交变电流的产生和描述

[高考命题解读]

第1讲 交变电流的产生和描述

一、正弦式交变电流 1.产生

线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动. 2.两个特殊位置的特点

(1)线圈平面与中性面重合时，S ⊥B ，Φ最大，ΔΦ

Δt ＝0，e ＝0，i ＝0，电流方向将发生改变.

(2)线圈平面与中性面垂直时，S ∥B ，Φ＝0，ΔΦ

Δt 最大，e 最大，i 最大，电流方向不改变.

3.电流方向的改变

一个周期内线圈中电流的方向改变两次. 4.交变电动势的最大值

E m ＝nBSω，与转轴位置无关，与线圈形状无关. 5.交变电动势随时间的变化规律 e ＝nBSωsin ωt .

自测

1 (多选)关于中性面，下列说法正确的是

( )

A.线圈在转动中经中性面位置时，穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零

B.线圈在转动中经中性面位置时，穿过线圈的磁通量为零，磁通量的变化率最大

C.线圈每经过一次中性面，感应电流的方向就改变一次

D.线圈每转动一周经过中性面一次，所以线圈每转动一周，感应电流的方向就改变一次 答案 AC

二、描述交变电流的物理量 1.周期和频率

(1)周期T ：交变电流完成1次周期性变化所需要的时间，单位是秒(s).表达式为T ＝2πω＝1

n (n

为转速).

(2)频率f ：交变电流在1 s 内完成周期性变化的次数，单位是赫兹(Hz).

(3)周期和频率的关系：T ＝1f 或f ＝1

T

.

2.交变电流的瞬时值、最大值、有效值和平均值 (1)瞬时值：交变电流某一时刻的值，是时间的函数. (2)最大值：交变电流或电压所能达到的最大的值.

(3)有效值：让恒定电流和交变电流分别通过阻值相等的电阻，如果在交流的一个周期内它们产生的热量相等，就可以把恒定电流的数值规定为这个交变电流的有效值. (4)正弦式交变电流的有效值与最大值之间的关系 I ＝

I m 2，U ＝U m 2，E ＝E m

2

. (5)交变电流的平均值： E ＝n ΔΦΔt ，I ＝n ΔΦ(R ＋r )Δt

.

自测

2 (多选)图1甲为交流发电机的原理图，正

方形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴OO′匀速转动，电流表为理想交流电表，线圈中产生的交变电流随时间的变化如图乙所示，则()

图1

A.电流表的示数为10 A

B.线圈转动的角速度为50 rad/s

C.0.01 s时线圈平面和磁场平行

D.0.01 s时通过线圈的磁通量变化率为0

答案AD

命题点一交变电流的产生及变化规律

1.交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)

2.交变电流瞬时值表达式的书写

(1)确定正弦交变电流的峰值，根据已知图象读出或由公式E m＝nBSω求出相应峰值.

(2)明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式.如：

①线圈从中性面位置开始转动，则i－t图象为正弦函数图象，函数式为i＝I m sin ωt.

②线圈从垂直于中性面的位置开始转动，则i－t图象为余弦函数图象，函数式为i＝I m cos ωt.

例

1(多选)(2016·全国卷Ⅲ·21)如图2，M为半圆形导线框，圆心为O M；N是圆心角为直角的扇形导线框，圆心为O N；两导线框在同一竖

直面(纸面)内；两圆弧半径相等；过直线O M O N 的水平面上方有一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面.现使线框M 、N 在t ＝0时从图示位置开始，分别绕垂直于纸面且过O M 和O N 的轴，以相同的周期T 逆时针匀速转动，则( )

图2

A.两导线框中均会产生正弦交流电

B.两导线框中感应电流的周期都等于T

C.在t ＝T

8

时，两导线框中产生的感应电动势相等

D.两导线框的电阻相等时，两导线框中感应电流的有效值也相等 答案 BC

解析 两导线框进入磁场过程中，匀速转动切割磁感线产生感应电动势的大小不变，选项A 错误；导线框的转动周期为T ，则感应电流的周期也为T ，选项B 正确；在t ＝T

8时，切割磁

感线的有效长度相同，两导线框中产生的感应电动势相等，选项C 正确；M 导线框中一直有感应电流，N 导线框中只有一半时间内有感应电流，所以两导线框的电阻相等时，感应电流的有效值不相等，选项D 错误.

变式

1(多选)一只闭合的矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴匀速转动，穿过线圈的磁通量随时间的变化图象如图3所示，则下列说法正确的是()

图3

A.t ＝0时刻线圈平面与中性面重合

B.t ＝0.1 s 时刻，穿过线圈平面的磁通量的变化率最大

C.t ＝0.2 s 时刻，线圈中有最大感应电动势

D.若转动周期减小一半，则电动势也减小一半 答案 AB

解析 矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴匀速转动，若以线圈通过中性面时为计时起点，感应电动势瞬时值表达式为e ＝E m sin ωt ，由题图可知Φ＝Φm cos ωt ，当Φ最大时，

ΔΦ

Δt ＝0，即e ＝0，线圈平面与中性面重合；当Φ＝0时，ΔΦ

Δt 为最大，即e ＝E m ，所以A 、B 正

确，C 错误；由E m ＝nBSω可知，周期减半时角速度增大一倍，则电动势就增大一倍，故D 错误.

变式

2 如图4甲为小型旋转电枢式交流发电机的

原理图，其单匝矩形线圈在磁感应强度为B 的匀强磁场中，绕垂直于磁场方向的固定轴OO ′匀速转动，线圈的两端经集流环和电刷与R ＝10 Ω的电阻连接，与电阻R 并联的交流电压表为理想电压表，示数是10 V .图乙是矩形线圈中磁通量Φ随时间t 变化的图象，则( )

图4

A.电阻R 上的电功率为20 W

B.t ＝0.02 s 时，R 两端的电压瞬时值为零

C.R 两端的电压u 随时间t 变化的规律是 u ＝14.1cos 100πt V

D.通过R 的电流i 随时间t 变化的规律是 i ＝14.1cos 50πt A 答案 C

解析 电阻R 上的电功率为P ＝U 2

R

＝10 W ，选项A 错误；由题图乙知t ＝0.02 s 时磁通量变

化率最大，R 两端的电压瞬时值最大，选项B 错误；R 两端的电压u 随时间t 变化的规律是u ＝14.1cos 100πt V ，选项C 正确；通过R 的电流i 随时间t 变化的规律是i ＝u

R ＝1.41cos 100πt

A ，选项D 错误.

命题点二 交流电有效值的求解

1.交变电流有效值的规定

交变电流、恒定电流I 直分别通过同一电阻R ，在交流的一个周期内产生的焦耳热分别为Q 交、Q 直，若Q 交＝Q 直，则交变电流的有效值I ＝I 直(直流有效值也可以这样算). 2.对有效值的理解

(1)交流电流表、交流电压表的示数是指有效值；

(2)用电器铭牌上标的值(如额定电压、额定功率等)指的均是有效值； (3)计算热量、电功率及保险丝的熔断电流指的是有效值； (4)没有特别加以说明的，是指有效值；

(5)“交流的最大值是有效值的2倍”仅用于正(余)弦式交变电流. 3.计算交变电流有效值的方法

(1)计算有效值时要根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”列式求解.

(2)分段计算电热求和得出一个周期内产生的总热量. (3)利用两个公式

Q ＝I 2Rt

和Q ＝U 2

R

t 可分别求得电流有效值和电压有效值.

(4)若图象部分是正弦(或余弦)式交变电流，其中的1

4周期(必须是从零至最大值或从最大值至

零)和12周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I ＝I m 2、U ＝U m

2

求解.

例

2(多选)如图5所示，甲、乙为两种电压的波形，其中图甲所示的电压按正弦规律变化，图乙所示的电压波形是正弦函数图象的一部分.下列说法正确的是()

图5

A.图甲、图乙均表示交变电流

B.图甲所示电压的瞬时值表达式为u ＝20s in 100πt (V)

C.图乙所示电压的有效值为20 V

D.图乙所示电压的有效值为10 V 答案 ABD

解析 根据交变电流的定义，题图甲、题图乙均表示交变电流，选项A 正确；题图甲中电压的最大值为U m ＝20 V ，周期为0.02 s ，则电压的瞬时值表达式为u ＝U m sin

2π

T

t ＝20sin 100πt (V)，选项B 正确；根据有效值的定义有????2022

R

·T 2＝U 2

R

T ，解得题图乙中电压的有效值为U ＝10 V ，选项C 错误，D 正确.

变式

3

电压u 随时间t 的变化情况如图6所示，

皆为正弦函数图象的一部分，求电压的有效值.

图6

答案 5510 V

解析 由有效值的定义式得：

? ????110222R

·T 2

＋? ???

?220222R

·T 2＝U 2

R

T ，解得U ＝5510 V.

变式

4(多选)(2017·天津理综·6)在匀强磁场中，一个100匝的闭合矩形金属线圈，绕与磁感线垂直的固定轴匀速转动，穿过该线圈的磁通量随时间按图7所示正弦规律变化.设线圈总电阻为2 Ω，则()

图7

A.t ＝0时，线圈平面平行于磁感线

B.t ＝1 s 时，线圈中的电流改变方向

C.t ＝1.5 s 时，线圈中的感应电动势最大

D.一个周期内，线圈产生的热量为8π2 J 答案 AD

解析 t ＝0时，穿过线圈的磁通量为零，线圈平面平行于磁感线，故A 正确；每经过一次中性面(线圈平面垂直于磁感线，磁通量有最大值)电流的方向改变一次，t ＝1 s 时，磁通量为零，线圈平面平行于磁感线，故B 错误；t ＝1.5 s 时，磁通量有最大值，但磁通量的变化率为零

???

?ΔΦΔt ＝0，根据法拉第电磁感应定律可知线圈中的感应电动势为零，故C 错误；感应电动势最大值E m ＝NBSω＝N ·Φm ·2πT ＝4π V ，有效值E ＝E m 2＝22π V ，一个周期内线圈产生的热量

Q ＝E 2

R

T ＝8π2 J ，故D 正确.

拓展点 含二极管的交流电有效值的求解

例

3如图8所示电路，电阻R1与电阻R2串联接在交变电源上，且R1＝R2＝10 Ω，正弦交流电的表达式为u＝202sin 100πt(V)，R1和理想二极管D(正向电阻可看做零，反向电阻可看做无穷大)并联，则R2上的电功率为()

图8

A.10 W

B.15 W

C.25 W

D.30 W 答案 C

解析 由题图可知，当A 端输出电流为正时，R 1被短路，则此时R 2上电压有效值为：U 2＝

U m

2＝20 V ，当B 端输出电流为正时，R 1、R 2串联，则R 2两端电压有效值为U 2′＝

U 2

2

＝10 V ，在一个周期内R 2两端的电压有效值为U ，则U 2′2R 2×T 2＋U 22R 2×T 2＝U 2

R 2×T ，解得：U ＝510 V ，

则有：P 2′＝U 2R 2＝250

10

W ＝25 W.

变式

5在如图9甲所示的电路中，D为理想二极管(正向电阻为零，反向电阻为无穷大).R1＝30 Ω，R2＝60 Ω，R3＝10 Ω.在MN间加上如图乙所示的交变电压时，R3两端电压表的读数大约是()

图9

A.3 V

B.3.5 V

C.4 V

D.5 V

答案 B