特殊角的三角函数值及计算

特殊角及计算 归纳结果 0° 3０° 45° 60° 90° si ｎＡ cosA ta ｎA c ｏtA

当锐角越来越大时， 的正弦值越来______＿____,的余弦值越来_＿___＿_____。 当锐角α越来越大时， α的正切值越来__＿__＿＿___＿，α的余切值越来___________。 1：求下列各式的值.

(1）cos 2

6０°+sin 2

60°． （2)cos 45sin 45?

?

-t ａn45°．

2:（１)如图（１),在Rt △ＡBC 中，∠Ｃ=90，6,B Ｃ3,求∠A 的度数．

（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3,求a.

一、应用新知:

1。（1）(ｓi ｎ60°－tan30°)cos45°= 。（2)若0sin 23=-α，则锐角α＝ ．

2。在△ＡB Ｃ中，∠Ａ=７5°，2c ｏsB=2,则ta ｎC= 。

３。求下列各式的值．

（１）o 45cos 230sin 2-? （2）ta ｎ３０°-si ｎ

60°·ｓｉｎ３0°

（3)c ｏｓ45°+3t ａn30°+c ｏs30°＋2sin ６0°—2ｔａn4

５°

（4)?+?+?

+?-

?45sin 30cos 30tan 1

30sin 145cos 222

4。求适合下列条件的锐角.

（１）2

1

cos =α??（2)33tan =α

(3)2

2

2sin =

α? （４）33)16cos(6=- α

(5） （6）

６。如图,在△ABC 中，已知ＢC ＝１+ ,∠Ｂ=60°,∠C=４5°，求AB 的长。

７．在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ,则△ABC 的

形状是_＿____＿＿________.

|tanB-3|+(2sinA-3)2=002sin 2=-α01tan 3=-α

3

8。 在△ＡBC 中，∠C=9０°,si ｎＡ= ,则c ｏs Ｂ=＿_＿_＿__，ta ｎB ＝___＿___

９。已知α为锐角，且ｓi ｎα=5

3

,则sin （90°—α）＝＿

二、选择题．

1．已知:R ｔ△A ＢC 中，∠C=90°,cosA=＼ｆ(3，5） ,AB=15,则ＡC 的长是( )。 A ．3 B.６ Ｃ．9 D ．12 ２。计算2sin ３0°-2cos60°+tan4５°的结果是（ ）． A 。2 32 D ．1 ３.已知∠A 为锐角，且ｃｏsA ≤错误!，那么（ ）

Ａ．0°〈∠A ≤60°Ｂ。６0°≤∠A 〈9０° C.０°<∠A ≤３０°D ．30°≤∠A ＜９0°

4．在△A ＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ都是锐角，且s ｉn Ａ＝错误!，ｃo ｓＢ=错误!，则△AB Ｃ的形状是（ ）

Ａ.直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形 D 。不能确定 ５．如图Ｒｔ△A ＢC 中，∠ＡCB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=３,A Ｃ=4,设∠B ＣＤ=ａ，则tanA?的值为( ）。

A ．34

B 。43 C.35 D ．4

5 6．在△ABC 中,三边之比为a ：b ：ｃ32,则sin Ａ+tanA 等于（ ）． A 。

323

1

3331.3.

62

2

2B C D +

７．若（错误!tanA-３）2

+│2ｃosB-错误!│=0，则△ABC( ）． Ａ。是直角三角形 B 。是等边三角形

C.是含有60°的任意三角形 D ．是顶角为钝角的等腰三角形 三、填空题。

1。已知,等腰△ABC?的腰长为4错误!,?底为30?°,?则底边上的高为＿____，?周长为__＿．

2。在Rt △AB Ｃ中，∠Ｃ=90°,已知t ａnB=错误!,则co ｓA=_＿＿__＿__． ３．已知:α是锐角,tan α＝7

24

，则ｓi ｎα=_____，cos α＝_______ 四、计算： (5)

sin 45cos3032cos 60?+?

-?－ｓｉn ６0°（1-si ｎ30°)．(6）

sin 45tan 30tan 60?

?-?

+cos45°·cos30°

（7)1

12)4cos30|3-??

++- ???

° (８）2cos602sin 302??-；

◆拓展训练

在Ｒt △AB Ｃ中，∠Ｃ=90°，∠A ，∠B,∠C 的对边分别为a ，ｂ，c ，?根据勾股定理有公式a 2

+b ２

=c 2

,根据三角函数的概念有ｓin Ａ=

a c

，cosA ＝b c ,s ｉn 2

A ＋

cos 2

A=2222222

a b a b c c c ++==1，sin cos A A =a c ÷b c =a b

＝t ａnA,?其中s ｉn 2A+cos 2

A ＝1，sin cos A A

=tanA 可作为公式来用。例如，△AB Ｃ中,∠C=90°，si ｎA ＝4

5，求ｃo ｓA,ta

ｎA 的值。

(完整版)三角函数特殊角值表

角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan √3/3 1 √3 -√3 -1 -√3/3 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 2、列表法： 说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 1 22 23 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3

三角函数特殊角值表

三角函数特殊值 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°= 21 sin45°=cos45°=2 2 tan30°=cot60°=3 3 tan 45°=cot45°=1 2 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3

说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 3 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 巧记特殊角的三角函数值 初学三角函数，记忆特殊角三角函数值易错易混。若在理解掌握的基础上，经过变形，使其呈现某种规律，再配以歌诀，则可浅显易记，触目成诵。 仔细观察表1，你会发现重要的规律。

特殊角的三角函数值的巧记

特殊角的三角函数值的巧记 特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背． 那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法 根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法． 首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系． 对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、 斜边的比是掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意 一个锐角三角函数值，如：001sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点． 在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三 角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶1 住：00sin 45cos 452 == ，00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义． 二、列表法：

说明：正弦值随角度变化，即0? →30?→45? →60? →90?变化；值从 0→2 1 →22→23→1变化，其余类似记忆． 三、口诀记忆法 口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号， 不能丢掉．如tan60°= =tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记． 四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ． 例1.tan30°的值等于（ ）

与特殊三角函数值有关的计算

与特殊三角函数值有关的计算 满分100分，时间40分钟 姓名_________________ 一．解答题（必须写出详细计算过程！） 1．（2013?漳州5分）计算：|﹣4|﹣+cos30°． 2．（2013?雅安5分）（1）计算：8+|﹣2|﹣4sin45°﹣ 3．（2013?铜仁地区8分）（1）计算（﹣1）2013+2sin60°+（π﹣3.14）0+|﹣|； 4．（2013?沈阳10分）计算：． 5．（2013?深圳10分）计算：|﹣|+﹣4sin45°﹣． 6．（2013?钦州10分）计算：|﹣5|+（﹣1）2013+2sin30°﹣． 7．（2013?黔西南州10分）（1）计算：．8．（2013?宁夏10分）计算：．

9．（2013?盘锦10分）先化简，再求值：，其中． 10．（12分）△ABC是锐角三角形，BC=6，面积为12，点P在AB上，点Q在AC上，如图所示，正方形PQRS（RS 与A在PQ的异侧）的边长为x，正方形PQRS与△ABC公共部分的面积为y． （1）当RS落在BC上时，求x； （2）当RS不落在BC上时，求y与x的函数关系式； （3）求公共部分面积的最大值． 11．（2013?湛江10分）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题： sin30°=，cos30°=，则sin230°+cos230°=_________；① sin45°=，cos45°=，则sin245°+cos245°=_________；② sin60°=，cos60°=，则sin260°+cos260°=_________．③ … 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=_________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想； （2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=，求cosA．

5.2特殊角的三角函数值的计算(2015年)

1. (2015 内蒙古兴安盟) 计算：2sin45°+（﹣2）2﹣ +（2015﹣π）0 ． 答案：解：原式=2× +4﹣+1=5． 2. (2015 黑龙江省绥化市) 先化简 ，再求值。x x x x x x x 444122x 22-÷?? ? ??+----+ ， 其中 x =tan 600+2。 答案：解：原式=[﹣ ]?=?=?=， 当x=tan60°+2= +2时，原式=． 3. (2015 四川省南充市) 计算 的结果是＿＿＿＿＿． 答案：答案 解析

试题分析：首先根据二次根式和三角函数求出各式的值，然后进行计算.原式=2－2×=. 4. (2015 山东省淄博市) 若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60° 答案： 分析：先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°． 解答：解：∵α是锐角， ∴cosα＞0， ∵cosα＜， ∴0＜cosα＜， 又∵cos90°=0，cos45°=， ∴45°＜α＜90°； ∵α是锐角， ∴tanα＞0， ∵tanα＜， ∴0＜tanα＜， 又∵tan0°=0，tan60°=， 0＜α＜60°； 故45°＜α＜60°． 故选B． 点评：本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 5. (2015 江苏省无锡市) tan45o的值为（） A．1 2 B．1 C． 2 2 D． 2

特殊角的三角函数值及计算

特殊角及计算 归纳结果 0° 3０° 45° 60° 90° si ｎＡ cosA ta ｎA c ｏtA 当锐角越来越大时， 的正弦值越来______＿____,的余弦值越来_＿___＿_____。 当锐角α越来越大时， α的正切值越来__＿__＿＿___＿，α的余切值越来___________。 1：求下列各式的值. (1）cos 2 6０°+sin 2 60°． （2)cos 45sin 45? ? -t ａn45°． 2:（１)如图（１),在Rt △ＡBC 中，∠Ｃ=90，6,B Ｃ3,求∠A 的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3,求a. 一、应用新知: 1。（1）(ｓi ｎ60°－tan30°)cos45°= 。（2)若0sin 23=-α，则锐角α＝ ． 2。在△ＡB Ｃ中，∠Ａ=７5°，2c ｏsB=2,则ta ｎC= 。

３。求下列各式的值． （１）o 45cos 230sin 2-? （2）ta ｎ３０°-si ｎ 60°·ｓｉｎ３0° （3)c ｏｓ45°+3t ａn30°+c ｏs30°＋2sin ６0°—2ｔａn4 ５° （4)?+?+? +?- ?45sin 30cos 30tan 1 30sin 145cos 222 4。求适合下列条件的锐角. （１）2 1 cos =α??（2)33tan =α (3)2 2 2sin = α? （４）33)16cos(6=- α (5） （6） ６。如图,在△ABC 中，已知ＢC ＝１+ ,∠Ｂ=60°,∠C=４5°，求AB 的长。 ７．在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ,则△ABC 的 形状是_＿____＿＿________. |tanB-3|+(2sinA-3)2=002sin 2=-α01tan 3=-α 3

特殊角的三角函数值及计算

特殊角及计算 归纳结果 0° 30° 45° 60° 90° sinA cosA tanA cotA 当锐角越来越大时, 的正弦值越来___________，的余弦值越来___________. 当锐角α越来越大时, α的正切值越来___________，α的余切值越来___________. 1：求下列各式的值． （1）cos 2 60°+sin 2 60°． （2）cos 45sin 45? ? -tan45°． 2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，6，3A 的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3a ． 一、应用新知： 1.（1）（sin60°-tan30°）cos45°= .(2)若0sin 23=-α，则锐角α= . 2.在△ABC 中，∠A=75°，2cosB=2，则tanC= . 3．求下列各式的值．

(1)o 45cos 230sin 2-? (2)tan30°－sin60°·sin30° (3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45° (4)?+?+? +?- ?45sin 30cos 30tan 1 30sin 145cos 222 4．求适合下列条件的锐角． (1)2 1cos =α (2)3 3tan = α (3)2 22sin = α (4)33)16cos(6=- α （5） （6） 6．如图，在△ABC 中，已知BC=1+ ，∠B=60°，∠C=45°，求AB 的长. 7.在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ，则△ABC 的 形状是________________. 8. 在△ABC 中，∠C=90°,sinA= ,则cosB=_______,tanB=_______ 9.已知α为锐角，且sin α=5 3 ,则sin(90°-α)=_ 二、选择题． |tanB-3|+(2sinA-3)2=002sin 2=-α0 1tan 3=-α3

特殊三角函数值的计算

特殊三角函数值的计算一．选择题（共10小题） 1．2cos60°=（） A．1 B ．C ．D ． 2．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA=1， sinB=，你认为△ABC最确切的判断是（） A．等腰三角形B．等腰直角三角形 C．直角三角形D．锐角三角形 3．tan45°sin45°﹣2sin30°cos45°+tan30°=（） A ． B ． C ． D ． 4．=（） A ． B ． C ．D．1 5．cos60°+tan45°的值等于（） A ． B ． C ．D．1 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则sinB的值为（） A ． B ． C ． D ． 7．在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么∠B的度数为（） A．60°B．45°C．30°D．30°或60° 8．在△ABC中，若|sinA ﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105° 9．如果α是锐角，且sinα=，那么cos（90°﹣α）的值为（） A ． B ． C ． D ． 10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（） A ． B ． C ．D．3 二．填空题（共10小题） 11．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=． 12．在△ABC中，若|sinA ﹣|+（cosB ﹣）2=0，则∠C的度数是．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA=． 14．计算：2sin245°﹣tan45°=． 15．计算：3tan30°+sin45°=． 16．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=，则α等于度． 17．已知α为锐角，且满足tan（α+10°）=1，则α为度．18．△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA+cosA=． 19．已知：tanx=2，则=． 20．若α为锐角，且sinα+cosα=，则sinα?cosα=． 三．解答题（共15小题） 21．计算.2cos60°+4sin60°?tan30°﹣cos245°

人教版九年级下册数学学案：28.1特殊角的三角函数值及计算

特殊角的三角函数值及计算 【学习目标】: 1、会求出30°、45°、60°角的三角函数值。并能简单运算。 2、在学习中渗透普遍存在的相互联系、相互转化观点，逐步培养学生观察、分析、比较、概括的思维能力。 3、感受推理的合理性，养成科学的学习态度。 学习重点：推导并熟记特殊角30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。 学习难点：会用特殊角的三角函数值进行计算。 预习 一．学法指导： 1、旧知链接：如图在 Rt △ABC 中，∠C=90°。（1）a 、b 、c 三者之间的关系是 ，∠A+∠B= 。 （2）sinA= c a ，cosA= tanA= ; sinB= ， cosB= ， tanB= 。 （3）若A=30°，则c a = __ 。 （4）sinA 和cosB 有什么关系?____________________； 2、新知预习 : ① 独立阅读课本90-91页本节内容， 对重点内容做好圈点勾画。 ②结合课本的基础知识和例题，完成相关练习。 二：预习检测： （1）sin60°--tan45°=__________ （2）cos60°+tan60°=__________ 探究 探究一：推导特殊角的三角函数 值 [问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? 请 用逻辑推理的办法证明在直角三角形中，如果一个锐角 等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 [问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢? cot30°呢？ [问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?请完成下表： ★学法指导：： （1）图形记忆（2）列表记忆（3）规律记忆 观察上表，我们是否发现，对于同名三角函数，当 角度发生变化时，函数值有什么变化？ 例1：求下列各式的值． （1）sin30°+cos45° (2)sin 260°+cos 260°-tan45° （3） -tan45° 拓展1： 探究二：利用特殊角的三角函数值求角。 例2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，AB=6，BC=3， 求∠A 的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍，求α． 拓展2：已知锐角A ，且sinA 是方程 的根，试求锐角A 的度数。 ★ 学法指导：由三角函数值求角，主要是根据特殊角的 三角函数值求角，需要记忆30°、45°、60°角的四个三角函数值。 补充练习： 1、若cos α=sin300，α为锐角，则tan α=_________。 2、已知∠A 是锐角，若2cos （A+100）=3，则∠A=______。 3、点M （tan600，－cos600）关于x 轴的对称点N’的坐标是（ ） A 、（－3，21） B 、（3，21） C 、（3，－21） D 、（－3，－2 1 ） 4、计算： （1）1 30sin 560cos 30 0- （2）0 045cos 360sin 2+ （3）??-?30cos 30sin 260sin cos 45sin 45? ? 30° 45° 60° sin α cos α tan α cot α ┌ ┌ 300 600 450 450 4 24)60sin 45(2c 2)1(0 0+-os 100)41(45cos 2118)2(-+---）（π03)31(242=++-x x

特殊三角函数值的求法

日期：2016年11月 在网格中求锐角三角函数的特殊方法 单位：迁安市第三初级中学 编者：张俊萍 审核领导:

1、直角三角形在正方形纸中的位置如图，= sina= cosa= tan 熟记锐角三角函数定义。2.直接根据定义求三角函数值，首先求出相应边的长度，然后代入三角函数公式计算即可。 2题图1题图1 a 则温馨提示：1. 【自学案】 认真读题，理解题意，分析图形。学法指导】：1.【独立思考，解决问题。 2. 与对子进 行交流。 3. 4.学习成果展示。仁 、如图所示，正方形中，tan / 2\2 1 4X 4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点, 2、（2016 ?湖北荆州） Vs 1 2

AOB= /的位置如图所示，则cos3、在正方形中，/ AOBB= /的位置如图所示，则cos4、在正方形中, △ ABC

题图3题图4 5、如图所示，△ ABC 的顶点是正方形网格的格点，贝U sinA 的值为 、 4 * ①I I 1 I k J * * 1 V / ? / ? * B / ? A 8 ? f ? 甲 ■ / f! ■ P | * A L / i G a ? V - ---------- . - r 丄..h * _ ABC 如图放置，则sinB 的值为6、在中，△

5题图题图6 已知福州（2016）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.7、ABC 都在格点上，则，O菱形的一个角（/）为60°，AB C tan / O 题图7 的值是

【探究案】：首先要独立思考，试着解答问题，然后与对子交流，讨论后回答。学法指导】 【sinB的值为问题：在正方形网格中，△ ABC如图放置，则

特殊角的三角函数值及计算

特殊角及计算 0° 30° 45° 60° 90° sinA cosA tanA cotA 当锐角α越来越大时, α的正弦值越来___________，α的余弦值越来___________. 当锐角α越来越大时, α的正切值越来___________，α的余切值越来___________. 1：求下列各式的值． （1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45? ? -tan45°． 2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，6，3，求∠A 的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3倍，求a ． 一、应用新知： 1.（1）（sin60°-tan30°）cos45°= .(2)若0sin 23=-α，则锐角α= . 2.在△ABC 中，∠A=75°，2cosB=2，则tanC= .

3．求下列各式的值． (1)o 45cos 230sin 2-? (2)tan30°－sin60°·sin30° (3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45° (4)?+?+? +?-?45sin 30cos 30tan 1 30sin 145cos 222 4．求适合下列条件的锐角． (1)2 1cos =α (2)3 3tan = α (3)2 22sin = α (4)33)16cos(6=-οα （5） （6） 6．如图，在△ABC 中，已知BC=1+ ，∠B=60°，∠C=45°，求AB 的长. 7.在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ，则△ABC 的 |tanB-3|+(2sinA-3)2 =002sin 2=-α0 1tan 3=-α3

特殊角的三角函数值——典型例题

作业： 归纳结果 0° 30° 45° 60° 90° sinA cosA tanA cotA 当锐角α越来越大时, α的正弦值越来___________，α的余弦值越来___________. 当锐角α越来越大时, α的正切值越来___________，α的余切值越来___________. 1：求下列各式的值． （1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45? ? -tan45°． 2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，AB=6，BC=3，求∠A 的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍，求a ． 一、应用新知： 1.（1）（sin60°-tan30°）cos45°= .(2)若0sin 23=-α，则锐角α= . 2.在△ABC 中，∠A=75°，2cosB=2，则tanC= . 3．求下列各式的值． (1)o 45cos 230sin 2-? (2)tan30°－sin60°·sin30°

(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45° (4)?+?+? +?- ?45sin 30cos 30tan 1 30sin 145cos 222 4．求适合下列条件的锐角α ． (1)2 1cos =α (2)3 3tan = α (3)222sin = α (4)33)16cos(6=- α （5） （6） 6．如图，在△ABC 中，已知BC=1+ ，∠B=60°，∠C=45°，求AB 的长. 7.在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ，则△ABC 的 形状是________________. 8. 在△ABC 中，∠C=90°,sinA= ,则cosB=_______,tanB=_______ 9.已知α为锐角，且sin α=5 3 ,则sin(90°-α)=_ 二、选择题． 1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=3 5 ，AB=15，则AC 的长是（ ）． A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）． A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 3．已知∠A 为锐角，且cosA ≤1 2 ，那么（ ） A ．0°<∠A ≤60° B ．60°≤∠A<90° C ．0°<∠A ≤30° D ．30°≤∠A<90° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB= 3 2 ，则△ABC 的形状是（ ） |tanB-3|+(2sinA-3)2=002sin 2=-α0 1tan 3=-α3

数学特殊角的锐角三角函数教学设计word版

第3课时特殊角的锐角三角函数 1.掌握30°、45°、60°角的三角函数值，能够用它们进行计算. 2.能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小. 阅读教材P65-67页，自习“探究”、“例3”与“例4”. 自学反馈学生独立完成后集体订正 ①sin30°= ，cos30°= ，tan30°= ，sin45°= ，cos45°= ，tan45°= ，sin60°= ，cos60°= ，tan60°= . ②sinα的值随着角α的增大而，cosα的值随着角α的增大而，tanα的值随着角α的增大而. 这些常用的锐角三角函数值之间也是有规律的，互余的两个锐角的正弦值的平方和为1，互余的两个锐角的余弦值的平方和为1，它们的正切值的积为1. 活动1 小组讨论 例1求下列各式的值： ①cos230°+sin230°；② 45 45 cos sin ? ? -tan60°. 解:①cos230°+sin230°=( 3 2 )2+( 1 2 )2=1. ② 45 45 cos sin ? ? -tan60°= 2 2 ÷ 2 2 -3=1-3. sin230°表示(sin30°)2，即sin30°2sin30°，这类计算只需将三角函数值代入即可. 活动2 跟踪训练(学生独立完成后展示学习成果) 1.计算:①|3-12|+( 6 22 + )0+cos230°-4sin60°；

②2(2cos45°-sin60°)＋24 4 ; ③(sin30°)-1-2 0100+|-43|-tan60°. 2.直线y=kx-4与y轴相交所成的锐角的正切值为1 2 ，则k的值为. 第1题的计算，注意理清运算顺利；第2题可构造直角三角形再运用锐角三角函数的知识解决，注意两种情况. 活动1 小组讨论 例2 如图，在高为2 m，斜坡面与地平面夹角为α的楼梯表面铺地毯，楼梯宽2 m，共需地毯的面积为(43+4)m2,则α为多少度？ 解:由题意可得，BC+AC=434 2 =23+2, ∴AC=23. 在Rt△ABC中,∵tana=BC AC = 2 23 = 3 3 , ∴∠α=30°. 答:α为30度. 此题应该先理解BC+AC的长就是地毯的长度，所以先根据已知地毯的面积和宽求出地毯长，再求出AC的长，然后根据tanA的值得知α的度数. 活动2 跟踪训练(小组内讨论完成并展示小组学习成果) 1.已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值( ) A.m>1 B.m=1 C.m<1 D.m≥1 运用三角形的两边之和大于第三边，可得出分子大于分母，其商必大于1.

三角函数特殊角值表

1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22，tan30°=cot60°=33，tan45°=cot45°=1 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y 2、列表法： 说明：正弦值随角度变化，即0?30?45?60?90?变化；值从0 21222 3 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1；0＜cos α＜1；tan α＞0；cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ；cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜ α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 函数名正弦余弦正切余切正割余割 符号sincostancotseccsc 正弦函数sin （A ）=a/c 余弦函数cos （A ）=b/c 正切函数tan （A ）=a/b 余切函数cot （A ）=b/a 其中a 为对边，b 为邻边，c 为斜边 三角函数对照表 30? 1 2 1 45? 1 1 2 60?

三角函数计算题期末复习(含答案)

一、解答题 1．sin30°+tan60°?cos45°+tan30°． 2．计算：－12016－2tan 60°＋(－)0－. 3．计算：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°． 4．计算： ()222sin30-°()0 π33--+-． 5．计算： 2sin30tan60cos60tan45?-?+?-?． 6．计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（13 ）﹣1． 7．计算： ()0222cos30tan60 3.14π--?+?+-. 8．计算： 2212sin458tan 60-+?-+?． 9．计算： 2sin30°2cos45-°8+． 10．计算： （1）22sin 60cos 60?+?； （2）()2 4cos45tan6081?+?---． 11．计算： ()()103sin4513cos30tan6012 -+-+?--o o o ． 12．求值： +2sin30°－tan60°- tan 45° 13．计算：（sin30°﹣1）2﹣×sin45°+tan60°×cos30°． 14．（1）sin 230°+cos 2 30°+tan30°tan60° （2）o o o o 45cos 30sin 245sin 45tan - 15．计算：﹣4﹣tan60°+|﹣2|． 16．计算：﹣2sin30°+（﹣）﹣1﹣3tan60°+（1﹣）0 +．

18．计算：2cos30°－tan45°－ ()21tan 60+?． 19．（本题满分6分） 计算：1 21292cos603-??-+-+ ???o 20．（本题5分）计算：3-－12+2sin60°+11()3 - 21．计算： ()1 013tan3023122-???+--+- ???． 22．计算：∣–5∣+3sin30°–（–6）2+（tan45°）–1 23．（6分）计算: ()()2122sin303 tan45--+?--+?． 24．计算：()1021cos 603sin 60tan 302π-??-?+--?? ???（6分） 25．计算：2sin45°－tan60°·cos30°． 26．计算：()1 012sin 60320152-??-+?---- ??? ． 27．计算：?+???-45sin 260cos 30tan 8． 28．计算： ()()1 20150 11sin30 3.142π-??-+--+ ???o ． 29．计算：． 30．计算：32sin 453cos602?-?+?+- ． 31．计算：2sin603tan302tan60cos45?+?-??? 32．计算：cos30sin602sin 45tan 45??+???－ ．

特殊角的三角函数值及计算

25.2.2特殊角的三角函数值及计算 姓名： 小组： 评价： 【学习目标】: 1、会求出30°、45°、60°角的三角函数值。并能简单运算。 2、在学习中渗透普遍存在的相互联系、相互转化观点，逐步培养学生观察、分析、比较、概括的思维能力。 3、感受推理的合理性，养成科学的学习态度。 学习重点：推导并熟记特殊角30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。 学习难点：会用特殊角的三角函数值进行计算。 预习 一．学法指导： 1、旧知链接：如图在 Rt △ABC 中，∠C=90°。（1）a 、b 、c 三者之间的关系 是 ，∠A+∠B= 。 （2）sinA= c a ，cosA= tanA= ; sinB= ， cosB= ， tanB= 。 （3）若A=30°，则c a = __ 。 （4）sinA 和cosB 有什么关系?____________________； 2、新知预习 : ① 独立阅读课本90-91页本节内容，对重点内容做好圈点勾画。 ②结合课本的基础知识和例题，完成相关练习。 3、预习检测（课件） 探究 探究一：推导特殊角的三角函数值 [问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?请用逻辑推理的办法证明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 [问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢? cot30°呢？ [问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的? ★学法指导：： （1）图形记忆（2）列表记忆（3）规律记忆 观察上表，我们是否发现，对于同名三角函数，当角度发生变化时，函数值有什么变化？ 例1：求下列各式的值． （1）sin30°+cos45° (2)sin 260°+cos 260°-tan45° （3）cos 45sin 45? ? -tan45° 30° 45° 60° sin α cos α tan α cot α b A B C a ┌c ┌ ┌ 300 600 450 450

特殊角的三角函数值练习题

知识点1 特殊角的三角函数值 1．计算： (1)sin30°＋cos45°； (2)cos30°·tan30°－tan45°； (3)sin 260°＋cos 260° (4) 22 sin45°＋sin60°·cos45°. 知识点2 由三角函数值求特殊角 2．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12 ，则α＝ . 3．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝23，则∠A ＝ ． 4．(邵阳中考)在△ABC 中，若? ?????sinA －12＋(cosB －12)2＝0，则∠C 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 5．如果在△ABC 中，sinA ＝cosB ＝22，那么下列最确切的结论是( ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形 6．在△ABC 中，∠A ＝75°，sinB ＝ 32，则tanC ＝( ) A.33 B. 3 C ．1 D.32 7．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是( ) A ．40° B ．30° C ．20° D ．10° 8．(孝感中考)式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2 的值是( ) A ．23－2 B ．0 C ．2 3 D ．2 9．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC ＝45°，OC ＝2，则点B 的坐标为( ) A ．(2，1) B ．(1，2) C ．(2＋1，1) D ．(1，2＋1) 10．(重庆中考)如图，C 为⊙O 外一点，CA 与⊙O 相切，切点为A ，AB 为⊙O 的直径，连接CB.若⊙O 的半径为2，∠ABC ＝60°，则BC ＝ ． 11．若a ＝3－tan60°，求(1－2a －1)÷a 2－6a ＋9a －1 的值。

特殊角三角函数值表

特殊角三角函数值表： 函数名 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有 正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y 正弦（sin）:角α的对边比斜边余弦（cos）:角α的邻边比斜边 正切（tan）:角α的对边比邻边余切（cot）:角α的邻边比对边 特殊函数人倒数关系: tanα ?cotα=1sinα ?cscα=1cosα ?secα=1特殊函数人商数关系:tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα 特殊函数人平方关系：sinα2+cosα2=11+tanα2=secα21+cotα=cscα2 以下关系，函数名不变，符号看象限 sin（π+α）=-sinα cos（π+α）=-cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα sin（π－α）=sinα cos（π－α）=-cosα tan（π－α）=-tanα cot（π－α）=-cotα sin（2π－α）=-sinα cos（2π－α）=cosα tan（2π－α）=-tanα cot（2π－α）=-cotα 以下关系，奇变偶不变，符号看象限 sin（90°-α）=cosα cos（90°-α）=sinα tan（90°-α）=cotα cot（90°-α）=tanα sin（90°+α）=cosα cos（90°+α）=sinα tan（90°+α）=-cotαcot（90°+α）=-tanα 特殊三角函数人积化和差的关系： sinα ?cosβ=（1/2）*[sin（α+β）+sin（α－β）] cosα ?sinβ=（1/2）*[sin（α+β）－sin（α－β）] cosα ?cosβ=（1/2）*[cos（α+β）+cos（α－β）] sinα ?sinβ=（1/2）*[cos（α+β）－cos（α－β）] 特殊三角函数 - 和差化积公式 sinα+sinβ=2*[sin(α+β)/2]*[cos(α-β)/2] sinα-sinβ=2*[cos(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]

28.1.3特殊角的三角函数值20201115103044.doc

28.1.3特殊角的三角函数值 一、教学目标 (一)知识与技能 熟记 30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角 的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，(二 )过程与方法 逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力． (三)情感态度与价值观 渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点． 二、重、难点 重点：熟记特殊角的三角函数值． 难点：熟练应用特殊角的三角函数值 三、教学过程 让每个学生画含 30 °、 45 °的直角三角形，分别求sin30 °、 sin45 °、 sin60 °和 cos30 °、 cos45 °、 cos60 °．这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻． 例 1求下列各式的值：

为了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题： (1)sin45 °+cos45 ；(2)sin30 °· cos60 °； 在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的正弦和余弦值，猜测一下，sin20 °大概在什么范围内， cos50 °呢？”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神．还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小．”为查正余弦表作准备． 三角函数 /0 °/30 °/45 °/60 °/90 ° 三角函 30456090 数 sin A 0 1 2 3 1 2 2 2 cos A 1 3 2 1 0 2 2 2 tanA cotA 请同学推算 30°、45°、60°角的正切、余切值． (如图 6-11)

三角函数特殊角值表

三角函数特殊角值表公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]

一、特殊角三角函数值

二、诱导公式 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z） cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z） tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z） 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα 公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα sin（3π/2＋α）＝－cosα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα tan（3π/2－α）＝cotα （以上k∈Z）