数列大题专题训练)
数列大题专题训练
1.已知数列｛a n｝、｛b n｝满足：a^- ,a n b n = 1,b n d.
4 1 -a.
(1) 求b-,b2,b3,b4；
(2) 求数列｛b n｝的通项公式；
(3) 设S n = a￡2 ■玄2玄3 ■玄3玄4 ' ... ' a.a n 1 ，求实数a为何值时4aS n
2.在平面直角坐标系中，已知A n(n,a n)、B n(n,b n)、C n(n-1,0)(n?N*)，满足向量
AA n1与向量B n C n共线，且点B n(n,g) (n，N*)都在斜率6的同一条直线上?
(1)试用a1,b1与n来表示a n;
(2)设a1 = a, d = -a，且12 ：：：a辽15，求数｛a n｝中的最小值的项?
3.在公差为d (0)的等差数列｛a n｝和公比为q的等比数列｛b n｝中，已知a1=b1=1 , a2=b2, a8=b3.
(1 )求数列｛a n｝与｛b n｝的通项公式；
(2)令c n = a n b n，求数列｛c n｝的前n项和T n.
4、在数列｛a n｝中，a1 =1,其前n项和S n满足关系式3tS^(2t 30= =3t
(t 0,n -2,3, )
(1) 求证：数列｛a n ｝是等比数列；
1
(2) 设数列｛a n ｝得公比为 f(t),作数列｛b n ｝,使 b i =1,b n 二 f( ),n =(2,3-),求 b
b n_1
(3)
求 b i b 2 - b 2b 3 ' b 3b 4 - b 4 b 5 b 2nJ b 2n b 2n b 2n 1 的值。
5 ?设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S n =(1 ) - a,其中，=-1,0 ；
(1 )证明：数列｛a n ｝是等比数列；
1 水
(2)设数列｛a n ｝的公比 q = f ('),数列｛b n ｝满足b 1 二？,b n 二 f (b nj )(n ? N *,n _ 2)
求数列｛b n ｝的通项公式；
6. 已知定义在 R 上的单调函数 y=f(x)，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数 x 、y € R ,有 f(x+y)= f(x)f(y),
(I)求f(0)，并写出适合条件的函数 f(x )的一个解析式；
1
(n)数列｛a n ｝满足 a 1=f(0)且f(a n 1)
(n ? N *),
f(-2-a .)
①求通项公式a n 的表达式；
试比较S 与4Tn 的大小，并加以证明
1 a
②令 b n=(?)n ,S n
^b 1 b 2
b n , T n
a 〔 a 2 a 2 a 3
1
a n a
n 1
3
1 21 3
7. 设S n是正项数列｛a n｝的前n项和，且S n =—a n+~ 3n ~~ ,
4 2 4
(I)求数列｛a n｝的通项公式；
(n)已知b n =2n,求T n H a』！? a?b2 ?… ab n的值
2 1 &已知二次函数f(x)二ax bx满足条件：①f(0) = f(1)；②f(x)的最小值为.
8
(1) 求函数f (x)的解析式；
f4〕f(n)
(2) 设数列｛a n｝的前n项积为T n,且T n = | —,求数列｛a.｝的通项公式；
\5J
(3) 在⑵的条件下，若5f (a n)是b n与a n的等差中项，试问数列｛b n｝中第几项的值最小？求出这个最小值。
9、设等差数列｛a n｝的首项a1及公差d都为整数，前n项和为S n.
(1 )若a11=0,S14=98，求数列｛a n｝的通项公式；
(2)在(1)的条件下求S n的表达式并求出S n取最大值时n的值
(3)若a1> 6, an> 0, S^w 77,求所有可能
的数列｛a n｝的通项公式
10、设｛%｝是公比大于1的等比数列，S n为数列｛a n｝的前n项和?已知S3 =7，且
a i - 3, 3a2, a3 4构成等差数列.
(I)求数列｛a n｝的通项公式.
(n)令b n =ln a?. i, n =1,2,||(,求数列 g 的前n 项和「.
11?已知等比数列｛a n｝中，a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a^i =64,公比q = 1
(I)求a n；
(n)设b n = log 2 a n，求数列｛| b n|｝的前n项和T.
12、已知f (x) = log m x (m 为常数，m>0 且m = 1)
设f(aj, f @), , f丽(n N )是首项为4，公差为2的等差数列.
(I)求证：数列｛a n｝是等比数列；
(n)若b n=a n ? f (a n)，且数列｛b n｝的前n项和S n,当m「2 时，求S n；
(川)若C n= a n lg a n，问是否存在m，使得｛c n｝中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.
13.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且满足
i
(I )判断｛_｝是否为等差数列？并证明你的结论;
S
n
(H)求 S n 和 a n (川)求证：S 2 ? S ； ?
? S ；乞1 一丄.
2 4n
14.
已知数列｛a n ｝满足 a n =2a n 」2n -1(n — 2),且a^ 5.
a + Z
(l )若存在一个实数■,使得数列｛亠^ ｝为等差数列，请求出'的值
2
(II )在(I )的条件下，求出数列 a n 的前n 项和S n .
15.设数列｛ a n ｝的前n 项和为S n ，且满足S n =2-a n , n =1, 2, 3，…. (I )求数列｛ a n ｝的通项公式； (n )若数列｛ b n ｝满足b 1=1，且b n 1二b n ? a n ，求数列｛ b n ｝的通项公式; (川)设C n = n(3 -b n )，求数列｛ C n ｝的前n 项和T n .
1
a
"2,an 2SnSn 」5-2)
参考答案
1
???数列｛— ｝是以一4为首项，一1为公差的等差数列 b n -1
1 1
S n =玄1玄2 ' 323^ ■ 3n 3n 1 二
4 汇
5 5 汉
6 (n +3)(n+4)
2
4aS
b _ an n 2 _(a-1)n (3a-6)n-8 n
n
n 4 n 3 (n 3)( n 4)
由条件可知(a_1n + (a3 n^)恒8成0立即可满足条件设
2
f(n) =(a -1)n
3(a -2)n -8
a = 1时，f (n) = -3n -8 ：：：0恒成立,a>1时，由二次函数的性质知不可能成
a 时，对称轴弓豁「沽土厂0 f(n)在(Y ,1］为单调递减函数. f (1) =(a -1)n 2 (3a -6) n -8 =(a 一1) (3a -6) -8 =4a -15 ：： 0 15 .a ?. a<1 时 4aS n ： ： b 恒成立 4 综上知：a < 1时，4aS n < b 恒成立 2.解：(1)V 点B n (n,b n )(n ，N*)都在斜率为6的同一条直线上, bn 1 2 - b n b n 0(2七) b n (1 - a n )(1+ a n ) 6 一 7 - 5 - 6 - -b n n-1 2 b - ■ 1.解：(1) b 3 一 4 - ,bh 丄 ， 4 - --4 -(n -1) - -n -3 二 b n n 4(n 4) 于是数列｛b n ｝是等差数列，故b n 二d ?6(n-1). ............................... 3分 A n A n 1 = (1, a n 1 f a n ), B n C n = (-1，-b n ),又 A n A * 1 与 B n C n 共线， 1 ( - b n ) -(_1)(a n 1 - a n ) — 0,即 a n 1 - a n — b n - ........................................ 5 分 当n _2时,a^a (a 2 —aj @3 —a ?)亠 亠(a . — a . J 二a’ 0 b ? Q 亠?亠 d (n -1) 3(n -1)( n -2). ...................... 7分 当n=1时，上式也成立 所以 a * = a 「b 1 (n -1) 3(n -1)(n -2). ........................ 8 分 (2)把a 1 =a,t>1 =~a 代入上式， 2 得 a n = a - a(n -1) 3(n -1)(n - 2) = 3n -(9 a)n 6 2a. 12 : a ^15, 7 ：： < 4， 2 6 ???当n=4时，a n 取最小值，最小值为 a 4 =18—2a. (2)T n = C 1 C 2 ? C3 ?…-C n 「二玄袒 a ?b 2 a s b 3 a n 」 b n 」 a n b n ① =a 』2 a ? b 3 *3匕4 … a ./b n a n b n 1 ② ①—②： (1—q)T n 二aM 1 db 2 db^ db n^ db n —ab 1 二ab d b 2(1_q )七曲 1—q ?「=(n - 1)6n 1 ............ 14 分 4.解:(1)由已知 3tS n -(2t - 3)S n4 =3t ，即有 2t +3 3t (a 1 a 2) _ (2t ' 3)a^ = 3t 由 a 1 = 1 解得 a ?: b n 1 -b n (n 1) - n =6,即 b n 1 - b n 二 6, 13分 3.解：(1)由条件得: 1 +d =q ：1 +7d =q 2_ a n = 5n - 4, b n = 6心 - 5T n =1 56^1 -5 -(5n -4)6n 3t a2 2t 3 所以 a1 3t 当n _ 2时，有 3tS n +1 -(2t 3)S n =3t ① 3tS n -(2t 3)S n 」=3t ② ①—②得 3ta n + 1 - (2t ' 3)a n = 0 a n i _ 2t 3 a n 3t 综上所述，知色」=迤3 n _1 a n 3t 因此｛a n ｝是等比数列； 2t +3 (2)由(1)知 f(t) = 3t 1 2 3 则使b 1 =1,b n 二一气 2 ■ b n 」 3 — 3 bn 4 2 所以 b n —b n 」二 n =(2,3/ ) 2 1 因此，｛b n ｝是等差数列，且 th =1,b n 二 b ?(n - 1)d n 3 3 (3) Db 2 -b 2b a b g b 4 -b 4b 5 … b2n/b 2n ? b 2n b 2n 1 =b 2(b 1 -b 3)b 4(b 3-b 5)…b 2n (b 2nv b^ 1 ) 4 = (b 2 b 4 3 8 2 = n n 9 3 5?解：（1）由 S n 二（1 …）一 ’a n = S n_, = （1 …）一乜心（n - 2） a 儿 相减得：an - -'an ? 'an4, n (n - 2),.数列｛a .｝是等比数列 a^ 1+九 b 2n ) 一 5 4n 1 n( 3 扎 b n 1 1 (2) f ( 1 ) . , 5 1 , 1+ 丸 1估二 b n g 二 .｛丄｝是首项为 丄=2,公差为1的等差数列—=2 ( n —1) = n 1 b n D b n b n = ......................................................................................................................................................................... 8 分 n 十1 (3) ■ =1 时,a n =(1)n ‘, C n = a n (— -1)=(丄)"'n , 2 b n 2 11 1 T n =1 2(2)3(y 2 n(-)nJ ① 2T n =(1)2(1)2 酹)3 n (2)n ② ①—②得： 1 1、 J 、 2 八、 3 J 、n 」J 、n 2T n 二1（2）（2 （2） （ 2 _n （2）， 1T n 「（2）G ）2（1）3 E ）n 」— n （》n 门一 n （￡）n , 6. 解：(I )由题意，令 y=0 , x<0，得 f(x)[1 — f(0)]=0 ,??? x<0 时，f(x)>1. ??? 1 — f(0)=0. f(0)=1. .......................................................................... 2 分 1 x 适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=( — ) ......... ....................................... 4分 (II [①由递推关系知 f(a n+1) ? f( — 2 — a n )=1，即 f(a n+1 — 2— aj=f(O). * 八 ?/ f(x)的 R 上单调，??? a n+1 — a n =2 , (n € N ), ............... 6 分 又 a 1=1，故 a n =2 n — 1. ................................................................... 7 分 ② b n =(」)a n =(丄)2n ',S n = b 1 + b 2+…+b n =丄+( 1 )'+ …+( 1 f 「1 2 2 2 2 2 4 欲比较S n 与—T n 的大小，只需比较 4n 与2n+1的大小. 3 由=1 , 2, 3 代入可知 4n >2n+1，猜想 4n >2n+1. ................................. 10 分 所以: 1 1 T n =4(1-(2门-2 n(?)n 14分 知(扩] 2 2 1 ^)2 T n 「丄 a 〔 a 2 7)- a 2a 3 1— a n a n 1 +…+丄 2n -1 1 1 ―—+―— + …+ 1 3 3 5 (2n -1)(2n 1) 1 1 1 )(1 ) ................................... 2 2n 1 2n 1 Sn = f Tn I- 1 3 心1 12 1 1 3 ------- )=—( )=— 2n 1 3 2n 1 4n 2 4n -(2n 1) (2n 1) 4n 下用数学归纳法证明 1 (i) 当n=1 时，4 >2X 1+1 成立 (ii) 假设当n=k时命题成立，即4k>2k+1 当n=k+1 时，4k+1=4 X 4k>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1 , 说明当n=k+1时命题也成立. 由(i)( ii)可知，4n>2n+1对于n € N*都成立? 4 故S n> T n ... ................................................................................... 12 分 3 注：证明4n>2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明， 如：4n=(1+3)n=1+c n 3 c2 32c n 3n _1 3n ? 2n 1. 1 2 1 3 7. 解(I)当n = 1 时，a t = $ ............................ a1a1,解出a1 = 3 , 1 分 4 2 4 又4s n = a n + 2a n —3① 当n _2 时4s n~1 = a n j + 2a n-1 —3② 2 2 2 2 ①一② 4a n =an —a^ - 2(a^a nJ),即a^a nj -2(a n - a.」)=0 ............................................. 3分 ??? (a n a n」)(a n -a n」- 2) = 0, a n a n」0 a n - a n」=2 ( n — 2)…… 5分 .数列｛a n｝是以3为首项，2为公差的等差数列.a^3 2( n- 1)=2 nJ ?- 7分 (n) T n =3 21 5 22?山? (2n，1) 2n③ 又2T n =3 22 5 23W (2n -1) 2n - (2n 1)2n1④............ 9 分 ④-③ T n 二-3 21 -2(22232n) (2n 1)2n 1............. 11 分 =-6 8 -2 2n 1(2n 1) 2n 1 .......... 13 分 -(2n - 1)2n 1 2 .......... 14 分 (1 a b =0 a 1 2 1 &解：(1)由题知： 解得 2 ....... ,故f (x) x x . 3分 h 1 2 2 b 二 L 2 a 0 = 1 .4a 一 8 n 2 -n 2~ (n J)2 Jnl) : 2 T n j — a i a 2 H f a n J = l 5丿 (n -2), (n-2). a n T n 4 — T n 1 5 n A (n N ). 4 a n : 15丿 ⑶若5f (a n )是b n 与a n 的等差中项，则2 5f (a nH b n a n , …… 1 2 1 2 3 2 从而 10(； a n a n )二 b n a n , 得d =5a n -6a n=5(a n )- 2 2 5 4 =— 5 一一，即 n 5 又a^T| =1满足上式.所以 因为a n 当a n ..... 10分 n 1 (n ? NJ 是n 的减函数，所以 <3(n ?N”) 时，b n 随n 的增大而减小，此时最小值为 b a ； -4( n ? N ”) 时，b n 随n 的增大而增大，此时最小值为 b 4. 12分 又所以 ba :::b4 , :::3 ,即 n 5 即数列｛0｝中b 最小,且b3=5阳卜由=一 224 5 125 14分 9、解：由 a“ =0,^4 =98得 a 1 10d =0 6 1 解得：① 14a 1 91d =98 a n =a 「n -1 d = 22-2 n (a1+an)n 2 S n 21n - n 2 令 a n =°得 n=11 -当n =11时， (3 )法一：由 务一6 +10d >0 14印 +91d 喳77 (3) S n 取得最大值 a 1》6, an > 0, S 14W 77 得: (1) (2) 10分 (2) ( -14)得: -14a 1 -140d 0 ( 4) (1) (-14)得:-14耳—84 (5) :'d Z,. d =T 代入(2)、( 3)得： a 1 10 ■ 1 0 :: a 1 -12 14a<^168 far Z,. a 1 =11 或 12 11 ⑷ (3)得:d (5) - (3)得:d - 91 12分 a a2 a3 =7, .a n =12 -n或a n =13 -n 解得a2 = 2 . 设数列｛a n｝的公比为q，由a：=2，可得& = 2, a^2q . .......................... 4分 q 2 又S3 = 7，可知 2 ■ 2q = 7 , q 即2q2 _5q 2=0， 1 解得q<| = 2，q2： 2 由题意得q 1，q = 2 . .4 =1 . ...................................................................... 7 分 故数列｛a n｝的通项为a n =2n J. (n)由于b n =ln a3n 1, n =1,2, 由(1)得a3n 1 = 2 .b n =1 n23n =3nln 2 又b n 1 —b n =3In 2 ■ {b n}是等差数列. n(b「b n) 2 n(3In 2 3nln 2) 2 11 .解：(I)依题意a^ - a4 ' 3( a3 - a4),即2a4 _3a2 a^ - 0 2a1q3 -3a1q3 a1q = 0 2 1 2q _3q 1 =0= q =1或q =_ 2 1 q = 1 q ........... 4 分14分 10?解：（I）由已知得(a i 3) @3 4) [ 2 =3a?. 10分 故T n 3n(n 1) 2 In 2. 3n(n 1) In 2 .14分 2 a a 2 a 3 =7, 二数列｛a n ｝是以m 4为首项，m 2为公比的等比数列 (n)由题意 b n 二 a n f (a n )二 m 2n 2 log m m 2n 2 = (2n 2) m 2n 2 , 当 m = J 2时，b n =(2n 2) 2n 1 = (n 1) 2n 2 二 S n = 2 23 3 24 4 2— (n 1) 2n 2 ① ........... 6 分 ① 式两端同乘以2，得 2Sn =2 24 3 25 ? 4 26 ? ― n 2n 2 ' (n ' 1) 2n3 ② ...... 7 分 ② —①并整理，得 S n 八2 23 - 24 - 25 -26 -…-2n 2 (n 1) 2n 3 二 -23 -{23 亠 24 亠 25 亠 亠 2n 2]亠(n 亠 1) 2n 3 七一2^ (n 1) 2n 3 1-2 二-23 23(1 — 2n ) (n 1) 2n 3 故a n =64 (扩 1 (II ) b n = log 2[64(2)nl Hlog 2 27J =7 — n 7-n 二I 6 I" n —7 (6 7 _n)n n(13_n) 2 - 2__ 当 n 7 时,|b 8|“,T n 二 T 7 (1 n - 7)(n - 7) _ 21 . (n - 6)(n - 7) 2 - 2 2 (n _6)(n _7) +21(n >7) ? 2 12分 12、解：(I)由题意 f (a n ) = 4 ? 2(n -1) = 2n 2, 即 log m a n = 2n 2, 二 m 2n 2 a n 1 2(n 1) 2 a n 2n 2 m ■/ m>0且m^1，二m 2为非零常数， = 2 n3 n 10 分 (川)由题意 C n=a n lga n=(2 n+2)m 2n "lgm 2 n lgm ：：：( n 1) m lg m 对一切 n_2 成立, (川)1°当n=1时，S 12 = 1 = 1 成立 4 2 4" 1 1 2°假设n=k 时，不等式成立，即 S|2 Sf ... S |f -- —成立 2 4k 要使 c n 」：：：c n 对一切n 一 2成立, ①当 m >1 时，n ：：(n 1)m 2对n _ 2成立; 12分 ②当 0 2 m 2对一切 n _ 2成立，只需 1 -m 2 m 2 ： 解得 :6 ?、6 m ：：：— 考虑到0 V6 --0 3 综上，当0 3 时, 数列｛5 ｝中每一项恒小于它后面的项 14分 13.解证：(I) S 1 — a1 - 2 丄=2 S 1 a n = S n - S n 4即 S n - S n 4 = ~2S n S n 4 1 1 S n S n J 1 =2故｛丄｝是以2为首项，以2为公差的等差数列. S n (n)由(I )得 丄=2 (n -1) 2=2n,S n 」 S n 2n 当n > 2时，a n 2n(n _1) (n =1) 当n =1时，厲三a n 2心严2) 1_1 1 _1 1 4 k (k 1)2 2 4 2 k 2 k _ 1 k(k 1) 一 2 4(k 1) a n _2a nd. = 2^ 2n "是与n 无关的常数，则1— =0,得九=-1. 2n 则当 n=k+1 时，S ； +S ； + ... +S ： +S ： 申 1 < 2 1 4k 1 4(k 1)2 即当 n=k+1 时，不等式成立由1 （川）另 证: S 2 S2 …Sn ,2°可知对任意 1 1 4 4 22 n € N 不等式成立. 1 2 - 4 32 4(1 1 1 1 .?(1 —匕 3 十 (n _ 1)n 丄一 1 n-1 n 2 4n 14.解：（1）假设存在实数 '符合题意,则吩 必为与n 无关的常 数。 故存在实数 a +丸 -1 .使得数列｛为等差数列. (II )由( I ）可得2n = 1,. d =1,且首项为 2 -=2. 2 a n " 1 2n 令b n =(n +1)2n 且其前项和为；, =2 (n -1) = n 1,. a n =(n 1)2n 1(n N ) Tn = 2 2 3 22 - 4 23「 (n 1)2n 2T n =2 22 3 23 n 2n (n 1)2n 1 ①―②得 _T n =4 ■ 22 ■ 23 ■ 2n _(n * 1)2^ 2 (2 …2n ) -(n 1)2n 1 n 1 n V n "1 =2 -(n 1)2 二-n 2 T n = n 2n S S n 二 n 2n 1 n. 12分 15.解：(I ) t n=1 时， ??? a1=1 ........................ ?S n =2-a n 即 a n +S n =2 ??a n+1 + S+1=2 a 1+S=a 1+a 〔=2 ?? (1 分) k 2 k 1 k(k 1)2 ..a n ， a n d '' 一 2^ 要使务’冇」 2n 两式相减：a n+1-a n + S+1-S n=0 即a n+1-a n + a n+1=0 故有2a n+1=a n ???anM0 ???电1=](n € N*) .......................... (3 分) a n 2 1 1 所以，数列｛a n｝为首项a i=1，公比为一的等比数列.a n=(—)n」(n € N*)(4分) 2 2 (n ) vb n+i=b n+a n(n=1 , 2, 3,…) 1 n一 ?b n+1-b n = ( ) - .............................. (5 分) 2 得b2-b 1=1 1 b3-b2= 2 b4-b3=( 1)2 2 1 n-2 b n-b n-1=( ) (n=2, 3,…) 2 将这n-1个等式相加，得 b n-b1=1 + 1(I)2(丄)3 2 2 2 1 n-1 又Vb 1=1 ,.?.b n=3-2( —) (n=1 , 2, 3,…) 2 1 n-1 八 (川)Vc n=n(3-b n)=2n( ) .......................... (10 分) 2 111 11 ?T n=2[( —) 0+2( —)+3( —)2+…+(n-1)( 1 )n-2+n( — )n-1] ①(11 分) 2 2 2 2 2 1 111 1 1 而T n=2[( )+2( )2+3( )3+…+(n-1) ( )2 .门(_)n] ② 2 2 2 2 2 2 ①-②得：十宀中吵+中…丁宀咱 T n=4 1-（1）n 1-2 =8-(8+4 n) 1 尹,2, 3,…)(14 分) (7分) (9分)