数学物理方程第二版答案
数学物理方程第二版答案
第一章． 波动方程
§1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程
()??
? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆
在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：
),();,(t x x u x x t x u x ?++?++
其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x
x
t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ
令
0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于
),()(),(t x u x E t x T x =
其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为
x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+
于是得运动方程
tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+
利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得
tt u x s x )()(ρx
??
=
x ESu () 若=)(x s 常量，则得
22)(t
u x ??ρ=))((x u x E x ????
即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u
(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x u
x E t l T ??=)
(),(|l
x =等于零，因此相应的边界条件为
x u
??|l
x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为
x
u
??∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的
偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有
x u
E
??∣)](),([t v t l u k l
x --== 其中k 为支承的刚度系数。由此得边界条件
)(
u x
u
σ+??∣)(t f l x == 其中E k =σ
特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件
)(
u x
u
σ+??∣0==l x 。 同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件
x u
E
??∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u x
u
σ-??∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2
222)1(])1[(t u h x x u h x x E ??-=??-??ρ 其中h 为圆锥的高(如图1)
证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为：
h
x l -
=1 所以截面积2
)1()(h
x x s -
=π。利用第1题，得
])1([)1()(22
22x
u
h x E x t u h x x ??-??=??-ππρ 若E x E =)(为常量，则得
2
222)1(])1[(t u
h x x u h x x E ??-=??-??ρ
4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为
)()(x l g x T -=ρ
且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为
)(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ
其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角
又 .
sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程
x u
x x l t
u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ
利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得
])[(2
2x u
x l x g t u ??-??=??。
5. 验证 2
221),,(y x t t y x u --=
在锥2
22y x t -->0中都满足波动方程
2
22222y u x u t u ??+??=??证：函数2
221),,(y x t t y x u --=在锥222y x t -->0内对变量t y x ,,有
二阶连续偏导数。且
t y x t t
u
?---=??-
2
3
222)(
225
222232222
2
)(3)(t y x t y x t t
u
?--+---=??--
)2()
(2222
3222
y x t y x t
++?--=-
x y x t x
u ?--=??-2
3
222)(
()()
2252222322222
3x y x t y x t x
u
----+--=?? (
)()222252222y x t y x t -+--=-
同理 ()()222252222
22y x t y x t y
u
+---=??-
所以
(
)().2222
22
2
522
22
22
2t u
y
x t
y x t y
u x
u ??=++-
-=??+
??-
即得所证。
6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力) 与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.
解: 利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段()x x x ?+,上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为t
u
b
??-,故()x x x ?+,上所受摩阻力为 ()()t
u
x
x s x p b ?????-
运动方程为:
()()()()t u x x s x b x x u ES t u ES t
u
x x s x x x ????-??-???
????=???
??+ρρ22 利用微分中值定理，消去x ?,再令0→?x 得
()()()()
.22t
u
x s x b x u ES x t u x s x ??-??? ??????=??ρρ 若=)(x s 常数，则得
()()t u
x b x u E x t
u x ??-??? ??????=??ρρ22
若 ()()则得方程令也是常量是常量
,.,2
ρ
ρρE
a E x E x ===
.2
2
222x
u a t u b t u ??=??+??
§2 达朗贝尔公式、 波的传抪
1. 证明方程
()常数01112
22
22 h t
u
h x a x u h x x ????? ??-=????????????? ??-?? 的通解可以写成
()()x
h at x G at x F u -++-=
其中F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
()().,
:0x t
u
x u t ψ=??==? 解：令()v u x h =-则
()()()??
?
?
???+-=??-??+=??-x v u x h x
u x h x
v u x
u x h 2,
))(()()()()[(2222x
v u x h x u x h x u x h x v u x u x h x ??+-=??-+??-+??+-=??-??
又 ()2222t
v t u x h ??=??-
代入原方程，得
()()222221t
v x h a x v x h ??-=??-
即 2
22221t v a x v ??=?? 由波动方程通解表达式得
()()()at x G at x F t x v ++-=,
所以 ()()()
x h at x G at x F u -++-=
为原方程的通解。 由初始条件得
()()()[])1(1
x G x F x h x +-=
?
()()()[]
x aG x aF x
h x //1
+--=ψ
所以 ()()()
())2(1
c d h a x G x F x
x +-=-?ααψα
由)2(),1(两式解出
()()()()()2
2121c
d h a x x h x F x
x o
+-+-=?ααψα?
()()()()()2
2121c d h a x x h x G x
x o
+---=?ααψα? 所以 )]()()()[()
(21
),(at x at x h at x at x h x h t x u +--+-+--=
??
+
?+---at x at
x h x h a ()()(21
ψα.)ααd
即为初值问题的解散。
２．问初始条件)(x ?与)(x ψ满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成？
解：波动方程的通解为
u=F(x-at)+G(x+at)
其中F ，G 由初始条件)(x ?与)(x ψ决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对 于任何t x ,
有 G(x+at)≡常数.
即对任何x, G(x)≡C 0
又 G （x ）=?-+x x a
C
d a x 02)(21)(21ααψ? 所以)(),(x x ψ?应满足
+)(x ??=x
x C d a 01)(1ααψ（常数）
或 '
?(x)+)(1x a
ψ=0
3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）
???
?
???==??=??=+=-).()(0022
222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?=
解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0) 所以 F(x)=)2
(x ψ-G(0). G （x ）=)2
(x ?-F(0). 且 F （0）+G(0)=).0()0(ψ?= 所以 u(x,t)=(
?)2at x ++)2
(at
x -ψ-).0(? 即为古尔沙问题的解。
4．对非齐次波动方程的初值问题
???
????+∞<<-∞=??==+∞<<-∞>=??-??)
()(),(,0),0()
,(22222x x t u x u t x t t x f x u a t u ψ?
证明：
（1） 如果初始条件在x 轴的区间[x 1,x 2]上发生变化，那末对应的解在区间[1x ，
2x ]的影响区域以外不发生变化；
（2） 在x 轴区间[2,1x x ]上所给的初始条件唯一地确定区间[21,x x ]的决定区 域中解的数值。
证：（1） 非齐次方程初值问题的解为 u(x,t)=?+-+
++-at
x at x a
at x at x 21)]()([21??+ααψd )( +??-+--t
t a x t a x d d f a 0
)()(.),(21τττξτξ
当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐
次方程初值的解。
当),(x ?)(x ψ在[2,1x x ]上发生变化，若对任何t>0,有x+at
x x at x t
之外，解u(x,t)不发生变化。 （1）得证。
(2). 区间[21,x x ]的决定区域为 at x x at x t -≤≤+>21,0 在其中任给（x,t ）,则
21x at x at x x ≤+<-≤
故区间[x-at,x+at]完全落在区间[21,x x ]中。因此[21,x x ]上所给的初绐 条件)(),(x x βψ?代入达朗贝尔公式唯一地确定出u(x,t)的数值。
5. 若电报方程
()GRu u LG CR CLu u t tt xx +++=
()为常数G R L C ,,,具体形如
()()()at x f t t x u -=μ,
的解（称为阻碍尼波），问此时G R L C ,,,之间应成立什么关系？ 解 ()()()at x f t t x u -=μ,
()()at x f t u xx -''=μ
()()()()at x f t a at x f t u t -'--'=μμ
()()()()()()at x f t a at x f t a at x f t u tt -''+-''--''=μμμ22
代入方程，得
()
()()()()()()()
()()()()()()()0
212
=-++'++''+-'++'--''-at x f t GR t GR t LG CR t CL at x f t LG CR a t aCL at x f t CLa
μμμμμμμ
由于f 是任意函数，故f f f ''',,的系数必需恒为零。即
()()()()()()()???
??=+'++''=++'=-00
2012t GR t LG CR t CL t LG CR t CL CLa μμμμμ 于是得
21a
CL =
()()()LG CR a t u t u +-='2
2
所以 ()()t LG CR a e
c t u +-
=2
02
代入以上方程组中最后一个方程，得
()()024222
4≡++-
+?GR LG CR a LG CR a CL 又 ()GRCL LG CR CL a =+=
2
24
1,1得 即
()02=-LG CR
最后得到
R
G L C =
6．利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题
()()()()()??
?
??≥=∞<<=====00,000,002t t u x x u x u u a u t t t xx tt ψ? 解：满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出：
()()()()()?+-
+-++=at
x at
x d a at x at x t x u ααψ??21
21,。
由题意知()()x x ψ?,仅在∞< 拓到0<<∞-x 上，为此利用边值条件，得 ()()()()?-++=at at d at at ααψ??21 0。 因此对任何t 必须有 ()()at at --=?? ()0=?-at at d ααψ 即()()x x ψ?,必须接奇函数开拓到0<<∞-x 上，记开拓后的函数为()()x x ψΦ,； ()()()()()()?? ?<-->=ψ?? ?<-->=Φ0, 0, 0,0, x x x x x x x x x x ψψ?? 所以 ()()()()()?+- +-++=at x at x d a at x at x t x u ααψ??21 21, ()()()()()()()()??? ??? ?>> +--+><+-++=??+-+-0,, 2121 0,,21 21x a x t d a x at at x x a x t d a at x at x at x x at at x at x ααψ??ααψ??。 7．求方程??? ? ????+??+??=??222222 222z u y u x u a t u 形如()t r f u ,=的解（称为球面波）其中222z y x r ++= 。 解： ()t r f u ,= x r r u x r r u x u ???=?????=?? ` ???? ??-??+???=??322222221r x r r u r x r u x u ??? ? ??-??+???=??322222221r y r r u r y r u y u )1(3222222 2r z r r u r z r u z u -??+???=?? 代入原方程，得 )]3([3 22222 222r z y x r r u r u a t u ++-??+??=?? 即 )2(22 222r u r r u a t u ??++??=?? 令 v ru =，则 222222222,r v r u r u r r v u r u r t v t u r ??=??+????=+????=??， 代入方程，得 v 满足 2 2 222r v a t v ??=?? 故得通解 )()(),(at r G at r F t r v ++-= 所以 )()([1 at r G at r F r u ++-= 8．求解波动方程的初值问题 ??? ??? ?=??==??-??==x t u u x t x u t u t t sin |,0sin 002222 解：由非齐次方程初值问题解的公式得 τξξτααττd d d t x u t t x t x t x t x ???-+--+-+=0) () (sin 21 sin 21),( =?----+---+-t d t x t x t x t x 0 ))](cos())([cos(21 )]cos()[cos(21ττττ =? -+t d t x t x 0 )sin(sin sin sin τττ =t t t x t x 0)]sin()cos([sin sin sin τττ-+-+ =x t sin 即 x t t x u sin ),(= 为所求的解。 9．求解波动方程的初值问题。 ??? ? ?? ?+==++===200222 11|,0|)1(x u u x tx u a u t t t xx tt 解： ???-+--+-+++=t t a x t a x at x at x d d d a t x u 0) ()(2 22) 1(1121),(τττξξξτ αα ?+---+=+at x at x at x arctg at x arctg d )()(11 2αα ???-+---+--+-=+t t a x t a x t t a x t a x d d d 0 ) ()(20)()(22])1(21[)1(τξττξξξτττττ =?-++--++t d t a x t a x 02 2]))((1)((1[ 21τττ ττ =??-++-+++---x at x x at x du u a u at x du u a u at x ) 1(21)1(212 222 =???+--++++++--at x at x x at x x at x u du a t u du za t du u u x a 2 222 121121 =22 22) (1)(1ln 41))()((2at x at x a at x arctg at x arctg a x -+++++-- + )]()(2[2at x arctg at x arctg arctgx a t +--- =)()(21)()(212 2at x arctg at x a at x arctg at x a ++--- +222) (1)(1ln 41at x at x a arctgx a t -++++ 所以 })(1) (1ln 212)()2()()2{(41),(2 2 2 23at x at x atarctgx at x arctg a at x at x arctg a at x a t x u -++++++??-+----= §3混合问题的分离变量法 1. 用分离变量法求下列问题的解： (1) ??? ? ? ? ???==<<-=??=??=??==0),(),0()0()1(,3sin 0 22 222t l u t u l x x x t u l x u x u a t u o t t π 解：边界条件齐次的且是第一类的，令 )()(),(t T x X t x u = 得固有函数x l n x X n π sin )(=，且 t l an B t l an A t T n n n π πsin cos )(+=，)2,1( =n 于是 ∑∞ =+= 1 sin )sin cos (),(n n n x l n t l an B t l an A t x u π ππ 今由始值确定常数n A 及n B ，由始值得 ∑∞==1 sin 3sin n n x l n A l x π π ∑ ∞ ==-1 sin )(n n x l n B l an x l x π π 所以 ,13=A ,0=n A 当3≠n ?-=l n xdx l n x l x an B 0 sin )(2π π ??? ??+???? ??+-=x l n x n l x l n n l x l n x n l l an ππ ππππ π cos sin cos 2 22 22 )} ))1(1(4cos 2sin 2443 333222n l an l x l n n l x l n n x l --=--π π π ππ 因此所求解为 ∑∞ =--+ =1 4 4 3 s i n s i n )1(143s i n 3c o s ),(n n x l n t l an n a l x l t l a t x u π ππππ (2) ??? ? ? ????=??==??==??-??0)0,(,)0,(0),(0 ),0(022222x t u x l h x u t l t u t u x u a t u 解：边界条件齐次的，令 )()(),(t T x X t x u = 得：?? ?='==+''0)(, 0)0(0 l X X X X λ (1) 及 )2(02 =+''X a T λ。 求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。 1 0<λ时，方程的通解为 x x e C e C x X λλ-- -+=21)( 由0)0(=X 得021=+c c 由0)(='l X 得021=----- -l l e C e C λλλλ 解以上方程组，得01=C ，02=C ，故0<λ时得不到非零解。 2 0=λ时，方程的通解为x c c x X 21)(+= 由边值0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得02=c ，仍得不到非零解。 30>λ时，方程的通解为 x c x c x X λλsin cos )(21+= 由0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得 0cos 2 =l c λλ 为了使02≠c ，必须 0cos =l λ，于是 2 212?? ? ??+==πλλl n n )2,1,0( =n 且相应地得到x l n x X n π21 2sin )(+= )2,1,0( =n 将λ代入方程(2)，解得 t a l n B t a l n A t T n n n ππ21 2sin 212cos )(+++= )2,1,0( =n 于是 ∑∞ =++++=0 21 2sin )212sin 212cos (),(n n n x l n t a l n B t a l n A t x u πππ 再由始值得 ??? ????++=+=∑∑∞ =∞ =00 212sin 2120212sin n n n n x l n B a l n x l n A x l h πππ 容易验证? ?? ???+x l n π212sin )2,1,0( =n 构成区间],0[l 上的正交函数系： ?????=≠=++?n m l n m xdx l n x l m l 当当2 0212sin 212sin 0ππ 利用? ?? ??? +x l n π212sin 正交性，得 xdx l n x l h l A l n π212sin 20+=? l x l n n l x l n x n l l h 0 2 2212sin )12(2212cos )12(22??????? ? ??+??? ? ??++++-=ππππ n n h )1()12(82 2-+= π 0=n B 所以 ∑∞ =+++-=02 221 2s i n 212c o s ) 12()1(8),(n n x l n t a l n n h t x u πππ 2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为 ??? ? ???=??===??=??0)0,()0,(sin ),(, 0),0(22 222x t u x u t A t l u t u x u a t u ω 求解此问题。 解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取t x l A t x U ωsin ),(=，则),(t x U 满足 0),0(=t U ，t A t l U ωsin ),(= 令),(),(),(t x v t x U t x u +=代入原定解问题，则),(t x v 满足 )1()0,(0)0,(0),(,0),0(sin 22 2222??? ? ???-=??===+??=??x l A x t v x v t l v t v t x l A x v a t v ωωω ),(t x v 满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为x l n x X n π sin )(=，)2,1,0( =n 故设 )2(sin )(),(1 ∑∞ == n n x l n t T t x v π 将方程中非齐次项 t x l A ωωsin 2及初始条件中x l A ω-按? ?? ? ??x l n π sin 展成级数，得 ∑∞ ==1 2sin )(sin n n x l n t f t x l A π ωω 其中 ?=l n xdx l n t x l A l t f 02sin sin 2)(π ωω l x l n n l x l n x n l t l A 0 22222sin cos sin 2??? ?? ?+-=ππππ ωω x l A t n A n ωωπω--=+sin )1(212 x l n n n π ψsin 1 ∑∞ == 其中 n l n n A xdx l n x l A l )1(2sin 20 2-=-=?πωπωψ 将(2)代入问题(1)，得)(t T n 满足??? ??? ?-='=-=?? ? ??+''+n n n n n n n A T T t n A t T l an t T )1(2)0(,0)0(sin )1(2)()(12 2 π ω ωπωπ 解方程，得通解2212)(sin )1(2sin cos )(?π?π?ππ-?-++=+l an t n A t l an B t l an A t T n n n n 由始值，得0=n A 222222231)(2)1(}))((2)1(2)1{(1l an al A l an n l A n A an B n n n n ?π??ππ?π?π--=----=+ 所以 ∑∞ =--=12 2sin ) ()(2)1({),(n n t l an l an al A t x v π ?π? x l n t n l an l A n π ?π ?π?sin }sin 1)()(2)1(22221?--++ x l n t n l t l an a l an l A n π ?π?π?π?sin }sin sin {) ()()1(212 22∑∞ =---= 因此所求解为 ∑∞ =--+=1 2 22 )()()1(2sin ),(n l an l A t x l A t x u ?π?? x l n t nt l t l an a π ??πsin }sin sin {-? 3．用分离变量法求下面问题的解 ??? ? ? ? ???===??=+??=??====0||0 ||00022 222l x x t t u u t u u bshx x u a t u 解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为 ),2,1(sin )( ==n x l n x X n π 设 ∑∞ == 1 sin )(),(n n x l n t T t x u π 将非次项bshx 按}{sin x l n π 展开级数，得 ∑∞ ==1 sin )(n n x l n t f bshx π 其中 shl bn l n xdx l n shx l b t f n l n πππ2)1(sin 2)(2221 0+-==+? 将 ∑∞ == 1 s i n )(),(n n x l n t T t x u π 代入原定解问题，得)(t T n 满足 ???? ?='=+-=+' '+0 )0(,0)0(2)1()()( )(22212n n n n n T T shl l n bn t T l an t T πππ 方程的通解为 shl l n bn an l t l an B t l an A t T n n n n 12222)1(2)(sin cos )(+-+?++=ππ πππ 由0)0(=n T ，得：shl l n bn an l A n n 12 222)1(2)(+-+-=ππ π 由0)0(='n T ，得0=n B 所以 )cos 1()1(2)1()(12222t l an shl l n bn an t T n n ππππ--+=+ 所求解为 ∑∞=+-+-=12 22122sin )cos 1() ()1(2),(n n x l n t l an l n n shl a bl t x u π πππ 4．用分离变量法求下面问题的解： ???? ? ????=??===>??=??+??====0|,|0||)0(20002 2 222t t l x x t u x l h u u u b x u a t u b t u 解：方程和边界条件都是齐次的。令 )()(),(t T x X t x u = 代入方程及边界条件，得 λ-==+X X T a bT T " 2 '"2 0)()0(==l X X 由此得边值问题 ?? ?===+0 )()0(0"l X X X X λ 因此得固有值2 ?? ? ??==l n n πλλ，相应的固有函数为 ,2,1,sin )(==n x l n x X n π 又)(t T 满足方程 022 ' " =++T a bT T λ 将n λλ=代入，相应的)(t T 记作)(t T n ，得)(t T n 满足 022 ' "=?? ? ??++T l an bT T n n π 一般言之，b 很小，即阻尼很小，故通常有 ,2,1,2 2=?? ? ?? 故得通解 )sin cos ()(t B t A e t T n n n n bt n ωω+=- 其中 2 2 b l an n -?? ? ??=πω 所以 x l n t B t A e t x u n n n n n bt πωωsin )sin cos (),(1 +=∑∞ =- 再由始值，得 ??? ????+-==∑∑∞ =∞=x l n B bA x l n A x l h n n n n n n πωπsin )(0sin 11 所以 10 2)1(2sin 2+-==?n l n n h xdx l n x l h A ππ 1)1(2+-= =n n n n n n bh A b B πωω 所求解为 .sin )sin (cos )1(2),(1 1x l n t b t n e h t x u n n n n n bt π ωωωπ +-= ∑∞ =+- §4 高维波动方程的柯西问题 1． 利用泊松公式求解波动方程 )(2zz yy xx tt u u u a u ++= 的柯西问题 ?????=+===0 0230t t t u z y x u 解：泊松公式 ds r a ds r a t u Sat M Sat M ????+?? ??????????=ψ πφπ4141 现 z y x 2 3 ,0+==φψ 且 ????=Φ=Φ ππ ?θθ?θ020|sin ),,(at r s d d r r ds r M at 其中 )cos ,sin sin ,cos sin (),,(θ?θ?θ?θr z r y r x r +++Φ=Φ )cos ()sin sin ()cos sin (2 3 θ?θ?θr z y r x ++++= ?θ?θ?θ33222 2 2 2 3 cos sin cos sin 3cos sin 3r xr r x z y x ++++= θ?θ?θcos sin sin sin sin 2222r y rz yzr +++ θ?θ?θθcos sin sin sin cos sin 2232r yr ++ 计算 ??Φππ ?θθ?θ020 sin ),,(d d r r ) (4)cos (2)(sin )(23020 2323 z y x r z y x r d d r z y x +=-?+=+??πθπψθθππ π ????==?ππ π π ??θθ?θθ?θ020 202 2 22 0cos sin 3sin cos sin 3d d r x d d r r x ????=?ππ π π??θθ?θθ?θ020 20 233222 cos sin 3sin cos sin 3d d xr d d r xr π πφφθθ20033]2sin 4 12[ ]cos cos 31[3+?-=xr ?θθ?θπππ d d r r xr sin cos sin 433020 3 ?=?? 3320 4 4 4cos sin xr d d r π??θ θπ π ==? ? ????==?ππ ππ ??θθ?θθ?θ0 20 2 2 020 0sin sin 2sin sin sin 2d d yzr d d r yzr z r z r d d rz d d r z r 320 03320 20 3 020 2 2 2 3 4]2sin 412[]cos cos 31[sin sin sin sin sin π??θθ??θθ?θθ?θπππ π ππ =-?-==????? ????==?π π ππ ?θθθ?θθθ0 20 2 2020 2 0sin cos sin cos d d r y d d r r y ????==??π πππ ??θθθ?θθ?θθ20 23020 2 sin cos sin 2sin sin sin 2d d yr d d r coc yr ??? ? =?=?ππ ππ ??θθθ?θθθ?θ0 20 234020 2230 sin cos sin sin cos sin sin d d r d d r r （20141008）第二章 傅里叶级数 1. n a 和n b 的推导 如果以2π为周期的函数()f x 可以展开成三角级数，即 01 ()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑ （1） 成立。在等式两边同时对x 积分有 0001()d d (cos sin )d 2022n n n a a f x x x a nx b nx x a ππππππππ∞-- -==++=+=∑???g 因此 01()d a f x x πππ- =? 将等式（1）左右两边同时乘以*cos ()kx k N ∈然后对x 积分有 01 ()cos d cos d (cos sin )cos d 2n n n a f x kx x kx x a nx b nx kx x ππππππ∞---==++∑??? 利用三角函数的正交性，等式右边的第二项积分而言，当n k ≠时，积分为0，而当n k =时，积分为k a π，所以 ()cos d 0k k f x kx x a a ππππ-=+=? 因此 *1()cos d , k a f x kx x k N πππ- =∈? 将等式（1）左右两边同时乘以*sin ()kx k N ∈然后对x 积分后同理可得 *1()sin d , k b f x kx x k N πππ-= ∈? 合并上述结果，可以得到 1 ()cos d , (=0,1,2,3,)n a f x nx x n πππ -=?L 1()sin d , (1,2,3,)n b f x nx x n π ππ-==?L n a 和n b 即为()f x 的傅里叶系数，等式（1）的右边即为()f x 的傅里叶级数。记为： 01 ()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 此处之所以没有使用“=”，是由于尚不清楚()f x 的傅里叶级数是否以()f x 为和函数，且其是否收敛也未可知。 对于()f x 的傅里叶级数而言，如果()f x 是奇函数，显然有 02 0, ()sin d n n a b f x nx x π π==? 由于此时()f x 的傅里叶级数仅剩下正弦项，因此也成为正弦级数； 如果()f x 是偶函数，同理有 02()cos d , 0n n a f x nx x b π π==? 且由于此时()f x 的傅里叶级数仅剩下余弦项，因此也成为余弦级数。 2. 关于傅里叶级数的一些重要结论 以2π为周期，定义于[,]ππ-上的函数()f x x =的傅里叶展开式为 2 141cos(21), (,)2(21)n n x x n π π∞ =--∈-∞+∞-∑ 证明（应该不会考）如下： 第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律 dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4 2 l π为S 。 由假设，在任意时刻t 到t t ?+内流入截面坐标为x 到x x ?+一小段细杆的热量为 t x s x u k t s x u k t s x u k dQ x x x x ????=???-???=?+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t t ?+在截面为 x 到x x ?+一小段中产生的热量为 ()()t x s u u l k t x l u u k dQ ??-- =??--=11 1124π 又在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s t u c x s t x u t t x u c dQ t ????=?-?+=ρρ,,3 由热量守恒原理得： ()t x s u u l k t x s x u k t x s t u c x t ??-- ????=????11 2 24ρ 消去t x s ??，再令0→?x ，0→?t 得精确的关系： ()11 224u u l k x u k t u c -- ??=??ρ 或 ()()11 22 2112244u u l c k x u a u u l c k x u c k t u --??=--??=??ρρρ 其中 ρ c k a =2 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt n u D dM ??-=，其中D 为扩散系数，得 ?????= 2 1 t t s dsdt n u D M 浓度由u 变到2u 所需之溶质为 ()()[]???????????ΩΩΩ ??=??=-=2 12 1121,,,,,,t t t t dvdt t u C dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M 两者应该相等，由奥、高公式得： ????????Ω Ω??==????????? ??????+???? ??????+??? ??????=2 12 11t t t t dvdt t u C M dvdt z u D z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C 。由于21,,t t Ω的任意性即得方程： ?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z u D z y u D y x u D x t u C 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的 水化热成正比。以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量，0Q 为初始时刻所储的热量，则 Q dt dQ β-=，其中β为常数。又假设砼的比热为c ，密度为ρ，热传导系数为k ，求它在浇后温度u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由Q dt dQ β-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。由假设，放 热速度为 t e Q ββ-0 它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得 ??? ? ??-=+??? ? ????+??+??=??-ρρββc k a e c Q z u y u x u a t u t 20222222 2 4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度0u 的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程 ()2201224.0ρω ρωρc r i u u c P k x u c k t u +--??=?? 其中i 及r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，ω表示横截面面积，而k 表示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为 数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有 二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??- 23 222)( 22 52222 3 2222 2 ) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- - 高等数学物理方程 一、课程编码：1800005 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理论物理、凝聚态物理 三、先修课程：常微分方程、复变函数、数学物理方法 四、教学目标 通过本课程的学习使研究生 1. 了解数学物理方程的物理基础； 2. 了解数学物理方程的基本内容和最新发展概况； 3. 了解数学物理的基本方法和一些必要的技巧； 4. 掌握求解最重要的边值或边值初值问题的关键步骤和方法以及对解的检验。 五、教学方式 课堂讲授。 六、主要内容及学时分配 1. 偏微分方程的分类 10 学时1.1 一般概念 1.2 柯西问题、柯西-柯娃列夫斯卡娅定理 1.3 柯西问题的推广、特征的概念（*） 1.4 含一个未知函数的二阶方程在一点的标准型及其分类 1.5 两个自变量的二阶偏微分方程在一点的邻域内的标准型 2. 双曲型方程 20 学时2.1 （一维）波动方程的导出（物理起源）及定解条件 2.2 其他双曲型方程（*） 2.3 （一维）波动方程的柯西问题及其传播波法 2.4 （一维）波动方程的混合问题及其分离变量法 2.5 高维波动方程的柯西问题 3. 椭圆型方程 21 学时3.1 拉普拉斯方程（包括物理起源、定解条件、曲线坐标系下的拉氏方程等） 3.2 调和函数的一般性质（包括格林公式、极值原理、解的唯一性与稳定性等） 3.3 最简单区域的边界问题的分离变量法 3.4 源函数 3.5 势论与积分方程 3.6 双调和方程（*） 4. 抛物型方程 8 学时4.1 热传导方程的物理起源 4.2 定解问题的提法 4.3 热传导方程的求解 4.4 极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性 5. 特殊函数与正交多项式 5 学时5.1 特殊函数的方程及边界问题的提法 5.2 柱函数（*） 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 (2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x u x E t l T ??=) (),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的 偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --== 数学物理方程总结 Revised by Jack on December 14,2020 浙江理工大学数学系 第一章：偏微分方程的基本概念 偏微分方程的一般形式：221 1 (,,, ,,,)0n u u u F x u x x x ???=??? 其中12(,,...,)n x x x x =是自变量，12()(,,...,)n u x u x x x =是未知函数 偏微分方程的分类：线性PDE 和非线性PDE ，其中非线性PDE 又分为半线性PDE ，拟线性PDE 和完全非线性PDE 。 二阶线性PDE 的分类（两个自变量情形）： 2221112222220u u u u u a a a a b cu x x y y x y ?????+++++=?????? （一般形式 记为 PDE （1）） 目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类 (,) (,)x y x y ξξηη=?? =? 非奇异 0x y x y ξξηη≠ 根据复合求导公式最终可得到： 22211122222 20u u u u u A A A A B Cu ξξηηξη ?????+++++=??????其中： 考虑22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=????如果能找到两个相互独立的解 那么就做变换(,) (,)x y x y ξφηψ=??=? 从而有11220A A == 在这里要用到下面两个引理： 引理1：假设(,)z x y φ=是方程22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=???? (1)的特解，则关系式(,)x y C φ=是常微分方程：22111222()2()0a dy a dxdy a dx -+= （2）的一般积分。 主 《数学物理方程讲义》课程教学大纲第一部分大纲说明 一、课程的作用与任务 本课程教材采用的是由高等教育出版社出版第二版的《数学物理方程讲义》由姜礼尚、陈亚浙、刘西垣、易法槐编写 《数学物理方程讲义》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课。数学物理方程是工科类及应用理科类有关专业的一门基础课。通过本课程的学习，要求学生了解一些典型方程描述的物理现象，使学生掌握三类典型方程定解问题的解法，重点介绍一些典型的求解方法，如分离变量法、积分变换法、格林函数法等。本课程涉及的内容在流体力学、热力学、电磁学、声学等许多学科中有着广泛的应用。为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。它将直接影响到学生对后续课的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。数学物理方程又是一门公认的难度大的理论课程。 二、课程的目的与教学要求 1 了解下列基本概念: 1) 三类典型方程的建立及其定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法，定解条件的物理意义。 2) 偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念，线性问 题的叠加原理。 3) 调和函数的概念及其基本性质(极值原理、边界性质、平均值定理)。 2 掌握下列基本解法 1) 会用分离变量法解有界弦自由振动问题、有限长杆上热传导问题以及矩形域、 圆形域内拉普拉斯方程狄利克雷问题;会用固有函数法解非齐次方程的定值问题，会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题; 2) 会用行波法(达郎贝尔法)解无界弦自由振动问题，了解达郎贝尔解的物理 意义;了解齐次化原理及其在解无界弦强迫振动问题中的应用; 3) 会用傅立叶变换法及拉普拉斯变换法解无界域上的热传导问题及弦振动问 题; 4) 了解格林函数的概念及其在求解半空间域和球性域上位势方程狄利克雷问题中的应用; 5)掌握二阶线性偏微分方程的分类 二、课程的教学要求层次 教学要求层次:有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求;有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。 第二部分学时、教材与教学安排一、学时分配 本课程共3学分，讲授54学时(包括习题课)学时分配如下: 项目内容学时电视学时 IP课学时 第一章方程的导出和定解条件 6 第二章波动方程 14 第三章热传导方程 14 第四章位势方程 14 第五章二阶线性偏微分方程的分类 6 合计 54 二、教学安排 成都理工大学 《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分?10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u n u S =+??)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边 界. 5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22 222x u a t u ??=??的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 =)(0x J dx d （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(3 1)(3 202x P x P += （ ）. 8.计算积分 =? -dx x P 2 1 1 2)]([（ ） . 9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）： 1.??? ? ? ????<<=??===>< 2.???? ? ?? ??===><<<+??=??====20,0,8,00,20,16200202 2 2 22x t u t x x u t u t t x x u u u 三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?? ???=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）： ??? ? ???=+=>>=???==, 1, 10,0,1002y x u y u y x y x u 五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）： )(1)()(' 0' '02x J x x J x J -= 六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足 θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）: 数学物理方程习题解 习题一 1，验证下面两个函数： (,)(,)sin x u x y u x y e y == 都是方程 0xx yy u u += 的解。 证明：（1 ）(,)u x y = 因为322 2 22 2222 2222 22 322 222 2222 2222 222222 222222 1 1()22 () 2()()11()22()2()()0()() x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y y u y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-? ?=- +++-?-=-=++=-??=-+++-?-=-=++--+=+=++ 所以(,)u x y =是方程0xx yy u u +=的解。 （2）(,)sin x u x y e y = 因为 sin ,sin cos ,sin x x x xx x x y yy u y e u y e u e y u e y =?=?=?=-? 所以 sin sin 0x x xx yy u u e y e y +=-= (,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。 2，证明：()()u f x g y =满足方程 0xy x y uu u u -= 其中f 和g 都是任意的二次可微函数。 证明：因为 ()()u f x g y = 所以 ()(),()()()() ()()()()()()()()0 x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=?=?''=?''''-=?-??= 得证。 3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。 解：令x y ξλ=+则(,)()u x y f ξ= 所以2 (),()x xx u f u f ξλξλ'''=?=? (),(),()xy y yy u f u f u f λξξξ'''''=?== 将上式带入原方程得2 (43)()0f λλξ''-+= 因为f 是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以2 -430 λλ+=从而12 =3,1λλ=， 故1122(,)(3),(,)()u x y f x y u x y f x y =+=+都是原方程的解，12,f f 为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有 12(,)(3)()u x y f x y f x y =+++为通解。 4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。 解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相 同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x 轴。在杆上任意截取位于 [,]x x x +?的一段微元，杆的截面积为s ，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应 变）分别是 (,)u x t x ??与(,)u x x t x ?+??，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为()(,)u SE x x t x ??与()(,)u SE x x x x t x ?+?+??，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：()(,)()(,)u u SE x x x x t SE x x t x x ??+?+?-?? 科普： 《定性与半定量物理学》赵凯华 《边缘奇迹：相变和临界现象》于渌 《QED: A Strange Theory about Light and Matter》Feynman 《大宇之形》丘成桐 《Gauge Fields, Knots and Gravity》Baez 《趣味力学》别莱利曼 《趣味刚体力学》刘延柱（小书，挺有意思） 考研习题集用超星图书里的那本清华大学编写的普通物理学考研辅导教材(大约这个名字) 数学分析： 书目： 《数学分析教程》常庚哲 《数学分析新讲》张筑生 《数学分析》卓里奇 《数学分析八讲》辛钦 《数学分析讲义》陈天权 《数学分析习题课讲义》谢惠民等 《数学分析习题集》北大版？ 《特殊函数概论》王竹溪 线性代数Linear Algebra 内容：行列式、矩阵代数、线性方程组、线性空间、线性变换、欧几里得空间、n元实二次型等。 书目： 《高等代数简明教程》蓝以中 《Linear Algebra and Its Applications》Gilbert Strang 《Linear Algebra and Its Applications》Peter D. Lax 《Linear Algebra and Its Applications》David C. Lay 力学Mechanics 先修课程：高等数学 内容：质点运动学、质点动力学、动量定理和动量守恒定律、功和能及碰撞问题、角动量、刚体力学、固体的弹性、振动、波动和声、流体力学、相对论简介。 书目： 《力学》赵凯华 《力学》舒幼生 《经典力学》朗道 《An Introduction To Mechanics》Daniel Kleppner、Robert Kolenkow 狭义相对论：《狭义相对论》刘辽 《The Principle of Relativity》Einstein 广义相对论：《Einstein Gravity in a Nutshell》Zee 《Spacetime and Geometry》Carroll 数学物理方程期末考试试题及答案 一、求解方程（15分） ?????===-=+=-. )()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψ? 其中)0()0(ψ?=。 解：设? ??+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得： )()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψ?=+=+ 由)0()0(ψ?=即得： )0()2 ()2( ),(?ψ?--++=at x at x t x u 。 二、利用变量分离法求解方程。（15分） ?????==≥==∈=-====)(,)(, 0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψ? 其中l x ≤≤0。0>a 为常数 解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，at C at C T λλsin cos 21+= 由边值条件得： 21)( ,0l n C πλ== l x n at A at B u n n n πλλsin )sin cos (1 +=∑∞= ?=l n dx l x n x l B 0sin )(2π?，?=l n dx l x n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与 稳定性. (15分) 证明：设u e v ct -=代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。 四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分). ,0,0>=++=?z u u u u zz yy xx ).(0x f u z == 解：设),,(ζηξp 是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点 ),,(?ηξ-p 格林函数： 222)()()(141 ),,,(?ηξπ ηξ-+-+--=z y x y x G 222)()()(141 ?ηξπ++-+-+z y x 2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc 第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （1.1） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此 数学物理方程试题（一） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1.长为π的两端固定的弦的自由振动，如果初始位移为x x 2sin ，初始速度为 x 2cos 。则其定解条件是 2. 方程 03=??-??x u t u 的通解为 3.已知边值问题???===+0 )()0(0 )()('"πλX X x X x X ，则其固有函数)(x X n = 4.方程0)(222'"2=-++y n x xy y x α的通解为 二.单项选择题（每小题5分，共15分） 1. 拉普拉斯方程02222=??+??y u x u 的一个解是（ ） （A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u += （C ）2 21),(y x y x u += （D ）22ln ),(y x y x u += 2. 一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为),(t x F ,热传导系数为k ，侧面绝热,体密度为ρ,比热为c ，则热传导方程是 ( ) （A ）ρc t x F x u a t u ),(222 22+??=?? （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+??=?? (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+??=?? (D) ρc t x u x F a t F ),(22 2+??=?? (其中ρc k a =2) 3. 理想传输线上电压问题??? ??? ?=??=??=??=x aA t u x A x u x u a t u t ωωωsin ,cos )0,(0 2 2 222 ( 其中C L a 1 2 = )的解为（ ） （A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(= （C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω 《数学物理方程》教学大纲 （Equations of Mathematical Physics ） 一. 课程编号：040520 二. 课程类型：限选课 学时/学分：40/2.5 适用专业：信息与计算科学专业 先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程、复变函数 三. 课程的性质与任务： 本课程是信息与计算科学专业的一门限选课程。数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。通过本课程的学习，要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。本课程主要讲述三类典型的数学物理方程，即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法，变分法等。 四、教学主要内容及学时分配 （一）典型方程和定解条件的推导（7学时） 一些典型方程的形式, 定解条件的推导。偏微分方程基本知识、方程的分类与化简、迭加原理与齐次化原理。 （二）分离变量法（7学时） 三类边界条件下的分离变量法, 圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法,求解一类非齐次方程的定解问题,非齐次边界条件的处理方法. （三）积分变换法（8学时） Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，Fourier变换和Laplace变换的在求解数学物理方程中的应用。 （四）行波法（7学时） 一维波动方程的求解方法，高维波动方程的球面平均法，降维法 （五）格林函数（6学时） 微积分中学中的几个重要公式；调和函数的Green公式和性质；格林函数；格林函数的性质；格林函数的求解方法。 （六）变分法（5学时） 变分法的一些基本概念，泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题 五、教学基本要求 通过教师的教学，使学生达到下列要求 （一）掌握典型方程和定解条件的表达形式，了解一些典型方程的推导过程，会把一个物理问题转化为定解问题。掌握偏微分方程的基本概念，掌握关于两个变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简，掌握迭加原理与齐次化原理。 （二）掌握分离变量法在三种定解条件下的求解步骤，理解圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法, 会求解非齐次方程的定解问题,掌握非齐次边界条件的处理方法。 （三）掌握达朗贝尔公式的推导过程和物理意义，掌握解决柯西始值问题的行波法。了解依赖区间、决定区域、特征线、影响区域和决定区域的概念。掌握三维波动方程的初值问题的径向对称解，了解高维波动方程初值问题的球面平均法和降维法。 （四）掌握Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，会Fourier变换和Laplace变换的在求解某些简单的数学物理方程定解问题。 （五）掌握Green第一公式和第二公式。掌握调和函数的Green公式和性质，理解格林函数的基本性质。会求半空间和球域上的格林函数。 （六）掌握变分法的基本概念，会求解几类典型的变分问题的解。 六、课程内容的重点和深广度要求 教学基本要求中的数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧是本课程的重点，此外，学生对下列各项也应给予注意： 1.线性偏微分方程的分类与化简。 2.固有值问题，关于固有值与固有函数讨论。 3.方程与边界条件同时齐次化的简易方法。 4. Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质。 5. 格林函数的定义和基本性质 6. 泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题。 第五讲补充常微分方程求解相关知识。 第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==>< 数学物理方程第三版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=)(x s 常量，则得 《数学物理方程》课程 教学大纲 课程代码：B0110040 课程名称：数学物理方程／equation of mathematic physics 课程类型：学科基础课 学时学分：64学时/4学分 适用专业：地球物理学 开课部门：基础课教学部 一、课程的地位、目的和任务 课程的地位：数学物理方程是地球物理学专业的一门重要的专业（或技术）基础课。数学物理方程是反应自然中物理现象的基本模型，也是一种基本的数学工具，与数学其他学科和其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、系统工程、物理、化学、生物等学科都有广泛联系。对于将来从事工程地震技术工作及自然科学研究的学生来说是必不可少的。期望学生通过该门课程的学习，能深刻地理解数学物理方程的不同定解问题所反应的物理背景。 课程的目的与任务：使学生了解数学物理方程建立的依据和过程，认识这门学科与物理学、力学、化学、生物学等自然科学和社会科学以及工程技术的极密切的广泛的联系。掌握经典数学物理方程基本定解问题的提法和相关的基本概念和原理，重点掌握求解基本线性偏微分方程定解问题的方法和技巧。使学生掌握与本课程相关的重要理论的同时，注意启发和训练学生联系自己的专业，应用所学知识来处理和解决实际问题的能力。 二、课程与相关课程的联系与分工 学生在进入本课程学习之前，应修课程包括：大学物理、高等数学、线性代数、复变函数、场论与向量代数。这些课程的学习，为本课程奠定了良好的数学基础。本课程学习结束后，可进入下列课程的学习：四大力学、电磁场与微波技术、近代物理实验等。且为进一步选修偏微分方程理论、数值计算、控制理论与几何分析等课程打下基础。 三、教学内容与基本要求 第一章绪论 1.教学内容 第一节偏微分方程的基本概念 第二节弦振动方程及定解条件 第三节热传导方程及定解条件 第四节拉普拉斯方程及定解条件 第五节二阶线性偏微分方程的分类 第六节线性算子 2.重点难点 重点：物理规律“翻译”成数学物理方程的思路和步骤，实际问题近似于抽象为理想问题 难点：数学物理方程的数学模型建立及数学物理方程的解空间是无限维的函数空间 3.基本要求 （1）了解数学物理方程研究的基本内容，偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念；了解算子的定义。了解三类典型方程的建立及其定解问题（初值问题、边值问题和混合问题）的提法，定解条件的物理意义。 （2）掌握微分算子的运算规律，理解线性问题的叠加原理 （3）了解二阶线性方程的特征理论 （4）掌握两个变量二阶线性偏微分方程分类方法及化简方法 （5）掌握三类方程的标准形式及其化简过程，会三类方程的比较，并能通过标准形式求得某些方程的通解。 第二章分离变量法 1.教学内容 第一节有界弦的自由振动。 第二节有界长杆的热传导问题。 第三节二维拉普拉斯方程的边值问题。 第四节非齐次方程得求解问题。数学物理方程第二章 傅里叶级数
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