数学江苏省启东中学2017高二下学期期中考试数学理试题Word版含答案

江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期期中考试

高二理科数学试卷

(满分160分，考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.函数()sin f x x x =的导数是 ▲ ．

2.若56

n n C C =，则9

n C ＝ ▲ ．（用数字作答）

3.设曲线3

y ax x =+在(1,)a 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ▲ ．

4．人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为 ▲ ． 5.函数()ln f x x x =的单调减区间是 ▲ ． 6.函数311

()433

f x x x =

-+的极大值是 ▲ ． 7.将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ． 8.设函数()f x 的导函数为'

()f x ，若3

'

()52(1)f x x xf =+，则'

(3)f ＝ ▲ ．

9.用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有 ▲ 个．（用数字作答）

10.已知函数3

()27f x x x =-在区间[,1]a a +上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 11.已知两曲线()sin f x a x =，()2cos ,(,)2

g x x x π

π=∈相交于点P ，若两曲线在点P 处的切线互相垂

直，则实数a 的值是 ▲ ．

12.某种圆柱形的饮料罐的容积为V ，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半

径为（用含V 的代数式表示） ▲ ．

13. 已知直线y m =，分别与直线55y x =-和曲线2x

y e x =+交于点M,N 两点，则线段MN 长度的最小值是 ▲ ．

14. 已知a 为常数，函数2

(0)()1ln (0)x x f x x x x +?≤?

=+??>?

，若关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，

则实数a 的取值所构成的集合为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）

（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？

（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）

16．（本小题满分14分）

设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．

(1)若随机数a，b∈{1,2,3,4,5}；

(2)若a是从区间[0,5]中任取的一个数，b是从区间[0,4]中任取的一个数．

17．（本小题满分14分）

已知曲线()ln(2)f x x ax =-+在点(0，(0)f )处的切线斜率为

32

. (1) 求()f x 的极值；

(2) 设()()g x f x kx =+，若()g x 在(－∞，1]上是增函数，求实数k 的取值范围．

18．（本小题满分16分）

已知函数()f x ＝1

3x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C ．

（1）求过曲线C 上任意一点的切线倾斜角的取值范围； （2）求()f x 在区间[]

1,4-上的最值；

（3）若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．

19．（本小题满分16分）为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为

3

π的扇形展示区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．为了实现“以展养展”，现决定：在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每百米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每百米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．

（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域 ；

（2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．

20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.

(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；

(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 22

3

)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范

围．

第19题图

B

D

C

O

A

x

江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期期中考试

高二理科数学试卷参考答案

一、填空题：

1.sin cos x x x +

2.55

3.

13 4．35． 5. 1(0,)e 6.17

3 7. 49

8.105 9.300 10.(4,3)(2,3)-- 11.233-

12.32V π 13.96ln 2

5

- 14.31(,1)

e e ??

--????

二、解答题：

15．解：（1）4345A A =1440;（2）4444A A =576;（3）61156555A A A A +=3720;（4）73

73A A ÷=840 。

其中（1）、（2）每题3分；（3）、（4）每题4分 16．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，

当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .…………2分

(1)基本事件共有25个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5),(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5),(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5),(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含15个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝3

5

………9分 (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤5,0≤b ≤4}．

构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤5，0≤b ≤4，a ≥b }，概率为两者的面积之比， 所以所求的概率为P (A )＝

2

5

…………14分 17．解：(1) f(x)的定义域是(－∞，2)，f ′(x)＝1

x －2

＋a. …2分

由题知f′(0)＝－12＋a ＝32，所以a ＝2，所以f′(x)＝1

x －2＋2＝232x x -- 令f′(x)＝0，得x ＝32. ……4分

当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：

x (－∞，

32) 32

(

3

2

，2) f′(x) ＋

0 －

f(x)

1

所以f(x)在x ＝

3

2

处取得极大值3ln 2-，无极小值． …………………………7分 (2) g(x)＝ln(2－x)＋(k ＋2)x ，g ′(x)＝1

x －2

＋(k ＋2)， ………9分

由题知g′(x)≥0在(－∞，1]上恒成立，即k ≥1

2－x

－2在(－∞，1]上恒成立，

因为x ≤1，所以2－x ≥1，所以0＜1

2－x

≤1，所以k ≥－1.

故实数k 的取值范围是[－1，＋∞)． ……14分

18．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，…………2分

即过曲线C 上任意一点切线倾斜角的取值范围是3,0,42πππ??

??

??????

??

…………4分 （2）()f x 的最大值为4(1)(4)3f f ==

；()f x 的最小值为16

(1)3

f -=-………9分 (3)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，????

?

k ≥－1，－1k ≥－1，……12分

解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－ 2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)． …………16分 19．解（1）因为CD ∥OA ，所以rad ODC AOD x ∠=∠=， 在△OCD 中，23OCD π∠=

，3

COD x π

∠=-，2OD =百米， 由正弦定理得

243

2sin 3

sin()sin 33

OC CD x x ===

ππ-， ……4分 得43sin 3OC x =

km ，43sin()33

CD x π

=-百米．…………5分 又圆弧DB 长为2(

)3

x π

- 百米． 所以43432sin [sin()2()]3333y a x a x x ππ=?+?-+- 2(3sin cos )3a x x x π

=?+-+，(0)3

x π∈，．………7分

（2）记()2(3sin cos )3

f x a x x x π=?+-+，

则()2(3cos sin 1)2[2cos()1]6

f x a x x a x π'=?--=?+-，………………8分 令()0f x '=，得6

x π

=

． ……………10分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：

所以()f x 在6x π=

处取得极大值，这个极大值就是最大值． 即()2(3)66

f a ππ

=?+． …14分 答：（1）y 关于x 的函数解析式2(3sin cos )3y a x x x π=?+-+，定义域为 ： (0)3

π

，；

（2）广告位出租的总收入的最大值为2(3)6

a π

+元．………………………16分

x

(0)6

π， 6

π ()63

ππ， ()f x ' ＋ 0 － ()f x

递增

极大值

递减

第19题图

B

D

C

O

A

x

20．解：)0(2

2)(2>+-=-+='x x

ax x a x x x f

(1)当3=a 时,x

x x x x x x f )

1)(2(23)(2--=

+-=', …………………………2分 令100)(<'x x f 或2>x ,令210)(<

所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(.…………………………4分

(2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,

???????=+=>?≤==+>-=?∴122

112

1212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a

…………………………7分 )2

1ln 2()21ln 2()()(22

22121121ax x x ax x x x f x f -+--+

=- ))((2

121)ln (ln 221212

22121x x x x x x x x -+--+

-=21

211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 412

1211≤<--+=x x x x

设)10(2ln 222ln 4)(2

2≤<--+=x x x x x F ，

所以0)2(4444)(3

2

23423<--=--=--='x x x x x x x x x F

所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 22

3

)1()(-=≥F x F 即2ln 223)()(21-≥-x f x f .……10分

(3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 2

1ln )(2

--+=, 所以a x

x x g -+

='1

)(，因为]2,1[∈x ，所以??????∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，

所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增，

当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==.所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，…12分

令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立， a

a k k a a h 1

)2(21)(---=

---

='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ； 当02>--k 即2-

a a h --=?='21

0)( ①2210<--

k --上递增，存在k

a --=21

，使得0)2()(=

221

≥--k 即22

5-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减,

当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-

k 综上, 实数k 的取值范围为),2

5

[+∞-.16分