锐角三角函数及其应用真题练习

锐角三角函数及其应用

命题点1 直角三角形的边角关系

1. (怀化6题4分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是()

A. 3

5B.

3

4C.

4

5D.

4

3

第1题图第3题图

2. (怀化10题4分)在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝4

5,AC＝6 cm.则BC的长度为()

A. 6 cm

B. 7 cm

C. 8 cm

D. 9 cm

3. (株洲15题3分)如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB＝10,EF＝2,那么AH 等于________．

4. (张家界16题3分)如图,在四边形ABCD中,AD＝AB＝BC,连接AC,且∠ACD＝

30°,tan∠BAC＝23

3,CD＝3,则AC＝________．

第4题图

命题点2 锐角三角函数的实际应用

5. (益阳7题5分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB ＝α,则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()

A.

h

sinα

B.

h

cosα

C.

h

tanα

D. h·cosα

第5题图第6题图第7题图

6. (益阳8题3分)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等,小明将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C＝α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为1米,则旗杆PA的高度为()

A.

1

1－sinα

B.

1

1＋sinα

C.

1

1－cosα

D.

1

1＋cosα

7. (岳阳14题4分)如图,一山坡的坡度为i＝1∶3,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了________米．

8. (邵阳22题8分)图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°,由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平面所形成的夹角∠OCA、∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1 cm,温馨提示：sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,3≈1.73)．

第8题图

9. (郴州22题8分)如图所示,C城市在A城市正东方向,现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC),经测量,森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上,在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上,已知森林保护区是以点P为圆心,100 km为半径的圆形区域,请问计划修建的这条高速铁路是否

穿越保护区,为什么？(参考数据：3≈1.73)

第9题图

10. (郴州22题8分)某日,正在我国南海海域作业的一艘大型海船突然发生险情,相关部门接到求救信号后,立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离3000米的高空C处时,测得A处渔政船的俯角为60°,测得B处发生险情渔船的俯角为30°.请问：此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号)

第10题图

11. (郴州22题8分)小宇在学习解直角三角形的知识后,萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法．他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°,测得对面楼房顶端A的仰角为30°,并量得两栋楼房间的距离为9米．请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．(结果保留到整数,参考数据：2≈1.4,3≈1.7)

第11题图

12. (岳阳20题8分)下图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图,椅子高为AC,椅面宽为BE,椅脚高为ED,且AC⊥BE,AC⊥CD,AC∥ED.从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°.已知ED＝35 cm,求椅子高AC约为多少？(参考数据：tan53°≈

4

3,sin53°≈4

5,tan64°≈2,sin64°≈

9

10)

第12题图

13. (张家界19题6分)位于张家界核心景区内的贺龙铜像,是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图,在Rt△ABC中,∠ABC＝70.5°,在Rt△DBC中,∠DBC＝45°,且CD＝2.3米,求像体AD的高度．(最后结果精确到0.1米,参考数据：sin70.5°≈0.943,cos70.5°≈0.334,tan70.5°≈2.824)

第13题图

14. (常德24题8分)图①,②分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知底座BC＝0.60米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°,支架AF的长为2.50米,篮板顶端F点到篮框D的距离FD＝1.35米,篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°,求篮框D到地面的距离(精确到0.01米)．

(参考数据：cos75°≈0.2588,sin75°≈0.9659,tan75°≈3.732,3≈1.732,2≈1.414)

第14题图

15. (娄底22题8分)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁,大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图①),图②是从图①引申出的平面图,假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°,拉索CD与水平桥面的夹角是60°,两拉索顶端的距离BC为2米,两拉索底端的距离AD为20米,请求出立柱BH的长(结果精确到0.1米,3≈1.732)．

第15题图

16. (衡阳23题6分)衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内．如图,为了测量来雁塔的高度,在E处用高为1.5米的测角仪AE,测得塔顶C的仰角为30°,再向塔身前进10.4米,又测得塔顶C的仰角为60°,求来雁塔的高度．(结果精确到0.1米)

第16题图

17. (株洲23题8分)如图,一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α,其中tanα＝23,无人机的飞行高度AH为5003米,桥的长度为1255米．

(1)求点H到桥左端点P的距离；

(2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°,求这架无人机的长度．

第17题图

18. (岳阳22题8分)某太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知真空热水管AB 与支架CD所在直线相交于点O,且OB＝OD,支架CD与水平线AE垂直,∠BAC＝∠CDE＝30°,DE＝80 cm,AC＝165 cm.

(1)求支架CD的长；

(2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号)

第18题图

19. (湘潭23题8分)某游乐场部分平面图如图所示,C、E、A在同一直线上,D、E、B 在同一直线上．测得A处与E处的距离为80米,C处与D处的距离为34米,∠C＝90°,∠ABE ＝90°,∠BAE＝30°.(2≈1.4,3≈1.7)

(1)求旋转木马E处到出口B处的距离；

(2)求海洋球D处到出口B处的距离(结果保留整数)．

第19题图

20. (衡阳24题10分)在某次海上军事演习期间,我军为确保△OBC海域内的安全,特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域,在雷达显示图上,军舰B在军舰O 的正东方向80海

里处,军舰C在军舰B的正北方向60海里处,三艘军舰上装载有相同的探测雷达,雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．(只考虑在海平面上的探测)

(1)若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控,则雷达的有效探测半径r至少为多

少海里？

(2)现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域,在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上,同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上,求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？

(3)若敌舰A沿最短距离的路线以202海里/小时的速度靠近△OBC海域,我军军舰B 立刻沿北偏东15°的方向进行拦截,问军舰B速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A?

第20题图

答案

1. C【解析】如解图,过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,在Rt△AOB中,OB＝3,AB＝

4,由勾股定理得OA＝5,∴sinα＝AB

OA＝4 5.

第1题解图

2. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝4

5,∴设BC ＝4x,则AB ＝5x,又∵AC ＝6 cm ,AC 2＋BC 2＝AB 2,∴62＋(4x)2＝(5x)2,解得：x ＝2或x ＝－2(舍去),则BC ＝4x ＝8 cm .

3. 6 【解析】设AH ＝x,则AE ＝x ＋2,由四个全等的直角三角形可得DE ＝AH ＝x,在Rt △DAE 中,由勾股定理得AD 2＝AE 2＋DE 2,即102＝(x ＋2)2＋x 2,解得x ＝6.

4. 63 【解析】如解图,作DE ⊥AC 于E,BF ⊥AC 于F,∵AB ＝BC,∴AF ＝CF,设AF ＝x,则AC ＝2x,在Rt △ABF 中,tan ∠BAF ＝

BF AF ＝233,∴BF ＝233

x,由勾股定理得AB 2＝AF 2＋BF 2＝x 2＋(233x)2＝73x 2,在Rt △DCE 中,∠DCE ＝30°,DC ＝3,∴DE ＝32,CE ＝3

23,∴AE ＝2x －332,在Rt △ADE 中,由勾股定理得AD 2＝AE 2＋DE 2＝(2x －332)2＋(32)2,∵AD ＝AB,∴73x 2＝(2x －332)2＋(32)2,解得x 1＝33,x 2＝33

5,∵AF ＝CF ＞CE,又335＜332,∴AF ＝33

5(不合题意,舍去),∴CF ＝AF ＝33,∴AC ＝6 3.

第4题解图

5. B 【解析】∵AC ⊥BC,∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°,∵CD ⊥AB,∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°,∴∠BCD ＝∠CAD ＝α,在Rt △BCD 中,∵CD ＝h,cos ∠BCD ＝CD BC ,即cos α＝h BC ,∴BC ＝

h

cos α

. 6. A 【解析】在Rt △PCB ′中,sin α＝PC

PB ′

,则PB′·sin α＋1＝PA,而PB′ ＝PA,所以PA ＝

1

1－sin α

.

7. 100【解析】∵坡度i＝1 3

＝

3

3＝tan∠BAC,∴∠BAC＝30°,∴BC＝AB·sin∠BAC ＝200×sin30°＝100(米)．

8. 解：在Rt△OBC中,∵OC＝BC·tan∠OBC,

且tan∠OBC＝tan30°＝

3

3,

∴OC＝

3

3BC,(2分)

在Rt△AOC中,OC＝OA·sin∠OAC,∠OAC＝75°,

∴OC＝40·sin75°,(4分)

∴

3

3BC＝40·sin75°,(6分)

∴BC＝

40·sin75°

3

3

＝40×sin75°×3≈67.1 cm.

答：该台灯照亮水平面的宽度BC约为67.1 cm.(8分)

9. 解：不会穿越保护区．(1分)

理由如下：

如解图,过点P作PD⊥AC于点D,设BD＝x,

第9题解图

∵在Rt△BDP中,∠PBD＝90°－30°＝60°,

∴PD＝BD·tan∠PBD＝3BD＝3x,

∵在Rt△ADP中,∠PAD＝90°－60°＝30°,

∴AD＝

PD

tan∠PAD

＝3PD＝3x,

∵AB＝BP＝AD－BD＝120,

∴3x－x＝120,解得x＝60,

∴PD＝3x＝603≈103.8＞100,

∴计划修建的这条高速铁路不会穿越保护区．(8分) 10. 解：∵在Rt△ADC中,CD＝3000,∠CAD＝60°,

∴tan60°＝CD

AD＝

3000

AD＝3,(2分)

∴AD＝10003,

∵在Rt△BDC中,∠B＝30°,

∴tan30°＝CD

BD＝

3000

BD＝

3

3,

∴BD＝3000 3.

∴AB＝BD－AD＝30003－10003＝20003(米)．答：此时渔政船和渔船相距20003米．(8分) 11. 解：∵在Rt△ACD中,CD＝9,∠ACD＝30°,

∴AD＝CD·tan30°＝9×

3

3＝33,(4分)

∵在Rt△BCD中,∠BCD＝45°,

∴BD＝CD＝9,(6分)

∴AB＝BD＋AD＝9＋33≈14(米)．(7分) 答：对面楼房AB的高度约为14米．(8分) 12. 解：∵AC⊥BE,AC⊥CD,

∴BE∥CD,

∵AC∥DE,∴四边形BCDE是矩形,

∠ACD＝∠ABE＝90°,(2分)

∵在Rt△ABE中,∠AEB＝53°,

∴BE＝

AB

tan∠AEB

＝

AC－BC

tan53°

≈

AC－35

4

3

＝

3（AC－35）

4,

∵在Rt△ACD中,∠ADC＝64°,

∴CD ＝AC tan ∠ADC ＝AC tan 64°≈AC

2,

∴AC 2＝3（AC －35）4,(6分)

解得AC ＝105.

答：椅子高AC 约为105 cm .(8分) 13. 解：∵在Rt △BCD 中,∠CBD ＝45°, ∴BC ＝CD ＝2.3.

在Rt △ABC 中,∠ABC ＝70.5°,

则AC ＝BC·tan ∠ABC ＝2.3×tan 70.5°≈6.5,(3分) ∴AD ＝AC －CD ＝6.5－2.3＝4.2. 答：像体AD 的高度为4.2米．(6分)

14. 解：如解图,延长FE 交CB 于点M,过点A 作AG ⊥FM 于点G . 由已知条件知：∠FAG ＝∠FHE ＝60°, 在Rt △AFG 中,∠AGF ＝90°,

∴FG ＝AF·sin ∠FAG ＝2.5×sin 60°＝2.5×32≈2.5×1.7322＝2.165, (3分)

第14题解图

在Rt △ACB 中,∠ABC ＝90°,

∴AB ＝BC·tan ∠ACB ＝0.6×tan 75°≈0.6×3.732＝2.239, 在矩形ABMG 中,GM ＝AB ＝2.239,

∴DM ＝FG ＋GM －FD ＝2.165＋2.239－1.35＝3.054≈3.05(米), 答：篮框D 到地面的距离约为3.05米．(8分)

15. 解：设DH ＝x,

在Rt △CDH 中,tan ∠CDH ＝tan 60°＝CH

DH ＝3,则CH ＝3x,(2分) 在Rt △ABH 中,tan ∠A ＝tan 30°＝BH AH ＝3

3,(4分) ∴2＋3x 20＋x ＝33, ∴x ＝10－3,(6分)

∴BH ＝BC ＋CH ＝2＋3(10－3)＝103－1≈16.3(米)． 答：立柱BH 的长为16.3米．(8分)

16. 解：如解图,依题意得：CD ⊥ED,BF ⊥ED,AE ⊥ED,AG ⊥CD(设垂足为G),设CG 为x 米,可得CD ＝CG ＋GD ＝(x ＋1.5)米,

第16题解图

在Rt △CBG 中,tan ∠CBG ＝CG

BG , ∵∠CBG ＝60°, ∴BG ＝

x

3

,(2分) 在Rt △CAG 中,tan ∠CAG ＝CG

AG , ∵∠CAG ＝30°, ∴AG ＝3x, ∴AB ＝3x －

x

3

＝10.4, 解得：x ＝26

53,(4分) ∴CD ＝26

53＋1.5≈10.5(米)．

答：来雁塔的高度约为10.5米．(6分) 17. 解：(1)∵tan ∠APH ＝tan α＝23, ∴AH

HP ＝23, 又∵AH ＝5003, ∴HP ＝250,

答：点H 到桥左端点P 的距离为250米；(4分) (2)设HA 、QB 的延长线交于点M,

第17题解图

∵HQ ＝HP ＋PQ ＝1505,∠Q ＝30°,

∴MH ＝HQ·tan 30°＝33HQ ＝3×15053,(6分)

∴MA ＝MH －AH ＝53

3, ∵∠MBA ＝∠Q ＝30°, ∴AB ＝3MA ＝5.

答：这架无人机的长度为5米．(8分) 18. 解：(1)∵CD ⊥AE, ∴∠DCE ＝90°.

∵在Rt △CDE 中,∠CDE ＝30°, DE ＝80 cm .

∴CD ＝DE·cos 30°＝40 3 cm . 答：支架CD 的长为40 3 cm ；(4分) (2)∵在Rt △AOC 中,∠A ＝30°, AC ＝165 cm ,

∴OC＝AC·tan30°＝165×

3

3＝55 3 cm,AO＝2OC＝110 3 cm.

∵CD＝40 3 cm,

∴OB＝OD＝OC－CD＝553－403＝15 3 cm,

∴AB＝AO－OB＝1103－153＝95 3 cm.

答：真空热水管AB的长是95 3 cm.(8分)

19. 解：(1)由题意得,在Rt△ABE中,AE＝80米,∠BAE＝30°,

∴BE＝AE·sin∠BAE＝80×1

2＝40米,

答：旋转木马E处到出口B处的距离是40米；(3分) (2)∵∠DEC＝∠AEB,∠DCE＝∠ABE,

∴∠D＝∠A＝30°,DC＝34米,

故cos D＝DC

DE,即cos30°＝

3

2＝

34

DE,

∴DE＝34×2

3

≈39.3米．(6分)

由(1)知BE＝40米,

∴BD＝DE＋BE＝79.3≈79(米)．(7分)

答：海洋球D处到出口B处的距离约为79米．(8分) 20. 解：(1)如解图,取OC中点为点D,连接BD,

∵在Rt△OBC中,OB＝80,BC＝60,

由勾股定理,得OC＝OB2＋BC2＝802＋602＝100,

∴OD＝BD＝CD＝1

2OC＝50,

答：雷达的探测半径r至少为50海里时,才可以对△OBC海域进行无盲点监控；(3分)

(2)如解图,过点A作AE⊥BC于点E,AE即为最短距离．