(完整版)《实变函数》考试说明解读

《实变函数》考试说明

近世代数是广播电视大学数学专业（本科）的一门重要的专业基础课，本期近世代数期末考试内容是教材《实变函数》的内容。试题有填空题、证明题，试题的难易程度和教材《实变函数》的习题相当。希望同学们在期末复习时，做好教材《实变函数》中的每章的习题。

第一章集合

一提要

第一节集合及其运算。

第二节映射及其基数。

第三节可列集

第四节不可列集

二教学要求

1）理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。

2）掌握集之间的交、差、余运算。

3）掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。

4）理解集列的收敛、单调集列的概念。

5）掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。

6）理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。

7）理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，

理解不存在最大基数的定理的意义。

第二章点集

一．提要

第一节聚点、内点、界点等概念

第二节开集、闭集、完备集。

第三节直线上的开集、闭集及完备集的构造。

第四节点集间的距离

第五节康托集及其性质

二．基本要求

1）明了n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。

2）理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。

3）理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。

4）理解直线上开集、闭集、完备集的构造。

5）理解康托集的构造、特性。

第三章勒贝格测度论

一．提要

第一节勒贝格外测度及其内测度。

第二节勒贝格可测集及其性质。

第三节勒贝格可测集的构造。

二．基本要求

1）理解测度的意义。

2）理解外测度的意义，掌握其有关性质。

3）理解可测集的定义，掌握可测集的性质。

4）了解并掌握不可测集的存在性这一结论。

第四章勒贝格可测函数

一．提要

第一节点集上和函数。

第二节勒贝格右测函数。

3）可测函数列的收敛性。

4）可测函数的构造。

二．基本要求

1）掌握可测函数的定义及等价定义。

2）掌握可测函数的有关性质。

3）理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。

4）掌握可测函数列的收敛点集和发散点集的表示方法。

5）掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。

6）理解依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与a·e收敛的联系与区别。

第五章勒贝格积分论

一．提要

第一节测度有限集合上的有界函数的积分。

第二节有界函数积分的初等性质。

第三节一般可测集上的一般函数的积分。

第四节积分极限定理。

第五节积空间与富比尼定理。

第六节微分也不积分。

二．基本要求

1）了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处连续（不要求掌握证明）。

2）理解勒贝格积分的定义及其建立过程。

3）理解R积分与L积分的关系。

4）理解L积分的性质，特别是掌握L积分的绝对可积性和绝对连续性。

5）掌握勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积分定理、积分的可数可加性定理，法都引理。

6）掌握富比尼定理（不证）。

7）理解有界变差函数及全变差的定义，掌握其性质。

8）理解Vitali复盖的意义。

9）理解有界变差函数的导数性质，了解Q函数的构造和性质。

10）理解不定积分与绝对连续函数的意义，掌握其性质。