矩阵的初等变换及其应用

石家庄经济学院本科生毕业论文

摘要

在数学中矩阵最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵，现在矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一。在线性代数及其许多的问题中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。

本文总结了线性变换在线性代数、初等数论、通信、经济、生物遗传等方面的应用。关键词：矩阵；初等变换；标准型；逆矩阵；标准型；秩；方程组

ABSTRACT

Matrix derived from the first phalanx of the coefficients and constants of the equations in mathematics, now matrix is the most fundamental and important concepts of linear algebra, in linear algebra and many other questions can be seen the figure of the matrix, It can abstract the matrix representation, then matrix calculated results. As the foundation and core of the matrix, the elementary transformation matrix and its application is very important, it can conversion a variety of complex matrix into a matrix form we need, then the calculation becomes more simple.

This paper summarizes the application of linear algebra, elementary number theory, communications, and economic, biological heredity.

Key words:Matrix; Elementary transformation; standard; inverse matrix; standard; rank; equations;

I

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目录

1矩阵及其初等变换的概念 (1)

2矩阵初等变换的应用 (1)

2.1在线性代数中的应用 (2)

2.1.1 将矩阵化简为阶梯型和等价标准型 (2)

2.1.2矩阵的分块和分块矩阵的初等变换 (3)

2.1.3求伴随矩阵和逆矩阵 (4)

2.1.4求矩阵的秩，向量组的秩 (5)

2.1.5求矩阵的特征值和特征向量 (6)

2.1.6 解线性方程组 (7)

2.1.7求解矩阵方程 (8)

2.1.8化二次型为标准型 (9)

2.1.9判断向量组的线性相关性，求其极大线性无关组 (11)

2.2在数论中的应用 (11)

2.3在通信中的应用 (13)

2.4在经济方面的应用 (14)

2.5在生物遗传方面的应用 (15)

总结 (18)

致谢 (19)

参考文献 (20)

II

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1

矩阵的初等变换及其应用

在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为对这些矩阵的转化过程，除方程组之外，还有很多方面的问题也都涉及矩阵的概念及其应用，这些问题的研究常常转化为对矩阵的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的。这就使矩阵成为数学中一个应用广泛的概念，而作为矩阵的一种运算方法，初等变换在矩阵的研究中具有很重要的意义。

1 矩阵及其初等变换概念

首先介绍矩阵的概念 定义1.1 由n m ?个数),,2,1j ,,,2,1(n m i a ij

==排成m 行n 列的数表

?????

????

???=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。ij a 称为矩阵A 的第i 行第j 列元素。

定义1.2 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： (1)对掉矩阵两行（对调j i ,两行，记作j i r r ?）；

(2)用任意数0≠k 乘矩阵的某一行中的所有元素（第i 行乘k ，记作i r k ?）； (3)用数k 乘矩阵的某一行的所有元素加到另一行的对应元素上去（第j 的k 倍加到第i 行上，记作j i kr r +）。 把定义中的“行”换成“列”，就是矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把r 换成c ）

。 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。

定义1.3 对单位矩阵E 施行一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵或初等方阵。

例如：我们将E 的1，2两行互换得到初等矩阵??

??

?

?????=10000101012E ，将E 的第3行乘以-2倍所得初等矩阵??

??

?

?????-=-200010001)2(3E ，将E 的第1行的-5倍加到第2行上，就可以得到??

??

?

?????-=-100015001)5(12E 。 2 矩阵初等变换的应用

矩阵的初等变换应用广泛，本文主要总结了它在线性代数、数论、通信、经济、生物

基因遗传方面的应用。

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2

2.1 在线性代数中的应用

矩阵的初等变换是矩阵的计算中必要的步骤。在矩阵计算时，首先需要对它进行初等变换，化成单位矩阵，阶梯形矩阵等简单的矩阵，使计算简便。 2.1.1 将矩阵化简为阶梯型和等价标准型

一个阶梯形矩阵，需满足两个条件：

（1）如果它既有零行，又有非零行，则零行在下，非零行在上。

（2）如果它有非零行，则每个非零行的第一个非零元素所在列号自上而下严格单调上升。

阶梯形矩阵的基本特征 ：

如果所给矩阵为阶梯形矩阵则矩阵中每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零。

对于任何矩阵A ，总可以通过有限次初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵。 任意一个n m ?矩阵A ，总可以经过初等变换把它化为标准形：

????????

??

????????????=00000000010000100001

B

若B 和A 等价，称为矩阵A 的标准形，主对角线上1的个数等于A 的秩（1的个数可以是零）。

例 用初等变换将下列矩阵化为阶梯形和标准形，

????

?????

???=6542762252311311A

解：应用初等变换

??

???

???????→????????????→?????????

???-→??

???

?

??????-→????????????--→?????????

???=000

01000010

000100005000002000010000500041200001000050004120

13

1141205000412013116542762252311311A

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3

矩阵??

???????

???-00

00

500041201311是阶梯形，矩阵?????

???????00

00

010********

1

是标准形。 2.1.2 矩阵的分块和分块矩阵的初等变换

将分块乘法与初等变换结合就成为矩阵运算中重要的手段。 现设某个单位矩阵如下进行分块：

?

????

?n m E E 00 对它进行两行(列)对换；某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵P ；一行(列)加上另一行(列)的P (矩阵)倍数，就可得到如下类型的一些矩阵：

,0,0,00,00,00??????????????????????????????n m n m m n m n E P E E P E P E E P E E

和初等矩阵与初等变换的关系一样，用这些矩阵左乘任一个分块矩阵

??????D C B A , 只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：

?

??

???=????????????B A D C D C B A E E n m 00, (1) ???

???=???????????

?D C PB PA D C B A E P n 00, (2) ??

?

???++=?????

??????

?PB D PA C B A D C B A E P E n m

0 。 (3)

同样，用它们右乘任一矩阵，进行分块乘法时也有相应的结果。

在(3)中，适当选择P ，可使0=+PA C 。例如A 可逆时，选1--=CA P ，则0=+PA C 。于是(3)的右端成为

??

?

???--B CA D B A 10 这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其它问题时是比较方便的，因此(3)中的运算非常有用。 例 设

??

????=D C A T 0。D A ,可逆，求1

-T 。 解：??

?

???-→???

???-→????

??-----11

11

10

00

0000

00

D CA D E

A E E CA

D E A E D

C E A 所以，??

?

???-=-----1111

1

0D CA D A T

.

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4

2.1.3 求伴随矩阵和逆矩阵

矩阵A 中的元素都用它们在行列式A 中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，得到的这个矩阵叫A 的伴随矩阵。

如：方阵A 的行列式A 的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下方阵

?

?

???

?

?

?????=nn n

n n n A A A A A A A A A A 2112212

12111*

， 称为方阵A 的伴随阵，且E A A A AA ==**。

例 求??

??

??????--=12221222

1A 的伴随矩阵。 解：先求代数余子式

3122111-=--=A ，6122212-=--=A ,62

21213-=-=A ,

同理可求得3,6,6,6,3,6333231232221-==-==-=-=A A A A A A

所以??

??

?

?????-------=366636663*A 。 定义2.1 设A 是数域上一个n 阶方阵，若在相同数域上存在另一个n 阶矩阵B ，使得：

E BA AB ==

则我们称B 是A 的逆矩阵，而A 则被称为可逆矩阵。

逆矩阵的基本求法有：

1. 定义法，找出B 使E AB =或E BA =；

2. 伴随矩阵法，*

11A A A =-； 3. 初等变换法，()()

-1A E ???→?只用行变换E A

??

??

?????????→???????????1

-A E E A 只用列变换； 4. 分块矩阵法

??

????=??

?

?????????=??

?

???------00

00,0000111

11

1

A B B A B A B A 这里用初等变换法来求矩阵的逆。

例 求??

????????--=12221222

1A 的逆矩阵。 解：用初等变换，得

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5

()???????

????

?????--??→????????????

????

?

---??→???

????

?

?

????????--???→???????????----??→?????

?

??

???-----??→???????????--=-------9192929291929292911000100019192929291929294951000

10021919292031

3200110021

022112201200190063022

111001200133

063022

1100010001122212221213

2312

3231

22

322231,912r r r r r r r r r r r r r r E A 所以??????????--=-12221222

1911A 2.1.4 求矩阵的秩，向量组的秩

（1）矩阵的秩

矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”。

定理：矩阵经初等变换后，其秩不变，即若B A ~则)()(B R A R =。 因此只要把矩阵用初等行变换变成阶梯型矩阵，阶梯型矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。

例 求?

????????

???-----=43623333

201262420121A 的秩。 解：

?????

???????----??→?????????????-----??→???????

??????-----??→?????????????-----??→?????????????-----=+-??--+01120000300022300121211260003000223001212212600036902230012121223690223060000121436233332012624201213423433214131

223222r r r r r r r r r r r r r r A

所以)(A R =3

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6

（2）极大线性无关组

在向量组s ααα,,,21 中，如存在一个部分组r i i i ααα,,,21 线性无关，且再添加进组中任一向量j α，向量组j i i i r αααα,,,,21 一定线性相关，则称向量组r i i i ααα,,,21 是向量组

s ααα,,,21 的一个极大线性无关组。

（3）向量组的秩

向量组s ααα,,,21 的极大线性无关组中所含向量的个数r 称为该向量的秩，记为

r r s =),,,(21ααα 。

求向量组秩的方法是把向量组成矩阵，再用初等行变换化成阶梯形，即可知秩的大小。 例 求向量组

()()()()T T T T 01031,11323,4211,24114321=--=--==αααα 的一个极大线性无关组和秩。

解：把行向量组成矩阵，用初等变换化成阶梯形，有

?????

???????--→?????????

???---→?????

?

??????----→????????????----000

0000013

10241

10000131013102411252

05155026202411010311132342112411 所以向量组的秩是2。 2.1.5 求矩阵的特征值和特征向量

（1）矩阵的特征值与特征向量的概念

设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得

)0(≠=αλααA

成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量。

（2）矩阵的特征多项式与特征方程的概念

行列式A E f -=λλ)(称为矩阵A 的特征多项式。0=-A E λ称为矩阵A 的特征方程。

特征方程0=-A E λ是λ的n 次方程，它的n 个根就是矩阵A 的n 个特征值。 （3）特征值和特征向量的求法

先由特征方程0=-A E λ求出矩阵A 的全部特征值),,2,1(n i i =λ，其中可能有重根。然后对每个不同的特征值i λ，分别解齐次方程组()0=-x A E i λ。设i i r A E r =-)(λ，如果求出方程组的基础解系（即矩阵A 关于特征值i λ的线性无关的特征向量）i r n -ξξξ,,,21 ，则矩阵A 属于特征值i λ的全部特征向量为i i r n r n k k k --+++ξξξ 2211，其中i r n k k k -,,,21 是不全为零的任意常数。

例 求??

??

?

?????------=324262423A 的特征值与特征向量。

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7

解：3

2

72

6

0427

32

4

2

6

2423

----=

---=

-λλ

λλλλλλA E

)2()7()145)(7(22

+-=---=λλλλλ

当λ=7时，；，得?????

?????-=??????????-=??????????→??????????=-101021,000000212424

212

424

721ααA E 当2-=λ时，??

???

?????=??????????--→??????????---=--212,00012014152428242523α得A E

所以A 的特征值是2,7321-===λλλ，相应的特征向量分别是

332211,αααk k k +，其中

0,00321≠≠k k k ），（），（ 2.1.6 解线性方程组

（1）线性方程组的各种表达形式及相关概念

线性方程组???????=++=++=++n

n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a 112

212111111

可用矩阵乘法表示为：b Ax =，

其中，T m T n b b b b x x x x ),,,(,),,,(2121 ==

如果n 维向量T n c c c ),,,(21 =ξ满足方程组b Ax =，即b A =ξ，则称ξ是b Ax =的一个解向量。

（2）基础解系的概念

齐次方程组0=Ax 恒有解（必有零解）。当有非零解时，根据齐次方程组解的性质，解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解。

称t ηηη,,,21 是0=Ax 的基础解系，即t ηηη,,,21 是0=Ax 的解，t ηηη,,,21 线性无关，0=Ax 的任一解都可由t ηηη,,,21 线性表出。所谓基础解系，其实就是0=Ax 的解向量的一个极大无关组。

（3）基础解系的求法

求基础解系时，可对A 作初等行变换化为阶梯形矩阵，通常称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元（共有)(A r 个主元），那么剩余的其他未知数就是自由变量（共有)(A r n -个），当然也可在加减消元后找出秩为)(A r 的行列式，那么其它各列的未知数就是自由变量，对自由变量按阶梯形赋值后，再代入求解就可得到基础解系

（4）齐次方程组有非零解的判定

设A 是n m ?矩阵，齐次方程组0=Ax 有非零解的充要条件是n A r <)(，亦即A 的列向量线性相关。

特别地：

如果A 是n 阶矩阵，0=Ax 有非零解的充要条件是0=A ；

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8

0=Ax 有非零解的充分条件是n m <（即方程个数<未知数个数）。

（5）非齐次线性方程组有解的判定 设A 是n m ?矩阵，线性方程组b Ax =有解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩等于增广矩阵A 的秩，即)()(A r A r =；

唯一解?n A r A r ==)()( 无穷多解?n A r A r <=)()( 无解?)(1)(A r A r =+

（6）非齐次线性方程组解的结构

如果n 元线性方程组有解，设t ηηη,,,21 是相应齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，0ξ是b Ax =的某个已知解，则02211ξηηη++++t t k k k 是b Ax =的通解。

例 解齐次方程组???

??=++-=++-=++-0

25410503463072424321

43214321x x x x x x x x x x x x

解：对系数矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵

?????

?????---→??????????----→??????????----→??????????---0152422145615242212541053463422125410534637242 由224)(=-=-A r n ，基础解系由2个向量组成，每个解中有2个自由变量。

22,152,02,0,0,113421342-========x x x x x x x x ，解得；令解得令

于是得到2211T

2T 12150220012ηηηηk k +-==，通解是），，，（，），，，（。

例 解方程组???

??=++=+-=++-23213226431

42

14321x x x x x x x x x x 解：对增广矩阵进行初等变换化为阶梯形

??

???

?????-→??????????---→??????????--→??????????--=370112110113524011211011312262310211011231021101131226A 由3)()(==A r A r ，方程组有解，1)(=-A r n 有1个自由变量。

先求相应齐次线性方程组的基础解系，，

，，，解出令11021243-=-===x x x x 所以齐次方程组的通解是T

,2,011）

，（--k 。 再求非齐次线性方程组的特解，令03=x ，解得14

5

14373124=-==x x x ，，，所以特解

为T )7

3

,0,143,145(-。 所以，方程组的通解是：T

,2,011)7

3,0,143,145(），（--+-k T 。

2.1.7 求解矩阵方程

B AX =有解?B 的每列可由A 的列向量线性表出 ?)()(B A r A r =。

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9

解题思路：解矩阵方程B AX =的基本方法：

若A 可逆，则B A X 1-=,可以先求出1-A ,再作乘法B A 1-求出X ，也可以用行变换直接求出X ，即

X)(E )( ???→?初等变换B A 。

同理，方程B XA =，若A 可逆，则1

-=BA X 。

对于C AXB =，若A ,B 均可逆，则1

1--=CB A X 。

例 设

??????????--=113122214A ,??

???

?????--=132231B , 求X 使得B AX =。

解：由0det ≠A ,知A 可逆。 于是

[]??????????----=131

13221

2231214AB ??

??

??????-------?????→?--?31211734302212

21

31221,2,r r r r r r ??????????--------?????→?+-?1311073430

31211

231331,2,r r r r r r ??

??

??????--------?????→?++?412100315010312

113

22332,2,r r r r r r ????

??????--?????→?-?+-412100

315010

210001

)1(,,232131r r r r r 则

??

??

??????--==-412315210

1B A X 2.1.8 化二次型为标准型

（1）二次型及其矩阵表示

含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式（即每项都是二次的多项式）

∑∑===n i n

j j i ij n x x a x x x f 11

21),,,( ，ji ij a a =

称为n 元二次型。令T n x x x x ),,,(21 =，)(ij a A =，则二次型可用矩阵乘法表示为

Ax x x x x f T n =),,,(21 ，

其中A 是n 阶实对称矩阵（A A T =）,称A 为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵。矩阵A 的秩)(A r 称为二次型f 的秩，记作)(f r 。

（2）二次型的标准型

如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项)(j i x x j i ≠的系数全是零，即

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10

2

22221121),,,(n n T n x d x d x d Ax x x x x f +++==

其中),,2,1(n i d i =为实数，则称这样的二次型为标准形。

对任意二次型AX X x x x f n '=),,,(21 一定存在可逆非退化线性替换CY X =将其化为标准形，即为对称矩阵A 找一个可逆矩阵C ，使得D AC C ='为对角矩阵，而可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积，所以存在初等矩阵s P P P ,,,21 有s P P P C 21=，从而有

D P P AP

P P P s s =''' 2112是一个对角矩阵。 由上式可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下：

首先，写出二次型的矩阵，构造n n ?2矩阵??

?

???E A ，然后对矩阵??

?

???E

A 每进行一次行初等变

换后，就对??

?

???E

A 进行一次同样的列初等变换，当矩阵A 化为对角矩阵时，单位矩阵E 将化

为可逆矩阵C ，此时D AC C ='，最后得到可逆矩阵C 和非退化线性变换CY X =，在这个变换下二次型化为标准形DY Y f '=。

例 化二次型

3231212

3213216442),,(x x x x x x x x x x x f ++++=

为标准形，并写出所用的非退化线性替换。

解： 题中二次型的矩阵为??

???

?????=232302221A ，由上面的初等变换法化二次型为标准形的步骤可知：

??????E A =??????????????

?????

?10

001000123230222

1

????→

?----1

31312122222c c r r c c r r ?????????

???????????------10001022121014000

1 ???

?

???????

?

??????

??????-----??→?--10

041102

3214700040001

2

32

341

4

1

c c r r ?????????

????????

???-----?→?400110621280004000

13344c r ,

从而非退化线性替换为=??????????321x x x ????

?

???????????????---321400110621y y y ，原二次型化为232221284y y y f --=。

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11

在运用矩阵初等变换来化二次型为标准形的关键：对矩阵??

?

???E

A 进行的行初等变换和列初等

变换必须是一致的。

2.1.9 判断向量组的线性相关性，求极大线性无关组

定义：设向量组为m a a a ,,,21 ，以m a a a ,,,21 为列构成矩阵A ，对A 施行初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出其秩)(A r ，若m A r =)(，则m a a a ,,,21 线性无关，若m A r <)(，则m a a a ,,,21 线性相关。

例 判断下列向量组的线性相关性。

()()()()T T T T 01031,11323,4211,24114321=--=--==αααα 解：把行向量组成矩阵，用初等变换化成阶梯形，有

2

141213121

121413

121141312143212)

(21)3(51)(21000

0000

01310241

1)3(51)(210000131

013102411325205155026202411010311132342112411αααααααααα

ααααααααα

ααααααααααα+--++-???

??

??

??

???--→-+-+-?????????

???---→-+-????????????----→????????????---- 所以向量组的秩是2，可见向量组4321,,,αααα线性相关，极大线性无关组是21,αα。

2.2 在数论中的应用

两个实数域上的一元多项式的最大公因式可以用矩阵的行初等变换来求解。 （1）最大公因式概念

定义 设)(x f ，)(x g 是][x P 中两个多项式。][x P 中多项式)(x d 称为)(x f ，)(x g 的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：

1）)(x d 是)(x f ，)(x g 的一个公因式； 2）)(x f ，)(x g 的公因式全是)(x d 的因式。

定理：对于][x P 中任意两个多项式)(x f ，)(x g ，在][x P 中存在一个最大公因式)(x d ，且)(x d 可以表成)(x f ，)(x g 的一个组合，即有][x P 中多项式)(x u ，)(x v 使

)()()()()(x g x v x f x u x d +=

引理1：

数域P 上所有次数不大于n 的多项式连同零多项式构成的多项式空间][x P 与所有的

1+n 元有序数组构成的向量空间1+n P 同构。

事实上，在][x P 与1+n P 之间存在同构映射：1][+→n p x p ：σ。

),,,,(0110111a a a a a x a x a x a n n n n n n ---→++++，可见， 可用),,,,(011a a a a n n -表示0111a x a x a x a n n n n ++++-- 。

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12

引理2：

（1）))(),(())(),((x f x g x g x f = （2）))(),(())(),((x kg x f x g x f =

（3）))(),()(())(),((x g x kg x f x g x f += （4）))(),()()(())(),((x g x s x g x f x g x f +=

（5）设00≠a ，Z m x g x x f x g x f m ∈=)),(),(())(),(( 证明：

（1）、（2），显然可证；

（3）设)())(),((x d x g x f =,则)()(x g x d ，))()(()(x kg x f x d +，又令)(x h 作为

)()(x kg x f +与)(x g 的任一公因式，则)()(x g x h ，))()(()(x kg x f x h +，于是

)()(x f x h ，进而有)()(x d x h ，命题得证。

（4）证明同（3）

（5）设)())(),((x d x g x f =且)(x h 是)(x f 与)(x xg 的任一公因式，注意到00≠a ，

1)),((=x x h ，于是)()(x g x h ，故))(),(())(),((x xg x f x g x f =。

推广此式可))(),(())(),(())(),(())(),((2x g x x f x g x x f x xg x f x g x f m ==== 。

定理：用?

?

?

???=--011011b b b b a a a a A n n n n 表示多项式 0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 与0111)(b x b x b x b x g n n n n ++++=-- 的待求最大公因式，则对A 施行初等行变换，两个多项式的最大公因式不变。

当00≠a 时，B b b b a a a a b b b a a a a A n n n n n n n

=??

?

???→??????=-----0002101

1011011 ，即A ，B 所表示的最大公因式相等。

证明：由引理2中（1）、（2）、（3），即得定理的第一部分，由引理2中的（4）、（5），

即得定理的第二部分（注：由引理知A 与B 是相等关系）

化简方法：

??

?

??

???????

?-??-??-?→?

?

????=----)

1()1()1(00110

1

1

011011n n n n n n n n n n n n n a b b a b b a b b a a a a b b b b a a a a A

???

???

?????

?

?-??-??-??

?

?→--)

1()1()1(00

01100100100n n n n n n n n

n n n n n

n n a b b a b b a b b b b a a a b b a a a b

b a a a

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??

??

?

????

???

?-??-??-????→-)1()1()1(0001100100200n n

n n n n n n n n n n n n a b b a b b a b b b b a a a b b a a a b b a a a 按照以上方法将多项式降阶，依此化简下去，最终可得最大公因式。

利用上面的结论，对于多项式的最大公因式，可以用矩阵的行初等变换来求得，步骤如下：

第一，将系数组成矩阵A 的形式；

第二，通过初等变换，按照方法，使两个多项式都降一个阶。按照此法类推下去，当阶数降到一定的阶数时，便可以得到最大公因式。

例 设

343)(234---+=x x x x x f ， 32103)(23-++=x x x x g ，

求))(),((x g x f 。

解：??

?

???---→??????---→??????----=32103061101032103006110132103034131A ?

?

?

???→??????→??????--→1535100034100153510000341015351000611010 ??????--→??????--→??????--→15500031

0001550000310015500034100 ?

?

?

???→0000031000 所以3))(),((+=x x g x f 。

2.3 在通信中的应用

在军事通讯中，常常需要对信息进行加密，以防被敌方盗取和破译，常将字符（信号）与数字对应，如

26

252454321 z

y x e d c b a

例如，信息are 对应一个矩阵[]5181=B ，但如果按这种方式传输，则很容易被敌人破译。 于是必须采取加密措施，即用一个约定的加密矩阵A 乘以原信号B ，传输信号为T AB C =（加密），收到信号的一方再将信号还原（破译）为C A B T 1-=。如果敌方不知

道加密矩阵，则很难破译我们的信息。设收到的信号为[]T

C 312721=，并已知加密矩

阵为??

??

?

?????-=111110101A ，问原信号B 是什么？ 解：先求出1-A

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[]????

?

??

???-??→???????????-=+10

101000

1210110101100010001111110

101

,1

3r r E A ????

???

???-----??→???????????--??→?---111

121110

100010001111010001100110

1013

13223r r r r r r ????

???

???----?→?-1111211101000100011

r 所以 ??

??

?

?????----=-1111211101A ??

??

?

?????=????????????????????----==-25243127211111211101C A B T 即原信号为[]2524=B 。

2.4 在经济方面的应用

矩阵初等变换不仅可以用于解决高等代数计算问题，在现实生活中，也有许许多多的问题可以用矩阵初等变换来解决。

例 现有一个木工、一个电工、一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自己的房子，在装修之前，他们达成了如下协议：

（1）每人总共只工作10天（包括给自己家干活在内）； （2）每人的工资根据一般的市价在60—80元之间；

（3）每人的日工资数收支相抵，即总收入和总支出平衡。

表1是他们协商后制定出的工作天数的分配方案，问如何计算他们应得的工资？

表1：各工种工作天数

天数

木工 电工 油漆工

在木工家工作天数 2 1 6 在电工家工作天数 4 5 1 在油漆工家工作天数

4

4

3

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解： 设木工、电工、油漆工的工资分别为321,,p p p ，由题意得：

???

??=++=++=++3321

232113211034410541062p

p p p p p p p p p p p 将此方程除以10，并写成矩阵形式，得：

?????

?????=????????????????????3213213.04.04.01.05.04.06.01.02.0p p p p p p （1） 从方程（1）得右边移往左边得齐次线性方程组

????

??????=????????????????????------0007.04.04.01.05.04.06.01.08.0321p p p 解此齐次线性方程组

????

??

?

?????????

--→????????????????---→????

??????----→??????????------00

098103631010009810438114.045.004.045.006.01.08.07.04.04.01.05.04.06.01.08.0 这个齐次线性方程组的通解为

????

?

?????=??????????363231321k p p p ，k 为任意常数。 这个常数是个比例因子，譬如k =2时，相应的日工资为62元，64元，72元，都在60至

80之间。

2.5 在生物遗传方面的应用

矩阵的计算也可以用于研究遗传特性在后代中的概率。

在常染色体遗传中，一个个体从它的亲本的每一个基因对中遗传一个基因，以形成它自己特殊的基因对。两个基因中哪一个传给后代纯属机会问题，因而，如果一个亲本是Aa 型，后代从这个亲本遗传获得A 基因或a 基因的机会是等可能的，如果一个亲本是aa 型，另一个亲本是Aa 型，后代总是从aa 亲本接受一个a 基因，再从Aa 亲本等概率或是接受一个A 基因或是接受一个a 基因，结果后代为Aa 或aa 的概率是相同的。对于亲本基因型的所有可能组合，后代的可能基因型的概率列于表2中。

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表2：基因遗传表

概 率

亲本的基因型

AA -AA AA -Aa AA -aa Aa -Aa Aa -aa aa -aa

后代的 基因型

AA

1

2

1 0

4

1 0

Aa

2

1 1

21 21 0

aa

0 0 0 4

1 2

1 1

例 假设一片作物是由AA ,Aa ，aa 基因型的某种分布组成，且作物总体中每种作物不是全部都用基因型AA 授粉，而是用每种作物自身的基因型来授粉。求任何一个后代总体中三种可能基因型的分布表达式。

解：令n a 是在第n 代中AA 基因型作物所占的比例，n b 是在第n 代中Aa 基因型作物所占的比例，n c 是在第n 代中aa 基因型作物所占的比例（ 2,1,0=n ）

000,,c b a 表示基因型的原始分布，且

1000=++c b a

由表2可知，从这一代的基因型分布产生的下一代基因型分布可用下列方程来求出：

???

?

?

????

+==+=-----111

1141214

1n n n n n n n n

c b c b b b a a （ 2,1=n ） （1） （1）式可用矩阵表示为

)1()(-=n n MX X （ 2,1=n ） （2）

其中

????

?

?????=n n n n c b a X )

(，??????????=----111)

1(n n n n c b a X 及???????

?

???

???

??

=141

021

04

11M 。

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由（2）式可得

)0()2(2)1()(X M X M MX X n n n n ====-- 。 （3）

如果能求出n M ，则由（3）式可求出)(n X 。为了求得n M 的表达式，首先将M 对角化，即找出一个可逆矩阵P 和一个对角矩阵D ，使

1-=PDP M (4)

对角化后，可有：

1-=P PD M n n ，（ 2,1=n ）

其中???

?

????

?

?=n n

n

n d d d D 3210

000

00，)3,2,1(=i d i 是M 的特征值 只需求得M 的特征值和对应的特征向量，就可使M 对角化，所以

由0)1)(2

1

)(1(1

410

2100411

=---=---

-

-=

-λλλλλλλM E

得特征值为2

1,1,1321=

==λλλ。 对应的特征向量为：????

??????-=??????????=??????????-=121,100,101321p p p 。 于是?????

???????

=210001

000

1D ，可逆矩阵???

??

?????--=111200101P ，代入（3）得 ?????

????????????

????????

?

--=?????

???????????

?

???????-?

?????????????????????--===++-00

011

00

0)

0(1)0()(1)2

1(2100)21(00)21(211021

0011021

1)21(0001000

1111200101c b a c b a X P PD X M X n n n n n n n

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因此有 010])21

(21[b a a n n +-+=

0)2

1

(b b n n =

010])2

1

(21[b c c n n +-+=

,2,1=n

在极限的情况下（当n 趋于无穷大时），n )21(及1)21(+n 都趋于0，所以，n a 趋于002

1

b a +，

n b 趋于0，n c 趋于002

1

b c +。因此，当每种作物以它自身基因型来授粉时，在极限情况下

的总体只含有基因型AA 及aa 。

总结

矩阵是线性代数的重要研究对象，而初等变换是矩阵计算中的重要工具，其应用遍及许多领域，除了本文总结的以上应用外，矩阵的初等变换还在运筹学、统计学等方面有着广泛的应用，由此可知，对矩阵及其初等变换的研究是有重要意义的。

矩阵的初等变换及其应用

线性代数 第一次讨论课 1.导语 2.讨论内容目录 3.正文 4.个人总结

导语: 矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。 讨论内容目录 矩阵的初等变换及其应用 1.两个矩阵的等价 2.两个矩阵的乘积 3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型 4.求矩阵的秩 5.求可逆矩阵的逆矩阵 6.求线性方程组的解 7.判断向量组的线性相关性 8.求向量组的秩与极大无关组 9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值） 10.二次型化为标准形 正文 一、矩阵的等价 1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A

与B 行等价；若矩阵A 经过一系列初等列变换化为B 矩阵,则称A 与B 列等价；若矩阵A 经过一系列初等变换化为B 矩阵,则称A 与B 等价（相抵）。 2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i 行（列）与j 行（列）的位置互换； 2）用一个非零常数k 乘矩阵的第i 行（列）的每个元； 3）将矩阵的第j 行（列）的所有元得k 倍加到第i 行（列）的对应元上去； 即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。 3. 矩阵等价具有下列性质 （1）反身性 任一矩阵A 与自身等价； （2）对称性 若A 与B 等价，则B 与A 等价； （3）传递性 若A 与B 等价，B 与C 等价，则A 与C 等价； 注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。 下面举例说明矩阵等价及等价变换： 13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-?? 13 r r +???→

矩阵的初等变换在线性代数中的应用[文献综述]

毕业论文文献综述 信息与计算科学 矩阵的初等变换在线性代数中的应用 一、前言部分 线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 矩阵的初等变换起源于解线性方程组，是线性代数的一个基本概念，也是研究矩阵的一个非常重要的工具。矩阵作为线性代数中最基本的一个概念，在数学的各方面的有重要的意义。最基本的应用当然是在线性方程方面。但是，矩阵的意义其实可以说就是线性代数的意义，因为线性代数的每一个概念都与矩阵有着密切关系。而线性代数是整个高等数学的基础之一，可以应用到整个数学的方方面面，而其本身在物理学、生物学、经济学、密码学等方面发挥着重要作用。[1] 矩阵的初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用。文章就详细地总结了矩阵的初等换在求逆矩阵、求矩阵的秩、求过渡矩阵、求向量组的秩及向量组的极大线性无关组、解方程组、化二次型为标准型以及求标准正交基等问题中的应用。本文就讨论应用矩阵初等变换的一些性质解决有限维向量空间中这些问题。[2] 二、主题部分 2.1矩阵和线性代数的概念介绍 2.1.1 线性代数的概念介绍

初等变换与初等矩阵

2.3 初等变换与初等矩阵 授课题目 2.3 初等变换与初等矩阵 授课时数：4课时 教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵 教学过程： 用初等变换化简矩阵A B B A 的性质来探讨通过为,的性质，这是研究矩阵的重要手段。为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。 一．初等变换与初等矩阵 1. 初等变换 （1）定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换： 1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置； 2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）； 3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，k 为任意数。 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 （2）记法 分别用)]([)],([],,[k j i k i j i +表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换，写在箭头下面表示列变换。或者行变换用i j i i j R R ,kR ,R kR ?+， 列变换用i j i i j C C ,kC ,C kC ?+ 例1 [][] ???? ? ??--??→?????? ??---???→?????? ??--=+-+131123302001121123302101121121322101)1(13)2(12A . 2. 初等矩阵 （1）初等矩阵的定义

定义2 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 ij j i n P j i I =???? ? ?? ? ????? ??? ? ? ????→?行行 1101111011] ,[ [] )(1111)(,k D i k I i j i n =? ???????? ?? ????→?行 [] )(1111)(k T j i k I ij k itj n =? ???? ????? ? ????→?行行 列i 列j

矩阵初等变换及应用

矩阵初等变换及应用 王法辉 摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。 关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基 1 导言 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。 因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。 目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。 2 矩阵及其初等变换

2.1 矩阵 由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij （i =1,2, ,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列 的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。 2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵 矩阵有行列之分，因此有如下定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换 (1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ? )(j i c c ?； (2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +； (3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0； 矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。 定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式 (1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得 ? ???? ? ??? ?? ? ????? ???????????????? ?=1101111011),( j i P ； (2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得

矩阵的初等变换及应用的总结

矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代 数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m x n 个数aij (i=1 , 2,….,m; j=1 , 2,…., n)排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m x n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 1. 初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换： ⑴交换矩阵的两行佼换一两行,记作.); (2) 以一个非零的数 '乘矩阵的某一行(第.行乘数卜，记作…); (3) 把矩阵的某一行的，倍加到另一行(第一行乘 '加到.行, 记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3，如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质：

⑴反身性； (2) 对称性若小丄,，则； (3) 传递性若丄丄,/,则」. 三矩阵初等变换的应用 1.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m x n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 ■ 4■ ■ 1 F行二0 ■ ■ < 泓1 2. 利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n x 2n矩阵(A| E)施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A A(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|AA(-1)) 这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化 为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。

分块矩阵的初等变换及其应用[含论文、综述、开题-可编辑]

设计 （20 届）分块矩阵的初等变换及其应用 所在学院 专业班级信息与计算科学 学生姓名学号 指导教师职称 完成日期年月

摘要：本文介绍了矩阵，分块矩阵的一些基本概念，同时也介绍了分块矩阵的初等变换，分块矩阵的初等变换在一些问题中的相关应用，如利用分块矩阵的初等变换计算矩阵的行列式，求矩阵的逆，在秩问题中的应用，在相似问题中的应用以及在其他方面的应用，用22 分块矩阵的初等变换证明实对称矩阵的正定性。并根据各种的应用给出了大量的例题，充分体现了分块矩阵的初等变换在代数学中所具有一定的优越性。 关键词：分块矩阵；初等变换；行列式；矩阵的逆；应用

Elementary block matrix transform and its application Abstract：This article introduces some basic concepts of the matrix and partitioned matrix，also introduces the elementary transformation of partitioned matrix and the related application in some problems. For example, using the elementary transformation of partitioned matrix to compute matrix's determinant or get the inverse of a matrix. Also it introduces the application of partitioned matrix in some rank problems, similar problems and other problems, using the 22 elementary transformation of partitioned matrix to prove the definiteness of symmetric matrix. According to different kinds of application, it lists a lot of examples, which fully indicate the superiority of partitioned matrix's elementary transformation in algebra. Key words：partitioned matrices; elementary transformation; determinant; the inverse of a matrix; Application

知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质

设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩

矩阵的初等变换及应用的总结

… 矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 ！ 1.初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作); (2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作 ); (3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B —

矩阵之间的等价关系具有下列基本性质: (1) 反身性; (2) 对称性若,则; (3) 传递性若,,则. 三矩阵初等变换的应用 1.\ 2.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 3.利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A|E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)) ：

这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。 设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ， 为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩 阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 . 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法. 》 同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即 . 3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩 矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.

矩阵初等变换的一些性质及应用

矩阵初等变换的一些性质及应用 摘要：矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。文章证 明了矩阵初等变换的两个性质, 以此为基础, 归纳说明了矩阵的初等变 换在线性代数课程中的应用, 并给出了一些实例。 关键词：矩阵初等变换性质应用 Abstract: The elementary alternate of matrix is an important tool broadly used in linear algebra. The paper discusses its properties and application. Key w o rd: matrix, elementary alternate, properties, application 0 引言 矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换: (1)交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作←（记作←）； (2)以非零数 k 乘矩阵某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,记作×k(记作×k)； (3)把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)对应元素上去，如第j 行（列）的k 倍加到第i行（列）上, 记作+（记作+）。 矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十分广泛的应用, 也是本课程的基本工具之一。矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用, 只是在使用过程中有所区别。本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。 一、初等变换的性质证明 定理1 第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。 证明: 设是为数域P上的m×n 矩阵(i= 1，2，…，m； j=1，2，…，n) 对矩阵A 施行第二、三种初等行变换:

矩阵的初等变换及其应用

线性代数 第一次讨论课 1;要求 2;正文 3;个人总结 丁俊成00101209 第一部分：要求 线性代数课程的主要任务是夯实工程问题的数学基础，培养学生的逻辑思维、定量分析、数学建模、科学计算的数学能力，提高数学素养。 讨论课是以学生为主导，其内容包括理论内容的专题讨论、探究性应用案例的数学模型的建立。通过对理论内容的深入探讨，加深学生对知识的深刻理解与掌握，培养学生自主学习能力、逻辑思维能力、对知识的归纳梳理与综合能力，提高学生分析问题与数学建模的能力。 第一次讨论课内容 矩阵初等变换及其应用 请卓越班的同学们按照下面的提纲（内容包括概念、求解方法、举例、应用案例等）准备。要求做成word或PPT文档。同学们自荐或推荐上讲台讲课。希望同学们踊跃参与。 第一次讨论课的时间初步定在5月中旬。

1.两个矩阵的等价 2.两个矩阵的乘积 3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型 4.求矩阵的秩 5.求可逆矩阵的逆矩阵 6.求线性方程组的解 7.判断向量组的线性相关性 8.求向量组的秩与极大无关组 9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值） 第二部分：正文 矩阵的初等变换及其应用 矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一，几乎线性代数所有的概念或者其使用里面都可以见到矩阵的身影，作为矩阵核心，矩阵的初等变换及其应用是及其重要的，本文将对矩阵初等变换及其应用做简单讨论。 一．两个矩阵的等价 矩阵等价的定义为： 若矩阵A经过一系列初等行变换化为矩阵B，则称A与B行等价。若矩阵A经过一系列初等列变换化为矩阵B，则称A与B列等价。若矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵B，则称A与B等价（相抵）。 根据性质，矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换； 2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元； 3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去； 即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。矩阵等价具有下列性质 （1）反身性任一矩阵A与自身等价；

开题报告-矩阵初等变换在线性代数中的应用

毕业论文开题报告 信息与计算科学 矩阵初等变换在线性代数中的应用 一、选题的背景、意义 1、选题的背景 线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意 义 , 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造 性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 2、选题的意义 矩阵的初等变换起源于解线性方程组，是线性代数的一个基本概念，也是研究矩阵的一个非常重要的工具。矩阵作为线性代数中最基本的一个概念，在数学的各方面的有重要的意义。最基本的应用当然是在线性方程方面。但是，矩阵的意义其实可以说就是线性代数的意义，因为线性代数的每一个概念都与矩阵有着密切关系。而线性代数是整个高等数学的基础之一，可以应用到整个数学的方方面面，而其本身在物理学、生物学、经济学、密码学等方面发挥着重要作用。[1] 矩阵的初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用。文章就详细地总结了矩阵的初等换在求逆矩阵、求矩阵的秩、求过渡矩阵、求向量组的秩及向量组的极大线性无关组、解方程组、化二次型为标准型以及求标准正交基等问题中的应用。本文就讨论应用矩阵初等变换的一些性质解决有限维向量空间中这些问题。[2] 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

线性代数矩阵的性质及应用举例

华北水利水电学院线性代数解决生活中实际问题 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年11月7日

关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨 摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。 关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵 矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。 定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。 定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1 -A 。 定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。 逆矩阵的基本性质： 性质1 当A 为可逆阵，则A A 1 1 = -. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1 -为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--1 1)( )0(1)(1 1≠= --k A k kA . 性质3 111 ) (---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'11 '=--A . 由性质3有 定理2 若)2(,21≥n A A A n Λ是同阶可逆阵，则n A A A Λ21,是可逆阵，且21(A A 下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法 利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1 。 方法二 伴随矩阵法 定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i Λ=，

矩阵初等变换的性质及其应用

摘要 本文探讨矩阵初等变换的性质及其在代数中的若干应用，主要从矩阵的逆、矩阵的秩、求解线性方程组及矩阵方程、求一元多项式的最大公因式、求解指派问题等若干方面进行阐述。 关键词：矩阵的初等变换；矩阵的秩；可逆矩阵；线性方程组；最大公因式

Abstract This paper is mainly to discuss the application of the elementary transfor mation of matrix in algebra, using matrix elementary transformation to solve th e matrix inverse, matrix rank, solving linear equations and matrix equations, on e yuan polynomial greatest common divisor, solving assignment problem of the se aspects of the application. Keywords:Elementary transformation of matrix;Matrix rank;Invertible matrix; System of linear equations;Greatest common factor

目录 1 引言 ............................ 错误！未定义书签。 2 矩阵的初等变换及其性质 (1) 2.1 矩阵初等变换的定义 (1) 2.2 矩阵初等变换相关性质 (2) 3 矩阵初等变换的若干应用 (2) 3.1 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 (1) 3.2 利用矩阵的初等变换来求矩阵的秩 (5) 3.3 利用矩阵初等变换求解线性方程组及矩阵方程 (7) 3.4 利用矩阵的初等变换求一元多项式最大公因式 (11) 3.5 利用矩阵初等变换解决指派问题 (13) 参考文献 (16)

矩阵初等变换及其应用毕业论文

矩阵初等变换及其应用毕业论文 矩阵初等变换及其应用毕业论文 摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。 关键词：矩阵 初等变换 初等矩阵 在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。 定义1：矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换： （1）交换矩阵的两行（列）(交换第i ，j 两行（列），记作()ij ij r c ）； （2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k 乘以第i 行（列），记作()(())i i r k c k ； （3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i 行（列）k 倍加到第j 行（列），记作()(())ij ij r k c k 。 初等行、列变换统称为初等变换。 定义2：对单位矩阵I 仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为()ij ij R C ，()(())i i R k C k ，()(())ij ij R k C k ，有 ij R =ij C =1011 1?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

矩阵的初等变换及应用

目录 摘要 (1) 1 矩阵的初等变换 (2) 1.1矩阵的初等变换 (2) 1.2阶梯矩阵与最简化阶梯矩阵 (3) 1.3初等矩阵与初等变换关系 (4) 2 矩阵初等变换的应用 (5) 2.1齐次线性方程组的解空间 (5) 2.2求解线性方程组 (6) 2.3求可逆矩阵 (8) 2.4求极大线性无关组 (9) 2.5对称矩阵A的对角化 (10) 参考文献 (13) 致谢 (13)

矩阵的初等变换及应用 【摘要】本文主要讲矩阵的初等变换与初等变换的广泛应用，初等变换包括行变换与列变换，主要以行变换为例，通过行变换将一个矩阵化成与之等价的简化阶梯矩阵用于求其次线性方程组的解空间，解方程组，判断矩阵是否可逆，若可逆求逆矩阵以及用初等变换法在n R中求极大线性无关组和对称矩阵A的对角化等等。 【关键词】矩阵初等变换应用 【ABSTRACT】this paper about the elementary transformation matrix with primary transpositions is widely, elementary transformation and transform matrix included, mainly transformation of line as an example, through the transformation of line into A matrix and the equivalent for the next step matrix simplify the solution of linear equations, the solution of equations, the space is reversible, if the judgement matrix inverse matrix and reversible elemtntary transformation in the maximal linear irrelevant for bisymmetric matrices and A group of diagonalization etc. 【KEY-WORDS】matrix ; elementary ; transformation

矩阵初等变换的应用

摘要 矩阵是线性代数中的重要内容，也是高等数学研究问题的工具。在线性代数及其许多的领域中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。本文首先介绍了矩阵的化简和分块矩阵的初等变换以及利用矩阵初等变换求逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩和特征向量，其次阐述了矩阵初等变换在解线性方程组、解矩阵方程、判断向量组的线性相关性、求极大线性无关组问题中的应用，最后对矩阵在数论中的应用进行了一些说明。作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。 关键词：矩阵，初等变换，逆矩阵，秩

The application of elementary transformation of matrix ABSTRACT .Matrix is an important content in linear algebra, is a problem of higher mathematics research tools. In linear algebra and matrix can be seen in many areas, it can turn abstract problems expressed in matrix, based on the matrix to calculate the results. This article first introduces the elementary transformation of matrix of reduction and partitioned matrix and the matrix elementary transformation and adjoint matrix inverse matrix, rank of matrix and characteristic vector, then expounds the matrix elementary transformation in solving linear equations, the solution of matrix equation, judge linear correlation, as well as the application of maximum linearly independent group, finally the application of matrix in number theory with some instructions. As the foundation of the matrix and core, the elementary transformation of matrix and its application is very important, it is able to convert all kinds of complex matrix to matrix form, we need to make the calculation more simple. Key words: Matrix, Elementary transformation, inverse matrix, rank

#矩阵的初等变换在向量空间中的应用

矩阵的初等变换在向量空间中的使用 摘 要：向量贯穿了整个高等代数的学习。本文主要谈论了向量空间的一些核心问题，辅以不同的解法，通过对比，显示出矩阵的初等变换在向量空间中的重要作用，体现出用矩阵解向量空间中问题的优越性。 关键词：矩阵的初等变换；线性相关；线性无关 Abstract ：The vector throughout the learning of the higher algebra. This article mainly talking about some of the core problems of the vector space, combined with a different solution, by contrast, shows the important role of elementary transformation matrices in the vector space, reflecting with matrix solution for the vector space superiority. Key words ：Elementary transformation matrix; linear correlation; linearly independent 1 相关定理及问题的引出 设12,,...,n n p αααβ∈ 定义1.11?? ?? n 维向量：数域p 中n 个数组成的有序数组12(,,...)n a a a 定义1.21?? ?? n 维向量空间：以数域p 中的数作为分量的n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域p 上的n 维向量空间。 n 维向量空间表面上看是一个非常陌生的概念，其实质只不过是由很多个n 维向量作为小单元，并且这些向量对于定义在它们上面的加法和数量乘法满足封闭性，即若12,n P αα?∈，12n P αα+∈,,n k P k P α?∈∈具有这样性质的向量构成的向量组。 故对于向量空间有关问题的讨论，应该从向量组出发。之所以向量空间让我们感觉变化多端，关键在于这些向量对于定义在它们上面的加法和数量乘法满足封闭性。 向量空间的理论的核心问题是向量间的线性关系,其主要内容有向量的线性表示、向量组的线性相关性、向量组的极大无关组、两个向量组的等价、向量空间的基和维数、一个基到另一个基的过渡矩阵和线性变换等。在向量空间中主要

矩阵初等变换的应用

目录 1. 引言 (2) 2. 预备知识 (3) 3. 矩阵初等变换在整数理论中的应用 (6) 3.1 求两个整数的最大公因数和最小公倍数 (6) 3.2 求n个整数的最大公因数 (9) 4. 矩阵初等变换在多项式理论中的应用 (11) 4.1 求两个一元多项式的最大公因式和最小公倍式 (11) 4.2 求n个一元多项式的最大公因式 (15) 4.3 求解两个二元多项式的最大公因式 (20) 4.4 求n个二元多项式的最大公因式 (22) 致谢 (23) 参考文献 (24) 附件： 课题任务书 (25) 外文翻译 (28) 文献综述 (38) 开题报告 (43)

矩阵初等变换的若干应用 学生： 指导老师： 教学单位：数学与统计学院 摘要：本文研究了如何利用矩阵的初等变换来解决初等数论和多项式理论方面的相关问题，解决了初等数论中求解两个整数的最大公因数、最小公倍数和多个整数的最大公因数等问题；同时也解决了多项式理论中求两个一元多项式的最大公因式、最小公倍式以及多个一元多项式的最大公因式等问题，在此基础上进一步解决了二元多项式的最大公因式的求法问题。特别地，在解决多项式理论中两个甚至多个多项式的最大公因式的相关问题时，为了简化求多项式最大公因式的运算，我们将所求最大公因式的那两个或多个多项式的系数与两行或多行矩阵表示式对应起来，起到了很明显的简化效果，具有很强的实用性与价值性。Abstract: In this paper, we researched how to use the elementary transformation matrix to solve problems related to elementary number theory and the theory of polynomials, and not only provided a method to find the greatest common divisor of two integers and the least common multiple and greatest common factor of more integers and other issues, but also gave a way to find the greatest common divisor and least common multiple and more than polynomial in one indeterminate. Furthermore, we solved the problem of finding the greatest common divisor of binary polynomial. Especially, in order to solve the polynomial problems of finding the greatest common divisor of two or more indeterminate, we can simplify the process of finding the greatest common divisor polynomial arithmetic, and build a relation between the coefficient of two or multi-polynomial and the matrix with two or more rows, it is efficient and valuable. 关键词：矩阵；初等变换；最大公因式；最小公倍式 Key words: matrix；elementary transformation ；The greatest common divisor ；The least common multiple