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高三数学第一轮总复习教案--数列部分

湖南省省级示范性高中……洞口三中高三数学第一轮总复习讲义

讲义13 数列的概念

一、基本知识体系：

1、数列：是特殊的函数，是建立在N*或N*的子集上的函数，所以，处理数列问题时，要注意运用函数的有

关性质。

2、数列的通项公式：数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的一个函数关系表达式。

3、求数列的通项公式： ①、Sn 与a n 之间的相互转化：a n =1(1)(2)

n S n S n =??

≥?当时当时要特别注意讨论n=1的情况。

②、由数列的递推关系式去求通项公式：

（1）、形如a n+1= a n +?（n)时?常用累加法去解决：例如在数列{a n }中，a 1=1； a n+1= a n +2n ；（答案为a n =2n

-1);

（2）、形如a n+1= ?（n)· a n 时?常用累乘法去解决：例如在数列{a n }中，a 1=4； a n+1= n+2

a n ；

（答案为 a n =2n(n+1)；

（3）、形如a n+1= c· a n +d （c 、d 为常数时）?常构造转化为一个等比数列去解决：如在数列{a n }中，a 1=3；

a n+1= 2a n +1；（答案为a n =2n+1

-1);

（4）、形如a n+1= p·a n r

(p 、r 为常数时）?常用两边取对数的方法去解决：例如在数列{a n }中，a 1=3； a n+1=3

a n 2

；（答案为a n =231n

-);

二、典例剖析：

★【题1】已知数列}{n a 满足)(1

33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=

=+，则20a =（）

A ．0

B ．3-

C ．3

D ．

●[解析]:由a 1=0,).(1

331++∈+-=

N n a a a n n n 得a 2=-??????==,0,3,343a a 由此可知: 数列{a n }是周

期变化的,且三个一循环,所以可得:a 20=a 2=-.3故选B.

★【题2】在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 2n-1 。 ●解：由12(1)n n a a n +=+≥可得数列{}n a 为公差为2的等差数列，又11a =，所以n a =2n －1

★【题3】已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项 1, n=1, a n =

,n ≥2. (答案:2

!n )

★【题4】已知数列1}{1=a a n 中，且 a 2k =a 2k －1+(－1)K

, a 2k+1=a 2k +3k

,其中k=1,2,3,…….

（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.

解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0, a 3=a 2+31=3. a 4=a 3+(－1)2=4, a 5=a 4+32

=13, 所以，a 3=3,a 5=13.

(II) a 2k+1=a 2k +3k ; = a 2k －1+(－1)k +3k , 所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k , 同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1

…… a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1) =(3k +3k －1

+…+3)+[(－1)k

+(－1)

k －1

+…+(－1)],由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k

－1],于是a 2k+1=

.1)1(2

1231--++k k a 2k = a 2k －1+(－1)k

2123+k (－1)k －1－1+(－1)k

123+k (－1)k =1.{a n }的通项公式为：当n 为奇数时，a n =;121)

1(2

1-?-+-+n n 当n 为偶数时，.12

1)1(2322

-?-+=n

n a

★【题5】设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2

)

13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是

____________________2___.

★【题6】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数y ＝3x －2的图像上。（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1

3+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *

∈都成立的最小正

整数m 。

●解：（I ）依题意得，

32,n

n n

=-即

32n

n n S =-。当n ≥2时，

(

1(32)312(1)65n n

n n n n n a s s -??=

-=----

-=-??

;当n=1时，113a s =-×21-2×1-1-6×1-5

所以

65()n

n n N a

=-∈+。

（II ）由（I ）得[]131111(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +??

==- ?-+--+??

，故

1111111

11...277136561n

n b n n T =????????-=-+-++- ? ? ???-+?

???????∑=111261n ??- ?+??。因此，使得111261n ??- ?+??﹤()20

n N ∈成立的m 必须满足

12≤20

m ，即m ≥10,故满足要求的最小整数m 为10。

★【题7】在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件

242

,1,2,1

n n S n n S n +==+，（Ⅰ）求数列{}

n a

的通项公式；（Ⅱ）记(0)n a

n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

●解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由

2421

n n S n S n +=+得：12

13a a a +=，所以22a =，即

211d a a =-=，又

211

122()42212

n n n n n n a nd a n S a nd a n a a n S a a n ++?+++===+++?＝2(1)

1n n a n a +++，所以n a n =。（Ⅱ）由n a

n n b a p =，得n n b np =。所以23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+，当1p =时，12

n n T +=；当1p ≠时，234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+，

2311

1(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p p np np p

-++--=+++++-=--

即11

,12(1),11n n

n n p T p p np p p

++?=??

=?-?-≠?-?。

★【题8】已知各项均为正数的数列{}n a ，满足：13a =，且

111

22n n

n n n n a a a a a a +++-=-，*n N ∈．

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22

212n n S a a a =++

+，22212

111

n n

T a

a a a =

+++，求n n S T +，并确定最小正整数n ，使n n S T +为整数． ●解：（1）条件可化为11

112n n n n a a a a ＋＋－

＝（－

），因此｛1

n n

a a －｝为一个等比数列，其公比为2，首项为11183a a －＝，所以1

n n a a －＝n 2n 1822n N 33*?∈＋－＝

（）…………1?; 因a

n >0，由1?式解出a n ＝n 1123＋（…………2?; （2）由1?式有S n ＋T n ＝222

12121112n n a a a n a a a ?（－）＋（－）＋＋（－）＋＝345n 2222222222n 3333

＋（）＋（）＋（）＋…＋（）＋＝n 64412n n N 27*∈（－）＋（）

为使S n ＋T n ＝n 64412n n N 27*

∈（－）＋（）为整数，当且仅当n 4127

－为整数.当n ＝1,2时，显然S n ＋T n 不为整数，

当n ≥3时，n 41－＝n

131（＋）－＝1

223

3333

n n n n

C C C C ???－＋＋（＋＋）

; ∴ 只需122

3327

n n C C ＋＝n 3n 192?－为整数，因为3n －1与3互质，所以为9的整数倍.当n ＝9时，n 3n 192

?－＝13为整数，故n 的最小值为9.

★【题9】在数列n a 中，若 a 1，a 2 是正整数，且12n n n a a a --=-,n =3，4，5，…，则称n a 为“绝对差数列”. （Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；

（Ⅱ）若“绝对差数列”n a 中，203a =,210a =，数列n b 满足12n n n n b a a a ++=++；n=1，2，3，…，判断当n →∞时, n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

●（Ⅰ）解：12345673,1,2,1,1,0,1a a a a a a a =======,89101,0, 1.a a a ===（答案不惟一）

（Ⅱ）解：因为在绝对差数列{}n a 中203a =,210a =.所以自第 20 项开始，该数列是203a =,210a =,2222242526273,3,0,3,3,,a a a a a a o ======??.?即自第 20

项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当n →∞时，n a 的极限；

不存在. 当20n ≥时, 126n n n n b a a a ++=++=,所以lim 6n n b →∞

= （Ⅲ）证明：根据定义，数列{}n a 必在有限项后出现零项.证明如下：

假设{}n a 中没有零项，由于12n n n a a a --=-,所以对于任意的n ，都有1n a ≥,从而当12n n a a -->时,

1211(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥; 当 12n n a a --<时, ；2121(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥

即n a 的值要么比1n a -至少小1，要么比2n a -至少小 1.令212122212(),

(),

n n n n n n n a a a C a a a --->?=?

101(2,3,4,).A n C C n -<≤-=???由于1C 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 10C <，这与

0n C >(1,2,3,,n =???);矛盾. 从而{}n a 必有零项.若第一次出现的零项为第n 项，记1(0)n a A A -=≠，则自

第n 项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，A , A , 即331320,,0,1,2,3,,,

n k n k n k a a A k a

A +++++=??

==?????=?所以绝对差数列{}

n a 中有无穷多个为零的项.

26．（安徽卷）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211

,1,1,2,2

n n a S n a n n n =

=--=??? （Ⅰ）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥，并求n S 关于n 的表达式；

（Ⅱ）设()()()1

/,n n n n n S f x x b f p p R n +==∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 。解：由()21n n S n a n n =--()2n ≥得：()21()1n n n S n S S n n -=---，即()22

1(1)1n n n S n S n n ---=-，

所以

1111n n n n S S n n -+-=-，对2n ≥成立。由1111n n n n S S n n -+-=-，121

112n n n n S S n n ----=--，…，2132121S S -=相加得：1121n n S S n n +-=-，又1112S a ==，所以21

n n S n =+，当1n =时，也成立。

（Ⅱ）由()11

n n n n S n f x x x n n ++=

=+，得()/n n n b f p np ==。而23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+，234123(1)n n n pT p p p n p np +=+++

+-+，

1(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p

p np

np p

-++--=+++

++-=--

30。（福建卷）已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a 1+n =2a n +1(n ∈N *

)

（Ⅰ）求数列｛a n ｝的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足4k1-14k2-1…4k-1=(a n +1)km (n ∈N *),证明:{b n }是等差数列; （Ⅲ）证明:

31213221n

a a a a a a n n n ＜＜++?++-(n ∈N *). 解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。

（I ）解：

*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的

等比数列。12.n n a ∴+= 即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+

12(...)42.n n k k k n nk +++-∴= 122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②；②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-

即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++= ③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即

2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列。

（III ）证明：

1121211,1,2,...,,2122(2)2

k k k k k k a k n a ++--==<=--12231 (2)

n n a a a n

a a a +∴+++<

111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232

k k k k k k

k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-

1222311111111

...(...)(1),2322223223

n n n n a a a n n n a a a +∴

+++≥-+++=-->- *122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +∴-<+++<∈

湖南省省级示范性高中……洞口三中高三数学第一轮总复习讲义

讲义14 等差数列和等比数列

一、基本知识体系：

二、典例剖析：

★【题1】(2006年全国Ⅱ·文科·T 6)、已知等差数列{}n a 中，247,15a a ==，则前10项的和10S ＝(B ) （A ）100 (B)210 (C)380 (D)400 ●解：d ＝

42157

4422

a a --==-，1a ＝3，所以 10S ＝210，选B ★【题2】(200年福建·文科·T 5)、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（）

A ．15

B ．30

C ．31

D ．64

●解：由7916a a +=,得a 8=8,∴817844

d -==-,∴a 12=1+8×7

4=15,选(A)

★【题3】(2006年陕西·文科·T 3) 、已知等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，则该数列前9项和S 9等于( C )

A ．18

B ．27

C ．36

D ．45

★【题4】(2006年福建·文科·T 2) 、在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（B ）：（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45

★【题5】(2006年广东·T 6) 、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（） A.5 B.4 C. 3 D.2

◆330255152051

1=????=+=+d d a d a ，故选C.

★【题6】(2006年江西·T 10) ．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200O B a O A a O C =+，且A

B C ，，三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于（A ）Ａ．100

Ｂ．101 Ｃ．200 Ｄ．201

●解：依题意，a 1＋a 200＝1，故选A

★【题7】(2006年全国Ⅰ·T 10) ⑽、设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（B ） A ．120 B ．105 C ．90 D ．75 ★【题8】(2006年浙江·T 11) 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若5,10105-==S S ,则公差为－1 （用数字作答）。●解析：设首项为1a ，公差为d ，由题得

141491922

254510101051

111-=?--=-????-=+=+???

?-=+=+d d d d a d a d a d a ★【题9】(2006年北京·文科·T 20) 设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n. (Ⅰ)若a 11=0,S 14=98,求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若a 1≥6，a 11＞0，S 14≤77，求所有可能的数列｛a n ｝的通项公式. ●解：（Ⅰ）由S 14=98得2a 1+13d=14,又a 11=a 1+10d=0,故解得d=－2,a 1=20.因此，{a n }的通项公式是a n =22－

2n,n=1,2,3… （Ⅱ）由???

??≥?≤6,0,

771

1114a a S 得

?????≥?+≤+6,010,11132111a d a d a 即??

???-≤-?--≤+12

2,0202,11132111a d a d a 由①+②得－7d ＜11。即d ＞－

711。由①+③得13d ≤－1；即d ≤－131；于是－711＜d ≤－13

；又d ∈Z,故 d=－1；将④代入①②得10＜a 1≤12.又a 1∈Z,故a 1=11或a 1=12.所以，所有可能的数列{a n }的通项公式是

a n =12-n 和a n =13-n,n=1,2,3,… 二、巩固练习：

★【题10】(2006年湖北·文科·T 4)在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9=（A ） A. 81 B. 27527 C.

3 D. 243

★【题11】(2006年北京·理科·T 7) 设47101()22222()n f n n N +=++++???+∈,则()f n 等于（D ）（A ）

2(81)7n - （B ）2(81)7n + （C ）12(81)7n +- （D ）12

(81)7

n ++ ★【题12】(2006年辽宁·理科·T 9) 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（）(A)1

2n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -

●【解析】因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则

22121122212

(1)(1)(1)22(12)01

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?=

即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。

★【题13】(2006年浙江·文科·T 15) 若S n 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列。(Ⅰ)求数列124,,S S S 的公比。(Ⅱ)若24S =，求{}n a 的通项公式.

●解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ,由题意，得 2214S S S =?；所以2111(2)(46)a d a a d +=+；因为0d ≠ 所以 12d a =；故公比2

4S q S =

=；（Ⅱ）因为2121114,2,224,S d a S a a a ===+=所以11,2a d ==；因此21(1)2 1.a a n d n =+-=-

★【题14】(2006年北京卷)、如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（ B ）

（A ）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9

●解：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b ×b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3. ★【题15】(2006年湖北卷)、若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，

则a =（）A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4

●解：由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D

★【题16】(2006年江西卷)在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2

110(2)n n n a a a n +--+=≥，

则214n S n --=（）Ａ．2-

Ｂ．0

Ｃ．1 Ｄ．2

●解：设公差为d ，则a n ＋1＝a n ＋d ，a n －1＝a n －d ，由2110(2)n n n a a a n +--+=≥可得2a n －2n

a ＝0，解得a n ＝2（零解舍去），故214n S n --=2×（2n －1）－4n ＝－2，故选A

★【题17】(2006年辽宁卷)在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（）(A)1

2n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -

●【解析】因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则

22121122212

(1)(1)(1)22(12)01

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?=

即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。

★【题18】(2006年全国II)设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝

（A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）1

●解析:由等差数列的求和公式可得

31161331

,26153

S a d a d S a d +===+可得且0d ≠所以6112161527312669010

S a d d S a d d +===+,故选A ★【题19】(2006年陕西卷)已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列前9项和S 9等于( ) A.18 B.27 C.36 D.45 ●解：在等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，∴ 198a a +=，则该数列前9项和S 9=

199()

a a +=36，选C . ★【题20】(2006年天津卷)已知数列}{n a 、}{n

b 都是公差为1的等差数列，

其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈）

，则数列}{n c 的前10项和等于（） A ．55 B ．70 C ．85 D ．100

●解：数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*

11,N b a ∈．

设n b n a c =（*

N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于1210b b b a a a +++=11119b b b a a a +++++，111(1)4b a a b =+-=，

∴ 11119b b b a a a ++++

+；=4561385+++

+=，选C.

★【题21】(2006年天津卷)设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于（）Ａ．12

Ｂ．24

Ｃ．36

Ｄ．48

●解：{}n a 是等差数列，13533639,3,9.a a a a a a ++==== ∴ 12,1d a ==-，则这个数列的前6项和等于

166()

242

a a +=，选B. ★【题22】(2006年重庆卷)在等差数列｛a n ｝中，若a a+a

b =12,S N 是数列｛a n ｝的前n 项和，则S N 的值为（A ）48 (B)54 (C)60 (D)66 ●解：在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，则56a =，n S 是数列的{}n a 的前n 项和，则

9S =

1959()

a a a +==54，选B. ★【题23】(2006年重庆卷)在等差数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 ●解：a 3a 7＝a 52＝64，又0n a >，所以5a 的值为8，故选D

★【题24】(2006年湖南卷)若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21 . ●解：数列{}n a 满足：111,2, 1n n a a a n +===，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴

=+++n a a a 2121

2121

n n -=--.

★【题25】(2006年山东卷)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，S 10－7S ＝30，则S 9＝ . ●解：设等差数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，由题意得,142

)

14(441=-+

d a 30]2)17(77[]2)110(1010[11=-+--+d a d a ，联立解得a 1=2,d=1，所以S 9＝5412

)19(929=?-+?

★【题26】(2006年福建卷)已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ （I ）证明：数列

{}1n n a a +-是等比数列；

（II ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列。

●解析：

2132,n n n a a a ++=-21112*21

12(),

1,3,2().

n n n n n n n n

a a a a a a a a n N a a ++++++∴-=-==-∴

=∈-{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的

等比数列。（II ）解：由（I ）得*12(),n n n a a n N +-=∈112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+

12*22...2121().

n n n n N --=++++=-∈；（III ）证明：

1211144...4(1),n n b b b b n a ---=+12(...)42,n n b b b nb +++∴=

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②；②

－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20.n n n b nb +--+= ③； 21(1)20.n n nb n b ++-++= ④；④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+= 即2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列。

★【题27】(2006年辽宁卷)已知等差数列{}n a 的前n 项和为22(,),n S pn a q p q R n N =-+∈∈ （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若a 1与a 5的等差中项为18，b n 满足22log n n a b =，求数列的{b n }前n 项和. ●(Ⅰ)解：当1n =时，112a S p q ==-+,当2

n ≥时,2212(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pn p =--.

{}n a 是等差数列,

222p q p p ∴-+=--,0q ∴=············4分

(Ⅱ)解：

a a a +=

,318a ∴=.又362a p p =--,6218p p ∴--=,4p ∴=；86n a n ∴=-；又22log n n a b =得43

n n b -=.12b ∴=,4(1)1

414322162

n n n n b b --+-===,即{}n b 是等比数列.所以数列{}n b 的前n 项和

2(116)2

(161)11615

n n n T -==--.

★【题28】(2006年全国卷I )设数列{}n a 的前n 项的和1412

2333

n n n S a +=

-?+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n

n n

T S =，1,2,3,

n =，证明：

i i T =<

∑ 解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+2

所以a 1=2.

再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23, n=2,3，4,…；将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－1

3×(2n+1－

2n ),n=2,3, …；整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －

1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －

1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …,

(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2) = 2

3×(2n+1－1)(2n －1)

T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n

－1) = 32×(12n －1 － 1

2n+1－1

) 所以,

i i T =∑

= 3

(

i =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1

) < 32

★【题29】(2006年全国II)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，481,17,?n S S a ===求通项公式

解：设{}n a 的公比为q ，由481,171S S q ==≠知，所以得

41(1)

a q q -=-…① 81(1)171a q q -=-……②由①、②式得整理得841

171

q q -=-解得416q =；所以 q ＝2或q ＝－2；将q ＝2代入①式得

1115a =，所以1215n a -=

；将q ＝－2代入①式得115

a =-，所以1

(1)25n n n a --?= ★【题30】(2006年山东卷)已知数列｛n a ｝中，111

n n a n a a +=-、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3….

(Ⅰ)令{}是等比数列；求证数列n n n n b a a b ,31--=-(Ⅱ)求数列{}的通项；n a (Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+??

????

为等差数列？若存在，试求出λ.若不存在,则说明理由。解：（I ）由已知得 111

,2,2n n a a a n +=

=+2213313,11,4424

a a a =--=--=-又

11,n n n b a a +=--1211,n n n b a a +++=--11112111(1)1

11222.1112n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a +++++++++++-----∴

====------ {}n b ∴是以34-为首项，以1

为公比的等比数列.

（II ）由（I ）知，13131(),4222n n n b -=-?=-?1311,22n n n a a +∴--=-?2131

1,22

a a ∴--=-?

322311,22a a --=-???????1131

1,22

n n n a a --∴--=-?将以上各式相加得：

1213111

(1)(),

2222n n a a n -∴---=-++???+11111(1)31313221(1)(1) 2.2222212

n n n n a a n n n ---∴=+--?=+---=+-- 3 2.2n n a n ∴=+-

（III ）存在2λ=，使数列{}n

S T n λ+是等差数列列1212111

3()(12)2222

n n n S a a a n n =++???+=++???++++???+-

11(1)

(1)22321212

n n n n -+=?+--2213333(1) 3.2222n n n n n n --=-+

=-++ 12131(1)

313342(1).1222212

n n n n n T b b b +--=++???+==--=-+- 数列{}n

n S T n λ+是等差数列的充要条件是,(n n

S T An B A n

λ+=+、B 是常数)即2,n n S T An Bn λ+=+

又2133333()2222n n n n n n S T λλ+-+=-+

++-+231

3(1)(1)222

n n n λ-=+--∴当且仅当102λ-=，即2λ=时，数列{

}n n

S T n

λ+为等差数列. ★【题31】(2006年陕西卷)已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n . ●解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3．又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ；∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n≥2)．当a 1=3时，a 3=13，a 15=73． a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3；当a 1=2时，a 3=12， a 15=72，有a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3．

★【题32】(2006年上海卷)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，4096n n a S +=。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列2{log }n a 的前n 项和为n T ,对数列{}n T ，从第几项起509n T <-？ .解(1) ∵a n + S n =4096, ∴a 1+ S 1=4096, a 1 =2048；当n ≥2时, a n = S n －S n －1=(4096－a n )－(4096－a n －1)= a n －1－a n

∴

1-n n a a =2

1 a n =2048(21)n －1. (2) ∵log 2a n =log 2[2048(21)n －1]=12－n, ∴T n =21(－n 2

+23n ).

由T n <－509,解得n>

4601

23+,而n 是正整数,于是,n ≥46. ∴从第46项起T n <－509.

★【题33】(2006年四川卷)数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前

n 项和为n T ，且315T =，又

112233

,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ●解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥

又21213a S =+= ∴213a a =；故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列； ∴13n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ；由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25

b =；

故可设135,5b d b d =-=+

又1231,3,9a a a ===；由题意可得()()()2

515953d d -+++=+；解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d >；∴2d =；∴()

213222n n n T n n n -=+

?=+

★【题34】(2006年上海春)已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；

201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.

（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；

（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

解：（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a .（2）()

)0(11010222030≠++=+=d d d d a a ，

???

????+??? ??+=4321102

d a ，当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞.

（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列. 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求

)1(10+n a 的取值范围. 研究的结论可以是：由()

23304011010d d d d a a +++=+=，依次类推可得

()

?????=+≠--?=+++=++.1),

1(10,1,11101101

)1(10d n d d d d d a n n

n 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等. ★【题35】(2005年湖南·文科·T 16) 已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）证明

.11

1112312<-++-+-+n

n a a a a a a

（I ）解：设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d. 由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d=1.

所以,)1(1)1(log 2n n a n =?-+=-即.12+=n n a （II ）证明因为

n n n n a a a 21

21111=

-=-++，所以n n n a a a a a a 2121212111132112312++++=-++-+-+ .12112

1121212

1<-=-?

-=n n

湖南省省级示范性高中……洞口三中高三数学第一轮总复习讲义

讲义15 数列的求和问题

撰稿：方锦昌电子邮箱 fangjingchang2 007@https://www.sodocs.net/doc/1210593883.html, 手机号码 139********

一、基本知识体系：

数列求和的常见方法有：

1、公式法：⑴ 等差数列的求和公式，⑵ 等比数列的求和公式 ⑶、(1)122

n n n ++++=

，222

123(1)(21)6

n n n n ++++=

++ 2135(21)n n +++

+-=， 2135(21)(1)n n +++++=+，

2、分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式

法求和（如：通项中含n

(-1)因式，周期数列等等）

3、倒序相加法：如果一个数列｛a n ｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：a n +a 1=a n-1+a 2 通常，当数列的通项与组合数相关联时，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）

4、错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。特征：所给数列｛a n ｝，其中a n =c n ·b n 而｛c n ｝是一个等差数列，且｛b n ｝则是一个等比数列。（“等比数列”的求和）

5、裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，即数列的每一项均可按此法拆成两项之差，在求和时一

些正负项相互抵消，于是前n 项之和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消

法。常见的拆项公式：1n(n+1) =1n -1n+1；1(2n+1) (2n-1) =12 (12n-1 -12n+1);1a n a n+m =1md (1

a n

-1a n+m )(其中｛a n ｝是一个公差为d 的等差数列； 1 a + b =1a-b

( a - b )；n ·n!=(n+1)! - n!；a n =S n -S n-1(n ≥2）

⑵

1111

()()n n k k n n k

=-++； ⑶ 22

11111()1211k k k k <=---+ 21111111

1(1)(1)1k k k k k k k k k

-=<<=-++-- ⑷

1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ⑸ ()()111!!1!

n n n n =-

⑹

< ⑺ 1--=n n n S S a (2)n ≥ ⑻ 11

11m m m m m m n n n n n n

C C C C C C --+++=?=- 二、典例剖析：

★【题1】数列求和： ①、求S n = 11×3+13×5+1

5×7+…+1(2n-1)(2n+1)

； ②、求S n =

1 1+

2 + 1

2 +

3 +…+ 1 n +n+1

③、求S n =1+(1+2)+（1+2+22）+...+（1+2+22+23+ (2)

）注意处理好起点项 ④、求S n =1+3×3+5×32+…+(2n+1)×3n 注意处理好起点项 ⑤、求S n =-32+222+3

23+…+n 2n 注意处理好起点项；

⑥、求数列｛|7-n|｝的前n 项之和

★※【题2】已知正数数列｛n a ｝满足：1

a =1，ｎ∈*

N 时，有

1n n

a a

1n n

a a -+-

① 求证：数列｛

｝为等差数列；并求｛

｝的通项公式

② 试问3

a ·6

是否为数列｛n

｝中的项，如果是，是第几项，如果不是，说明理由

③ 设

c =n

·1

n a +（ｎ∈*

），若｛

｝的前ｎ项之和为

，求lim

n S

→∞

【注解】①

＋２·n

·1

n a

-－1

n a

-=0，则1

－

n a

-=2 则

n - ②

a ·6

a = 155，是第28项；③n c =n a ·1n a +=121n -·121n +=12·（121n -－121n +）则

n S =12·（1－121

n +）则lim n n S →∞=1

2----------裂项相消法 ★※【题3】数列｛a n ｝前n 项之和S n 满足：ｔ·(S n+1+1)=（2ｔ+1）S n ,其中n ∈N +,t ≠0

① 求证：数列｛a n ｝是等比数列(n ≥2)

② 若数列｛a n ｝的公比为?（t ）,数列｛b n ｝满足：b 1=1，b n+1=?（1

b n ），求数列｛b n ｝的通项公式

③ 定义数列｛c n ｝为c n =

1 bn bn+1

，

，求数列｛c n ｝的前n 项之和T n ，并求lim n n T →∞

【注解】①、相减得

a n+1 a n = 2+1

, ∴数列｛a n ｝是等比数列； ②、b n+1 = ?（1 b n ）= 2+ b n ，则有b n = 2n —1； ③、c n = 1 bn bn+1 = 1（2n+1）(2n-1) = 21·(

2n-1

12n+1)，则T n = 21(1 － 1

2n+1)，∴lim n n T →∞=2

★ 【题4】已知公差不为0的正项等差数列｛a n ｝中,S n 为前n 项之和,lga 1、lga 2、lga 4成等差数列，若a 5=10,则S 5 =（）A 30 B 25 C 20 D 15

※【注解】化为a 22

= a 1·a 4 ，则有a 1=d=2选（A ）

★【题5】已知?（x ）=-4+1x 2 ,数列｛a n ｝的前n 项之和为S n ，点P n (a n , — 1

a n+1

) 在曲线y=f(x)上，（n ∈N +）,且a 1=1，a n >0；①、求数列｛a n ｝的通项公式；②、求证：S n > 2n 4n+1 +1

,（n ∈N +

）

【注解】①可化得1a n+12 —1a n 2 = 4,从而有a n = 1 4n-3 ； ②、a n = 2 24n+3 > 2

4n+1 +4n+3

= 4n+1 – 4n-3

则S n =

n ∞

=∑

4n-3 > 2

1(4n+1 —1) = 2n 4n+1 +1

本题注意①利用不等式的放缩思想,②构建裂项相消法进行数列求和

★【题6】已知等差数列｛a n ｝, a 2=6，a 5=18，数列｛b n ｝的前n 项和是T n ,且T n +

· b n =1 ①、求数列｛a n ｝的通项公式；②、求证数列｛ b n ｝是等比数列；③记c n = a n · b n ,求证：c n+1 ≤ c n

【注解】①、a 1=2，d=4则a n =4n-2； ②、数列｛b n ｝:首项为 2 3 ，公比为13的等比数列，则b n =2

③、c n = a n · b n =（4n-2）·23n = 4(2n-1)

3n ；c n+1 - c n = 16(1-n)3

n+1

则n ≥1时，有c n+1 - c n ≤ 0 故c n+1 ≤ c n

【★题7】①、数列｛a n ｝满足：a 1+a 2+…+a n =2n -1求a 12+a 22+…+a n 2

之值

②、数列｛a n ｝满足：S n =2 a n - n 求数列｛a n ｝的通项公式

【★题8已知不等式1n+1+1n+2+…+12n >112log a (a-1)+ 2

对于一切大于1的正整数n 恒成立,求实数a 的取值范围

解、①?（n ）为↗,?（n ）min =?（2）=712 ②｛a|1

｝为所求

三、巩固练习题： ★【题1】、列｛a n ｝中, a 1=2, a 2=3,且｛a n a n+1｝是以3为公比的等比数列,记b n = a 2n-1+ a 2n (n ∈N *)

① 求a 3、 a 4、 a 5、、a 6之值; ②求证｛b n ｝是等比数列

解、①a 3=6, a 4=9, a 5、=18,a 6=27;②a 2n-1=2×3n-1

a 2n =3n 则

b n =5×3n-1

★【题2】、知等差数列的首项a 1=1,且公差d >0,其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列｛b n ｝的第二项、

第三项、第四项；①、求数列｛a n ｝、｛b n ｝的通项公式；②、设数列｛c n ｝对任意自然数n 均有c 1b 1+c 2b 2 +…+c n b n =a n+1

成立,求a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n 之值

解、① (a 1 +d) (a 1 +13d)= (a 1 +4d)2 则d=2 a n =2 n-1 b n = 3n-1

② 12

n+112112n

1+ ++ =a + ++ =a

n n n n c c c b b b c c c b b b --???????

?相减有c n b n

= a n+1- a n =2 (n ≥2) 则c n = n-1

3 (n=1)

23 (n 2)

???≥?当时 T n =a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n =1×3+3×2×3+5×2×32

+…(2n -1)×2×3n-1

错位相减法则有T n =2(n-1)×3n

※ ★【题3】已知数列｛a n ｝是等差数列, a 3=18, a 6=12 ；①数列｛a n ｝的前多少项之和最大,最大值是多少? ②数列｛b n ｝满足a n =2log a bn (a >0,a ≠1,n ∈N*),求使得b n >1成立的n 的范围解、①S n =-n 2+23n 当 n=11或n= 12时, S n 最大,最大值为132 有 ②b n =a 12-n （1）、当a >1时,n <12 （2）、当0 12 ※★【题4】已知数列｛a n ｝满足: a 1=1

,2 a n+1= a n +n (n ∈N*)

①、令b n = a n+1- a n -1,求证数列｛b n ｝是等比数列；②、求数列｛a n ｝的通项公式解、①、b n+1= a n+2- a n+1-1=

a n+1+(n+1)2-a n +n 2 -1=12 (a n+1-a n -1)=12

b n ；又a 1=12,a 2=a 1+12 =34则b n =-3

4×(12

)n-1

②、a n+1- a n =1+-34×(12

)n-1则采用累加法有a n =3

2n +n-2

★【※题5】已知数列｛a n ｝是等差数列,且a 2=8,a 8=26,从｛a n ｝中依次取出第3项,第9项,第27项…,第3n 项,

按原来的顺序构成一个新的数列｛b n ｝,则bn=_____(答案:3n+1+2)

★【※题6】已知数列｛a n ｝｛b n ｝中，a 1 =1，a 2 =b 1 =3,a 3 =b 2 =7,若数列{a n+1 -a n }是一个等比数列，数列{b n +n

a n }

是一个等差数列 ①求数列{ a n }的通项公式 ②求数列{ b n }的前n 项之和S n ③证明：当n >4时，S n >n b n 解、①a n+1 -a n =2n ，则累加有a n =2n -1

b n +n

a n

=5-n,则有b n =(5-n ）·2n -5 ②错项相减法则S n =（6-n)·2n+1-5n-12 ③令?（n)= S n -n b n =(n 2-7n+12)·2n -12,考查单调性:?

（n+1)-?(n)=n(n-3)·2n

,当n>4时，?（n)为↗，?（5）=52，当n>4时，?（n)≥?(5)=52>0, ∴S n >n b n

★【※题7】已知数列｛a n ｝是等差数列，首项a 1<０，a 2005＋a 2006<０，a 2005·a 2006<０，则使前n 项之和S n <０成立的最大自然数n 是（Ｃ）

Ａ４００８Ｂ４００９Ｃ４０１０Ｄ４０１１

★【※题8】已知?（x ）=x 1-2x (0

1)的反函数为?-1（x ）,①若数列｛a n ｝满足a n+1 =?-1

（a n ）(n ∈N*)且a 1 =12,

求数列{ a n }的通项公式;②证明: a 12+ a 22+…a n 2<1

解、①?-1

（x ）=x 1+2x (x>0)则1 a n+1=1 a n +2,则a n =12n ②所证=41(112+122+132+…+1n 2)<41(1+11×2+12×3+…

1n(n-1))=41

(2-1n )<2

★【题9】(2006年山东卷)已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f(x)=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1）证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；（2）记b n =

211++

n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +1

-n T =1. 解：（Ⅰ）由已知2

12n n n a a a +=+， 211(1)n n a a +∴+=+； 12a =11n a ∴+>，两边取对数得

1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即

1lg(1)

2lg(1)

n n a a ++=+；{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=?+ 1

122lg3lg3n n --=?= 1

213n n a -∴+=（*）

12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a ) 012222333=????n-12…3 2

102n n a a a +=+1(2)n n n a a a +∴=+ 11111

112()n n n b a a +∴=-；12n S b b ∴=++n …+b 122311111112(

)n n a a a a a a +=-+-+-…+11

112()n a a +=-；1

221131,2,31n n

n n a a a -+=-==-22131

310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于

（A ）

2(81)7n - （B ）12(81)7n +- （C ）32

(81)7n +-

（D ）

2(81)7

n +- 解：依题意，()f n 为首项为2，公比为8的前n ＋4项求和，根据等比数列的求和公式可得D

★2．（湖南卷）若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21 . 解：数列{}n a 满足：111,2, 1n n a a a n +===，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴

=+++n a a a 2121

2121

n n -=--.

★3、．（江苏卷）对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1

【正确解答】1(1)n n y nx n x -'=-+，曲线y=x n

(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n

切点为（2，-2n ）,所以切线方程为y+2n =k(x-2),令x=0得 a n =(n+1)2n ,令b n =21n n a n =+.数列?

???+1n a n 的前n 项和为2+22

+23

+…+2n =2n+1-2

.★4、（安徽卷）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211

,1,1,2,2

n n a S n a n n n =

=--=??? （Ⅰ）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥，并求n S 关于n 的表达式；

（Ⅱ）设()()()1

/,n n n n n S f x x b f p p R n +=

=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 。解：由()21n n S n a n n =--()2n ≥得：()21()1n n n S n S S n n -=---，即()22

1(1)1n n n S n S n n ---=-，

所以

1111n n n n

S S n n -+-=-，对2n ≥成立。由1111n n n n S S n n -+-=-，121112n n n n S S n n ----=--，…，2132121S S -=相加得：11

21n n S S n n +-=-，又1112S a ==，所以2

n n S n =+，当1n =时，也成立。

（Ⅱ）由()11

n n n n S n f x x x n n ++==

+，得()/n n n b f p np ==。而23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+，234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+，

1(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p

★5．（安徽卷）在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件

242

,1,2,1

n n S n n S n +==+，

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(0)n a n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由

2421

n n S n S n +=+得：12

13a a a +=，

所以22a =，即211d a a =-=，又1

211122()42212n n n n n n a nd a n S a nd a n a a n S a a n ++?+++===

+++?＝2(1)

1n n a n a +++，所以n a n =。（Ⅱ）由n a

n n b a p =，得n n b np =。所以23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+，

当1p =时，12

n n T +=；当1p ≠时，2341

23(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+，

2311

1(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p p np np p

★6、（湖北卷）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）、设1

n n n b a a +=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，

求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[]

)1(2)132---n n （＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *

∈）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13

n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1

+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使

21（1－161+n ）<20m （n N *

∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20

m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.

★7．（辽宁卷）已知等差数列{}n a 的前n 项和为22(,),n S pn a q p q R n N =-+∈∈

（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若a 1与a 5的等差中项为18，b n 满足22log n n a b =，求数列的{b n }前n 项和. (Ⅰ)解：当1n =时，112a S p q ==-+,

当2n ≥时,2212(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pn p =--. {}n a 是等差数列,222p q p p ∴-+=--,0q ∴=············4分 (Ⅱ)解：

a a a +=

,318a ∴=.又362a p p =--,6218p p ∴--=,4p ∴=86n a n ∴=-············8分又22log n n a b =得43

n n b -=.12b ∴=,4(1)1

414322162

n n n n b b --+-===,即{}n b 是等比数列.

所以数列{}n b 的前n 项和2(116)2

(161)11615

n n n T -=

=--.

★8．(陕西卷) 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n .

解析：解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3．又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n≥2)．

当a 1=3时，a 3=13，a 15=73． a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时，a 3=12， a 15=72，有a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3．

★【题9】(2005年湖南·文科·T 16) 已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）证明

.11

1112312<-++-+-+n

n a a a a a a

（I ）解：设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d. 由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d=1.

所以,)1(1)1(log 2n n a n =?-+=-即.12+=n n a （II ）证明因为

n n n n a a a 2

21111=-=-++，所以n n n a a a a a a 2121212111132112312++++=-++-+-+ .12112

湖南省省级示范性高中……洞口三中高三数学第一轮总复习讲义

讲义15 数列的应用

撰稿：方锦昌电子邮箱 fangjingchang2 007@https://www.sodocs.net/doc/1210593883.html, 手机号码 139********

★【题1】、数列{a n }的前n 项之和S n = (n+1)b n , 其中数列{b n }是首项为1，且公差为2的一个等差数列，①、求数列{a n }的通项公式；②、设c n =1

a n ·(2

b n +5),数列｛

c n ｝的前n 项之和为T n ，求证：T n < 328

解：①、b n }=2n-1, a n }=2(1)41(2)

n n n =??

-≥?当时当时②、T n = 114+14（17-1

11+…- 14n+3)= 114+128-14×14n+3 < 328

★【题2】、已知数列{b n }是等差数列, b 1=1, b 1 + b 2 + ???+ b 10 = 145. (I). 求数列{b n }的通项b n ; ②、设数列{a n }的通项a n =log a (1+ 1/ b n ) (其中a>0, 且a ≠1), 记S n 是数列{a n }的前n

项和.；试比较S n 与1

log a b n+1 的大小 ,并证明你的结论.

★★【题3】、已知曲线C ：xy=1,过C 上的一点A n (x n ,y n )做一斜率为k n =

-1

x n +2

的直线交曲线C 于另一点An +1(x n+1,y n+1)，点列A n (n=1,2,3,…)的横坐标构成数列｛x n ｝，其中x 1=117，①求x n 与x n+1的关系式；②求证：｛

x n -2

高三数学第一轮总复习教案--数列部分

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