高等代数在解析几何中的应用

学号10051107

哈尔滨学院学士学位论文

高等代数在解析几何中的应用

院（系）名称：理学院

专业名称：数学与应用数学

学生姓名：范莉娜

指导教师：方晓超讲师

哈尔滨学院

2014年7月

学号10051107

密级公开高等代数在解析几何中的研究

英文

学生姓名：范莉娜

所在学院：理学院

所在专业：数学与应用数学

指导教师：方晓超

职称：讲师

所在单位：哈尔滨学院

论文提交日期：

论文答辩日期：

学位授予单位：

摘要关键词：二次型，

ABSTRACT

Mathods of Key words :

前言行列式出现于

第一章线性代数在解析几何中的应用

1.1向量在解析几何中的应用

1.1.1向量的定义

定义1.1：即有大小，又有方向的量成为向量（或矢量）。

向量有两个特征，即有大小，又有反向，向量的几何图型是一个有向线段。在几何上，向量可以用有向线段表示。例如,有向线段AB 的长度AB 表示向量的大小（或称向量的模），用箭头→表示向量的方向，即短点B A →所指的方向，端点A ，B 分别称为向量的起点和终点。用有向线段表示的向量称为几何向量。

1.1.2向量的加法

定义1.2：设βα,为空间中两个向量。在空间任取一点O ，作α=OA ，β=AB ，称向量γ=OB 为βα与的和，（仍采用数的加法记号）记作βα+，即。βαγ+==OB 。

称此运算为向量的加法，加法法则称为三角形法则。 三角形法则等价于平行四边形法则：从空间中一点O ，作α=OA ，β=OB ，再以OB OA ,为边作平行四边形OACB ，则对角线上的向量γ=OC 就是βαβα+之和,

由定义不难验证向量的加法满足下列运算规律： 1）αββα+=+（交换律）

2）()()γβαγβα++=++结合律

3）αα+=+00 4）()0=-+αα 直角坐标系

定义1.3：如果k j i ,,是两两垂直的长度为1的向量，则称坐标系[]k j i O ,,;为直角坐标系。

若k j i ,,两两垂直，则它们一定不共面。因而直角坐标系是特殊的仿射坐标系。点（或向量）在直角坐标系下的坐标称为它的直角坐标。

β

αγ+=

1.1.3用坐标进行向量的线性运算

在空间 取定仿射坐标系[]γβα,,;O 。设1δ的坐标??

???

?????111z y x ，2δ的坐标是????

??????222z y x ，则利用向量加法的交换律和结合律有

γβαγβαδδ22211121()(z y x z y x +++++=+

()()()γβα212121z z y y x x +++++=

类似地，()()()γβαδδ21212121z z y y x x -++-=- 任意R k ∈，利用数乘向量的分配律与结合律有

()()()()γβαγβαδkz ky kx z y x k k ++=++=

这说明21δδ±的坐标是????

??????±±±212121z z y y x x ，δk 的坐标是??

???

?????kz ky kx 因此求向量的和（差）及数量的乘积的坐标只需对各个坐标进行相应的数量运算就行。 数量积。

定义1.4：两个向量βα与的数量积（也称内积或点积）规定为一个实数，它等于这个向量的长度与它们夹角??=βαθ,的余弦的乘积，记作βα?，即有

θβαβαcos =?

用坐标计算向量的向量积

先设[]k j i O ,,;为仿射坐标系，k b j b i b k a j a i a z y x z y x ++=++=βα,，则

()()k b j y i b k a j a i a z y x z y x ++?++=?βα

()()()k i b a j i b a i i b a z x y x x x ?+?+?=

()()()k j b a j j b a i j b a z y y y x y ?+?+?+ ()()()k k b a j k b a i k b a z z y z x z ?+?+?

可见，只要知道基向量k j i ,,之间的数量积，就可以求出任意两个向量的数量积。这九个数称为仿射坐标系[]k j i O ,,;的度量参数。 现在设[]k j i O ,,;是直角坐标系，则有

0,1=?=?=?=?=?=?i k k j j i k k j j i i

于是由上上式得到

z z y y x x b a b a b a ++=?βα

因此有如下定理。

定理1.1：在直角坐标系下，两个向量的数量积等于它们的对应坐标的乘积之和。 例：

用向量证明三角形的余弦定理。

证：作ABC ?，令βαγγβα-,,,====则BA CB CA 。 于是

()()βαβαγγγ--2

?=?=

βαβα?+=2-2

2

??+=βαβαβα,c o s 2-2

2

。

余弦定理说明了如何由三角形三边长去计算三个顶角的余弦。利用上上式，余弦定

理也可以改写成

??++=+βαβαβαβα,cos 22

22

从上式不难看出

()

2

222

1,cos βαβαβαβα--+=

?? 上式含有长度及两向量的夹角。我们也可以利用它来定义数量积。即

θβαβαcos =?或()

2

222

1βαβαβα--+=?

这样定义的数量积通用满足定理。

1.2矩阵的秩在解析几何中的应用

矩阵的秩是代数中的基础概念，将它的理论推广到解析几何中，会收到很好的效果，下面就是矩阵的秩关于解析几何的几个定理和应用。 定理1.2

已知平面11111:d z c y b x a =++π与平面22222:d z c y b x a =++π，设线性方程组

??

?=++=++2222

1

111d z c y b x a d z c y b x a 的系数矩阵为A ，增广矩阵为A ，则：

1）若秩()A =秩()

A =2，平面1π与平面2π相交于一条直线；

2）若秩()A =秩()A =1，平面1

π与平面2π重合；

3）若秩()A =1，但是秩()A =2，平面1

π与平面2

π平行。

定理1.3

已知两个平面

γ

γγ211211211c u c z z b u b y y a u a x x ++=++=++= γ

γγ432432432c u c z z b u b y y a u a x x ++=++=++=

的矩阵：

?????????

?c c c c b b b b a a a a 3

2

143214321和????

?

?

????---124

3

2

1124321124321

z z c c c c y y b b b b x x a a a a 的秩分别是R r 和，则：

1) 两个平面相交的充要条件是3=r ；

2) 两个平面平行且相异的重演条件是3,2==R r ； 3) 两个平面重合的充要条件是2==R r .

定理三已知一个平面和一条直线:γγγ210210210,,c u c z z b u b y y a u a x x ++=++=++=

t c z z t b y y t a x x 313131,+=<+=+=的矩阵：

??????????321321

321c c c b b b a a a 和?????

?

????---013210132101321z z c c c y y b b b x x a a a 的秩分别是r 和R ，则，

1）直线与平面相交的充要条件是3=r ；

2）直线与平面没有公共点的充要条件是2=r ，3=R ； 3）直线属于已知平面的充要条件是2==R r 。 已知三个平面：

???

??=+++=+++=+++0

003333

22221111d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 设R r 和分别是矩阵

??????????=333222111c b a c b a c b a A ????

?

?????=33332222

1111d c b a d c b a d c b a B 的秩，则： 1）三个平面有唯一公共点的充要条件是3=r ；

2）三个平面两两互异且有唯一公共点的充要条件是2==R r ，且矩阵A 的任何两行不成比例；

3）三个平面两两相交且每两个平面的交线平行于第三个平面的充要条件是

3,2==R r ，且矩阵A 的任何两行都不成比例；

4）两个平面平行，第三个平面与它们相交的充要条件是3,2==R r 且A 的两行成比例； 5）三个平面互相平行的充要条件是2,1==R r ，B 的任何两行都不成比例；

6）两个平面重合，第三个平面与它们相交的充要条件是2==R r ，且B 的两行成比例饿；

7）两个平面重合，第三个平面与它们平行的充要条件是2,1==R r ，且B 的两行不成比例；

8）三个平面重合的充要条件是1==R r 。 定理1.4

已知两条平行线???=+++=+++00

2222

1111d z c y b x a d z c y b x a

??

?=+++=+++00

4444

3333d z c y b x a d z c y b x a 矩阵????????????44

4

33

322

2

111c b a c b a c b a c b a 和??????

??????44

44

3333

2222

1111

d c b a b c b a d c b a d c b a 的秩分别为R r 和，则： 1）两条直线既不平行也不相交的充要条件是4,3==R r ； 2）两条直线相交的充要条件是3==R r ；

3）两条直线平行且互异的虫咬条件是3,2==R r ； 4）两条直线重合的充要条件是2==R r 。 例：

证明下列两条直线互相平行：

??

?=++-=-+727

2:1z y x z y x L 与、 ?

?

?=--=-+028

363:2z y x z y x L 证明：

由定理4的3）只需证明3,2==R r 。

令????????????-----=112363112121A ?????

???????--------=0112836371127121B ????

????????--→?????????

???---→000000150121150000150121A ()2==∴r A r

????

?????

???-----→141501300021507121B ????

?

????

???----→00001300021507121 ()3==∴R B r ，故由定理四3）秩，两条直线平行。 解析几何证明：

???---?

??-=1221,2111,11121S

??????------1263,2133,11362S

{}15,3,9---=

故2112//,3S S S S 即-=，亦即两条直线平行。从上面两种证法可以看出：采用矩阵的秩的有关结论证明平面与平面的位置关机：直线与直线的位置关系是简单而又方便的。

1.3齐次线性方程组在解析几何中的应用

定理：

齐次线性方程组

??

????

?=+++=+++=+++0

00221122221211212111n nn n n n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充要条件是它的系数行列式等于零。即

nn

n n n

n

a a a a a a a a a D

21

22221

11211=

只有零解的充要条件是它的系数行列式不等于零。即 0≠D

该定理在线性代数中是作为克莱姆法则的两个推论给出的。 例1：

试证向量{}{}{}333222111,,,,,,,,c b a c c b a b c b a a ===共面的充要条件是

03

3

3

222111=c b a c b a c b a 证：

?=--?+=?0,,c b a c b a c b a μλμλ共面

???

??=--=--=--0

00333

222111c b a c b a c b a μλμλμλ 显然可见()μλ--,,1是齐次线性方程组

???

??=++=++=++0

00333222111z c y b x a z c y b x a z c y b x a 的一组非零解，由定理可知，

03

3

3

222111=c b a c b a c b a 例2：

若向量A 同时垂直于三个不共面向量321,,A A A 则0=A 。 证：设{}{}z y x A i c b a A i i i ,,,3,2,1,,,1=== 321,,A A A 不共面，

03

3

3

222

111≠∴c b a c b a c b a 又321,,A A A A 同时垂直于 ，

???

??=++=++=++∴0

00333

222111z c y b x a z c y b x a z c y b x a 03

3

3

222

111≠c b a c b a c b a 故齐次线性方程组只有零解，即

,0==y x 从而0=A

例3求由不共线的三点()()()333222111,,,,,,,,z y x C z y x B z y x A 所确定的平面π的方程。 解：ππ设∴∈,A 的方程为：()()()0111=-+-+-z z c y y b x x a ，其中c b a ,,至少有一个不为零。

同理，ππ∈∈C B , ，所以有

()()()0121212=-+-+-z z c y y b x x a ()()()0131313=-+-+-z z c y y b x x a

于是可以得到一个关于c b a ,,的齐次线性方程组

()()()()()()()()()???

??=-+-+-=-+-+-=-+-+-0

00131313

121212111c z z b y y a x x c z z b y y a x x c z z b y y a x x c b a ,, 不全为零，∴该方程组至少有一个非零解，由定理可知，其系数行列式的值其为

零，即

01

31

31

31212121

11=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x

此即π的方程。 例四

求四点()()()()444333222111,,,,,,,,,,,z y x D z y x C z y x B z y x A 在同一平面上的充要条件。

解：设D C B A ,,,共面于平面0=+++d cz by ax ()不全为零

c b a ,,，则有 ??????

?=+++=+++=+++=+++0

0004443332

22111d cz by ax d cz by ax d cz by ax d cz by ax ()* 则()*是关于变量d c b a ,,,的齐次线性方程组。又由于c b a ,,不全为零，故d c b a ,,,不全为零，即方程组()*存在一组非零解，由定理知，()*有一组非零解的充分必要条件是

01

11144

4

333222111=z y x z y x z y x z y x

此亦为所求。

第二章二次型在解析几何中的应用

2.1二次型的基本定义

设p 是一个是数域，p a ij ∈，n 个文字n x x x ,,21的二次齐次多项式

()n n n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121222,,,++++=

∑∑===++

++++11

22232232

22222i j j

i ij n

nn n n x x a x a x x a x x a x a

称为数域p 上的一个n 元二次型，简称二次型。当ij a 为实数时，称f 为实二次型；当ij a 为复数时，称f 为复二次型。

设n 阶对称矩阵

?????

?

? ??=nn n n n n a a a a a a

a a a A

2122221

11211 则n 元二次型可表示为下列矩阵形式：

()()AX X x x x a a a

a a a

a a a x x x x x x x x f T

n nn n n n n n n ??????

?

?????????

??= 212

122221

11211321321,,,,,,,,。 其中().,,,,321T

n x x x x X =对称矩阵A 称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。

定义2.1：二次型()n x x x x f ,,,,321 可唯一的表示成

()AX X x x x x f n ,321,,,,= ，

其中，()()n n ij n a A x x x x X ?==,,,,,,

321 为对称矩阵，称上式二次型的矩阵形式，称

A 为二次型的矩阵，称A 的秩为二次型f 的秩。

二次曲面标准方程：

椭球面()0,0,0122

2222>>>=++c b a c

z b y a x

椭圆抛物面：()同号与q p z p

y p x =+222

2

双曲抛物面（马鞍面）：()同号与q p z p

y

p x =+-

222

2

单叶双曲面：

12

2

2222=-+c z b y a x

双叶双曲面：1

2

2

2222=+--

c z b y a x

二次锥面：

02

2

2222=-+c z b y a x

2.2二次型的最值得判定与求法 一般的n 元二次多项式的形式为

∑∑∑===++n i n

j n

i i i j i ij

c x b y x a

11

1

2

而上式存在最值得充要条件为

∑∑∑==+n i n

n

i i i j i ij

x b y x a

1

1

2

存在最值（上式中ji ij a a =，故只需要对上式进行讨论。

2.3二次型与二次曲线与二次曲面 二次曲面的一般方程

0222321231312233222211=+++++++++c z b y b x b yz a xz a xy a z a y a x a 其中()3,2,1,,,=j i c b a i ij 都是实数，我们记

()()????

? ??==3332

31

232221

131211321,,,,,,a a a a a a a a a A b b b b z y x x T

T 其中ji ij a a =利用二次型的表示方法，方程 （1） 可表示成下列形式：

0=++c x b Ax x T T

为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次曲面的一般方程转化为标准方程，为此分布进行。 第一步，利用正交变换Py x =将方程（2）的左边的二次型Ax x T 的部分化成标准型：

213212211z y x Ax x T λλλ++=

其中P 为正交矩阵，()T

z y x y 111,,=，相应地有

()131211z k y k x k y P b Py b x b T T T ++===

于是方程（2）可化为

0131211213212211=++++++c z k y k x k z x x λλλ （3）

第二步，作平移变换0

~

y y y +=，将方程上式化为标准方程，其中()z y x y ~,~,~~=，这里只要用配方法就能找到所用的平移变换，以下对321,,λλλ是否为零进行讨论：

（1） 当0,,321≠λλλ时，用配方法将方程（3）化为标准方程：

d z y x =++23

22

21

~~~λλλ （4）

根据321,,λλλ与d 的正负号，可具体确定方程（4）表示什么曲面。例如321,,λλλ与d 同号，则方程（4）表示椭球面。

（2） 当321,,λλλ中有一个为0，设03=λ方程（3）可化为

()0~~~3

22

21

≠=+z z k y x λλ （5）

()0~~32221==+k d y x λλ （6）

根据d 与21,λλ的正负号。可具体确定方程（5）（6）表示什么曲面。例如当21,λλ 同号时，方程（5）表示椭球抛物面。当21,λλ异号时，方程（5）表示双曲抛物面，（6）表示柱面。

（3） 当321,,λλλ中有两个为0，不妨设032==λλ，方程（3）可化为下列情况之

一： （a ）)0,(0~~~

21≠=++q p z q y p x λ 此时，再作新的坐标变换：

x x ~'

= 22'~~q p z q y p y ++= 22'~~q

p z p y q z +-= （实际上是绕x ~轴的旋转变换）

，方程可化为： 0'222'1=++y q p x λ 表示抛物柱面；

（b ）)0(0~~21≠=+p y p x λ 表示抛物柱面； )(c )0(0~~

21≠=+q z q x λ 表示抛物柱面 （d ）0~

21=+d x λ若d 与1λ异号，表示两个平面平行； 若d 与1λ同号，图形无实点，若0=d ，表示yoz 做表面。

例：

二次曲面由以下方程给出，通过坐标变换，将其化为标准型，并说明它是什么曲面。

010122444432222=++-+++++z y x yz xy z y x

解 将二次曲面的一般方程写成矩阵形式 010=++x b Ax x T T

????? ??=z y x x ?

??

?

? ??-=1224b ?????

??=420232022A

()()6318923---=-+-=-λλλλλλλE A

A 的特征值为0,3,6321===λλλ，分别求出它们所对应的特征向量，并将它们标准正

交化：

????????

? ??=3232311p ， ???????? ??-=3231322p ， ??

?????? ??-=3132323

p 取()321,,p p p P =，则P 为正交矩阵，作正交变换

(),,y ,111T

z y x Py x 其中=则有：

212136y x Ax x T +=

(

)

111868z y x y P b b T T +-==

因此，原方程可化为：

010868361112121=++-++z y x y x

配方得：

()0721781338612

12

1=??? ?

?++-+??? ??+z y x

令72

17

~,1~,38~111+=-=+=z z y y x x

则原方程化为标准方程：

0~8~3~622=++z y x

该曲面为椭球抛物面。

例：

将二次曲面xy z =的方程化为标准方程，并说明它是什么曲面。 解 xy z =可写成0=-z xy ，令

????? ??=z y x x ， ????

? ??-=100b ， ???????

?

??=0000021

0210A

该曲面方程用矩阵形式表示为：

0=+x b Ax x T T

??? ??-??? ?

?

+-=-2121λλλλE A

A 的特征值为0,2

1

,21321==-=λλλ，

分别求出它们所对应当然特征向量，并单位化得： ????????? ??-021211p ， ??

??????

? ??=021211p ， ?

???? ??=100p

取()321,,p p p P =，则P 为正交矩阵。作正交变换

()T

z y x y Py x 111,,,=，则有：

21212

1

21y x Ax x T +-=

()111101

002121

02

121

1,0,0z z y x x b T -=???

?? ??????????

? ?

?-

-= 因此，所给二次曲面化为标准方程为：

02

12112121=-+-z y x

即 212112

1

21y x z +-=

表示双曲抛物面（马鞍面）。

一、高等代数与解析几何之间的关系

利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理 一、高等代数与解析几何的关系 代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。 解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日 二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学 中国科大： 陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011. 南开大学： 孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：2007. 华东师大： 陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) (第2版)，高等教育出版社，北京：2008. 华中师大： 樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004. 同济大学： 高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社 (2005-05出版) 兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学 三、高等代数的特点 1、逻辑推理的严密性； 2、研究方法的公理性； 3、代数系统的结构性。 四、高等代数一些概念的引入 对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导 和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。

高等代数与解析几何之间的联系

高等代数与解析几何之间的关联性 数学0803班康若颖20081692 内容摘要：在我们的学习过程中，可以发现高等代数和解析几何中有很多相似之处。确切的说是高等代数中 的一些理论是从解析几何中发展和改进而来的。比如说通过解析几何中多元一次方程组的解法高等代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。又比如说欧式空间的提出。我们都知道几何空间中的向量以及他的一些性质。在高等代数中先后提出来线性空间、欧式空间。线性空间将向量做了推广，使向量抽象化。欧式空间在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。总体来说高等代数与解析几何是相互联系、相互促进的。可以更确切一点的说是解析几何是高等代数的基石，而高等代数是解析几何的推广和并使之抽象化。 关键词：行列式、正交变换、向量、线性方程组、二次型和二次曲线、二次曲面、欧式空间 导言：从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归 纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对高等代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系。运用解析几何来分析高等代数更直观，同时，高等代数也是解析几何的一个发展、拓宽。比如说欧式空间。运用高等代数的解题方法来解答解析几何中的一些问题更加简便，快捷。比如说运用行列式的计算来解答多元方程组问题。 内容： 解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识来定义来刻画、 描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n 维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象）。平面方程及平面间的位置关系与线性方程组的理论，二次曲线，二次曲面的化简与代数中的二次型理论，几何与代数中欧式空间的理论等等。 （一）线性代数中一些概念的几何直观解释： 1.关于行列式的几何背景 设α=(321,,a a a ),β=(321,,b b b ),γ=(321,,c c c );两个向量的向量积可以用行列式写为 321 32 1b b b a a a k j i =?βα 它在几何上表示的是与α,β向量都垂直且成右手系的向量。 三个向量的混合积可以用行列式表示为图1 平行六面体 （γβα,,）=（βα?）γ?=321 32 132 1c c c b b b a a a 此行列式的几何解释是它的绝对值等于以它们3个向量为相邻棱所作的平行六面体的体积(如图1)。特别地,当(α,β,γ)=0时,由于平行六面体的体积为零,所以共面。γβα,,0321321 321 ?=c c c b b b a a a 图1 平行六面体

高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵 习题 7.1 习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，，则有 ，

。 （3）在（Ⅰ）解：是中， ， 的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ）解：是 ，其中 的线性变换：设 是中的固定数； ，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间， 共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有 ，即。，其中是的 ， （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2 在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向

旋转 900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：， ，， ； ； ， ， ， ，即，故。 因为因为 ， ，所以 ， ，所以 。 。 因为， ，所以。 习题 7.1.3 在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题 7.1.4 设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有

命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一； （2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（进而（2）因1）设 ，都是 都是的逆变换，则有， 。即的逆变换唯一。 上的可逆线性变换，则有 。 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6 设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故即得 ；同理有： ；依次类推可得，即得 ，得， ，进而得。

高等代数与解析几何教学大纲

附件1 高等代数与解析几何教学大纲 课程编号： 课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry 课程性质：学科基础课 课程类别：必修课 先修课程：高中数学 学分：4+4 总学时数：72+72 周学时数：4+4 适用专业：统计学 适用学生类别：内招生 开课单位：信息科学技术学院数学系 一、教学目标及教学要求 1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。 2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。 3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。 二、本课程的重点和难点 （略。由课任教师自行掌握） 三、主要实践性教学环节及要求

精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。 四、教材与主要参考文献 教材：《高等代数与解析几何》（上、下）（第二版），孟道骥编著，科学出版社，2004年。 参考书： 1.《高等代数与解析几何》，陈志杰编著，高等教育出版社， 2000年； 2.《数论基础》，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。 五、考核形式与成绩计算 考核形式：闭卷考试。 成绩计算：平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%， 期末考试占70%。 六、基本教学内容 第二学期 第一周—第二周：（8课时） 第一章：向量代数与解析几何基础 1.代数与几何发展概述。 2. 向量的线性运算及几何意义：定义与性质、向量的共线、共面与线 性关系 3. 坐标系：标架、向量和点的坐标、n维向量空间。 4. 向量的线性关系与线性方程组。 5. 三维空间中向量的乘积运算：内积、外积、混合积、三重外积。 6. 方程及几何意义： (1)二元方程及几何意义：平面曲线的表示（非参数式、极坐标、 参数式、向量式）; (2)三元方程及几何意义：直线与平面方程、曲线与曲面方程（非 参数式、参数式、向量式）。 第三周—第五周：（12课时）

高等代数与解析几何同济答案

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高等代数与解析几何

高等代数与解析几何（上） 一、选择题（每题3分，共5题，共15分。） 1、) ()b -a ()b a (=?+ 。 0、A )(2b a B ?、 22b a C -、 )(2a b D ?、 2、），（，，2,14)32,1(B A -点P 为线段BA 成定比32：-，则点P 的坐标为（ ）。 )0,7,10(P A 、 )0,6,12(P B 、 )0,7,10(-P C 、 )0,7,10(--P D 、 3、已知b 3a +与b 5a 7 -垂直，b 4-a 与b 2a 7 -垂直，则a 与b 的夹角为（ ）。 6π、A 4π、B 3π、C 2 π 、D 4、当a 为何值时，四点）（，，），，（，，6,1,0)7,100(a 2,13)54,a (D C B A ---共面。（ ） 2=a A 、 1113= a B 、 21113==a a C 或、 211 12 ==a a D 或、 5、设A 为3阶矩阵，8=A ，则)(2=-A 。 16-A 64-B 48C 32D 二、填空题（每题3分，共7题，共21分。） 1、已知1b a == ， 2、几何空间中4个或 3、若向量(0,3,2),c (1,-1,-2),b ), 3,2,4 (a === 则由这三个向量张成的平行六面体的体 积为——————。 4、已知(1,-2,-1), b ), (-4,5,-2a == 则→a 在→b 的单位向量→0b 上的射影为—————。 5、已知排列n x x x 21的逆序数为a ，则排列121-n x x x x n 的逆序数为—————。 6、使1725836j i 成偶排列，则 =i —————，=j ————。 7、n 阶方阵n n ij a A ?=)(，D A =，则 当j k ≠时，=+++nk nj k j k j A a A a A a 2211———。 当j k =时，=+++nk nj k j k j A a A a A a 2211———。

《高等代数与解析几何》

《高等代数与解析几何》教学大纲 学时数：192 学分：12 适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学 一、课程说明 高等代数与解析几何是高校数学系课程中联系十分密切的两门的基础课．作为高等代数的主要内容，线性代数是由二维、三维几何空间中的向量代数进一步抽象推广得来的，高等代数的多数概念和方法都有着很强的几何背景．而解析几何的研究对象则是用代数的方法研究空间的几何问题．因此，高等代数与解析几何有着紧密的联系，它们的关系可归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景．”本课程的主要任务是使学生获得代数的基本思想方法和行列式、矩阵、向量代数、线性方程组、多项式理论、二次型、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型、常见曲面等方面的系统知识．它一方面为后继课程（如近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用． 二、与其它课程的关系 本课程作为一门基础课，是学习近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础． 三、大纲部分 以下按各章具体写出 第一章预备知识（6学时） 本章的内容为介绍性质的，主要是为本课程的学习所做的预备工作，因而其中的内容基本相对独立． 教学目的与要求理解数环与数域的定义；突出三个常用的数域，即有理数域、实数域 和复数域，理解整数的整除性；理解第二归纳法原理；理解映射的定义、满射、单射和双射．数学重点数域的定义，映射的定义和性质． 教学难点对映射定义的理解；对满射的理解和应用． 新知识点数域性质的应用；整数整除性质的推广. 教学方法与手段以“细读——精讲——习作”这一现代教学方法完成本章的主要内容. 教学内容 1.数环和数域 １

高等代数与解析几何教材特色与比较

1、《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》简介：数学分析、高等代数与解析几何是大学数学系的 三大基础课程，南开大学数学系孟道骥 出版社:科学出版社; 第2版 (2011年1月5日) 丛书名:普通高等教育"十一五"国家级规划教材 平装: 480页https://www.sodocs.net/doc/178818244.html,/jpkc/gdds/ 第二版在以下几个方面作了修改。 为了降低学习难度，根据第一版使用的经验和反馈，我们把第一章里有关线性流形和子空间的内容删去，让这些概念到第三章才出现。第二章的行列式定义还是使用通常的乘积交叉和的形式，把第一版使用的有向体积（即多重线性函数）定义作为几何意义放在评注里。还把几何空间的直线与平面的内容集中放到新设的第四章。考虑到以后计算多重积分的需要，在第六章第8节补充了有关求空间区域到坐标平面投影的求法，给出一个例题和一些习题。此外对习题的顺序和配备做了整理，增加了一些入门级的基本题，较难的题排在后面，还打上星号，这样虽然每一节后面有不少习题，但教师可以根据不同的要求选取习题，从最易到很难，有很大选择余地。根据华东师范大学几年来的经验，第一学年每周6学时（其中2学时习题课）可以把不打星号的内容教完。第3学期开设每周2学时的选修课，讲授第十四章以及其他一些打星号的内容，这样可以使兴趣不同的学生各得其所。 在帮助学生熟悉数学软件方面，第二版增加了与Mapie平行的：Mathematica的内容，使用者可以从中选择一种。由肖刚教授开发的网上互动式多功能服务站（WIMS）有了汉化的光盘版KNOWIMS，这是一个开放软件，可以免费使用。即使在上网不易的偏远地区，只要有一台电脑，就能拥有一个w：IMS系统，而且教师还可以在这个系统里自行开发各种练习。我们在附录中介绍了WIMS的用法，许多章节后面会介绍相应的练习。希望广大师生能喜欢它，发展它。当然这些有关计算机的内容都是选学的，有兴趣的读者可向高等教育出版社数学分社索取相关软件光盘。 第一章向量代数 本章的主要内容是向量及其代数运算。我们在力学和物理中已经遇到过既有大小义有方向的量，如力、速度等。现在我们面临的问题是从数学的观点研究向量的特性以及它的各种运算。利用向量往往能使某些几何问题更简捷地得到解决。向量方法也是力学、物理学和工程技术中常用的有力工具。向量无疑是一个几何概念，但是在空间中建立了坐标系后，向量与它的坐标问有了一个一一对应的关系。这样就使得许多涉及向量的几何问题转换成了它的坐标（数组）间的代数问题，为应用代数方法解决几何问题提供了桥梁。本章的有些例题与习题就是展示向量代数方法在立体几何中的应用。反之，取定了原点和坐标系后，一个二元或三元的数组又能被看成以原点为始点的向量。例如复数就可被看成平面向量。这样又使得许多抽象的代数概念获得了具体的几何背景。数（或公式）与图形的结合及转化始终是数学发展的有力手段。于是几个数的数组被看成了虚构的高维空间中的向量。现实空间中向量的各种运算被推广到了高维数组构成的“空间”，抽象的数组被赋予了直观的形象。我们这门课程把高等代数与解析几何揉合在一起，既是为了给几何问题提供代数工具，也是为了给抽象的代数概念提供几何的背景。希望同学们在学习时对于形数结合给予更多的重视。并把本章学习的重点放在对各种向量运算以及向量的线性相关性的直观理解上，为以后的代数化作准备。 《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》分上、下册，第1章讨论多项式理论；第2章介绍行列式，包括用行列式解线性方程组的Craner法则；第3章矩阵，主要介绍矩阵的计算、初等变换及矩阵与线性方程组的关系；第4章介绍线性空间；第5章介绍线性变换；第6章多项式矩阵是为了讨论复线性变换而设的；第7章介绍Euclid空间；第8章介绍双线性函数与二次型；第9章讨论二次曲面；第10章介绍仿射几何与影射几何。 《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》附有相当丰富的习题。 个人认为这套教材总体还算不错（虽然系里大多数人都认为很烂），内容、观点还是比较新颖的，不同于一般的教材。不足之处(应该也是同学们“讨厌”的地方）在于有些比较重要的定理写的过于简略，进展太过

高等代数与解析几何第七章习题7答案

习题7.4 习题7.4.1设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明： （1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a === 2211，且A 不是对角阵，则 A 不可对角化。 证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλ ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，所以A 有 n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无 关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。 （2）假设A 可对角化，即存在对角阵???? ? ? ? ??=n B λλλ 21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21 。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλ ，从而 E a a a a B nn 112211=???? ? ? ? ??= ，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与 假设矛盾，所以A 不可对角化。 习题7.4.2设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21 ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i =。证明：

（1）s V V V +++ 21是直和； （2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕= 21。 证明：（1）取s V V V +++ 21的零向量0，写成分解式有 021=+++s ααα ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1 =。 现用12,,,-s σσσ 分别作用分解式两边，可得 ?????? ?=+++=+++=+++---0 00 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλααα 。 写成矩阵形式为 )0,,0,0(111),,,(11221 1121 =? ? ?? ??? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21 是互不相同的，所以矩阵? ??? ??? ? ?=---11221 11111s s s s s B λλλλλλ 的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121 ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21 =s ααα。 这说明s V V V +++ 21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 s V V V +++ 21是直和。 （2）)(?因i V ，s i ,,2,1 =都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕? 21。 又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕ 21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈ 21α，即得 s V V V V ⊕⊕⊕? 21成立，故有

高等代数与解析几何第七章习题7答案

习题 习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明： （1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则 A 不可对角化。 证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有 n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无 关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。 （2）假设A 可对角化，即存在对角阵???? ?? ? ? ?=n B λλλO 2 1 ，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而 E a a a a B nn 112211 =???? ?? ? ? ?=O ，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与 假设矛盾，所以A 不可对角化。 习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。证明： （1）s V V V +++Λ21是直和；

（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有 021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。现用1 2,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得 ??? ??? ?=+++=+++=+++---000 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。 写成矩阵形式为 )0,,0,0(11 1 ),,,(11221 1 121ΛΛ M M M Λ ΛΛ=???? ?? ? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21Λ是互不相同的，所以矩阵???? ?? ? ? ?=---11221 1111 1 s s s s s B λλλλλλΛ M M M Λ Λ的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121ΛΛΛ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21ΛΛ=s ααα。 这说明s V V V +++Λ21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 s V V V +++Λ21是直和。 （2）)(?因i V ，s i ,,2,1Λ=都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21。 又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕Λ21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈Λ21α，即得 s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21成立，故有s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 )(?因s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21， 所以分别取i V ),,2,1(s i Λ=的基：i id i i ααα,,,21Λ，

高等代数与解析几何复习题

高等代数与解析几何复习题 第一章 矩阵 一、 填空题 1.矩阵 A 与 B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是 。 2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ??==又()ij m n AB c ?=，问ij c = 。 3.设 A 与 B 都是n 级方阵，计算2()A B += , 2()A B -= , ()()A B A B +-= 。 4.设矩阵1234A ?? = ??? ,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 （注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和） 5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)T Y =-,201013122A -?? ?= ? ?-?? ,计算XAY = 。 6.设向量()1,2,3,(1,1,1)T α β==，则αβ= ，βα= 。 7.设矩阵2003A ??= ??? ，则100 A = 。 8.设矩阵200012035A ?? ?= ? ??? ，则1 A -= 。 9.设准对角矩阵1 200A A A ?? = ??? ,()f x 是多项式，则()f A = 。 10.设矩阵123456789A ?? ? = ? ??? ，则A 的秩()R A = 。 11.设* A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。 12.设* A 是矩阵 A 的伴随矩阵，则**_____________.AA A A == 13.矩阵123235471A ?? ?=- ? ??? 的秩为__________，A 的伴随矩阵* A = 。 14.设 A 是3阶可逆方阵， B 是34?矩阵且()2R B =，则()R AB = 。

孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(上册)复习笔记-行列式(圣才出品)

第2章行列式 2.1 复习笔记 一、矩阵 1．矩阵概念 在数域P中取mn个数，将它们排成m（横）行，n（竖）列的长方阵（将第i行，第j列的元素记为），再加上括号，即有 称它为P上的一个m×n矩阵． 注：（1）矩阵通常用一个英文大写字母，如A表示； （2）从上到下的各行依次称为第1行，…，第m行，并记为 （3）从左到右的各列依次称为第l列，…，第n列，并记为 （4）矩阵中每个数，又称矩阵的元素，第i行，第j列处的数（元素）也记为 2．矩阵相等 P上的m×n矩阵A与k×l矩阵B称为相等，如果满足 （1）m＝k，n＝l； （2）

3．行矩阵（列矩阵） 只有一行（列）的矩阵称为行矩阵（列矩阵）．4．n阶方阵 一个n×n的矩阵称为n阶方阵． ５．单位矩阵 n阶方阵 其中 称为n阶单位矩阵． ６．转置 （1）定义 设A是一个m×n的矩阵 则

称为A的转置．常记为A'（或A T）． （2）性质 A'是n×m矩阵，且与A有以下关系 注：若一个n×m矩阵B与A有上述关系之一，则B＝A'，另外两个关系也成立．6．初等变换符号表示 （1）若将矩阵A的第i行（第j列）的每个元素都乘以数k，而其他元素不变，所得的矩阵称为A的第i行（第j列）乘k，记为则 若将第二个等式右边简记为，则 同理与A有下面关系 （2）将矩阵A的第i行（列）加上第j行（列）的k倍，而其他行（列）（包括第j

行（列））不变，即A的第i行（列）的每个元素加上第j行（列）对应元素的k倍．得到的矩阵记为则 若将上式右边记为则 同理有 其中 （3）将矩阵A的第i行（列）与第j行（列）互换，其余行（列）不动，所得的矩阵记为则 同理 7．初等变换 设A是一个矩阵，称

高等代数与解析几何第二章复习题

第二章 行列式 一、计算题 1. 若置换??? ? ??=???? ??=24131234,32411234q p ,则pq = . 2.将矩阵????? ??=50413102b A 的第1行乘上-2加到第二行后变成??? ? ? ??-=504211102B , 则=b 。 3. 1至6的排列241356的逆序数为________ 。 4. 四阶行列式展开式中，项23413412a a a a 的符号为 。 5. 5 10420 3 21= 。 6.设11111 431 1234115 7 A -= ，则A 的第4行各元素的代数余子式之和为 。 7．行列式11 1213 21 222331 32 33 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = 。 8．设(,1,2)ij A i j = 为行列式21 31D =中元素ij a 的代数余子式，则 111221 22 A A A A = 。 二、选择题 1.方程1 232 1603 6 2 x x -=+的根为（ ）。 (A) 121, 2x x ==； (B) 125, 7x x ==； (C) 123, 6x x ==； (D) 123, 6x x =-=-。

2.满足下列条件的行列式不一定为零的是（ ）。 (A ）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式； （B ）行列式中有两行（列）元素完全相同； （C ）行列式中有两行（列）元素成比例； （D ）行列式中等于零的个数大于2 n n -个。 3.行列式4 10 3 26 5 7 a --中，元素a 的代数余子式是（ ）。 A ． 4067- B ．4165 C ．4067-- D ．41 65 - 4．以下乘积中（ ）是5阶行列式ij D a =中取负号的项。 A .3145122453a a a a a ； B .4554421233a a a a a ； C ．2351324514a a a a a ； D .1332244554a a a a a 5. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =中取负号的项。 A .11233344a a a a ； B .14233142a a a a ； C ．12233144a a a a ； D .23413211a a a a 6.任n 级矩阵A 与-A , 下述判断成立的是( )。 A . A A =-； B .AX O =与()A X O -=同解； C .若A 可逆, 则1 1() (1)n A A ---=-； D ．A 反对称, -A 反对称 三、计算题 1．.D= 23411234 149161 82764 ，11121314A A A +++求A . 2． 11111 1 11 1111111 1 ----.

高等代数与解析几何第七章线性变换与相似矩阵答案

习题 习题判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。（Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，，则有 ， 。 （3）在中， （Ⅰ）， 解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ），其中是中的固定数；

解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数；解：不是线性变换。因为取，时，有，，即。 （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；，，；，，，即，故。 因为， ，所以。 因为， ，所以。 因为，

，所以。 习题在中，，，证明。 证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有 命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。 习题证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（1）设都是的逆变换，则有，。进而。即的逆变换唯一。（2）因，都是上的可逆线性变换，则有 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。 习题设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，，线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而，故；同理有：，得，即得；依次类推可得，即得，进而得。

高等代数与解析几何第七章节(1-3习题) 线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵 习题7.1 习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有， ，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，， 则有 ，

。 （3）在中， （Ⅰ）， 解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ），其中是中的固定数； 解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有， ，即。 （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，， 。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向

旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的 变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：，，；， ，；，， ，即，故。 因为， ，所以。 因为， ，所以。 因为， ，所以。 习题7.1.3在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题7.1.4设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有

命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（1）设都是的逆变换，则有，。进而。即的逆变换唯一。 （2）因，都是上的可逆线性变换，则有 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，， 都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故；同理有：，得， 即得；依次类推可得，即得，进而得 。

高等代数与解析几何第11章习题参考解答

§11.1二次曲线的几何性质 1、 解（1）∵ 025),(22=++=ΦY XY X Y X 时 )52 (:51:i Y X ±-=,同时 041 1152>==I ∴曲线为椭圆型，有两个共轭的渐近方向：)5 2 (:51i ±- （2）∵034),(22=++=ΦY XY X Y X 时1:1:-=Y X 和1:3:-=Y X 同时013 22 12<-==I , ∴曲线为双曲型，有两个渐近方向：1:1-和1:3- （3）∵02),(2 2=+-=ΦY XY X Y X 时1:1:=Y X , 同时01 1112=--=I ∴曲线为抛物型，有一个实渐近方向：1：1 2、解（1）∵0492 2 5 252 2≠-== I , ∴曲线是中心曲线. 由?? ??? =-+==-+=023225),(03252),(21y x y x F y x y x F 解 得?? ?=-=2 1 y x ∴中心为)2,1(- （2）∵013392=--=I ，3231322121211-===a a a a a a , ∴曲线为线心曲线。 （3）∵042212=--=I ，且23 1322121211a a a a a a ≠=, ∴曲线为无心曲线。 3、解（1）由?? ???=-+-==+-=0 23 223),(02123),(21 y x y x F y x y x F 解得中心)3,5(-- 由0252),(2 2=++=ΦY XY X Y X 得渐近方向为2:1:11-=Y X ， 1:2:22-=Y X 所以渐近线方程是 2315+=-+y x 和1 3 25+=-+y x , 即0132=++y x 和0112=++y x （2）由???=++==++=0 1),(0 12),(21y x y x F y x y x F 解得中心)1,0(-,由022),(22=++=ΦY XY X Y X 解 得渐近方向为X:Y = 2:)1(i ±-, 所以渐近线方程是 211+=+-y i x 和2 1 1+=--y i x 即0)1(=++y x i 和0)1(=+-y x i 4、解（1）∵2723),(1-+=y x y x F , 452),(2-+=y x y x F , ∴29 )1,2(1=F 5)1,2(2=F , ∴所求切线方程为 0)1(5)2(2 9 =-+-y x 即 028109=-+y x （2）∵4)1,2(=--F ∴)1,2(--不在二次曲线上； 设过点)1,2(--的切线与已知二次曲线相切于),(00y x ，那么切线方程为 03)(2)(2 1 )(21000000=++++++++y y x x yy xy y x xx ①

《高等代数与解析几何》英文习题.

《高等代数与解析几何》英文习题 主讲老师：林磊 1. (Feb. 28) 0 a basis for the linear space of all 2 2 matrices? 2. (Mar. 1) orthogonal to u and to each other. 3. (Mar. 4) Let S {v 1,v 2,...,v n } be a basis for a linear spaceV and let U be a subs pace of V . Is it n ecessarily true that a basis for U is a subset of S? Why? 4. (Mar. 7) In (1)-(2) deter mine which of the give n fun cti ons are inner p roducts on R 3 where u 1 u 2 and u 3 5. (Mar. 8) 1 1 2 Is 0 1,1 Let u i 2j 3k . Find vectors v and w that are both V 1 V 2 V 3 (1)(,) 2u 1V 1 3u 2V 2 4u 3V 3; (2) ( , ) U 1V 3 u 2V 2 u 3V 1 .

In Exercises (1)-(2) determine whether the given set of vectors is orthog on al, orth onor mal, or n either with res pect to the Euclidea n inner p roduct. (1) (1,2), (0,3); (2) (1,0,1), (0,1,0), ( 1,0,1). 6. (Mar. 11) Compute the area of the triangle with vertices (0,2,7), (2, 5,3), and (1,1,1). 7. (Mar. 14) Show that | |2| |2 4(, ). 8. (Mar. 15) In Exercises (1) and (2) find an equatio n for the plane that p asses through the point P and that is parallel to the plane whose general equati on is give n. (1) P (2,3, 5)；3x 7y 2z 1 0. ⑵P ( 6,4,1); 2x 5y 3z 6 0 . 9. (Mar. 18) Let T: R2R3be a lin ear tran sformatio n such that ⑻ Find T 1 1