湖北省黄石市中考数学试卷(解析版)

２０17年湖北省黄石市中考数学试卷

一、选择题

１．（3分）(20１７?黄石)下列各数是有理数的是()

A.﹣B．C．D．π

【考点】27：实数.

【专题】11：计算题;5１1：实数．

【分析】利用有理数的定义判断即可.

【解答】解：有理数为﹣，无理数为,,π,

故选Ａ

【点评】此题考查了实数,熟练掌握有理数与无理数的定义是解本题的关键.

2．(3分)（2017?黄石)地球绕太阳公转的速度约为１１０000km/h,则１10０00用科学记数法可表示为（)

A．0.11×106?Ｂ．1．１×10５C．0.1１×105?D.1.1×１０６

【考点】1I:科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为ａ×１0n的形式，其中1≤｜a|＜１０，ｎ为整数．确定n的值时,要看把原数变成ａ时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞１时,n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解:将11０0０0用科学记数法表示为:1.1×105.

故选B.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ｎ的形式,其中1≤|a|<10，ｎ为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．(3分)（20１7?黄石)下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(）

Ａ.?B.

Ｃ．Ｄ．

【考点】Ｒ5:中心对称图形;P3:轴对称图形.

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形,故本选项错误；

B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误；

Ｃ、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;

Ｄ、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确.

故选D．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转１8０度后两部分重合．

4．(3分）(２017?黄石）下列运算正确的是（)

Ａ．ａ0=0?B．a2+a3=a5?C.ａ２?a﹣１＝a?D．+=

【考点】６B：分式的加减法;35：合并同类项；４6:同底数幂的乘法;6E:零指数幂；6F:负整数指数幂．

【分析】根据整式的运算法则以及分式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：（A)a０＝1（a≠0），故A错误；

（B）ａ２与ａ３不是同类项,故B错误；

（Ｄ）原式=，故D错误；

故选(Ｃ)

【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则,本题属于基础题型.

5．(3分）(20１7?黄石）如图，该几何体主视图是（）

Ａ.?B．?C．Ｄ.

【考点】U1：简单几何体的三视图．

【分析】根据三棱柱的特点并结合选项作出正确的判断即可．

【解答】解：三棱柱的主视图为矩形，

∵正对着的有一条棱,

∴矩形的中间应该有一条实线,

故选B．

【点评】考查了简单几何体的三视图的知识,解题的关键是了解中间的棱是实线还是虚线,难度不大.

６.(3分)(2017?黄石）下表是某位男子马拉松长跑运动员近6次的比赛成绩（单位:分钟) 第几次 1 2 3 ４ 5 6

比赛成绩１45 147 140 129 13６12５

则这组成绩的中位数和平均数分别为（）

A.137、１38?B．1３８、13７ C.1３８、1３8?D.137、139

【考点】W4：中位数；W1：算术平均数．

【分析】根据中位数的定义和平均数的求法计算即可,中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

【解答】解:把这组数据按从大到小的顺序排列是:125，12９,136,140,145,１４7，

故这组数据的中位数是:（1３6＋１40）÷2=138;

平均数=（125+１2９+136+140+1４5＋1４7）÷6=1３７．

故选B.

【点评】本题考查了中位数的定义和平均数的求法,解题的关键是牢记定义，此题比较简单,易于掌握．

7．(3分)（20１７?黄石)如图，△ABＣ中,E为BC边的中点,CD⊥ＡB,AＢ=２，AC＝１,ＤE=，则∠CDＥ+∠ACD=( ）

A.60°?B．７5°C．9０°?D．10５°

【考点】KS：勾股定理的逆定理;KP:直角三角形斜边上的中线.

【分析】根据直角三角形的性质得到BＣ＝2CE=，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=9０°,根据三角函数的定义得到∠A=６0°，求得∠ACD=∠B=３０°,得到∠DCE=６0°,于是得到结论．

【解答】解:∵CD⊥AB，Ｅ为ＢＣ边的中点，

∴BC=2CE=，

∵ＡB=2，ＡC=1,

∴AＣ2+BC2＝１2+（）２=4=22=AB2,

∴∠ACB=90°，

∵tａn∠A＝=，

∴∠A=６０°，

∴∠ACD=∠B=30°,

∴∠ＤCE=60°，

∵DE=CE，

∴∠CＤＥ＝60°,

∴∠CDE+∠ACD=90°,

故选C．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,直角三角形的性质,三角函数的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

8.(3分)(2017?黄石）如图,是二次函数y＝ax２+bx＋c的图象,对下列结论①ａb＞0,②abｃ＞0,

③＜１，其中错误的个数是（）

A.3?Ｂ．2 C．1 D．０

【考点】H４：二次函数图象与系数的关系.

【分析】根据抛物线的开口方向，判断a的符号,对称轴在y轴的右侧判断ｂ的符号，抛物线和y轴的交点坐标判断c的符号,以及抛物线与x轴的交点个数判断ｂ２﹣4ac的符号．【解答】解:∵抛物线的开口向上,

∴ａ>０，

∵对称轴在y轴的右侧,

∴b<0，

∴ab＜0,故①错误；

∵抛物线和y轴的负半轴相交，

∴ｃ＜0,

∴ａbc＞0，故②正确；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b２﹣4ac＞0,

∴<１,故③正确;

故选Ｃ．

【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求２a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式以及特殊值的熟练运用.

9.（３分）（2017?黄石)如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆,O为圆心，若∠BCD=１2０°,AB=AD＝2,则⊙O的半径长为（）

Ａ．?B． C.?D．

【考点】M６:圆内接四边形的性质．

【分析】连接BD,作OE⊥AD,连接OD,先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由

AD=AB可得出△ABD是等边三角形，则DE=ＡＤ，∠ＯＤE=∠AＤB=30°,根据锐角三角函数的定义即可得出结论．

【解答】解:连接BD,作OＥ⊥AD,连接OD,

∵⊙O为四边形AＢCD的外接圆，∠BCD=１２0°,

∴∠BAD=６０°．

∵ＡD＝AＢ=2,

∴△ABD是等边三角形．

∴DＥ＝AＤ＝1,∠ODE=∠ADB＝3０°,

∴OD=＝．

故选D．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键.

10．（3分)（201７?黄石)如图,已知凸五边形ABＣＤE的边长均相等,且∠DＢE＝∠AＢE+∠ＣBD，AC=1,则BD必定满足()

A.BD<2?B．ＢＤ=2

C．BD＞2 Ｄ.以上情况均有可能

【考点】Ｌ7:平行四边形的判定与性质；KM:等边三角形的判定与性质．

【分析】先根据等腰三角形的底角相等,得出∠ＡED＋∠CDE=180°，判定AE∥ＣD,再根据一个角是６0°的等腰三角形是等边三角形，得出△ABC是等边三角形．

【解答】证明：∵AＥ=AB,

∴∠ABE＝∠AEＢ，同理∠CBD=∠CＤB

∵∠ＡBC=2∠DBＥ,

∴∠ABE＋∠CBＤ=∠DＢE,

∵∠ＡBＥ＝∠AＥＢ,∠ＣBD=∠CDB,

∴∠AEB+∠CDB＝∠DBＥ，

∴∠ＡEＤ＋∠CＤE=１80°,

∴AE∥CＤ，

∵ＡE=CD，

∴四边形AＥＤC为平行四边形．

∴DE=AＣ=AB=BC.

∴△ABC是等边三角形，

∴BC=CD=１，

在△BＣD中，∵ＢD＜BC+CD,

∴BD＜２．

故选Ａ.

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质:等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理.解题时注意,同旁内角互补,两直线平行．

二、填空题

１１.(3分)（２01７?黄石)因式分解:x２ｙ﹣４ｙ=y（x﹣２）(x+２).

【考点】5５：提公因式法与公式法的综合运用.

【分析】首先提取公因式y,再利用平方差公式分解因式即可.

【解答】解：ｘ２ｙ﹣4y=y（x2﹣4)=y（x﹣2）（ｘ+2).

故答案为：y(x﹣2）（x＋2)．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．

12．(3分）(2017?黄石)分式方程=﹣２的解为x=．

【考点】B3：解分式方程.

【专题】11 :计算题;522:分式方程及应用．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到ｘ的值,经检验即可得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2x＝3﹣4x+４,

解得：x＝，

经检验x=是分式方程的解，

故答案为：ｘ=

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

13.（3分）（２０17?黄石)如图，已知扇形OAＢ的圆心角为６０°,扇形的面积为6π,则该扇形的弧长为3π．

【考点】MＯ:扇形面积的计算;MN:弧长的计算.

【分析】首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式S扇形＝lR(其中l为扇形的弧长）,求得扇形的弧长.

【解答】解：设扇形的半径是R，则=6π,

解得:r=6，

设扇形的弧长是ｌ，则ｌr=６π，即3l=6π，

解得:ｌ=３π．

故答案是:３π．

【点评】本题考查了扇形面积和弧长的计算，熟练掌握扇形的面积公式和弧长的公式是解题的关键.

14.(3分）（2０17?黄石）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为４5°，随后沿直线ＢC 向前走了100米后到达D处,在D处测得Ａ处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为13７米.

(注:不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数,参考数据：≈1.41，≈1.73)

【考点】ＴA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】设AB=x米,由∠AＣＢ＝4５°得ＢC=AB=ｘ、BＤ=BC＋CD=x+1０0，根据ｔan∠

ADB=可得关于x的方程，解之可得答案.

【解答】解：设AB=ｘ米,

在Rｔ△AＢC中，∵∠ACＢ＝45°，

∴BＣ=ＡB＝x米,

则ＢＤ=BC+CD＝x+100(米)，

在Rt△AＢＤ中，∵∠ADB=３0°,

∴taｎ∠ADB==,即=,

解得:ｘ=５０+50≈１3７，

即建筑物AB的高度约为１３7米

故答案为：1３7.

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．

15.(3分）（２０17?黄石）甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分

别记为a、b,则a+b=９的概率为．

【考点】Ｘ6：列表法与树状图法．

【分析】利用列表法即可解决问题．

【解答】解:甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，所有可能的结果是:

满足a＋b=9的有４种可能，

∴a+b＝９的概率为=,

故答案为.

【点评】本题考查的是古典型概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现ｍ种结果,那么事件Ａ的概率P（A)=.

1６．(３分）（2０１7?黄石）观察下列格式:

=1﹣=

＋=1﹣+﹣=

++=1﹣+﹣+﹣=

…

请按上述规律,写出第n个式子的计算结果(n为正整数)．（写出最简计算结果即可) 【考点】37：规律型：数字的变化类.

【分析】根据上述各式的规律即可求出第n个式子的计算结果．

【解答】解：ｎ=1时,结果为:=;

ｎ=2时,结果为：＝；

n＝３时,结果为:

所以第n个式子的结果为:

故答案为:

【点评】本题考查数字规律问题,解题的关键是根据已给出的式子找出规律,本题属于基础题型．

三、解答题

17.(7分)(２０17?黄石）计算:（﹣２)３+＋１0+|﹣３+｜．

【考点】２C:实数的运算;6Ｅ：零指数幂.

【专题】１１：计算题;５1１：实数.

【分析】原式利用乘方的意义,算术平方根定义,零指数幂法则,以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．

【解答】解：原式=﹣8+4+１+３﹣=﹣.

【点评】此题考查了实数的运算,以及零指数幂,熟练掌握运算法则是解本题的关键．

１8.（７分）(201７?黄石)先化简，再求值：（﹣)÷,其中a＝2sｉn6０°﹣ta ｎ45°.

【考点】6D：分式的化简求值;Ｔ5:特殊角的三角函数值.

【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法,最后约分即可化简原式,根据特殊锐角三角函数值求得ａ的值，代入即可．

【解答】解：原式=[﹣]?(a﹣1)

=?（a﹣1）

=

当a=2sin６0°﹣ｔan45°=2×﹣1＝﹣１时，

原式=＝.

【点评】本题主要考查分式的化简求值,熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键,也考查了特殊锐角的三角函数值．

1９.(７分)（2０17?黄石)已知关于x的不等式组恰好有两个整数解,求实数a的取值范围.

【考点】ＣＣ：一元一次不等式组的整数解.

【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解,确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．

【解答】解:解5x+1>3(x﹣１）得:x＞﹣2,

解x≤8﹣x+2a得:ｘ≤4+a.

则不等式组的解集是:﹣２<ｘ≤４＋a.

不等式组只有两个整数解，是﹣１和0．

根据题意得:0≤４+a＜1.

解得：﹣4≤a＜﹣3.

【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集，应遵循以下原则:同大取较大，同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了．

2０.(8分）（２0１７?黄石)已知关于ｘ的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0

(1）求证：该方程有两个不等的实根;

(2）若该方程的两个实数根ｘ１、x２满足x１+2ｘ2=9，求m的值.

【考点】AＢ:根与系数的关系；AA:根的判别式.

【分析】(1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=1６+４m2＞0,由此可证出该方程有两个不等的实根；

（2）根据根与系数的关系可得ｘ１＋x２=4①、x１?x2＝﹣m2②,结合x１+２x２＝9③，可求出x １、x2的值,将其代入②中即可求出ｍ的值．

【解答】(１)证明：∵在方程ｘ2﹣4ｘ﹣ｍ2=0中，△=(﹣4）2﹣４×1×（﹣ｍ2）=16+4m2>0，∴该方程有两个不等的实根；

(2)解:∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，

∴x1＋x2=4①,x1?x2=﹣m2②.

∵x１+2ｘ2=9③，

∴联立①③解之,得:x1=﹣1,x2=5,

∴x1?x2=﹣5=﹣m2，

解得：m=±．

【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,解题的关键是:(1)牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”；(２）联立x1+x２=４①、x1+2x2＝9③,求出x1、x2的值.

21.(8分)(2０17?黄石)如图,⊙O是△ABC的外接圆,ＢC为⊙O的直径,点E为△AＢC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点,连接BＤ并延长至F,使得ＢD=ＤＦ,连接ＣF、BE.

（１)求证：DB=ＤＥ；

（2)求证:直线CＦ为⊙O的切线．

【考点】ＭI：三角形的内切圆与内心;ＭD:切线的判定.

【分析】(1)欲证明DＢ＝DE，只要证明∠DBE=∠DＥB;

(２)欲证明直线CF为⊙O的切线，只要证明BＣ⊥CF即可;

【解答】（１)证明：∵E是△ABC的内心，

∴∠BＡE=∠CAE，∠EＢA=∠ＥBC，

∵∠ＢＥD=∠ＢAE+∠EBA,∠DBE＝∠EBC+∠DＢＣ，∠DBＣ=∠EAC，

∴∠DBE＝∠DEB，

∴DB=DE.

（２)连接ＣD.

∵DA平分∠BAC,

∴∠DAＢ=∠ＤＡＣ，

∴=，

∴ＢD=CD，

∵BD=DＦ，

∴CＤ＝DＢ=DF，

∴∠BＣＦ=90°,

∴BC⊥CF，

∴CF是⊙Ｏ的切线．

【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

２2．（８分）(2０17?黄石）随着社会的发展，私家车变得越来越普及，使用节能低油耗汽车,对环保有着非常积极的意义，某市有关部门对本市的某一型号的若干辆汽车,进行了一项油耗抽样实验：即在同一条件下，被抽样的该型号汽车，在油耗1L的情况下，所行驶的路程(单位：km)进行统计分析,结果如图所示：

(注:记A为12～12.５，Ｂ为12.5～１3，C为１３~13.5,Ｄ为１３.5~１4,Ｅ为14~14.5）

请依据统计结果回答以下问题:

（1）试求进行该试验的车辆数；

(2)请补全频数分布直方图;

（３)若该市有这种型号的汽车约9００辆(不考虑其他因素),请利用上述统计数据初步预测,该市约有多少辆该型号的汽车,在耗油１Ｌ的情况下可以行驶1３km以上?

【考点】V８：频数(率）分布直方图;V5:用样本估计总体;VB:扇形统计图．

【分析】(１）根据C所占的百分比以及频数,即可得到进行该试验的车辆数;

（2）根据Ｂ的百分比,计算得到B的频数，进而得到Ｄ的频数，据此补全频数分布直方图；（３)根据C，Ｄ,E所占的百分比之和乘上该市这种型号的汽车的总数,即可得到结果.

【解答】解:（１)进行该试验的车辆数为:９÷3０%＝30（辆),

(2）B:20%×30=6（辆），

D：３0﹣2﹣6﹣9﹣４=9(辆）,

补全频数分布直方图如下:

(3)900×=6６0（辆)，

答:该市约有66０辆该型号的汽车,在耗油1Ｌ的情况下可以行驶13kｍ以上．

【点评】本题主要考查了频数分布直方图以及扇形统计图的运用,解题时注意：通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.用整个圆的面积表示总数(单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．

２３．（８分)(2０17?黄石）小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在１月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律:

①该蔬菜的销售价Ｐ（单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足关系：P=9﹣x

②该蔬菜的平均成本y（单位：元/千克）与时间x(单位：月份)满足二次函数关系y＝ａｘ２+bx+1０,已知４月份的平均成本为2元／千克，6月份的平均成本为1元／千克.

（1）求该二次函数的解析式；

（2)请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L（单位：元/千克)最大？最大平均利润是多少?（注:平均利润=销售价﹣平均成本）

【考点】HＥ：二次函数的应用.

【分析】（1)将x＝4、y=2和x＝6、y＝1代入y＝ax2＋ｂx+10,求得ａ、b即可;

（２）根据“平均利润＝销售价﹣平均成本”列出函数解析式,配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．

【解答】解：（1)将x=４、y＝2和x=6、ｙ=1代入ｙ＝ax2＋bx＋10，

得:,

解得：,

∴y＝x２﹣3x＋10；

(2）根据题意,知L=Ｐ﹣y=９﹣x﹣（ｘ2﹣3x+10)=﹣（x﹣4)2+3，

∴当ｘ＝4时，L取得最大值，最大值为3，

答：4月份的平均利润L最大,最大平均利润是３元／千克.

【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质是解题的关键.

2４.（９分)（2017?黄石)在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形,如我们的课本封面、A４的打印纸等,其实这些矩形的长与宽之比都为:１，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”,在“标准矩形”AＢCＤ中,Ｐ为DC边上一定点，且CP=ＢＣ,如图所

示.

（1)如图①，求证：BＡ=ＢP；

（2）如图②,点Ｑ在DC上，且DＱ=CP，若G为BC边上一动点,当△AGQ的周长最小时，

求的值；

（3)如图③，已知ＡＤ=1,在(2)的条件下,连接AG并延长交ＤC的延长线于点F，连接BＦ，T为ＢF的中点，M、Ｎ分别为线段PF与ＡB上的动点,且始终保持PM=BN,请证明:△MＮT 的面积S为定值，并求出这个定值.

【考点】ＳO：相似形综合题．

【分析】（1）如图①中,设ＡD=ＢC＝a，则ＡB＝CD＝a．通过计算得出ＡB=ＢＰ=a,由此即可证明;

（2)如图②中，作Q关于BC的对称点Q′,连接AQ′交BＣ于G,此时△ＡQG的周长最小．设AD＝BC=QＤ=a,则AB=CＤ=a，可得ＣQ=CQ′=ａ﹣a,由CQ′∥AB,推出

===；

（3）如图③中,作TH∥ＡB交NM于H,交BＣ于K．由S△MＮT＝?TＨ?CＫ+?TH?BK＝

HT?(ＫC+KB）=HＴ?BＣ=HＴ,利用梯形的中位线定理求出HT即可解决问题；

【解答】（1）证明：如图①中，设AD=BC=ａ,则AB=ＣD=ａ.

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=90°，

∵PＣ＝AD=ＢC=ａ,

∴PB==a,

∴ＢＡ=ＢP．

（2)解:如图②中，作Ｑ关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于Ｇ，此时△AQＧ的周长最小．

设AD=BC=QD=a,则AB=ＣD=a，

∴ＣQ=CQ′＝a﹣a，

∵ＣQ′∥AB,

∴==＝.

(３）证明：如图③中，作TＨ∥AB交ＮM于H，交BＣ于K.

由（2)可知，ＡD=BC=1，AＢ＝CD=，DP=ＣF=﹣１，

∵S△MNT=?ＴH?CK+?ＴH?ＢＫ=HT?(ＫC+KB)=ＨＴ?BC=HＴ，

∵TH∥AB∥FM,ＴF＝TＢ，

∴HM=ＨN，

∴HT=（FＭ+BN），

∵BN=ＰM，

∴HT=(FＭ+PM）=PF＝?(1＋﹣１)=,

∴S△ＭNT=HＴ==定值.

【点评】本题考查相似形综合题、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、梯形的中位线定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造梯形的中位线解决问题,属于中考压轴题．

２5．(10分)(2０17?黄石)如图，直线l:y＝kx+ｂ（k＜0）与函数y＝（ｘ＞0)的图象相交于A、C两点，与x轴相交于T点,过A、C两点作ｘ轴的垂线,垂足分别为B、D，过Ａ、C两点作y轴的垂线，垂足分别为E、F；直线AE与CＤ相交于点P，连接DE,设A、C两点的

坐标分别为（a,)、（c，）,其中a>c>0.

（1)如图①,求证：∠ＥDＰ＝∠ＡCP；

（2)如图②，若Ａ、D、E、C四点在同一圆上,求k的值;

(3）如图③，已知c=1，且点Ｐ在直线BF上,试问：在线段AＴ上是否存在点M，使得OM ⊥ＡM？请求出点Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】ＧＢ：反比例函数综合题．

【分析】(1）由Ｐ、E、Ｄ的坐标可表示出ＰA、ＥP、ＰC和DP的长，可证明△ＥPＤ∽△CＰA，利用相似三角形的性质可证得结论;

(2)连接AD、ＥＣ，可证明△AEC≌△CDA,可得CD＝AＥ,把A、C坐标代入直线l解析式，可求得ｋ的值;

（3)假设在线段AＴ上存在点Ｍ，使得OM⊥AM，连接OＭ、OＡ,可表示出Ｃ、F、Ｐ、B 的坐标,利用直线BＦ的解析式可求得a的值,可求得A点坐标,可求得T点坐标,在△OAＴ中,

利用等积法可求得OM的长,在RtOMT中可求得MT的长，作MN⊥ｘ轴，同理可求得MN 的长，则可求得ＯN的长，可判断Ｎ在线段BＴ上,满足条件,从而可知存在满足条件的M点．【解答】（１）证明：

由题意可知P(c，),E(０,），D（c，0),

∴ＰＡ＝a﹣c，EP=c,PＣ=﹣=,DP＝，

∴==，且∠EPD=∠APC，

∴△ＥPD∽△CPA,

∴∠EDP=∠AＣP;

(２)解:如图1，连接AD、EC,

由（1)可知DE∥AＣ,

∴∠DEC+∠ECA=180°,

∵A、D、E、Ｃ四点在同圆周上，

∴∠DEC+∠DＡＣ=180°,

∴∠EＣA＝∠DAC，

在△AEC和△CDA中

∴△ＡEC≌△ＣＤＡ(AAS），

∴CD=AE，即ａ=,可得ac=4,

∵A、C在直线ｌ上，

∴，解得k=＝﹣=﹣1；

(３）假设在线段AＴ上存在点M，使OM⊥AＭ，连接OM、ＯＡ,作MN⊥x轴于点N,如图

２,

∵ｃ=１，

∴C（１,４）,F(0,４），P（１，),Ｂ(a，0）,

设直线ＢF的解析式为y＝k′x+4,由题意可得,解得a=２,

∴A(2，2）,

∴ＡP为△DＣT的中位线，

∴T（３,０）,

∴ＡT=＝

∵S△OＡＴ=OT?AＢ=A T?OM，

∴OM===,

在Rt△OMＴ中，MＴ＝==，

同理可求得ＭN＝＝，

在Rt△OMN中,ON＝==，

∵2＜<3,

∴点M在线段AT上，

即在线段ＡＴ上存在点Ｍ，使得OM⊥AM，Ｍ点的坐标为（，)．

【点评】本题为反比例函数的综合应用,涉及相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定

和性质、圆的性质、勾股定理、等积法等知识.在(1）中证得△EＰD∽△ＣPA是解题的关键,在（2）中构造全等三角形,求得ac＝4是解题的关键,在(3)中求得A点坐标，再分别求得OM 和ＯＮ的长是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强,计算量较大,难度适中．