．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（） A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a C．6x2y3＝2x2?3y3D．mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1 【答案】A

因式分解知识点归纳总结word版本

因式分解知识点归纳总结概述 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 分解因式与整式乘法互为逆变形。 因式分解的方法：提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)） 分解因式技巧 1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式； ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式 提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 例如：-am+bm+cm= a(x-y)+b(y-x)= ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 例如：a2 +4ab+4b2 = ⑶分组分解法 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。 比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y) 同样，这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)

八年级数学因式分解与分式

八年级数学因式分解与分式测试题 一、选择题（每小题3分，共54分） 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．(a +3)(a -3)=a 2-9 B.x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C.a 2b +ab 2=ab (a +b ) D.x 2+1=x (x +x 1 ) 2.多项式xyz z y x z y x 682222643-+-可提出的公因式是（ ） A. 222z y x - B. xyz - C. xyz 2- D.2222z y x - 3、 已知的值是则22,4,6xy y x xy y x --==+（ ） A. 10 B.—10 C. 24 D.—24 4.若多项式()281n x -能分解成()()()2 49 2323x x x ++-，那么n=( ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 两个连续奇数是自然数）的平方差是和x x x (1212-+ （ ） A. 16的倍数 B.6的倍数 C.8的倍数 D.3的倍数 6、 等于20092008)2(2-+ （ ） A. 20082 B.20092 C. 20082- D.20092- 7、 下列各式中，不能用完全平方公式分解的是( ) A. xy y x 222++ B.xy y x 222++- C.xy y x 222+-- D.xy y x 222--- 8、 无论的值都是取何值，多项式、136422++-+y x y x y x （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 非负数 9、若0≠-=y x xy ，则分式 =-x y 1 1（ ） A 、 xy 1 B 、x y - C 、1 D 、－1 10、三角形的三边a 、b 、c 满足()2230a b c b c b -+-=，则这个三角形的形状是( ) A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形 11.化简a b a b a b - -+等于( ) A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.222()a b a b +-

人教版初中八年级数学上因式分解教案

14．3因式分解 第1课时提公因式法 教学目标 1．了解因式分解公因式等相关的概念及与整式乘法的关系． 2．能找出多项式的公因式，会用提公因式法分解简单的多项式． 教学重点 会用提公因式法分解因式． 教学难点 正确理解因式分解的概念，准确找出公因式． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 同学们，我们先来看下面两个问题： 1．630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？ (2，3，5，7，9，10等) 2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值． 对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接代值进行计算，但有没有简单的方法使计算变得简单呢？这就是我们这节课要解决的问题． 二、自主学习，指向目标 自学教材第114页至115页，思考下列问题： 1．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解 2．因式分解与整式的乘法之间的关系是互逆变形的关系． 3．公因式确定的方法是：①系数是各项系数的最大公约数，②因式的字母取各项都含有的字母；③因式的指数取最低次数． 三、合作探究，达成目标 探究点一因式分解的定义 活动一：填空并观察： (1)计算： x(x＋1)＝________； (x＋1)(x－1)＝________. (2)请你将下列各式写成乘积的形式： ①x2＋x＝________； ②x2－1＝________； ③am＋bm＋cm＝________. 展示点评：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫

做把这个多项式分解因式． 小组讨论：因式分解与整式乘法有什么关系？ 反思小结：因式分解是由一个多项式到几个整式积的变形，整式乘法是几个整式的积到一个多项式的变形，它们之间是互逆变形． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二公因式 活动二：填空： ①6与9的最大公约数是________； ②多项式ma＋mb＋mc的公因式是________． 展示点评：公因式的定义：组成多项式的各项都有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式． 小组讨论：归纳确定公因式的方法 【反思小结】确定公因式的方法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)因式取各项相同的因式；(3)因式的指数取次数最低的 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点三提取公因式法分解因式 活动三：1.把多项式ma＋mb＋mc写成两个整式积的形式是： ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其中m是组成多项式各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是ma＋mb＋mc除以m所得的商2．一般的，如果多项式的各项都有公因式，可以先把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．3．分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)－3(b＋c) 小组讨论：应用提取公因式法分解因式时，其关键是什么？另一个因式如何确定？ 展示点评：关键是确定公因式；另一个因式就是所要分解的多项式除以公因式所得的商解答过程见课本P115例1，例2 【反思小结】(1)应特别强调确定公因式的三个条件，以免漏取，即系数、所有相同的字母、指数；(2)当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1，1作为项的系数时可以省略，但如果单独成一项时不能漏掉．提取公因式后的项数应与原多项式的项数相等，这样可以检查是否漏项．(3)提取公因式时应先观察第一项系数的符号，或是负号时应用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号，然后再提取公因式． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．因式分解与整式乘法之间的关系：整式乘法互逆变形因式分解； 2．确定公因式的方法． 3．提取公因式法分解因式应注意：①找公因式，提公因式，注意符号及不要漏项；②分解结果到每个因式不能再分解为止． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是( C ) A．(a－2)(a＋2)＝a2－4 B．m2－1＋n2＝(m＋1)(n－1) C．8x－8＝8(x－1) D．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1 2．多项式8a3b2－12ab3c＋16ab的公因式是__4ab__．

因式分解知识点归纳

因式分解知识点回顾

1 1 如: 2 3 ( ')3' 2 8 10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

注意: ①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幕的乘法法则。 ③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 如：2x2y3z?3xy 11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加, 即 m(a b c) ma mb mc( m,a,b,c都是单项式) ①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。] 如：2x(2x 3y) 3y(x y) 12、多项式与多项式相乘的法则； 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相

(3a 2b)(a 3b) (x 5)(x 6) 三、知识点分析: 1.同底数幕、幕的运算： a m - a n=a m+n（m, n 都是正整数）. （aO n=a mn（m, n都是正整数）. 例题 1.若 2a 2 64，则a= ;若 27 3n（ 3）8，则n= 例题2.若52x1125，求（x 2)2009 x的值。 例题3.计算x 2y 32y 练习 1.若 a2n 3，则 a6n= 2.设4x=8y-1,且9y=2产,则x-y等于 2.积的乘方（ab）n=a n b n（n为正整数）.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘 p 4 例题1.计算：n m m n n m p 3.乘法公式 平方差公式： a b a b a2 b2

人教版八年级数学因式分解方法技巧.doc

学习资料收集于网络，仅供参考 因式分解方法技巧 专题一 分解因式的常用方法：一提二套三分，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。 常见错误： 1、漏项，特别是漏掉 2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化 3、分解不彻底 ［例题］把下列各式因式分解： 1 2 x(y-x)+y(y-x)-(x-y) 5 2. a -a 2 2 3. 3(x -4x) -48 ［点拨］看出其中所含的公式是关键练习 3 1、3x -12x 2 2 2 2、2a(x 1) -2ax 2 3、3a 6a 5、一4a3+ 16a2b—26ab2 4 4 6、m -16 n

学习资料收集于网络，仅供参考 专题二 二项式的因式分解：二项式若能分解，就一定要用到两种方法：1提公因式法2平方差公 式法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式 a 2-b 2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中 a,b 所代表的整式，将 一个数或者一个整式化 成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。 平方差公式运用时注意点： 根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式： A 、 多项式为二项式或可以转化成二项式； B 、 两项的符号相反； C 、 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式； D 、 首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式； E 、 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式 ［例题］分解因式：3(x+y)2-27 ［点拨］先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解 练习 2 1 2 2 4)9a — b . 5) 25 — 16x ; 4 专题三 三项式的分解因式：如果一个能分解因式, 公 式法。先观察三项式中是否含有公因式, 或者a 2-2ab+b 2的形式 完全平方公式运用时注意点： A. 多项式为三项多项式式； B. 其中有两项符号相同，且这两项的绝对值均可以化为某两数(或代数式)的平方; C. 第三项为B 中这两个数(或代数式)的积的 2倍，或积的2倍的相反数。 1)x 5— x 3 2)m 4 -16 n 4 2 3)25 — 16x 6) 9a 2— - b 2. 4 「般用到下面2种方法：1提公因式法 2完全平方 然后再看三项式是否是完全平方式， 即a 2+2ab+b 2

八年级数学《因式分解》教案

因式分解 多项式ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为公因式，把公因式提出来，ma+mb+mc=m(a+b+c)，这种方法叫做提取公因式法。 2222 2 2 )b a (b ab 2a ) b a (b ab 2a -=+-+=++ )b a )(b a (b a 2 2 -+=- 它们实际上是利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。 （二）典型例题 例1. 把下列多项式分解因式： ab 9a 3)2(a 25a 5)1(22 -+- 222 2 y 4xy 4x )4(y 16x 25)3(++- 解：)5a (a 5a 25a 5)1(2--=+- （2）)b 3a (a 3ab 9a 32 -=- )y 4x 5)(y 4x 5()y 4()x 5(y 16x 25)3(2 2 2 2 -+=-=- 22222)y 2x ()y 2(y 2x 2x y 4xy 4x )4(+=+??+=++

例2. 把下列多项式分解因式： 233 223xy 12x 3)2(xy y x 4y x 4)1(-++ 分析：这两个多项式都较为复杂，因为每个字母的指数都不为1，这种题目首先观察有无公因式，先提公因式，然后再利用公式分解因式。 解：)y xy 4x 4(xy xy y x 4y x 4)1(223223++=++ 2 22) y x 2(xy ]y y x 22)x 2[(xy +=+??+= )y 4x (x 3xy 12x 3)2(2223-=- ) y 2x )(y 2x (x 3] )y 2(x [x 322-+=-= 例3. 对下列多项式进行因式分解： 1m 9 4 )2()x y (b 2)y x (a 4)1(23 2---- 222y )x y (x 4)4(xy 8y 16x )3(--++ 分析：（1）题中(y-x)3 =[-(x-y)]3 =-(x-y)3 ，所以这两项中都有2(x-y)2 ，可先提取公因式。 （2）题观察“1”，1=12 ，故可用平方差公式分解。 （3）题利用加法交换律得x 2+8xy+16y 2 ，符合完全平方公式。 （4）题将多项式展开为4xy-4x 2-y 2=-4x 2+4xy-y 2=-（4x 2-4xy+y 2 ）符合完全平方公式，可用公式分解。 解：3 2 3 2 )y x (b 2)y x (a 4)x y (b 2)y x (a 4)1(-+-=--- ) by bx a 2()y x (2)]y x (b a 2[)y x (22 2-+-=-+-= )1m 3 2 )(1m 32(1)m 32(1m 94) 2(222-+=-=- 2 2 2 2 2 )y 4x (y 16xy 8x xy 8y 16x )3(+=++=++ 2 2 2 2 2 2 )y x 2()y xy 4x 4(y x 4xy 4y )x y (x 4)4(--=+--=--=-- 说明：（1）分解因式前一般不能直接分解的因式按某字母的降幂整理； （2）首项为“－”时可考虑用添括号法则使其变为“＋”； （3）运用公式时，应从项数、符号以及各项是否完全符合公式特征着手，不能滥用公式。 （4）在分解因式时，首先看是否有公因式。 例4. 将下列多项式进行因式分解：

乘法公式与因式分解知识点经典题例

戴氏教育中高考学校教育中心 【教师寄语：请你相信，有志者事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚;苦心人天 不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！】 乘法公式与因式分解 考点一：完全平方公式 1．（2014?南充）下列运算正确的是（） A．a3?a2=a5B．（a2）3=a5C．a3+a3=a6D．（a+b）2=a2+b2 2．（2014?莆田）下列运算正确的是（） A．a3?a2=a6B．（2a）3=6a3C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．3a2﹣a2=2a2 3．（2014?贵港）下列运算正确的是（） A．2a﹣a=1 B．（a﹣1）2=a2﹣1 C．a?a2=a3D．（2a）2=2a2 考点二：平方差公式 4．（2014?句容市一模）下列运算正确的是（） A．3a+2a=a5B．a2?a3=a6C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+b2 5．（2014?锡山区一模）计算（x﹣2）（2+x）的结果是（） A．x2﹣4 B．4﹣x2C．x2+4x+4 D．x2﹣4x+4 6．（2013?益阳）下列运算正确的是（） A．2a3÷a=6 B．（ab2）2=ab4C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+b2 考点三：因式分解的意义 7．（2014?海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（） A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7） C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25 考点四：公因式 8．观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m（a﹣b）和﹣a+b；③3（a+b）和﹣a﹣b；④x2﹣y2和x2+y2；其中 有公因式的是（） A．①②B．②③C．③④D．①④ 考点五：因式分解—提取公因式 9．（2014?威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（） A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x）C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1 10．（2013?槐荫区一模）把多项式mx2﹣2mx分解因式，结果正确的是（） A．m（x2﹣2x）B．m2（x﹣2）C．m x（x﹣2）D．m x（x+2） 考点六：因式分解—公式法 11．（2014?衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（） ①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y） A．3个B．2个C．1个D．0个 12．（2014?常德）下面分解因式正确的是（） A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B．（x2﹣4）x=x3﹣4x C．ax+bx=（a+b）x D．m2﹣2mn+n2=（m+n）2 考点七：因式分解—分组分解 13．（2010?自贡）把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式结果正确的是（）

八年级下册数学《因式分解》笔记

《因式分解》单元复习 一、一把地，对于两个多项式f 与g ，如果有多项式h 使得f=gh,那么我们把g 叫做f 的一个因式，此时，h 也是g 的一个因式。 二、一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称把这个多项式因式分解。 练一练：下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ （1）.222)(2b a b ab a +=++2)2)(3(42+-+=-+m m m m （2）.1)2(41842--=--x x x x （3）. )1(22--=--bx ax x x bx ax 三、因式分解的注意事项：有公因式的先提公因式； 括号内要合并同类项； 括号内首项系数要为正；括号内不能再分解。 四、因式分解的方法 1.提公因式法:形如ma mb mc m a b c ++=++() 练一练：把下列多项式因式分解： （1）-2ab 2+4a 2b-10b （2） )2(3)2(---x x x （3）)2(3)2(x x x --- （4）22))(())((a b c a b a c a ----+ 2、 公式法:平方差公式: a b a b a b 22-=+-()()； 完全平方公式：a ab b a b 2222±+=±() 练一练：①把16-(x+y)2 因式分解 ②计算：222012201240262013+?-

3、十字相乘法 ： x p q x pq x p x q 2+++=++()()() 练一练：把2914x x ++分解因式 4、分组分解法 （①分组后能直接提公因式 ②分组后能直接运用公式）。 练一练： ①bn bm an am +++： ②2222c b ab a -+-

因式分解知识点总结

因式分解知识点总结 注意三原则 1.分解要彻底(是否有公因式，是否可用公式) 2.最后结果只有小括号 3.最后结果中多项式首项系数为正(例如：-3x^2+x=x(-3x+1)) 4.最后结果每一项都为最简因式 归纳方法： 1.提公因式法。 2.公式法。 3.分组分解法。 4.凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)] 5.组合分解法。 6.十字相乘法。 7.双十字相乘法。 8.配方法。 9.拆项补项法。 10.换元法。 11.长除法。 12.求根法。 13.图象法。 14.主元法。 15.待定系数法。

16.特殊值法。 17.因式定理法。 基本方法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式，一次要提尽全家都搬走，留1把家守提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。 注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2,反过来为a^2-b^2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,反过来为a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

八年级下册数学 因式分解

八年级下册数学因式分解 因式分解 考点一：因式分解的概念 例1 （2013?株洲）多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m= ，n= ． 思路分析：将（x+5）（x+n）展开，得到，使得x2+（n+5）x+5n与x2+mx+5的系数对应相等即可．解：∵（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，∴x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n ∴ 5 55 n m n += ? ? = ? ，∴ 1 6 n m = ? ? = ? ， 故答案为6，1． 点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可． 对应训练 1．（2013?河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（） A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1） 考点二：因式分解 例2 （2013?无锡）分解因式：2x2-4x= ． 思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可． 解：2x2-4x=2x（x-2）． 故答案为：2x（x-2）． 点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 例3 （2013?南昌）下列因式分解正确的是（） A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2 C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3） 思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案． 解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误； B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确； C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误； D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．

初二数学因式分解讲解

十字相乘法 一、导入 二、前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q). 课前练习：下列各式因式分解 1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48； 3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。 答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）； 3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 二、新课 例1 把2x2-7x+3因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3） =5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1c1 a2×c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其

八年级数学因式分解过关练习题有答案.doc

2019-2020 年八年级数学因式分解过关练习题有答案 1．将下列各式分解因式 （ 1） 3p 2 ﹣6pq 2．将下列各式分解因式 3 （ 1） x y ﹣ xy 3．分解因式 （ 1） a 2 （ x ﹣ y ） +16 （y ﹣ x ） 2 （ 2） 2x +8x+8 3 2 2 （ 2） 3a ﹣ 6a b+3ab ． 2 2 2 2 2 （ 2）（ x +y ） ﹣ 4x y 4．分解因式： （1） 2x 2 ﹣x 2 （ 3） 6xy 2 ﹣ 9x 2 3 （ 4） 4+12（ x ﹣ y ）+9 （ x ﹣y ） 2 （2） 16x ﹣ 1 y ﹣ y 5．因式分解： 2 ﹣ 8a （ 2）4x 3 2 2 （1） 2am +4x y+xy 6．将下列各式分解因式： （1） 3x ﹣ 12x 3 2 2 2 2 2 （ 2）（ x +y ） ﹣ 4x y 2 2 3 2 2 7．因式分解： （ 1） x y ﹣ 2xy +y （2）（ x+2y ） ﹣ y 8．对下列代数式分解因式：

（1） n 2 （ m﹣ 2）﹣ n（ 2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 2 2 9．分解因式： a ﹣ 4a+4﹣ b 2 2 10．分解因式： a ﹣ b ﹣ 2a+1 11．把下列各式分解因式： 4 2 4 2 2 （1） x ﹣ 7x +1 （ 2） x +x +2ax+1 ﹣ a 2 2 2 4 （1﹣ y）2 4 3 2 （3）（ 1+y）﹣ 2x （ 1﹣ y ） +x （4） x +2x +3x +2x+1 12．把下列各式分解因式： 3 ﹣ 31x+15；2 2 2 2 2 2 4 4 4 ； 5 （1） 4x （ 2）2a b +2a c +2b c ﹣ a ﹣ b ﹣ c （3） x +x+1 ； 3 2 4 3 2 （4） x +5x +3x ﹣ 9；（ 5）2a ﹣ a ﹣ 6a ﹣a+2．

因式分解知识点归纳总结一

因式分解知识点归纳总结一 （一）运用公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有： a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 （二）平方差公式 1．平方差公式 （1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b) （2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 （三）因式分解 1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。 2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 （四）完全平方公式 （1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到： a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 =(a-b)2 这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。 把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。 上面两个公式叫完全平方公式。 （2）完全平方式的形式和特点 ①项数：三项

②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。 ③有一项是这两个数的积的两倍。 （3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。 （4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 （5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 （五）分组分解法 我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式． 如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式． 原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m +n) 做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以 原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m+ n) ＝(m +n)?(a +b)． 这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式． （六）提公因式法 1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式． 2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意： 1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于 一次项的系数．

因式分解相关知识点整理【竞赛专用】

因式分解相关知识点整理【竞赛专用】1.因式分解的思路：“一提、二代、三分组” 2.常用公式: [1]a 2 b 2(a b)(a b) [2](a b) 2 a 22ab b 2 [3]a 3b3(a b)(a 2?ab [4](a b)3 a 33a 2b3ab 2⑸若n为正奇数，则a n b n ⑹若n为正整数，则a n b n b 2 ) b3 (a b)(a n1 a n 2b a n 3b 2 (a b)(a n i a n 2b a n 3b 2 应用公式时，按某个字母降幕排列是一个简单而有用的措施，值得注意。 3.常用分组方法（注意：每组项数须平均分配）： （1 ）按不同字母分组 （2） b.按不同字母的幕分组（幕次相近的放在一起） （3）按不同项的系数分组 注：当分组不当，无法继续分解原式时，就应回到分组前的状况 4.拆项与添项 （1 ）若整式按某一字母的升幕或降幕排列，那么以拆开中项为宜 （2）可以配完全平方（配方法） 5.十字相乘法（二次齐次式ax 2bxy cy2也可用此法分解，令y1代入原式即可） ax+c例子： X bx+d x+2 X x+3 adx bcx+cd abx2+3x+6 x 2+ 2 x abx2+(ad bc) x+cd x 2+5x+6将以上竖式简化，就可以得到十字相乘法的竖式： a - b c -d 1 1 X2 3 ab bc5 补充一个结论:— 若二次三项式ax bx c的系数和a b c 0，则ax bx c （x 1）（ax c） ax 2 bxy cy 2 dxz eyz fz2的三元齐次式.) 把其中三组二元三项式或二元齐次式分别用十字相乘法来分解，如果其中两组包含相同字母ab n2 b n1) ab n 2 b n 1 ) 第1页-2008.09 - v1.01

八年级下数学因式分解练习题

第四章 因式分解单元练习题 一、选择题 1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( ) A.bx ax b a x -=-)( B.222)1)(1(1y x x y x ++-=+- C.)1)(1(12-+=-x x x D.c b a x c bx ax ++=++)( 2.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A.22)(b a -+ B.mn m 2052- C.22y x -- D.92+-x 3.如果2592 ++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ） A.15 B.±5 C. 30 D.±30 4.下列各式从左到右的变形错误的是( ) A.22)()(y x x y -=- B.)(b a b a +-=-- C.33)()(a b b a --=- D.)(n m n m +-=+- 5.下列因式分解不正确．．． 的是（ ） A.)4)(4(162+-=-m m m B.)4(42+=+m m m m C.22)4(168-=+-m m m D.22)3(93+=++m m m 6.下列因式分解正确的是（ ） A.)1(222--=--y x x x xy x B.)32(322---=-+-x xy y y xy xy C.2)()()(y x y x y y x x -=--- D.1)2(122+-=+-x x x x 7.因式分解9)1(2--x 的结果是（ ） A.)1)(8(++x x B.)4)(2(-+x x C.)4)(2(+-x x D.)8)(10(+-x x 8.把代数式m mx mx 962+-因式分解，下列结果中正确的是（ ） A.2)3(+x m B.)3)(3(-+x x m C.2)4(-x m D.2)3(-x m 9.若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为( ) A.-5 B.5 C.-2 D.2 10.下列多项式：①x x -216；②)1(4)1(2---x x ；③224)1(4)1(x x x x ++-+ ； ④x x 4142+--，因式分解后，结果中含有相同因式的是（ ）

初二数学因式分解100题

提升课堂托辅中心 初二数学因式分解精选 100题 2013年1月25日 一、选择题 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A (a +3)(a -3)=a 2-9 B x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C a 2b +ab 2=ab (a +b ) (D)x 2+1=x (x +x 1) 2.下列各式的因式分解中正确的是（ ） A -a 2+ab -ac = -a (a +b -c ) B 9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) C 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) D 21xy 2+21x 2y =2 1 xy (x +y ) 3.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ） (A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1) 4.下列多项式能分解因式的是（ ） (A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y +y 2 (D)x 2-4x +4 5.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） (A)412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)2 24914b ab a ++- (D) 13 292+-n n 6.多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ） (A)4x (B)-4x (C)4x 4 (D)-4x 4 7.下列分解因式错误的是（ ） (A)15a 2+5a =5a (3a +1) (B)-x 2-y 2= -(x 2-y 2)= -(x +y )(x -y )(C)k (x +y )+x +y =(k +1)(x+y ) (D)a 3-2a 2+a =a (a -1)2 8.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ） (A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 2 9.下列多项式：①16x 5-x ；②(x -1)2-4(x -1)+4；③(x +1)4-4x (x +1)+4x 2；④-4x 2-1+4x ，分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）(A)①② (B)②④ (C)③④ (D)②③ 10.两个连续的奇数的平方差总可以被 k 整除，则k 等于（ ） (A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数 11下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ ） A a(a ＋b －1)=a 2＋ab －a B a 2 –a －2=a(a －1)－2 C －4 a 2＋9b 2=(－2a ＋3b)(2a ＋3b) D ． 2x ＋1=x(2＋1/x) 12下列各式分解因是正确的是（ ） A ．x 2y ＋7xy ＋y=y(x 2＋7x) B ． 3 a 2b ＋3ab ＋6b=3b(a 2＋a ＋2) C ． 6xyz －8xy 2=2xyz(3－4y) D ． －4x ＋2y －6z=2(2x ＋y －3z) 13下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ） A ． x 2－y B ． x 2＋2x C ． x 2＋y 2 D ．x 2－xy ＋y 2 14 2(a －b)3－(b － a)2分解因式的正确结果是（ ） A ． (a －b)2(2a －2b ＋1) B ． 2(a －b)(a －b －1) C ． (b －a)2(2a －2b －1) D ． (a －b)2(2a －b －1) 15下列多项式分解因式正确的是（ ） A ． 1＋4a －4a 2=(1－2a)2 B ． 4－4a ＋a 2=(a －2)2 C ． 1＋4x 2=(1＋2x)2 D ．x 2＋xy ＋y 2=(x ＋y)2 16 运用公式法计算992，应该是（ ） A ．(100－1)2 B ．(100＋1)(100－1) C ．(99＋1)(99－1) D ． (99＋1)2 17 多项式：①16x 2－8x ；②(x －1)2 －4(x －1)2；③(x ＋1)4－4(x ＋1)2＋4x 2 ④－4x 2－1＋4x 分解因式 结果中含有相同因式的是（ ）