2011年全国卷1文科数学 答案

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2011年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学(必修+选修I)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试．．题卷上作答无效．．．．．．．

. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

一、选择题

(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）

I e （A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4

【答案】D

【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.

【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=eQ I I

(2)函数(0)y x x =≥的反函数为

（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4

x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥

【答案】B

【命题意图】本题主要考查反函数的求法.

【解析】由原函数反解得2

4

y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数(0)y x x =≥

的反函数为2(0)4x y x =≥. (3)设向量,a b r r 满足||||1a b ==r r ,12

a b ?=-r r ,则2a b +=r r （A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）7

【答案】B 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.

【解析】2221|2|||44||14()432

a b a a b b +=+?+=+?-+=r r r r r u r ,所以23a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤??-≤??≥?

，则=23z x y +的最小值为

（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3

【答案】C

【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.

【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.

(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是

（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞

【答案】A

【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.

【解析】即寻找命题P ,使P a b ?>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.

(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =

（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5

【答案】D

【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.

【解析】解法一

2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422

k k k k k k S S k k k +++--=+?+?-?+?=+=，解得5k =. 解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++?++?=+=，解得5k =.

(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移

3

π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于

（A ）13

（B ）3 （C ）6 （D ）9

【答案】C

【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.

【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3

π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω?=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.

(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ==

=，则CD =

（A ） 2 （B

（C （D ）1 【答案】C

【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形. 【解析】因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥,

∴AC ⊥平面β,AC BC ∴⊥

BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=

(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有

(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种

【答案】B

【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.

【解析】第一步选出2人选修课程甲有24

6C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22?种选法，根据分步计数原理，有6424?=种选法.

(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2

f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12

【答案】A

【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把

通过周期性和奇偶性把自变量52

-转化到区间[0,1]上进行求值. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:

5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-??-=-

(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =

(A)4 (B)42 (C)8 (D)82

【答案】C

【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.

【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则22(4)(1)a a a =-+-,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出21212122[()4]2(100417)8C C a a a a =+-=?-?=.

(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为

(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π

【答案】D

【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.

【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距

离23OM =,在Rt OMN ?中,30OMN ?∠=, ∴

132

ON OM ==,故圆N 的半径2213r R ON =-=,∴圆N 的面积为213S r ππ==.

第Ⅱ卷

注意事项：

1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。2第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无．．．．．．．．效．

。 3第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.

(注意：在试卷上作答无．．．．．．．效．

) (13)10(1)x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .

【答案】0

【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质. 【解析】由110

10()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-得x 的系数为10-,9x 的系数为91010C -=-,所以x 的系数与9x 的系数之差为0.

(14)已知3(,

)2

παπ∈,tan 2α=,则cos α= . 【答案】5【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系式. 要注意角的范围，进而确定值的符号.

【解析】3(,)2

παπ∈,tan 2α=,则cos α=5(15)已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 .

【答案】23

【命题意图】本题主要考查正方体中异面直线AE 与BC 所成的角.

【解析】取A 1B 1的中点M 连接EM ，AM ，AE ，则AEM ∠就是异面直线AE 与BC 所成的角。在AEM

?中，222352cos 2233AEM +-∠==??. (16)已知1F 、2F 分别为双曲线C : 22

1927

x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2，0)，AM 为12F AF ∠的平分线．则2||AF = .

【答案】6

【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理，双曲线的第一定义和性质.

【解析】Q AM 为12F AF ∠的平分线，∴2211||||41||||82

AF MF AF MF === ∴12||2||AF AF = 又点A C ∈，由双曲线的第一定义得12222||||2||||||26AF AF AF AF AF a -=-===.

三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

)

设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S .

【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a 1和公比q 的方程，求出a 1和q ，然后利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解即可。

【解析】设{}n a 的公比为q,由题设得

1116630

a q a a q =??+=? …………………………………3分 解得132a q =??=?或123a q =??=?

， …………………………………6分 当13,2a q ==时，132,3(21)n n n n a S -=?=?-；

当12,3a q ==时，123,31n n n n a S -=?=- ……………………………10分

(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

) △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.

己知sin csin sin sin a A C C b B +=. (Ⅰ)求B ；

（Ⅱ）若075,2,A b ==a c 求，.

【思路点拨】第（I ）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。 （II ）在（I ）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解.

【解析】(I)

由正弦定理得222a c b +=…………………………3分

由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.

故cos 2

B =，因此45B =o .…………………………………6分 （II ）sin sin(3045)A =+o o

sin30cos 45cos30sin 45=+o o o o

4

= …………………………………8分 故

sin 1sin A a b B =?==

sin sin 6026sin sin 45C c b B =?=?=o

o

.…………………………………12分 (19)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.

(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(II)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重复试验发生k 次的概率，考查考生分析问题、解决问题的能力.

【解析】记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：

B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。

C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买.

(I)()0.5P A =, ()0.3P B =, C A B =+ ……………………………3分

()()()()0.8P C P A B P A P B =+=+= ……………………………6分

(II)D=C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2, ……………………………9分

P(E)=2230.20.80.384C ??=. ……………………………12分

(20）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

) 如图，四棱锥S ABCD -中， AB ∥CD ,BC CD ⊥，侧面

SAB 为等边三角形.2,1AB BC CD SD ====.

(I)

证明：SD SAB ⊥平面 (II) 求AB 与平面SBC 所成角的大小。 【分析】第（I ）问的证明的突破口是利用等边三角形SAB 这

个条件，找出AB 的中点E ，连结SE ，DE ，就做出了解决这个

问题的关键辅助线。

(II)本题直接找线面角不易找出，要找到与AB 平行的其

它线进行转移求解。 D

C H

D C

B

【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合. 解法一：(Ⅰ)取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==，连结SE ，则SE AB ⊥，3SE =.

又1SD =,故222ED SE SD =+,

所以DSE ∠为直角. ………………3分

由AB DE ⊥,AB SE ⊥,DE SE E =I ,得AB ⊥

平面SDE ,所以AB SD ⊥.

SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直.

所以SD ⊥平面SAB . ………………6分

另解:由已知易求得1,5,2SD AD SA ===,于是2

22SA SD AD +=.可知SD SA ⊥,同理可得SD SB ⊥,又SA SB S =I .所以SD ⊥平面SAB . ………………6分

(Ⅱ)由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE .

作SF DE ⊥,垂足为F ,则SF ⊥平面ABCD ,32SD SE SF DE ?=

=. 作FG BC ⊥,垂足为G ,则1FG DC ==.

连结SG .则SG BC ⊥.

又,BC FG SG FG G ⊥=I ,故BC ⊥平面SFG ,平面SBC ⊥平面SFG .……9分 作FH SG ⊥,H 为垂足,则FH ⊥平面SBC . 37

SF FG FH SG ?==,即F 到平面SBC 的距离为21. 由于//ED BC ,所以//ED 平面SBC ,E 到平面SBC 的距离d 也为

217. 设AB 与平面SBC 所成的角为α,则21sin d EB α==,21arcsin α=.……12分 解法二：以C 为原点,射线CD 为x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.

设(1,0,0)D ,则(2,2,0)A 、(0,2,0)B .

又设(,,)S x y z ,则0,0,0x y z >>>.

(Ⅰ)(2,2,),(,2,),(1,,)AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-u u r u u r u u u r ,