概率的古典定义及其计算

12．2．2 概率的古典定义及其计算

定义 如果随机试验具有如下特征：

（1）事件的全集是由有限个基本事件组成的；

（2）每一个基本事件在一次试验中发生的可能性是相同的；

则这类随机试验称为古典概型．

定义 在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n ，事件A 包含的基本事件个数为m ，那么事件A 发生的概率为P （A ）=n

m 。 这个定义叫做概率的古典定义。它同样具备概率统计定义的三个性质。

例1 从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字中，随机地取出一个数字，求这个数字是奇数的概率。

解 设A={取出的是一个奇数}，则基本事件总数为n=9，事件A 包含了5个基本事件（抽到1，3，5，7，9），即m=5，所以，P （A ）=9

5=n m 。 例2 在10个同样型号的晶体管中，有一等品7个，二等品2个，三等品1个，从这10个晶体管中任取2个，计算：

（1）2个都是一等品的概率；

（2）1个是一等品，1个是二等品的概率。

解 基本事件总数为从10个晶体管中任取2个的组合数，故n=210C =45。

（1）设A={取出2个都是一等品}，它的种数m=27C =21，其概率为P （A ）=15

74521==n m ； （2）设B={取出2个，1个是一等品，1个是二等品}，它的种数m=1217C C =14，所以

P （B ）=45

14=n m 。 例3 储蓄卡上的密码是一组四位数号码，每位上的数字可以在0到9这10个数字中选取，问：

（1）使用储蓄卡时如果随意按下一组四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率是多少？

（2）某人没记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时如果随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？

解 （1）由于储蓄卡的密码是一组四位数字号码，且每位上的数字有从0到9这10中取法，这种号码共有410组。又由于是随意按下一组四位数字号码，按下其中哪一组号码的可能性都相等，可得正好按对这张储蓄卡的密码的概率1P =4

101。 （2）按四位数字号码的最后一位数字，有10中按法，由于最后一位数字是随意按的，按下其中各个数字的可能性相等，可得按下的正好是密码的最后一位数字的概率10

12=P 。 课堂练习：习题12.2 1—4 订正讲解

12．3．1 概率的加法公式

1．互斥事件概率的加法公式

设事件A 、B 互斥，则P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ） （12-1） 一般地，如果事件,,21A A …，n A 两两互斥，那么

P （??21A A …n A ?）=++)()(21A P A P …+)(n A P （12-2） 这个公式叫做概率的有限可加性。 根据互逆事件的定义可知，A A ?是一个必然事件，A 与A 互斥，于是，我们有 P （A ）+1)()(=?=A A P A P ，从而得到 =)(A P 1－P （A ） （12-3） 例1 从一批含有一等品、二等品和废品的产品中任取一件，取得一等品、二等品的概率分别是0.73和0.21,求产品的合格率及废品率。

解 分别用21,A A 及A 表示取出1件是一等品、二等品及合格品的事件，则A 表示取出1件是废品的事件，按题意有 Φ=?=2121,A A A A A 且，所以，由公式12-1得

P （A ）=)()()(2121A P A P A A P +=?=0.73+0.21=0.94 P )(A =1－P(A)=1－0.94=0.06

小结：

1、 随机试验的古典概型

2、概率的古典定义

3、用古典定义求概率的方法

4、在用定义进行计算时要注意其分子与分母的求法

第一章 概率统计基础知识(2)概率的古典定义与统计定义

二、概率的古典定义与统计定义 二、概率的古典定义与统计定义(p5-11) 确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，在历史上，这两种方法分别被称为概率的两种定义，即概率的古典定义及统计定义。 (一) 概率的古典定义 用概率的古典定义确定概率的方法的要点如下: （1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点； （2）每个样本点出现的可能性相同(等可能性); 若事件含有k个样本点，则事件的概率为: (1.1-1) [例1.1-3] [例1.1-3]掷两颗骰子，其样本点可用数组（x , y）表示，其中，x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为: 它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。参见教材6页图。这个图很多同学看不懂！其实就是x+y=?在坐标系反映出来的问题。 （二）排列与组合 （二）排列与组合 用古典方法求概率，经常需要用到排列与组合的公式。现简要介绍如下: 排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。 （1）乘法原理: 如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m1种方法，做第二步m2种方法，做第k步有m k种方法，那么完成这件事共有m1×m2×…×m k种方法。 例如, 甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游

线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3×2=6 条旅游线路。 (2) 加法原理: 如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m1种完成方法, 在第二类方法中又有m2种完成方法，在第k类方法中又有m k种完成方法, 那么完成这件事共有m1+m2+…+m k种方法。 例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具: 汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=10 个班次供旅游选择。 排列与组合 排列与组合的定义及其计算公式如下: ①排列:从n个不同元素中任取）个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n×(n1) ×…×(n-r+1) 个，记为。若r=n, 称为全排列，全排列数共有n!个，记为，即:= n×(n-1) ×…×(n-r+1), = n! ②重复排列:从n个不同元素中每次取出一个作记录后放回，再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原理，此种重复排列共有个。注意，这里的r允许大于n。 例如，从10个产品中每次取一个做检验，放回后再取下一个，如此连续抽取4次，所得重复排列数为。假如上述抽取不允许放回，则所得排列数为10×9×8×7=5040 。 ③组合: 从n个不同元素中任取x个元素并成一组 (不考虑他们之间的排列顺序)称为一个组合，此种组合数为： .特别的规定0!=1，因而。另外，在组合中，r个元素"一个接一个取出"与"同时取出"是等同的。例如，从10个产品中任取4个做检验，所有可能取法是从10个中任取4个的组合数，则不同取法的种数为： 这是因为取出的任意一组中的4个产品的全排列有4!=24 种。而这24种排列在组合中只算一种。所以。 注意:排列与组合都是计算"从n个不同元素中任取r个元素"的取法总数公式，他们的主要差别在于: 如果讲究取出元素间的次序，则用排列公式；如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式。至于是否讲究次序，应从具体问题背景加以辨别。 [例1.1-4] [例1.1-4] 一批产品共有个，其中不合格品有个，现从中随机取出n个，问：事

第1章 概率论的基本概念

第一章概率论的基本概念 教学内容： 1.随机试验 2.样本空间、随机事件 3.频率与概率 4.等可能概率（古典概率） 5.条件概率 6.独立性 教学目标： 1.了解样本空间、随机事件的概念, 理解事件之间的关系与运算； 2.了解频率、统计频率以及主观概率的定义，掌握古典概率, 几何概率的计算方法，理解概率的公理化定义。掌握概率的性质并且会应用性质进行概率计算； 3.理解条件概率的概念, 掌握条件概率公式，乘法公式，全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式并会用这些公式进行概率计算阵； 4.理解事件独立性的概念, 掌握贝努里概型并会应用它进行概 率计算. 教学重点： 事件之间的关系与运算、古典概率、几何概率、概率的公理化定义与概率的性质、条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式和事件的独立性。

教学难点：全概率公式和贝叶斯公式及其应用。教学方法：讲授法、演示法、练习法。 教学手段：多媒体+板书。 课时安排：10课时。 教学过程：

§1.1 随机实验 一、概率论的诞生及应用 1654年, 法国一个名叫梅累的骑士(一个上流社会的赌徒兼业余哲学家)就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(c a<), 另一赌徒胜b局(c b<)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕 斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念——数学期望. 概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律，概率论的应用几乎 遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程 中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等. 二、随机现象 1.确定性现象 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象，称为确定性现象。 如：太阳不会从西边升起、水从高处流向低处等。 2.统计规律性 在一定条件下可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观 察之前不能预知确切的结果，但人们经过长期实践并深入研究之后，发现在大量 重复试验或观察下，他的结果却呈现处某种规律性.这种在大量重复试验或观察 中所呈现出来来的固有规律性，称为统计规律性。 3.随机现象 这种在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果有具有 统计规律性的现象称为随机现象。 简言即：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象. 如：在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反结果，有可能出现正面也可 能出现反面；抛掷一枚骰子，观察出现的点数，结果有可能为: 1、2、3、4、5、6等 注：1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系, 其数量关系无法用 函数加以描述；

统计学 概念定义

1.统计学是收集，处理，分析，解释数据并且从数据中得到结论的科学。2数据分析：描述统计研究数据收集，处理，汇总，图表描述，概括与分析等的统计方法；推断统计研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。3.统计数据类型：分类数据，顺序数据，数值型数据。4.参数是用来描述总体特征的概括性数字度量，他是研究者想了解的总体的特征值。 5.统计量是用来描述样本的特征的概括性的数字度量。6概率抽样是遵循随机原则进行的抽样，总体中的与每个单位都要一定的机会被选入样本。7非概率抽样指抽取样本时不是依据随机原则，而是根据研究目的对数据的要求，采用某种方式从总体中抽出部分单位对其实施调查。8.抽样误差是由于抽样的随机性引进的样本结果与总体真值之间的误差。9.非样本误差指除了样本误差之外的，由于其他原因引起的样本的观察结果与总体真值之间的差异。10.条形图是用宽度相同的条形的高度或长短来表示数据多少的图形。11.饼图是用圆形及圆内扇形的角度来表示数值的大小的图形。12.茎叶图是反映原始数据分布的图形，它是由茎和叶两部分构成的，其图形是有数子组成的，通过茎叶图，可以看出数据的分布形状及数据的离散状况。13.集中趋势指一组数据向某一中心靠拢的程度，它反映了一组数据中心的位置所在。14.众数是一组数据中出现次数最多的变量值。众数主要用于测度分类数据的集中趋势，也可用于作为顺序数据以及数值型数据集中趋势的测度值。15.平均数也称为均数，它是一组数据相加后除以数据的个数得到的结果。16异中比率指非众数数组的频数占总频数的比例。17.方差是各变量值与其平均数离差平方的平均数。18.离散系数也称变异系数，它是一组数据的标准差与其相对应的平均数之比。19. 概率古典定义：如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果出现的可能性相等，则某一事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件数m与样本空间中所包含的基本事件数n的比值。20.概率的统计定义：在相同条件下随机试验n次，某事件A出现m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。21.主观概率定义：对一些无法重复的验，确定其结果的概率只能根据以往的经验，人为确定这个时间的概率。22.当某一事件B已经发生时，求时间A发生的概率，称这种概率为时间B发生条件下事件A发生的条件概率。23.统计量概念：设X1,X2.。。。。。Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T（X1,X2,…Xn），不依赖于任何未知参数，则称函数T(X1,X2,…Xn)是一个统计量。24.在参数估计中，用来估计总体参数的统计量的名称称为估计量。25.点估计就是用样本统计量的某个取值直接作为总体参数的估计值。2 6.区间估计就是点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减抽样误差得到。2 7.如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平，也称置信度或置信系数。2 8.评价估计量的标准：无偏性是指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数：有效性指对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小标准的估计量更有效：一致性指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估计总体的参数。2 9.原假设Ho为真却被我们拒绝了，犯这种错误的概率用a表示，称a错误或弃真错误：原假设为伪我们却没有拒绝，犯这种错误的概率用B表示，称B错误或取伪错误。30.如果样本是从总体的不同类别中分别抽取，研究目的是对不同的目标量之间是否存在显著性差异进行检验，称为拟合优度检验也称一致性检验。31.在研究问题时有时会遇到要求判断两个分类之间是否存在联系的问题，使用X2检验，判断两组或多组的资料是否相互关联，如果不相互关联，就称为独立，对这类问题的处理成文独立性检验。32.方差分析就是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。33.当方差分析只涉及到一个分类自变量时称为单因素方差分析。34. 当方差分析只涉及两个分类自变量时称为双因素方差分析。

古典概型的特征和概率计算公式

高中数学必修（3）导学案 2013-2014学年第二学期高一年级班姓名编写者使用时间2018-6-23 课题：§3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式 1 课时学习目标： 1、知识与技能 （1）正确理解基本事件的概念，准确求出基本事件及其个数； （2）正确理解古典改性的两个特征； （3）掌握古典概型的概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其事件发生的概率. 2、过程与方法 鼓励学生通过实践、观察、类比，归纳总结出古典概型的概率计算公式，提高学生利用数学知识解决实际问题的能力. 3、情感态度与价值观 通过各种有趣的，贴近学生生活的素材，进一步培养学生用随机的观点认识世界，激发学生学习数学的热情和兴趣. 学习重点：理解古典概型的含义及其概率的计算公式. 学习难点：计算试验的所有可能结果数以及某事件所包含的结果数. 基础达标： 1、古典概型 （1）定义：具有以下两个特征的的数学模型称为古典概型（古典的概率模型）． ①试验的所有可能结果，每个试验只出现其中的结果． ②每一个试验结果出现的可能性． （2）基本事件 试验的称为基本事件． 2、随机事件A的概率 对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由组成．如果试验的所有可能结果（基本事件）数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝．合作交流： 1、判断下列事件是否为古典概型． （1）在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否发芽； （2）射击运动员向一靶心进行射击，射中与射不中； （3）向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的； （4）如果袋内装有n个不同的球，现从中依次有放回摸球，每次摸一个； （5）如果袋内装有n个不同的球，现从中依次无放回摸球，每次摸一个． 2、一个口袋装有大小相同的1个白球和与它编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个 球．求： （1）找出所有基本事件；（2）事件“摸出2个黑球”包括多少个基本事件？ 3、袋中装有6个形状完全相同的小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球， 求下列事件的概率． （1）A：取出的两球都是白球；（2）B：取出的两球一个是白球，另一个是红球． 思考探究： 1、在标准化的考试中既有单选题，又有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有的正确答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？ 2、使用古典概型概率的计算公式时应注意些什么？

正态概率图normalprobability plot

正态概率图(normal probability plot) 方法演变：概率图，分位数-分位数图( Q- Q) 概述 正态概率图用于检查一组数据是否服从正态分布。是实数与正态分布数据之间函数关系的散点图。如果这组实数服从正态分布，正态概率图将是一条直线。通常，概率图也可以用于确定一组数据是否服从任一已知分布，如二项分布或泊松分布。 适用场合 ·当你采用的工具或方法需要使用服从正态分布的数据时； ·当有50个或更多的数据点，为了获得更好的结果时。 例如： ·确定一个样本图是否适用于该数据； ·当选择作X和R图的样本容量，以确定样本容量是否足够大到样本均值服从正态分布时； ·在计算过程能力指数Cp或者Cpk之前； ·在选择一种只对正态分布有效的假设检验之前。

实施步骤 通常，我们只需简单地把数据输入绘图的软件，就会产生需要的图。下面将详述计算过程，这样就可以知道计算机程序是怎么来编译的了，并且我们也可以自己画简单的图。 1将数据从小到大排列，并从1～n标号。 2计算每个值的分位数。i是序号： 分位数＝(i－0.5)/n 3找与每个分位数匹配的正态分布值。把分位数记到正态分布概率表下面的表A.1里面。然后在表的左边和顶部找到对应的z值。 4根据散点图中的每对数据值作图：每列数据值对应个z值。数据值对应于y轴，正态分位数z值对应于x轴。将在平面图上得到n个点。

5画一条拟合大多数点的直线。如果数据严格意义上服从正态分布，点将形或一条直线。将点形成的图形与画的直线相比较，判断数据拟合正态分布的好坏。请参阅注意事项中的典型图形。可以计算相关系数来判断这条直线和点拟合的好坏。 示例 为了便于下面的计算，我们仅采用20个数据。表5. 12中有按次序排好的20个 值，列上标明“过程数据”。 下一步将计算分位数。如第一个值9，计算如下： 分位数＝(i－0.5)/n＝(1－0.5)/20＝0.5/20＝0.025同理，第2个值，计算如下： 分位数＝(i－0.5)/n＝(2－0.5)/20＝1.5/20＝0.075可以按下面的模式去计算：第3个分位数=2.5÷20，第4个分位数＝3 5÷20 以此类推直到最后1个分位数＝19. 5÷20。 现在可以在正态分布概率表中查找z值。z的前两 个阿拉伯数字在表的最左边一列，最后1个阿拉伯数 字在表的最顶端一行。如第1个分位数＝0. 025，它 位于－1.9在行与0.06所在列的交叉处，故z＝－ 1.96。用相同的方式找到每个分位数。 如果分位数在表的两个值之间，将需要用插值法进行求解。例如：第4个分位数为0.

概率论的定义以与公式

§2 随机事件的概率，古典概型与概率的加法公式 2000/7/31 一． 概率的统计定义： １．频率： 随机事件在一次具体的试验是否发生，虽然不能预先知道，但是，当大量重复同一试验时，随机现象却呈现出某种规律, 即所谓统计规律性． 如：历史上有人作过成千上万次投掷硬币，下表列出他们的试验记录： ２．随机事件 1。随机事件及其概率 2。古典概型 容易看出，投掷次数越多正面向上的频率越接近０．５，其中 事件Ａ发生的次数 频数 事件Ａ发生的频率＝ ＝ 试验总次数 试验总次数 ． 我们将事件发生的可能性大小只停留在定性了解不够的，下面给出事件发生的可能性大小的客观的定量的描述，称为事件发生的概率． ２．随机事件的概率： （１） 定义：在不变的一组条件Ｓ下，重复作n 次试验，记μ是n 次试验中事件A 发生的次数．当 试验的次数n 很大时，如果频率 n μ 稳定在某一数值p 的附近摆动，而且一来随着试验次数增多，这种摆动的幅度越变越小，则称数值p 为事件A 在条件Ｓ下发生的概率，记作 ()P A p = 这里，频率的稳定性是概率一个直观朴素的描述，通常称为概率的统计定义．但必须指出，事件的频率是带有随机性的，这是由事件本身的随机性所决定。而事件的概率，却是一个客观存在的实数，是不变的。 二． 古典概型： １．定义： 如果随机现象满足下列三个条件： (1) 一次试验可能结果只有有限个，即所有基本事件只有有限个：

12,,,n A A A L ， (2) 每一个基本事件(1,2,,)i A i n =L 发生的可能性是相等的． (3) 基本事件(1,2,,)i A i n =L 是两两互不相容 满足以上三个条件的随机现象模型，称为古典概型． 在古典概型中，如果n 为基本事件总数， m 为事件A 包含的基本事件数, 那么事件A 的概率 ()m P A n == 法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作为概率的一般定义．现在通常称它为概率 的古典概型的定义，因为它只适用于古典概型场合． ２． 古典概型公式的运用举例： 【例1】 袋里有2个白球和3个黑球．从袋任取出一球，求它是白球的概率． 解 ： 容易看出，“从袋里任取一球”这一试验是古典概型的，且 基本事件总数n ＝5，取到白球的基本事件数m ＝2，故 把白球换为合格产品，黑球换为废品，则这个摸球模型就可以描述产品抽样检验问题．这种模型化的方法把表面上不同的问题归类于相同的模型之小中，能使问题更消楚，更易于计算。 【例2】把a, b 两个球随机地放到编号为I, Ⅱ, Ⅲ 的三只盒子里，求盒子I 中没有球的概率。 解：这是一个古典概型问题， 把a, b 两个球随机地放到编号为I, Ⅱ, Ⅲ 的三只盒子里，基本事件总数 2 39n == 设Ａ＝“盒子I 中没有球”，则事件A 包含的基本事件数 2 24m == ∴ 4 ()9 P A = 【例3】有一个口袋，内装a 只白球，b 只黑球，它们除颜色不同外，外形完全一样, 从袋了中任不同外，外形完全一样. 现任意模出2个球时，求： （１）模出2个球都是白球的概率； （２）模出一个白球一个黑球的概率 解: 这口袋共有a+b 只球，从袋了中任意模出2个球的基本事件总数 2 a b n C += ， （１） 模出2个球都是白球基本事件数 2 1a m C =，

高中数学 第三章 概率 3_2_1 古典概型的特征和概率计算公式教案 北师大版必修31

2．1 古典概型的特征和概率计算公式 整体设计 教学分析 本节课是高中数学(必修3)第三章“概率”的第二节“古典概型”的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的．古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位．学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神．三维目标 1．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，正确理解古典概型的两大特点；树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观点来理性地理解世界，使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神． 2．鼓励学生通过观察、类比，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，归纳总结出古典概型的概率计算公式，掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：P(A)＝事件A包含的可能结果数 的使用条件——古典概型，体现了化归的重要思想．掌握列举法，试验的所有可能结果数 学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度． 重点难点 教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率． 教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(1)掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件．

概率的古典定义及其计算

12．2．2 概率的古典定义及其计算 定义 如果随机试验具有如下特征： （1）事件的全集是由有限个基本事件组成的； （2）每一个基本事件在一次试验中发生的可能性是相同的； 则这类随机试验称为古典概型． 定义 在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n ，事件A 包含的基本事件个数为m ，那么事件A 发生的概率为P （A ）=n m 。 这个定义叫做概率的古典定义。它同样具备概率统计定义的三个性质。 例1 从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字中，随机地取出一个数字，求这个数字是奇数的概率。 解 设A={取出的是一个奇数}，则基本事件总数为n=9，事件A 包含了5个基本事件（抽到1，3，5，7，9），即m=5，所以，P （A ）=9 5=n m 。 例2 在10个同样型号的晶体管中，有一等品7个，二等品2个，三等品1个，从这10个晶体管中任取2个，计算： （1）2个都是一等品的概率； （2）1个是一等品，1个是二等品的概率。 解 基本事件总数为从10个晶体管中任取2个的组合数，故n=210C =45。 （1）设A={取出2个都是一等品}，它的种数m=27C =21，其概率为P （A ）=15 74521==n m ； （2）设B={取出2个，1个是一等品，1个是二等品}，它的种数m=1217C C =14，所以 P （B ）=45 14=n m 。 例3 储蓄卡上的密码是一组四位数号码，每位上的数字可以在0到9这10个数字中选取，问： （1）使用储蓄卡时如果随意按下一组四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率是多少？ （2）某人没记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时如果随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？ 解 （1）由于储蓄卡的密码是一组四位数字号码，且每位上的数字有从0到9这10中取法，这种号码共有410组。又由于是随意按下一组四位数字号码，按下其中哪一组号码的可能性都相等，可得正好按对这张储蓄卡的密码的概率1P =4 101。 （2）按四位数字号码的最后一位数字，有10中按法，由于最后一位数字是随意按的，按下其中各个数字的可能性相等，可得按下的正好是密码的最后一位数字的概率10 12=P 。 课堂练习：习题12.2 1—4 订正讲解 12．3．1 概率的加法公式 1．互斥事件概率的加法公式

概率论与数理统计概率历史介绍

概率论与数理统计概率历史介绍

一、概率定义的发展与分析 1.古典定义的历史脉络 古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比． 2.古典定义的简单分析 古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提． 如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”？伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中．用排列（组合）体现同等可能的要求，就是将总数为P(n,r)的各种排列（或总数为C(n,r)的各种组合）看成是等可能的，通常用“随意取”来表达这个意思．即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，而且还有数学上的问题． “应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利（1654—1705）“寻找另一条途径找到所期待的结果”，这就是他在研究古典概率时的另一重要成果：伯努利大数定律．这条定律告诉我们“频率具有稳定性”，所以可以“用频率估计概率”，而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础．“古典定义数学上的问题”在贝特朗（1822—1900）悖论中表现得淋漓尽致，它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处，这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评． 3.统计定义的历史脉络 概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限．正如雅各布?伯努利所说：“……这种方法仅适用于极罕见的现象．”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越多，发生错误的风险就越小”．虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”． 事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律．1919年，德国数学家冯?米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率．

古典概型与几何概型的区别

古典概型和几何概型的意义和主要区别 在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念，下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍。 一、古典概型和几何概型的意义 （一）.几何概型的定义： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 1.几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个 ．．．．. (2)每个基本事件出现的可能性相等 ．．．．．. 2.几何概型求事件A的概率公式： P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) （二）古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍

1. 古典概型的特点： (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ．．．. (2)每个基本事件出现的可能性相等 ．．．．．. 2. 古典概型求事件A的概率公式： P(A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别 几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。 三.利用不同概率模型,培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模 题组一： 情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率 情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球，这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？ 情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？

概率论的基本概念

第一章概率论的基本概念 第一节随机事件、频率与概率 一、教学目的： 1.通过本节起始课序言简介,使学生初步了解概率论简史、特色，从 而引导学生了解本课程概况及学习本课程的思想方法 2.通过本次课教学，使学生理解随机事件概念、频率与概率的概念， 了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件的关系和运算，掌握 概率的基本性质及其运算 二、教学重点：概率的概念 三、教学难点：事件关系的分析与运算 四、教学内容： 1.序言：⑴简史⑵学法 2.§1.随机试验: ⑴实例⑵确定性现象⑶随机现象 3.§2.样本空间、随机事件: ⑴样本空间⑵随机事件⑶事件关系 与运算 4.§3. 频率与概率⑴频率定义、性质⑵概率定义、性质 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第二节古典概型、条件概率 一、教学目的： 通过本节教学使学生了解古典概型的定义，理解条件概率的概念，并能够解决一些古典概型、条件概率的有关实际问题． 二、教学重点：古典概率、条件概率计算 三、教学难点：古典概型与条件概率分析与建模 四、教学内容： 1.§４.古典概型 2.§５.条件概率（一） 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第三节乘法公式、全概率公式、Bayes公式、独立性 一、教学目的： 1.通过本节教学使学生在理解条件概率概念的基础上,掌握乘法公

式、全概率公式、Bayes公式以及能够运用这些公式进行概率计算。 2.理解事件独立性概念，掌握用独立性概念进行计算． 二、教学重点： 1.乘法公式及其使用 2.独立性概念及其应用 三、教学难点：应用公式分析与建模 四、教学内容： １.§５.条件概率（二、三）２.§６.独立性 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第四节习题课 一、教学目的： 通过本习题课教学使学生全面系统对概率论的基本概念进一步深化，同时熟练掌握本章习题类型，从而提高学生的分析问题与解决问题的能力． 二、教学重点： 1.知识内容系统化 2.几类问题解决方法 三、教学难点：实际问题转化为相应的数学模型 四、教学内容： 1.本章知识内容体系归纳 2.习题类型： ⑴古典概型计算 ⑵事件关系与运算 ⑶条件概率计算 ⑷乘法公式、全概率公式、Bayes公式使用与计算． ⑸独立性问题的计算 五、讲练习题 第二章随机变量及其分布 第一节随机变量、离散型随机变量的概率分布 一、教学目的： 通过本节教学使学生理解随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布及其性质，掌握二项分布、泊松分布，并会计算有关事件的概率及其分布．

2.1古典概型的特征和概率计算公式

§3.2.1 古典概型学案 学习目标：(1)理解古典概型及其概率计算公式； (2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 学习重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率. 学习难点：如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含 的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 学习过程： 一．复习旧知 1.什么是随机事件？ 2.什么是互斥事件？ 当事件A 、B 互斥时：___________)(=B A P Y ； 3.概率是怎样定义的？ 一般地，如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们可 以将事件A 发生的频率()n f A 作为事件A 发生的概率的近似值,___)()(=≈A f A P n 二．预习课本P125-128,并回答以下问题： 1.试验一：掷一枚质地均匀的硬币一次，观察可能出现几种结果？ 试验二：掷一颗均匀的骰子一次，观察可能出现几种结果？ 我们把试验中可能出现的每一个随机事件称为__________. 2.问题：（1）在一次试验中，会同时出现 “1点” 与 “2点” 这两个基本事件吗？ （2）事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件？事件“出现的点数不大于4”呢？ 从以上两个问题归纳出基本事件的特点： （1）任何两个基本事件都是_________; （2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成_________________. 3. 从a ，b,c,d 中任意取出两个不同字母的实验中，有几个基本事件？分别是什么？ 三．新课探究 1.古典概型 问题：试验一、二中每个基本事件出现的可能性是多大？ 观察对比，发现上述两个试验的共同特点： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有___________; （2）每个基本事件出现的可能性___________________. 我们将具有这两个特点的概率模型称为_______________. 例：判断下列是否为古典概型？为什么？ （1）同时抛掷两枚质地均匀的硬币； （2）如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个： 命中10环、命中9环……命中5环和不中环。 【归纳总结】 2.古典概型的概率 在上面的掷骰子的试验中，事件A “出现偶数点”发生的概率是多少？

概率统计与随机过程第一章(第二节)几何统计概率的定义

第一章随机事件的概率 第二节概率的定义及性质 二.概率的几何定义 古典概率的局限性: 基本事件总数有限,各个基本事件发生的可能性相同. 对基本事件总数无限的情形,古典概率就不适用了. 概率的古典定义是以试验的基本事件总数有限和基本事件等可能发生为基础的。对于试验的基本事件有无穷多个的情形，概率的古典定义显然不适用了。为了研究基本事件有无穷多个而又具有某种等可能性这样的一类随机试验，需要用几何方法来引进概率的几何定义。

先从几个简单的例子开始。 例1 某公共汽车站每隔十分钟有某一路公交汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意地.求一个乘客候车时间不超过三分钟的概率. 例2 如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油，假如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？ 例3 在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。 一种相当自然的答案是认为 ；例2中钻到例1所求的概率等于3 10 8；而例3所求的石油的概率等于 10000 1。在求这些概率时，我概率等于 200

们事实上利用了几何的方法，并假定了某种等可能性。 在例1中，乘客候车时间的区间为[0,10]，且取各点的可能性一样； 候车的时间短于3分钟，也就是候车时间的区间为[0,3]，相应的概率应是310 。 在例2中，由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率自然认为等于贮藏油域的面积与整个海域面积之比，即等于1000085000040=。 同样地，例3中由于取水样的随机性，所求概率等于水样的体积与总体积之比 20014002= 。

古典概型的特征和概率计算公式

《古典概型的特征和概率计算公式》说课稿（1） 《古典概型的特征和概率计算公式》说课稿 一、教材分析： 《古典概型的特征和概率计算公式》是北师大版普通高中课程标准试验教科书数学必修3第三章第二节第一小节的内容。本节课内容是在学生已经学习了随机事件概率的概念基础上的延续和拓展。古典概型是一种特殊的数学模型，它的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率的精确值。它也为后面学习几何概型在思路上做了一个铺垫，在教材中起着承前启后的作用。同时，学习本节课的内容，能够大大激发学生学习数学、应用数学的兴趣。因此本节知识在概率论中占有相当重要的地位。 由于在这节课之前，教材中并没有安排排列组合知识，所以这节课的重点我认为不是“如何计算”，而是让学生通过生活中的实例与数学模型，来理解古典概型的两个特征，让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型。所以我设计了这节课的重点和难点为： 1.重点：理解古典概型及其概率计算公式 2.难点：古典概型的判断 二、教学目标分析： 基于上述我对教材的地位和内容的剖析，根据新课程标准中发展学生数学应用意识的基本理念，结合学生已有的知识结构与心理特征，我制定了以下的教学目标： 知识与技能： 1.通过试验理解基本事件的概念和特点； 2.在数学建模过程中，抽象出古典概型的两个基本特征，推导概率的计 算公式； 3.掌握用列举法和分类讨论法解决概率的计算问题。 过程与方法： 通过模拟试验让学生理解古典概型的特征，观察类比各个试验，让学生归纳总结出古典概型公式。 情感态度与价值观：

1.用现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、善 于发现的创新精神，发展学生的数学应用意识； 2.经历公式的推导过程，体验由特殊到一般的归纳推理的数学思想方 法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度； 3.培养学生“理论来源于实践并应用于实践”的辩证思想。 三、教法与学法分析： 数学是一门培育人的思维，发展人的思维的主要学科，因此，在教学中，基于这节课的特点我主要采用引导发现法和问题式教学法教学，运用多媒体等手段构造数学模型，激发学生学习兴趣，引导学生进行观察讨论、归纳总结。鼓励学生自做自评。 五、教学过程分析： （一）提出问题，引入新课 课前，老师已布置学生分组完成2个试验： ① 掷一枚质地均匀的硬币试验 ② 掷一枚质地均匀的骰子的试验。 各组学生展示模拟试验方法，并汇总试验结果，教师汇总并提出问题： ①两个试验的结果分别有几个？ 设计意图：引出基本事件的概念。 ②在掷骰子的试验中，随机试验“出现偶数点”可以由哪些基本事件 组成？ 设计意图：这一环节主要采用学生思考讨论，教师引导和学生归纳的方法，鼓励学生用自己的语言描述基本事件的特点。一方面激发学生的学习兴趣，另一方面，通过分析，加深对事件与基本事件关系的认识，为引出古典概型定义做好铺垫。 （二）思考交流，形成概念 例1．从字母a、b、c、d中任意取出两个不同的字母， ①在这个试验中，有哪些基本事件？(ab、ac、ad、bc、bd、 cd)

正态分布概率公式(部分)

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图 62正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。 n 当 →∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态 分布曲线的方程：
fx= （61 ） () .6
式中： x—所研究的变数； fx —某一定值 x出现的函数值，一般称为概率 () 密度函数 （由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某 一区间的概率， 不能计算变量取某一值， 即某一点时的概率， 所以用 “概率密度” 一词以与概率相区分），相当于曲线 x值的纵轴高度； p—常数，等于 31 .4 19……； e— 常数，等于 2788……； μ 为总体参数，是所研究总体 5 .12 的平均数， 不同的正态总体具有不同的 μ ， 但对某一定总体的 μ 是一个常数； δ 也为总体参数， 表示所研究总体的标准差， 不同的正态总体具有不同的 δ ， 但对某一定总体的 δ 是一个常数。 上述公式表示随机变数 x的分布叫作正态分布， 记作 N μ ,δ2 )， “具 ( 读作 2 平均数为 μ，方差为 δ 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态 曲线，形状见图 62。 （二）正态分布的特性
1、正态分布曲线是以 x μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。因 =
的
数值无论正负， 只要其绝对值相等， 代入公式 61 ） （ .6 所得的 fx 是相等的， () 即在平均数 μ 的左方或右方，只要距离相等，其 fx 就相等，因此其分布是 () 对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于 μ 点上。

正态分布概率公式(部分)

图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程： f(x)= （6.16 ） 式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.14 159 ……； e —常数，等于 2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ，但对某一定总体的μ是一个常数；δ也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ，但对某一定总体的δ是一个常数。 上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作 N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ 2 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。 （二）正态分布的特性 1 、正态分布曲线是以 x= μ为对称轴，向左右两侧作对称分布。因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。

2 、正态分布曲线有一个高峰。随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞ ），在（ - ∞ ，μ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ时， f(x) 最大；在（μ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。 3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。 4 、正态曲线是由μ和δ两个参数来确定的，其中μ确定曲线在 x 轴上的位置 [ 图 6-3] ，δ确定它的变异程度 [ 图 6-4] 。μ和δ不同时，就会有不同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其μ和δ确定以后才能确定。 5 、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于 1 ，正态分布与 x 轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也应该是等于 1 。而变量 x 出现在任两个定值 x1到x2(x1≠x2)之间的概率，等于这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。正态曲线的任何两个定值间的概率或面积，完全由曲线的μ和δ确定。常用的理论面积或概率如下： 区间μ ± 1 δ面积或概率 =0.6826 μ ± 2 δ =0.9545 μ ± 3 δ=0.9973 μ± 1.960δ=0.9500 μ ±2.576 δ =0.9900