北师大版初二下数学一元一次不等式
一元一次不 等 式（组）
一、分母是负数的不等式求解
例1：23
3212>---+x x
随堂练习：332x －－>2
23x －－
二、求不等式的整数解先解不等式
例1.求不等式组的正整数解。
随堂练习：
x 取哪些整数时，代数式与代数式的差不小于6而小于8。
三、化简不等式（组），比较列式求解
例1．若不等式的解集为，求k 值。
例2．若不等式组的解集是x>3，则m 的取值范围是（ ）。
A 、m ≥3
B 、m=3
C 、m<3
D 、m ≤3
随堂练习：若不等式组
的解集是-1 _____。 四、结合性质、对照求解 例1．已知关于x 的不等式(1-a)x>2的解集为 ，则a 的取值范围是（ ）。 A 、a>0 B 、a>1 C 、a<0 D 、a<1 例2．若不等式组的解集是x>a ，则a 的取值范围是（ ）。 A 、a<3 B 、a=3 C 、a>3 D 、a ≥3 随堂练习：若不等式组 有解，则m 应满足______； 若不等式组 无解 ，则m 应满足______； 五、借助数轴，分析求解 例1．已知关于x 的不等式组 的整数解共5个，则a 的取值范围 是_______。 变式:(1)若上不等式组有非负整数解，求a 的范围 (2)若上不等式组无整数解，求a 的范围 随堂练习：如果关于x 的不等式06≥+--x k 正整数解为1,2,3,正整数k 应取怎样的值? 3 六、先求不等式（组）的解，再根据条件求范围 例1.m为何整数时，方程组的解是非负数？ 随堂练习：已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围 七、解关于住宿的不等式应用题 例1.学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还有18人没有宿舍住；如果每间住6人，那么有一间宿舍没住满，求该校住宿人数和宿舍间数。 随堂练习：某旅游团有48人到某宾馆住宿,若全安排住宾馆的底层,每间住4人,房间不够;每间住5人,有一个房间没有住满5人.问该宾馆底层有客房多少间? 八、解关于利润优化的不等式应用题 例1.某服装厂现有A种布料70米、B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号时装需要用A种布料0.6米、B种布料0.9米，可获利润45元，做一套N型号的时装需要用A 种布料1.1米、B种布料0.4米，可获利润50元，请你设计最佳方案。 随堂练习：有10名菜农，每人种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元。若要使菜农的总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？ 九、解关于工程的不等式应用题 例1.某工程队计划在10天内修路6千米,施工前2天修完1.2米后,计划发生变化,准备提前2天完成修路任务,以后几天平均每天至少要修路多少千米? 随堂练习：一个工程队原定10天内至少要挖掘600m3的土方，在前两天共完成了１２０m3后，又要求提前2天完成挖掘土方任务，问以后几天内，平均每天至少要挖掘多少土方?( 根据列表分析可列出不等式为__________________≥６００． 十、解关于路程的不等式应用题 例1.某同学要在4小时内，从甲地赶到相距15公里的乙地，他从甲地出发后，以每小时3公里的速度走了1小时，以后至少平均每小时要走多少公里，才能按计划到达乙地？ 随堂练习：小华家距离学校2.4千米.某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有12分钟了．如果小华能按时赶到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？ 十一、解关于打折的不等式应用题 例1.某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参如旅游的的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠，该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少 随堂练习：暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折；乙旅行社的优惠条件是：家长，学生都按八折收费。假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？ 例2.水果店进了某种水果2000千克，进价每千克7元，出售价格为每千克11元。销售一半后，为尽快销售完，准备打折销售。如果要使总利润不低于6900元，那么余下的水果可按原定价打几折出售？ 随堂练习：某种商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于商品积压,商品准备打折出售,但要保证利润率不低于5%,则至多可打( )折 A.6 B.7 C.8 D.9 初二下 一、一元一次不 等式和一元 一次不等式 组 不等关系 不等式的基本性质 不等式的解集 一元一次不等式 一元一次不等式与一次函数 一元一次不等式组 二、分解因式 分解因式 提公因数运用公式法 三、分式 分式 分式的乘除法 分式的加减法 分式方程 四、相似图形 线段的比 黄金分割 形状相同的图形 相似多边形 相似三角形 探索三角形相似的条件 测量旗杆的高度 相似多边形的性质 图形的放大与缩小 五、数据的收集 与处理 每周干家务活的时间 数据的收集 频数与频率 数据的波动 六、证明（一） 你能肯定吗 定义与命题 为什么它们平行 如果两条直线平行 三角形内角和定理的证明 关注三角形的外角 一、一元一次不等式和一元一次不等式组 1.不等关系 一般地，用不等号（大于，小于，大于或等于，小于或等于，不等于）连接的式子叫不等式。非负数的表示 2．不等式的基本性质 三个基本性质： a不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 B不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 C不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 3.不等式的解集 能使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 求不等式解集的过程叫解不等式 不等式的解集在数轴上的表示（空心，实心） 4.一元一次不等式 不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，未知数最高次数是1，像这样的不等式，叫一元一次不等式。 解不等式（移项、合并同类项、利用不等式的基本性质） 5.一元一次不等式与一次函数 不等式的解、分段函数 6.一元一次不等式组 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集。 用数轴表示不等式组的解集 提高：不等式表示的平面区域 回顾与思考：1.不等式有哪些基本性质，它与等式的基本性质有什么异同？ 2.解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同？ 3.举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式（组）的解集 4.说运用不等式解决实际问题的基本过程以及个人体会 5.举例说明不等式、函数、方程的联系 二、 分解因式 1. 分解因式 把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形，叫把这个多项式分解因式 思考：分解因式与整式乘法有什么关系？ 2. 提公因数 公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式 提公因式：将一个多项式的各项含有的公因式提取出来，化成两个因式乘积的形式，叫提公因式。 当多项式第一项的系数是负数时，常先提出“—”号，使括号内第一项系数变为正，提出负号时，多项式的各项都要变号。 题型：分解因式，分解因式再求值 思考：提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？（互逆过程） 分解因式后如何判断正误？反过来算一次，但是否分解到最后形式，是检验不出来的。 3.运用公式法 平方差、 十字相乘法特点：二次项系数是1，常数项是两数积、一次项系数是这两个因数的和 完全平方：形如2 2 2 2 22a ab b a ab b ++-+和的式子称为完全平方式。 分解因式的方法：提公因式法、运用公式法、十字相乘法 回顾与思考：1.举例说明什么是分解因式 2.分解因式与整式乘除有什么关系 3. 分解因式常用方法有哪些？ 三、 分式 1. 分式 A B 形式，且除式B 中含有字母（B ≠0）的式子的叫分式 分式怎样才有意义 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去 北师大版八年级上册数学整理总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 最新北师大版初二下册数学知识点 1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零. 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时， 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数) （1）同底数的幂的乘法：； （2）幂的乘方：; （3）积的乘方：； （4）同底数的幂的除法：(a≠0)； （5）商的乘方：；(b≠0) 7.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。 解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程；(4)验根． 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答． 应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种： 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。 3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac 1.1 不等关系 教学目的和要求： 理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点： 对不等式概念的理解 难点： 怎样建立量与量之间的不等关系。 从问题中来，到问题中去。 1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。 （1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？ （4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2 )4 (l ，圆的面积可以表示 为2 2?? ? ??ππl 。 （1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是 25)4 (2 ≤l ，即25162≤l 。 （2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是 2 2?? ? ??ππl ＞100， 即 π 42 l ＞100 （3） 当l =8时，正方形的面积为)(41682 2cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π ， 4＜5.1，此时圆的面积大。 当l =12时，正方形的面积为)(916122 2cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π ， 9＜11.5，此时还是圆的面积大。 （4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想， 用长度增色为l ㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 π42l ＞16 2 l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干 离地面1.5m 的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式） （2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240。 （2）人离开10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全： 410＜2 .0x 分析巩固练习： 用不等式表示： （1） a 的相反数是正数； （2） m 与2的差小于3 2； （3） x 的 3 1 与4的和不是正数； （4） y 的一半与x 的2倍的和不小于3。 解答：（1）a 的相反数是-a ，正数是比零大的数，所以“a 的相反数是正数”就是-a ＞0； （2）“m 与2的差”就是m-2，“ 差小于 32”即是m-2＜3 2 ； （3）“x 的31”就是31x ，“x 的31与4的和不是正数”就是3 1 x+4≤0； （4）“y 的一半”不是2 1 y,“x 的2倍”就是2x ，“不小于3”即指大于或等于3，故 “y 的一半与x 的2倍的和不小于”就是2 1 y+2x ≥3。 初二数学 知 识 点 初二数学（上册）知识点总结 第一章勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a 2 b2 c2 2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定条件） 如果三角形的三边长a，b，c 有关系 2 b2 c 2 a ，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是 直角。 2 b c 2 2 3、勾股数：满足 a 的三个正整数，称为勾股数。 第二章实数 一、实数的概念及分 类 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来 有四 类 ： （1）开方开不尽的数，如7,3 2 等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如（3）有特定结构的数，如0.1010010001?等； （4）某些三角函数值，如sin60 o 等 o 等π 3 +8 等； 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a≥0；若|a|=-a，则 a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则 有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵 活运 用 。 5、估算 三、平方根、算术平方根和立方根 2 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即x =a，那么这个正数x 就叫做 a 的算术平方根。 特别地，0 的算术平方根是0。 欢迎阅读 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。 3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac 北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+， 那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一 组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ()()341009161002510042 2 2 2 2 2 x x x x x x +=+===，，， ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶 端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ A A E C B D （1） （2） 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 在中，Rt ECD EC ED CD ?22222252225=-=-=.. ∴EC=1.5 ∴=-=-=AE AC EC 215 05.. 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°， AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分 第一章三角形的证明 一、全等三角形判定定理： 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 二、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 四、直角三角形 1、直角三角形的性质 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 3、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 五、线段的垂直平分线角平分线 1、线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心） 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法 北师大版八年级数学下册各章知识要点总结 第一章三角形的证明 一、全等三角形判定、性质： 1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形） 2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。 二、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。（三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 四、直角三角形 1、直角三角形的性质 直角三角形的两锐角互余 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 3、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 五、线段的垂直平分线、角平分线 1、线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心） 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 第二章一元一次不等式和一元一次不等式组 1.定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 2.基本性质：性质1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变.如果a>b,那么 北师大版八年级数学下册第二章测试题 （试卷满分100分，时间120分钟）请同学们认真思考、认真解答，相信你会成功！ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．当21- =x 时，多项式12 -+kx x 的值小于 0，那么k 的值为 [ ]． A ．23- 北师大版初二数学知识点总结(2020最新教材版) 知 识 点 初二数学（上册）知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ；b 的平方和等于斜边c 的平方；即2 2 2 c b a =+ 如果三角形的三边长a ；b ；c 有关系222c b a =+；那么这个三角形是直角三角形；且最长边所对的角是直角. 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数；称为勾股数. 第二章 实 数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数. 在理解无理数时；要抓住“无限不循环”这一时之；归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数；如32,7等； （2）有特定意义的数；如圆周率π；或化简后含有π的数；如 3 π +8等； （3）有特定结构的数；如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值；如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零）；从数轴上看；互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称；如果a 与b 互为相反数；则有a+b=0；a=—b ；反之亦成立. 2、绝对值 在数轴上；一个数所对应的点与原点的距离；叫做该数的绝对值.（|a|≥0）.零的绝对值是它本身；也可看成它的相反数；若|a|=a ；则a ≥0；若|a|=-a ；则a ≤0. 3、倒数 如果a 与b 互为倒数；则有ab=1；反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1.零没有倒数. 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时；要注意上述规定的三要素缺一不可）. 解题时要真正掌握数形结合的思想；理解实数与数轴的点是一一对应的；并能灵活运用. 5、估算 三、平方根、算术平方根和立方根 1、算术平方根：一般地；如果一个正数x 的平方等于a ；即x 2=a ；那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根.特别地；0的算术平方根是0. 表示方法：记作“a ”；读作根号a. 性质：正数和零的算术平方根都只有一个；零的算术平方根是零. 2、平方根：一般地；如果一个数x 的平方等于a ；即x 2=a ；那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）. 表示方法：正数a 的平方根记做“a ± ”；读作“正、负根号a ”. 性质：一个正数有两个平方根；它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. 开平方：求一个数a 的平方根的运算；叫做开平方. 北师大版初二下数学目录及知识点初二下 运用公式法一、一元一次不五、数据的收集 三、分式 等式和一元与处理分式 分式的乘除法每周干家务活的时间一次不等式分式的加减法数据的收集分式方程频数与频率组数据的波动四、相似图形不等关系六、证明(一) 不等式的基本性质线段的比 不等式的解集黄金分割你能肯定吗一元一次不等式形状相同的图形定义与命题一元一次不等式与一次函相似多边形为什么它们平行数相似三角形如果两条直线平行一元一次不等式组探索三角形相似的条件三角形内角和定理的证明 测量旗杆的高度关注三角形的外角二、分解因式相似多边形的性质 分解因式图形的放大与缩小 提公因数 一、一元一次不等式和一元一次不等式组 1.不等关系 一般地，用不等号(大于，小于，大于或等于，小于或等于，不等于)连接的式子叫不等式。非负数的表示 2(不等式的基本性质 三个基本性质: a不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。 B不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 C不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 3.不等式的解集 能使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 求不等式解集的过程叫解不等式 不等式的解集在数轴上的表示(空心，实心) 4.一元一次不等式 不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，未知数最高次数是1，像这样的不等式，叫一元一次不等式。 解不等式(移项、合并同类项、利用不等式的基本性质) 5.一元一次不等式与一次函数 不等式的解、分段函数 6.一元一次不等式组 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集。用数轴表示不等式组的解集 提高:不等式表示的平面区域 回顾与思考:1.不等式有哪些基本性质，它与等式的基本性质有什么异同, 2.解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同, 3.举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式(组)的解集 4.说运用不等式解决实际问题的基本过程以及个人体会 5.举例说明不等式、函数、方程的联系 二、分解因式 2016八年级数学上册知识点总结(北师大版) 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= —b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|= -a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 第一章三角形的证明 【单元分析】 本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了8 条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础。 【单元目标】 1.知识与技能 （1）等腰三角形的性质和判定定理； （2）直角三角形的性质定理和判定定理； 2.过程与方法 （1）会运用等腰三角形的性质和判定定理解决相关问题； （2）直角三角形的性质定理和判定定理解决简单的实际问题； 3.情感态度与价值观 （1）经历由情景引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力； （2）感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。 【单元重点】 在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 【单元难点】 明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。 【教学思路】 1.对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。 2.对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。 3.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。 4.作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。 宝鸡电力设备厂子校 吴玲娟 评价等级 优 良 达标 待达标 一、选择题（本题共10，每题3分，共30分）。 1. 下列说法正确的是（ ） A .所有的等腰三角形都相似 B.所有的直角三角形都相似 C.所有的等腰直角三角形都相似 D.有一个角相等的两个等腰三角形都相似 2. 若x ：y ：z=2:3:4 ，x ＋y ＋z ＝-9则3x ＋2y －4z 的值为（ ） A ．2 B.4 C.－2 D.－4 3. 把长度为10米的线段黄金分割后，其中较短的线段长度为（ ） A. 51 2 B. 55 C . 155-15105-4．已知 0432≠==c b a ,则 c b a +的值为( ) A.54 B.45 D.2 1 5．已知ΔABC 的三边长分别为2,6,2, ΔA ′B ′C ′的两边长分别是1和3,如果ΔABC 与ΔA ′B ′C ′相似,那么ΔA ′B ′C ′的第三边长应该是( ) A. 2 B. 22 C.26 D.3 3 6.如图，平行四边形 ABCD 中，F 是BC 延长线上一点，AF 交BD 于O ，与DC 交于点E ，则图中相似三角形共有（ ）对（全等除外）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 7.如图， 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O ，若AD ：BC=1：3，那么下列结论中正确 的是（ ）． A ．S △COD =9S △AOD B ．S △AB C =9S △AC D C ．S △BOC =9S △AOD D ．S △DBC =9S △AOD 8. 如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD 长0.55m,则梯子的长为( ) A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m (第6题) （第7题 ） （第8题） 得分 评卷人 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定条件） 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形， 且最长边所对的角是直角。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实 数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算术平方根和立方根 八年级数学(下)总复习 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一、不等式的基本性质： 1、不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. （注：移项要变号，但不等号不变。） 2、不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 3、不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 4、其他：若a>b, 则a+c>b+c ； 若a>b, c>0 则ac>bc 若c<0, 则ac 北师大版初二数学定理知识点汇总(上册) 第一章 勾股定理 ※直角三角形两直角边的平和等于斜边的平方。即： 222c b a =+ （由直角三角形得到边的关系） 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 满足条件222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12， 13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数） 第二章 实数 ※算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。0的算术平 方根为0；从定义可知，只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。 ※平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。 ※正数有两个平方根（一正一负）；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。 ※正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 ())0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a 第三章 图形的平移与旋转 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动称为平移。 平移的基本性质：经过平移，对应线段、对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。 这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。 旋转的性质：旋转后的图形与原图形的大小和形状相同； 旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等； 对应点到旋转中心的连线所成的角度彼此相等。 （例：如图所示，点D、E、F分别为点A、B、C的对应点，经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。） 第四章四平边形性质探索 ※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。 ※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。(完整版)北师大版初二下数学目录及知识点
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