历年数列高考题汇编

历年高考真题汇编---数列答案（含）

1、(2011年新课标卷文)

解：（Ⅰ）因为.31)3

1(311

n n n a =?=

-,23113

11)311(3

1n

n n S -=--= 所以,2

1n

n a S --

（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= ).......21(n +++-= 2

)

1(+-=n n

所以}{n b 的通项公式为.2

)

1(+-

=n n b n .2、(2011全国新课标卷理）

解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以21

9

q =

。有条件可知a>0,故1

3

q =。

由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =。故数列{a n }的通项式为a n =1

3

n 。

（Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++

(12...)(1)

2

n n n =-++++=-

故

12112()(1)1

n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21

n n -+

3、（2010新课标卷理）

解（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+

+-+

21233(222)2n n --=++++2(1)12n +-=。

而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。 （Ⅱ）由212n n n b na n -==?知

35211222322n n S n -=?+?+?+

+? ①

从而 23572121222322n n S n +?=?+?+?++? ②

①-②得 2352121(12)22222n n n S n -+-?=++++-? 。

即 211[(31)22]9

n n S n +=-+

。

4、（20I0年全国新课标卷文）解：（1）由a m = a 1 +（n-1）d 及a 1=5，a 10=-9

得

112599{

a d a d +=+=-

解得

19

2

{a d ==-

数列{a n }的通项公式为a n =11-2n 。 ……..6分

(2)由(1) 知S n =na 1+

(1)

2

n n -d=10n-n 2。

因为S n =-(n-5)2+25.

所以n=5时，S n 取得最大值。

6、（ 2011辽宁卷）

解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11

0,21210,a d a d +=??+=-?

解得11,

1.

a d =??

=-?

故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 （II ）设数列1

{

}2

n n n a n S -的前项和为，即2

111,122

n

n n a a S a S -=+++

=故， 12

.224

2n n

n

S a a a =+++

所以，当1n >时，

121

1111222211121()2422

121(1)22

n n n n n n

n n n n

S a a a a a a n n

------=+++--=-+++--=---

=

.2n n 所以1.2

n n n S -= 综上，数列11{

}.22

n n n n a n

n S --=的前项和

7、（2010年陕西省）

解 （Ⅰ）由题设知公差d ≠0，

由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得

121d +＝1812d

d

++， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n . (Ⅱ)由（Ⅰ）知2

m

a =2n ，由等比数列前n 项和公式得

S n =2+22

+23

+ (2)

=2(12)12

n --=2n+1

-2

8、（2009年全国卷）

解： 设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q

由3317a b +=得2

12317d q ++= ① 由3312T S -=得2

4q q d +-= ② 由①②及0q >解得 2,2q d ==

故所求的通项公式为 1

21,32n n n a n b -=-=?．

11、（2011浙江卷）

解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知2214

111

(

)a a a =? 即2111()(3)a d a a d +=+，从而2

1a d d = 因为10,.d d a a ≠==所以

故通项公式.n a na =

（Ⅱ）解：记2

2222111

,2n n

n n T a a a a a =

+++

=因为

所以2

11(1())

111111122()[1()]12222

12

n n n n T a a a -=

+++=?=-

-

从而，当0a >时，11n T a <

；当1

10,.n a T a <>时 12、（2011湖北卷）

13、（2010年山东卷）

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，

由于73=a ，2675=+a a ，所以721=+d a ，261021=+d a ， 解得31=a ，2=d ，由于d n a a n )1(1-+=，2

)

(1n n a a n S += ， 所以12+=n a n ，)2(+=n n S n

（Ⅱ）因为12+=n a n ，所以)1(412

+=-n n a n

因此)1

1

1(41)1(41+-=+=

n n n n b n

故n n b b b T +++= 21)1

113121211(41+-++-+-=

n n )1

1

1(41+-=

n )1(4+=n n 所以数列{}n b 的前n 项和)1(4+=n n T n

14、（2010陕西卷）

解 （Ⅰ）由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得

121d +＝1812d

d

++， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n . (Ⅱ)由（Ⅰ）知2

m

a =2n ，由等比数列前n 项和公式得

S m =2+22

+23

+ (2)

=2(12)12

n --=2n+1

-2.、

15、（2010重庆卷）

16、（2010北京卷）

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 。

因为366,0a a =-= 所以1126

50

a d a d +=-??+=? 解得110,2a d =-=

所以10(1)2212n a n n =-+-?=-

（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-

所以824q -=- 即q =3

所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)

4(13)1n n n b q S q

-=

=-- 17、（2010浙江卷）

解：(Ⅰ)由题意知S 0=

5

-15

S -3,a =S -S =-8 所以11

105,58.Sa d a d +=??-=-?解得a 1=7所以S =-3,a 1=7

(Ⅱ)因为SS +15=0,所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 12+9da 1+10d 2+1=0. 故(4a 1+9d )2=d 2-8. 所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤

18、（2010四川卷）

Ⅱ）由（Ⅰ）得解答可得，1

n n b n q -=，于是

0121

123n n S q q q n q -=+++

+．

若1q ≠，将上式两边同乘以q 有

()121121n n

n qS q q n q n q -=+++-+．

两式相减得到

()121

11n n n q S n q q q q --=-----

11n n

q nq q -=-

- ()1

11

1n n nq n q q +-++=-．

于是

()()

12

11

1n n n nq n q S q +-++=

-．

若1q =，则

()11232n n n S n +=+++

+=

．

所以，()

()()()()1

21,1,211,1.1n n n n n q S nq n q q q ++?=?

?=?-++?≠?-?…………………………………（12分）

19、（2010上海卷）

解：由*

585,n n S n a n N =--∈ （1）

可得：1111585a S a ==--，即114a =-。

同时 11(1)585n n S n a ++=+-- （2） 从而由(2)(1)-可得：1115()n n n a a a ++=--

即：*15

1(1),6

n n a a n N +-=

-∈，从而{1}n a -为等比数列，首项1115a -=-，公比为56，

通项公式为15115*()6n n a --=-，从而1

515*()16

n n a -=-+

20、（2009辽宁卷）

解：（Ⅰ）依题意有

)(2)(2

111111q a q a a q a a a ++=++ 由于 01≠a ，故

022=+q q 又0≠q ，从而

21

－

=q

（Ⅱ）由已知可得3212

1

1=--）（a a

故41=a

从而）

）（（）

（）

）（（n n

n 211382112114--=----=S

空间几何答案

25.【2012高考广东理18】【答案】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面

垂直的证明、二面角的求解等问题，考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力. 【解析】（1）PC ⊥平面BDE ，BD ?面BDE BD PC ?⊥ PA ⊥平面ABCD ，BD ?面ABCD BD PA ?⊥ 又PA PC P BD =?⊥面PAC

（2）AC BD O =由（1）得：B D A C A B ⊥?=，1,22PA AD AB ==?=，

PC ⊥平面,BDE BF PC OF PC ?⊥⊥BFO ?∠是二面角B PC A --的平面角

在PBC

?中

，2,3903

BP BC PB BC PC PBC BE PC ο?===?∠=?=

=

在

BOF

?中

，

tan 33BO

BO OE BFO OF

===?∠==

得：二面角B PC A --的正切值为3

26.【2012高考辽宁理18】【命题意图】本题主要考查线面平行的判定、二面角的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，是容易题. 【解析】（1）连结','AB AC ，由已知=90,=BAC AB AC ∠? 三棱柱-'''ABC ABC 为直三棱柱， 所以M 为'AB 中点.又因为N 为''BC 中点 所以//'MN AC ，又MN ?平面''AACC

'AC ?平面''AACC ，因此//''MN AACC

平面 ……6分 （2）以A 为坐标原点，分别以直线,,'AB AC AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系-O xyz ，如图所示 设'=1,AA 则==AB AC λ， 于

是

()()()()()()0,

A B λλ

， 所以1,0,,,,12222M N λλλ????

? ?????

，设()111=,,m x y z 是平面'AMN 的法向量，

由'=0,=0m A M m MN ?????得11111-=0221+=022

x z y z λ

λ??

?????，可取()=1,-1,m λ

设()222=,,n x y z 是平面MNC 的法向量，

由=0,=0n NC n MN ?????得222

22

-+-=0221+=022

x y z y z λλλ???????，可取()=-3,-1,n λ

因为'--A MN C 为直二面角，所以()()2=0,-3+-1-1+=0m n λ?即

，解得λ……12分

27.【2012高考湖北理19】【答案】（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△ABC 中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-．

由AD BC ⊥，45ACB ∠=知，△ADC 为等腰直角三角形，所以3AD CD x ==-. 由折起前AD BC ⊥知，折起后（如图2），A D D C

⊥，AD BD ⊥，且BD D C D =， 所以AD ⊥平面BCD ．又90BDC ∠=，所以11

(3)22

BCD S BD CD x x ?=?=-．于是

1111

(3)(3)2(3)(3)33212

A BCD BCD V AD S x x x x x x -?=?=-?-=?--

3

12(3)(3)21233x x x +-+-??≤=????

， 当且仅当23x x =-，即1x =时，等号成立，

故当1x =，即1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大． 解法2：

同解法1，得321111

(3)(3)(69)3326

A BCD BCD V AD S x x x x x x -?=?=-?-=-+．

令321()(69)6f x x x x =-+，由1

()(1)(3)02

f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =．

当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<． 所以当1x =时，()f x 取得最大值．

故当1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大． （Ⅱ）解法1：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -．

由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1BD =，2AD CD ==．

于是可得(0,0,0)D ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)A ，(0,1,1)M ，1

(,1,0)2E ，

且(1,1,1)BM =-．

设(0,,0)N λ，则1

(,1,0)2

EN λ=--. 因为EN BM ⊥等价于0EN BM ?=，即

11

(,1,0)(1,1,1)1022

λλ--?-=+-=，故12λ=，1(0,,0)2N .

所以当1

2DN =（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥．

设平面BMN 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由,

,BN BM ?⊥??⊥??n n 及1(1,,0)2BN =-，

得2,

.y x z x =??=-?

可取(1,2,1)=-n ．

设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由11

(,,0)22

EN =--，(1,2,1)=-n ，可得

1

|1|

sin cos(90)

||||

EN

EN

θθ

--

?

=-===

?

n

n

60

θ=．

28.【2012高考新课标理19】【答案】（1）在Rt DAC

?中，AD AC

=

得：45

ADC?

∠=

同理：

111

4590

A DC CDC

??

∠=?∠=

得：

111

,

DC DC DC BD DC

⊥⊥?⊥面

1

BCD DC BC

?⊥

（2）

11

,

DC BC CC BC BC

⊥⊥?⊥面

11

ACC A BC AC

?⊥

取

11

A B的中点O，过点O作OH BD

⊥于点H，连接

11

,

C O C H

111111

A C

B

C C O A B

=?⊥，面

111

A B C⊥面

1

A BD

1

C O

?⊥面

1

A BD

1

O H B D C H B D

⊥?⊥得：点H与点D重合

且

1

C DO

∠是二面角

1

1

C

BD

A-

-的平面角

设

AC a

=，则

12

C O=，

111

230

C D C O C DO?

==?∠=

既二面角

1

1

C

BD

A-

-的大小为30?

29.【2012高考江苏16】【答案】证明：（1）∵

111

ABC A B C

-是直三棱柱，∴

1

CC⊥平面ABC。

又∵AD?平面ABC，∴

1

CC AD

⊥。

又∵

1

AD DE CC DE

⊥?

，，平面

111

BCC B CC DE E

=

，，∴AD⊥平

面

11

BCC B。

又∵AD?平面ADE，∴平面ADE⊥平面

11

BCC B。

（2）∵

1111

A B AC

=，F为

11

B C的中点，∴

111

A F

B C

⊥。

又∵

1

CC⊥平面

111

A B C，且

1

A F?平面

111

A B C，∴

11

CC A F

⊥。

又∵

111

CC B C?

，平面

11

BCC B，

1111

CC B C C

=，∴

1

A F⊥平面

111

A B C。

由（1）知，AD⊥平面

11

BCC B，∴

1

A F∥AD。

又∵AD?平面

1

,

ADE A F?平面ADE，∴直线

1

//

A F平面ADE

30.【2012高考四川理19】[解析]（1）连接OC。由已知，ABC

PC

OCP与平面

为直线

∠

所成的角

设AB 的中点为D ，连接PD 、CD. 因为AB=BC=CA,所以CD ⊥AB.

因为为，所以，PAD PAB APB ??=∠?=∠6090等边三角形， 不妨设PA=2，则OD=1，OP=3,AB=4.

所以CD=23，OC=1312122=+=+CD OD . 在Rt 中，OCP ?tan 1339

13

3=

==

∠OC OP OPC . 故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为arctan 13

39

…………………6分 （2）过D 作DE AP ⊥于E ，连接CE.

由已知可得，CD ⊥平面PAB. 根据三垂线定理可知，CE ⊥PA ，

所以，的平面角——为二面角C AP B CED ∠. 由（1）知，DE=3 在Rt △CDE 中，tan 2==

∠DE

CD

CED 故2arctan 的大小为——二面角C AP B ……………………………12分

31.【2012高考福建理18】解答：

（Ⅰ）长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA 得：1111111111,,AD A D AD A B A D

A B A A D ⊥⊥=?⊥面11A B CD

1B E ?面11A B CD 11B E AD ?⊥

（Ⅱ）取1AA 的中点为P ，1AB 中点为Q ，连接PQ 在11AA B ?中，111111

//,////////22

PQ A B DE A B PQ DE PD QE PD ???面AE B 1

此时111

22

AP AA == （Ⅲ）设11A D

AD O =，连接AO ，过点O 作1OH B E ⊥于点H ，连接AH

1AO ⊥面11A B CD ，1O H B E ⊥1A H B E

?⊥

得：AHO ∠是二面角11A E B A --的平面角30AHO ο

?∠= 在Rt AOH ?

中，30,90,2AHO AOH AH OH ο

ο

∠=∠==?= 在矩形11A B CD

中，1,CD x A D ==

111122

22222228

B OE x x

S x ?=

--?-?=

1222

x =?=

得：2AB =

32.【2012高考北京理16】【答案】解：（1）

CD DE ⊥，1A E DE ⊥

∴DE ⊥平面1

ACD ，

又

1A C ?平面1

ACD ， ∴1A C ⊥DE

又1

AC CD ⊥， ∴1A C ⊥平面BCDE 。

（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，

，(00A ，，，()030B ，

，，()220E -，，

∴(103A B =-，，,()1210A E =--，， 设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，

则1100

A B n A E n ??=???=??

∴3020y x y ?-=??--=??

∴2

z y y x ?=????=-??

∴(12n =-，

又∵(10M -，

∴(10CM =-，

∴cos ||||1CM n CM n θ?=

===?，

∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45?。

（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，

y

C

则(10A P a =-，，，()20DP a =，， 设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，，

则1111020ay x ay ?-=??+=??

∴11

1112

z x ay

?=????=-??

∴(

)136n a =-，。

假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，

则10n n ?=，∴31230a a ++=，612a =-，2a =-，

∵03a <<，∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直。

33.【2012高考浙江理20】【答案】(Ⅰ)如图连接BD ． ∵M ，N 分别为PB ，PD 的中点， ∴在?PBD 中，MN ∥BD ． 又MN ?平面ABCD ， ∴MN ∥平面ABCD ； (Ⅱ)如图建系：

A (0，0，0)，P (0，0

，，M

(，32，0)， N

0，0)，C

3，0)．

设Q (x ，y ，z )

，则(33)(33CQ x y z CP =-

-=-

-，，，

，． ∵(3

)CQ CP λ

λ==

-，

，∴33)Q λ-，． 由0OQ CP OQ CP ⊥?

?=，得：1

3

λ=

． 即：2Q ． 对于平面AMN ：设其法向量为()n a b c =，，． ∵33

(0)=(300)2

AM AN =-

，，，，，．

则

3

001

2

3

00

a

AM n b

b

AN n

c

?

=

?

?

?

??=+=?

??

??=

??

?=

??

?=

=

?

?

?

．

∴

31

(0)

3

n=，，．

同理对于平面AMN

得其法向量为(31

v=，，．

记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为θ，

则

10

cos

n v

n v

θ

?

==

?

．

∴所求二面角A—MN—Q．

34.【2012高考重庆理19】解：（1）由AC BC

=,D为AB的中点，得CD AB

⊥，又1

CD AA

⊥，故

11

CD A ABB

⊥面,所以点C

到平面

11

A ABB的距离为CD=

(2)如图，取

1

D为

11

A B的中点，连结

1

DD,则

111

DD AA CC

∥∥,又由（1）知

11

CD A ABB

⊥面，

故

1

CD A D

⊥

1

CD DD

⊥，所以

11

A DD

∠为所求的二面角

11

A CD C

--的平面角。

因

1

A D为

1

A C在面

11

A ABB上的射影，又已知

11

AB A C

⊥，由三垂线定理的逆定理得11

AB A D

⊥，从而

111

,

A A

B A DA

∠∠都与

1

B AB

∠互余，因此

111

A A

B A DA

∠=∠，所以111

Rt A AD Rt B A A，因此，111

1

AA A B

AD AA

=,即2

11

1

8

AA AD A B

==,

得

1

AA=。

从而

1

A D==

所以，在

11

Rt A DD中，11

11

11

cos

DD AA

A DD

A D A D

===。

35.【2012高考江西理19】解：（1）证明：连接AO，在

1

AOA中，作

1

OE AA

⊥于点E，

因为

11

//

AA BB，得

1

OE BB

⊥,

因为

1

AO⊥平面ABC，所以

1

A O BC

⊥,因为,

AB AC OB OC

==,

得AO BC

⊥,所以BC⊥平面

1

AA O,所以BC OE

⊥,

所以OE ⊥平面11BB C C ,

又11,AO AA =

==

得21AO AE AA ==

(2)如图所示，分别以1,,OA OB OA 所在的直线

为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), C(0,-2,0), A 1(0.0,2),B(0,2,0) 由（1）可知115

AE AA =

得点E 的坐标为42

(,0,)55，由（1）可知平面11BB C C 的法向量是

42

(,0,)55

，设平面11A B C 的法向量(,,)n x y z =， 由100

n AB n A C ??=???=??，得200x y y z -+=??+=?，令1y =，得2,1x z ==-，即(2,1,1)n =-

所以30

cos ,||||OE n OE n OE n ?<>=

=

?即平面平面11A B C 与平面BB 1C 1C 。 36.【2012高考安徽理18】（【解析】(综合法)

（I ）取11,BC B C 的中点为点1,O O ，连接1111,,,AO OO AO AO ，

则AB AC AO BC =?⊥，面ABC ⊥面11BB C C AO ?⊥面11BB C C ， 同理：11A O ⊥面11BB C C 得：1111//,,,AO AO A O A O ?共面， 又11

,OO BC OO AO O ⊥=?BC ⊥面111AOO A AA BC ?⊥。

（Ⅱ）延长11A O 到D ，使1O D OA = ，得：11////O D OA AD OO ?，

1OO BC ⊥，面111A B C ⊥面11BB C C 1OO ?⊥

面111A

B C ?AD ⊥面111A B C ，

15AA ===。

（Ⅲ）1

1,AO BC AO BC AOA ⊥⊥

?∠是二面角1A BC

A --的平面角。

在11Rt OO A ?中，1A

O ==

=

在1Rt OAA ?中，222

11

11

cos 2AO AO AA AOA AO AO +-∠==?

C 1

x

得：二面角1A BC A --

的余弦值为-

37.【2012高考上海理19】[解]（1）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，

从而CD ⊥PD . ……3分 因为PD=32)22(22

2=+，CD =2，

所以三角形PCD 的面积为323222

1=??.

（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， 则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2, 1)，

)1,2,1(=，)0,22,0(=. ……8 设AE 与BC 的夹角为θ，则

222224

cos ===??BC AE θ，θ=4π. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分 [解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分

在AEF ?中，由EF =2、AF =2、AE =2

知AEF ?是等腰直角三角形， 所以∠AEF =4π.

因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是

4

π ……12分

38.【2012高考全国卷理18】解：设AC

BD O =,以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴

建立空间直角坐标系，则((2),A C P 设

(0,,0),(0,,0),(,,)B a D a E x y z -。

（Ⅰ）证明：由2PE EC =得2(

)33E ， 所以2)PC =-，22(,,)33

BE a =，(0,2,0)BD a =，所以2

2)(

,)033

PC BE a ?=-?=， 2)(0,2,0)0PC BD a ?=-?=。

所以PC BE ⊥,PC BD ⊥，所以PC ⊥平面BED ； （Ⅱ） 设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，又(0,0,2),(2,,0)

AP AB a ==

-，由0,0n AP n AB ?=?=得2

(1,

,0)n a

=，设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，又(2,,0),(2,0,2)B C a C P ==-，由0,0m BC m CP ?=?=，得(1,,m a

=-

，由于二面角A PB C --为90，所以0m n ?=，解得a

y

A

B C

D

P E

F

所以(2,2)PD =-，平面PBC 的法向量为(1,m =-，所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为

||12

||||PD m PD m ?=?，所以PD 与平面PBC 所成角为6π

.

39.【2012高考山东理18】【答案】

（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 为等腰梯形，AB CD ，60DAB ∠=，

所以 120ADC BCD ∠=∠=． 又 CB CD =， 所以 30CDB ∠=

因此 90ADB ∠=，AD BD ⊥， 又 AE BD ⊥，且AE AD A =，,AE AD ?平面AED ，

所以 BD ⊥平面AED ．

（Ⅱ）解法一：

由（I ）知AD BD ⊥，所以AC BC ⊥，又FC ⊥平面ABCD ，

因此 ,,CA CB CF 两两垂直．以C 为坐标原点，分别以,,CA CB CF 所在

的直

线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，不妨设1CB =，则，

(0,0,0)C ，(0,1,0)B ，1(,,0)2

D -，(0,0,1)F ，

因此 33(,,0)2

BD =-，(0,1,1)BF =-． 设平面BDF 的一个法向量为(,,)x y z =m ， 则 0BD =?m ，0BF =?m ，

所以 x ==，取1z =， 则 (,1,1)=m ．

又平面BDC 的法向量可以取为(0,0,1)=n ，

所以 cos ,

||||

<>===?m n m n m n

所以二面角F BD C --．

解法二：

取BD 的中点G ，连结,CG FG ，由于CB CD =，

所以CG BD ⊥．

又FC ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，

所以FC BD ⊥．

由于FC

CG C =，,FC CG ?平面FCG ，

所以BD ⊥平面FCG ，故BD FG ⊥．

所以FGC ∠为二面角F BD C --的平面角．

在等腰三角形BCD 中，由于120BCD ∠=， 因此12

CG CB =，又CB CF =，

所以CF ==，

故 cos FGC ∠=,因此 二面角F BD C --

40.【2012高考湖南理18】【答案】解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC ，由AB=4，3BC =，

90 5.ABC AC ∠==,得

5,AD =又Ｅ是ＣＤ的中点，所以.CD AE ⊥

,,PA ABCD CD ABCD ⊥?平面平面所以.PA CD ⊥

而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接

由（Ⅰ）CD ⊥平面PAE 知，ＢＧ⊥平面PAE.于是BPF ∠为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BG AE ⊥.

由PA ABCD ⊥平面知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.

4,2,,AB AG BG AF ==⊥由题意，知,PBA BPF ∠=∠

因为sin ,sin ,PA BF PBA BPF PB PB

∠=

∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知，又所以四边形BCDG 是平行四边形，故 3.GD BC ==于是 2.AG =

在Rt ΔBAG 中，4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以

2

AB BG BF BG =====

于是PA BF ==

又梯形ABCD 的面积为1

(53)416,2

S =

?+?=所以四棱锥P ABCD -的体积为

111633V S PA =

??=?=

解法2：如图（2），以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为：

(4,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0,).A B C D E P h

（Ⅰ）易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==因为

8800,0,CD AE CD AP ?=-++=?=所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE

内的两条相交直线，所以.CD PAE ⊥平面

(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，,CD AP 分别是PAE 平面，ABCD 平面的法向量，而PB 与

PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等，所以

cos ,cos ,.CD PB PA PB CD PB PA PB CD PB

PA PB

??<>=<>=

??,即

由（Ⅰ）知，(4,2,0),(0,0,

),CD AP h =-=

-由(4,0,),PB h =-故

=

解得h

=

. 又梯形ABCD 的面积为

1

(53)4162

S =

?+?=，所以四棱锥P ABCD -的体积为 111633V S PA =

??=?=.

41.【2012高考天津理17】【答案】（1）以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz -

则11

(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22

D C B P -（lby lfx ） (0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=?=?⊥ （2）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =

则0

202200

n PC y z y z x y x z n CD ?=-==????????-===???? 取1(1,2,1)z n =?=

(2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量 630

cos ,sin ,6AD n AD n AD n AD n

<>=

=

?<

>= 得：二面角A PC D -- （3）设[0,2]AE h =∈；则(0,0,2)AE =，11(,,),(2,1,0)22

BE h CD =-=-

c o s

,2

10

B E C

D B

E C D h B E C D

<>=?

=

?= 即10AE =