高一数学余弦定理公式

正弦、余弦定理 解斜三角形

建构知识网络

1．三角形基本公式：

（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

cos

2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A +

（2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2

1

casinB

S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2

c

b a ++, r 为内切圆半径)

（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===外 证明：由三角形面积

111

sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===

得sin sin sin a b c A B C

==

画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c

R A B C

===

3．余弦定理：a 2

=b 2

+c 2

-2bccosA , 222

cos 2b c a A bc

+-=；

证明：如图ΔABC 中，

sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-

222222

2

2

sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A

=+=+-=+-

当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；

有三种情况：bsinA

（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力

双基题目练练手

B

1．(2006山东)在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,3,13

A a b π

===，则c = （ ）

B.2

C.31-

D.3

2．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）

A.

223 B.233 C.2

3

D.33 3．（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( )

A. 2

85cm B. 2

610cm C. 2

355cm D. 2

20cm

5.（2006全国Ⅱ）已知ABC V 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC 上的中线AD 的长为_________.

6.(2006春上海)在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .

◆答案:; 3.由2cos B sin A =sin C 得ac

b c a 2

22-+×a =c ，∴a =b .

4.组成边长6,7,7时面积最大;

5. 3;

6.

25

7 四、经典例题做一做

【例1】(2006天津)如图，在ABC ?中，2AC =，1BC =，4

3

cos =C ． （1）求AB 的值； （2）求()C A +2sin 的值. 解（Ⅰ）： 由余弦定理，

2

2

2

2..cos AB AC BC AC BC C =+- 3

41221 2.4

=+-???= ∴ 2.AB =

（Ⅱ）解：由3

cos 4C =

，且0,C π<<得 27sin 1cos .C C =-=

由正弦定理:

,sin sin AB BC

C A

= 解得sin 14sin BC C A AB =

=。所以，52

cos A =。由倍角公式

sin 2sin 2cos 16

A A A =?=

， 且2

9

cos 212sin 16

A A =-=

，故 (

)sin 2sin 2cos cos 2sin 8

A C A C A C +=+=

. ◆提炼方法：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.

【例2】在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．

解：由正弦定理得：sinA=23

2

45sin 3sin =

?=οb B a ,因为B=45°<90°且b

(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=

22

645sin 75sin 2sin sin +=?=ο

ο

B C

b , (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=

2

2

645sin 15sin 2sin sin -=

?=ο

ο

B

C

b ◆提炼方法：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论．

【例3】(2006上海)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30ο

，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1?）？

[解] 连接BC,由余弦定理得

BC 2=202+102

－2×20×10COS120°=700

于是

∵

7

10120sin 20sin ?

=ACB , ∴sin∠ACB=73,

∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援

思路点拨:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角

形的方法；

【例4】已知⊙O 的半径为R ，，在它的内接三角形ABC 中，有

(

)(

)

B b a

C A R sin 2sin sin 222-=

-成立，求△ABC 面积S 的最大值．

解：由已知条件得

()()

(

)

b a B

R B A R -=-2sin 2sin sin

222

2

．即有 2222b ab c a -=-，

又 222cos 222=-+=ab c b a C ∴ 4π

=c ．34

A B π+=

∴ B A R ab C ab S sin sin 44

242sin 212?===

222

232sin sin()4

222sin (

cos sin )22

(sin 21cos 2)2[2sin(2)1]24R A A R A A A R

A A R A π

π=-=+=

+-=-+

当32,()4

2

8

A A

B π

π

π-

=

=

=即时, 2

max 212R S +=．

◆思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。

2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．

【研讨.欣赏】

（2006江西）如图,已知△ABC 是边长为1的正三角形, M 、N 分别是边AB 、AC 上的点,线段MN 经过△ABC 的中心G .设2(

)3

3

MGA π

π

αα∠=≤≤

. (1) 试将△AGM 、△AGN 的面积(分别记为1S 与2S )表示为α的函数; (2) 求2212

11y S S =

+的最大值与最小值. 解:

(1)因为G 为边长为1的正三角形ABC 的中心, 所以233,.3236

AG MAG π=

?=∠= 由正弦定理

,sin

sin()

6

6

GM GA π

π

πα=

--3,6sin()

6

GM π

α=

+得

11sin sin ().26(3cot )12sin()6

S GM GA ααπαα=

??==++则或

3,,sin

sin()

6sin()

6

6

6

GN GA GN π

π

π

αα=

=

--又

得

21sin sin()().26(3cot )12sin()6

S GN GA απαπαα=??-==--则或

222

2221211144(2)sin ()sin ()72(3cot ).sin 66y S S ππαααα

??=

+=++-=+????

因为

23

3π

πα≤≤

,所以当233

ππαα==或时,y 的最大值max 240y =; 当2

π

α=

时, y 的最小值min 216y =.

提炼总结以为师

1．掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理； 2．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

（1） 已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。 4．边角互化是解三角形的重要手段．

正弦、余弦定理 解斜三角形

【选择题】

1.（2004浙江）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞2

1

”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2.（2004全国Ⅳ）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为

23

，那么b 等于 ( ) A.2

3

1+

+3

C.2

3

2+ +3 3..下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 ( )

+cos A =

5

1 B.AB ·BC ＞0 +tan B +tan C ＞0

=3，c =33，B =30°

4.(2006全国Ⅰ)ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = ( )

A.

14 B. 3

4

C. 4

D. 3

【填空题】

5.（2004春上海）在ABC ?中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。

若ο105=∠A ，ο45=∠B ，22=b ， 则=c __________

6.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.

练习简答：; 1.在△ABC 中，A ＞30°?0＜sin A ＜1sin A ＞21；sin A ＞

2

1

?30°＜A ＜150°?A ＞30°答案：B

2. 2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2

－2ac .由S=

21ac sin30°=41ac =2

3，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2

－12.得cos B =ac

b c a 2222-+=6212422?--b b =44

2-b =23，解得b =1+3.答案：B

3.由tan A +tan B +tan C=tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角.答案：C

; 6.若c 最大，由cos C ＞0.得c ＜5.又c ＞b －a =1，∴1＜c ＜5.

【解答题】

7.（2004春北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2

－

c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及

c

B

b sin 的值. 剖析：因给出的是a 、b 、

c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2

=ac 可

变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求c

B

b sin 的值.

解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2

=ac .

又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2

=bc . 在△ABC 中，由余弦定理得

cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=2

1，∴∠A =60°.

在△ABC 中，由正弦定理得sin B =a

A

b sin ，

∵b 2

=ac ，∠A =60°，

∴ac

b c B b ?

=

60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中，

由面积公式得

21bc sin A =2

1

ac sin B . ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2

sin B . ∴

c

B

b sin =sin A =23.

评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.

8.（2005春北京）在△ABC 中，sin A +cos A =22

，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积. 解法一：∵sin A +cos A =2cos （A －45°）=

2

2， ∴cos （A －45°）=2

1. 又0°＜A ＜180°，

∴A －45°=60°，A =105°. ∴tan A =tan （45°+60°）=

3

131-+=－2－3.

∴sin A =sin105°=sin （45°+60°） =sin45°cos60°+cos45°sin60°=4

6

2+. ∴S △ABC =

2

1

AC ·AB sin A

=

2

1

·2·3·462+

=4

3

（2+6）. 解法二：∵sin A +cos A =2

2

， ①

∴（sin A +cos A ）2

=

21.∴2sin A cos A =－2

1. ∵0°＜A ＜180°，∴sin A ＞0，cos A ＜0. ∴90°＜A ＜180°.

∵（sin A －cos A ）2

=1－2sin A cos A =23， ∴sin A －cos A =26

.

②

①+②得sin A =46

2+. ①－②得cos A =

4

6

2-. ∴tan A =

A A

cos sin =462+·6

24-=－2－3.

（以下同解法一）

9. （2004全国Ⅱ）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=

53，sin （A －B ）=5

1

. （1）求证：tan A =2tan B ；

（2）设AB =3，求AB 边上的高.

剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）. （1）证明：∵sin （A +B ）=

53，sin （A －B ）=5

1， ∴??????

?

=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 5

2cos sin ?

???

????=

=?=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：

2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=5

3

. ∴tan （A +B ）=－4

3

， 即

B A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2

B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.

得tan B =

2

6

2+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =

A CD tan +

B CD

tan =6

23+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.

评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.

10. 在△ABC 中，sin A =

C

B C

B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.

分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.

解：应用正弦定理、余弦定理，可得

a =ab

c

b a ca b a

c c

b 222

22222-++

-++，所以 222222

22c a b a b c b c c b

+-+-+=+,

化简得a 2

=b 2

+c 2

.所以△ABC 是直角三角形.

评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0.

【探索题】已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y =cot A +）

（C B A A

-+cos cos sin 2.

（1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化?试证明你的结论. （2）求y 的最小值.

解：（1）∵y =cot A +[][]）（）（）

（C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2

=cot A +）

（）（）

（C B C B C B -++-+cos cos sin 2

=cot A +

C

B C

B C B sin sin sin cos cos sin +

=cot A +cot B +cot C ，

∴任意交换两个角的位置，y 的值不变化. （2）∵cos （B －C ）≤1，

∴y ≥cot A +A A cos 1sin 2+=

2

tan 22tan 12

A A

-+2tan 2A =21（cot 2A +3tan 2A ）≥2cot 2tan 3A A ?=3. 故当A =B =C =

3

π

时，y min =3. 评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC 中，求证：cot A +cot B +cot C ≥3.

可由三数的均值不等式结合cot A +cot B +cot C =cot A cot B cot C 来证.

高中数学必备知识点 正弦与余弦定理和公式

三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试 正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？ 首先，我们要了解下正弦定理的应用领域 在解三角形中，有以下的应用领域： （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径） 其次，余弦的应用领域 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径） （4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。

人教版高中数学,正弦定理(一)

人教版高中数学同步练习 第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一) 课时目标 1．熟记正弦定理的内容； 2．能够初步运用正弦定理解斜三角形． 1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2 . 2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，b c ＝sin_B . 3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，这个比值是三角形外接圆的直径2R . 一、选择题 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶4 C ．3∶4∶5 D ．1∶3∶2 答案 D 2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得4sin 45°＝b sin 60° ，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 答案 A 解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ?(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A > B B ．A sin B ?2R sin A >2R sin B ?a >b ?A >B . 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60°

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：

函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：

高中数学公式三角函数公式大全

高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a

=sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa

高一数学余弦定理公式

正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识网络 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA

高一数学正弦定理余弦定理习题及答案

高一数学正弦定理余弦定理习题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

正 余 弦 定 理 1．在ABC ?中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02C x x A B -?+ =的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠= ，则a= 。 5、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ． 6、在?ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2 74sin cos 222 B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值 7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45? 求A 、C 及c . A B 323 π

1、解：在ABC A B ?>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ?>?>?>，因此，选C ． 2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222 C C A B -=??=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ?一定是等腰三角形选C 3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用. 【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C 【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得 1sin sin 60A =得1sin 2 A =，由a b <知60A B <=，所以30A =，180 C A B =-- 90=，所以sin sin 90 1.C == 4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。 【思路点拨】对C ∠利用余弦定理，通过解方程可解出a 。 【规范解答】由余弦定理得，222121cos 33 a a π+-???=，即220a a +-=，解得1a =或2-（舍）。【答案】1 【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。 5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利

高一数学正余弦定理知识点梳理和分层训练修订稿

高一数学正余弦定理知 识点梳理和分层训练 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-

高一数学正、余弦定理知识点梳理和分层训练 班级 姓名 座号 1．正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-? = ?? ?+-= ?? . 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ?中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin 2222 A B C A B C ++==. 表一：

表二：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具 基础达标： 1. 在△ABC 中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为 A. 一个解 B. 二个解 C. 无解 D. 无法确定 2．在△ABC 中，若2,a b c ===+A 的度数是 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 3．ΔABC 中，若a 2 =b 2 +c 2 +bc ，则∠A= A. 60 B. 45 C. 120 D. 30 4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 5.在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45.求A 、C 及c.

(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法

(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法

高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为 D.则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得 AB CB AC =+, a b D A B C B C D b a D C B A

高考数学三角函数公式

高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα

高中数学正弦定理

正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等 式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的 定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C === b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的 定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B (图1．1-3)

高中数学三角函数公式大全

高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

高中数学 2二项式定理(带答案)

二项式定理 一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2, ,).r n r r r n T C a b r n -+== 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质 性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C ++ += （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和，即 02 213 21 12.r r n n n n n n n C C C C C C +-++ ++ =++ ++ = （令1,1a b ==-即得） 性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）

高中数学正余弦定理

正弦定理和余弦定理 一：基础知识理解 1．正弦定理 (1)S ＝1 2ah (h 表示边a 上的高)； (2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1 2ab sin C ； (3)S ＝1 2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二：基础知识应用演练 1．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3 D.3 2 2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 3．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( )

A ．无解 B ．两解 C ．一解 D ．解的个数不确定 4．(2012·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π 6，c ＝23， 则b ＝________. 5．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：1选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝323 2 ×22＝2 3. 2选C ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝1 2 ，又∵0°B ?a >b ?sin A >sin B . (2)在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角 或直角 图形 关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个 数 一解 两解 一解 一解 （1）利用正弦、余弦定理解三角形 [例1] (2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小； (2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．

二项式定理知识点总结

二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素

高考数学正弦定理知识点总结

高考数学正弦定理知识点总结 高中数学正弦定理知识点总结一 正弦定理的应用领域 在解三角形中，有以下的应用领域： 1已知三角形的两角与一边，解三角形 2已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 3运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 其中R为三角形外接圆的半径 正弦定理的变形公式 1 a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; 2 sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 3相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=a+b/sinA+sinB=a+b+c/sinA+sinB+sinC c/sinC=c/sinD=BD=2RR为外接圆半径 4设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形 sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA 5a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 高中数学正弦定理知识点总结二 一、正弦定理变形的应用 1.2021山东威海高二期中,4已知△ABC的三个内角之比为AB∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比ab∶c等于

余弦定理公式大全

正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识结构 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 22sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA

人教B版高中数学高一必修5练习1.1.1正弦定理(一)

第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一) 一、基础过关 1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin B D ．a sin C ＝c sin A 2．在△ABC 中，若A ＝30°，B ＝60°，b ＝3，则a 等于 ( ) A ．3 B ．1 C ．2 D.12 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 4．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为 ( ) A.π3 B.π6 C.π3或23 π D.π6或56π 5．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，则2sin A －sin B sin C ＝________. 6．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13 ，则a ＝________. 7．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B . 8．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C . 二、能力提升 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2， 则角A 的大小为 ( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 10．在△ABC 中，sin A ＝34 ，a ＝10，则边长c 的取值范围是 ( ) A.??? ?152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.? ???0，403

高三数学知识点总结三角函数公式大全

2014高三数学知识点总结：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是为大家整理的三角函数公式大全：锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°) /2]}