高一数学一元二次不等式解法练习题及答案
1
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案
[ ]
分析 求算术根，被开方数必须是非负数．
解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．
例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．
分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．
解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知
例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01
a
A a x
B x a
．＜＜
．＜＜1
1
a a C x a
D x x a
．＞或＜．＜或＞x a
a
1
1
分析比较与的大小后写出答案． a 1
a
解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．
选．
0a 1a a x A 11
a a 例有意义，则的取值范围是
．2 x x 2--x 6
2
例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)
分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．
答 (1){x|x ＜2或x ＞4}
(4)R (5)R
说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．
[ ]
-=-+=-=-=-??
?????b
a
a ()()1211122×得a
b =
=-121
2
，．(4)3x 2-+-
-+-3132
511
3
12
2x x x x x x ＞＞()()
(2){x|1x }≤≤3
2(3)?例不等式＋＞
的解集为5 1x 1
1-x
3
A ．{x|x ＞0}
B ．{x|x ≥1}
C ．{x|x ＞1}
D ．{x|x ＞1或x ＝0}
分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．
∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．
说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．
[ ]
A ．(x －3)(2－x)≥0
B ．0＜x －2≤1
D ．(x －3)(2－x)≤0
故排除A 、C 、D ，选B ．
两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”．
解不等式化为＋－＞，
通分得＞，即＞，
1x 0001
111
22
----x
x x x x 例与不等式
≥同解的不等式是6 0x x
--3
2C ．≥23
0--x x 解法一原不等式的同解不等式组为≥，
≠．
()()x x x ---???32020解法二≥化为＝或－－＞即＜≤
x 3
20x 3(x 3)(2x)02x 3--x
4
[ ]
[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}
答 选C ．
说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．
解 先将原不等式转化为
∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，
即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x |－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．
例不等式
＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax
x -1
A a
B a
C a
D a ．＜
．＞
．＝
．＝－
1212
1
21
2
分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-11
1
可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 111
2
a -例解不等式≥．8 237
23
2x x x -+-37
23
202x x x -+--≥即≥，所以≤．
由于＋＋＝＋＋＞，
---+-+++-21232123
147
8
2222x x x x x x x x 002x x 12(x )022
5
例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2
分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关
解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)
4a 2－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2．
说明：二次函数问题可以借助它的图像求解．
≤，若，求的范围．0}B A a
?系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ?(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得??(2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：?应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12?12a 12042a 4a 2014
12a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a
--?
?
???
??2218
7综上所述得的范围为－＜≤．a 1a 187
6
例10 解关于x 的不等式
(x －2)(ax －2)＞0．
分析 不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论． 解 1° 当a ＝0时，原不等式化为 x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；
4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x ≠2}；
从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；
2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解
集为
22
a a {x|2
a
x 2}＜＜；3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解
集为
22
a a {x|x 2x }＜或＞；2
a
5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解
集是
22
a a {x|x x 2}＜或＞．2
a
a 0{x|2
a
x 2＜时，＜＜｝；
7
a ＝1时，{x|x ≠2}；
说明：讨论时分类要合理，不添不漏．
例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．
分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：
解法一 由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：
∵a ＜0，∴b ＞0，c ＜0．
0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2
a
a 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2
a
－＝α＋β，＝α·β．b
a
c a
??
?????即＝－α＋β＜，＝α·β＞．b
a c a
()00???????又×，b a a c b c
=∴＝－α＋β①
由＝α·β，∴＝α·β
②
b c c a a c (1)111
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解法二 ∵cx 2＋bx ＋a ＝0是ax 2＋bx ＋a ＝0的倒数方程． 且ax 2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，
说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．
分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．
进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0． (1)当a ＞0时，不等式化为
(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；
对＋＋＜化为＋＋＞，cx bx a 0x x 022b c a
c
由①②得
α，β是＋＋＝两个根且α＞β
＞，1111
x x 002b c a c ∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β
．x x 0cx bx a 0{x|x x }2
2
b c a c 11∴＋＋＜的解集为＞
α或＜β
．cx bx a 0{x|x x } 211
例解关于的不等式：
＜－∈．12 x 1a(a R)x
x -1
解原不等式变为
－－＜，即＜， (1a)00x x ax a x -+--111
(x )(x 1)01{x|a 1
a x
1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；
a a a a ---11(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }＜时，不等式化为－
·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．
a a a a
a a
---11
1
9
综上所述，原不等式解集为：
例13 (2001年全国高考题)不等式|x 2－3x|＞4的解集是________． 分析 可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元二次不等式．
答 填{x|x ＜－1或x ＞4}．
例14 (1998年上海高考题)设全集U ＝R ，A ＝{x|x 2－5x －6＞0}，B ＝{x||x －5|＜a}(a 是常数)，且11∈B ，则
[ ]
A ．(
U A)∩B ＝R
B ．A ∪(U B)＝R
C ．(
U A)∪(
U B)＝R
D ．A ∪B ＝R
分析 由x 2－5x －6＞0得x ＜－1或x ＞6，即
A ＝{x|x ＜－1或x ＞6}由|x －5|＜a 得5－a ＜x ＜5＋a ，即
B ＝{x|5－a ＜x ＜5＋a} ∵11∈B ，∴|11－5|＜a 得a ＞6 ∴5－a ＜－1，5＋a ＞11 ∴A ∪B ＝R ． 答 选D ．
当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a 0{x|a 1
a
x 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a
1
由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)?
10
说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查
不等式中恒成立问题的解法研究
在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。 恒成立问题的基本类型：
类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00
（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立
?????>>-?????<-
?0
)(2020)(2βββαααf a b
a
b f a b 或或， ],[0)(βα∈ )(0)(βαf f （2）当0x x f 在上恒成立?? ?>>?0 )(0 )(βαf f 11 ],[0)(βα∈ ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 类型3： α α>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>?∈ 类型4： ) ()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>?∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。 一、用一次函数的性质 对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ?? ?<>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为： 0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0 )( ??<---<----0 )12()1(20)12()1(22 2x x x x ，所以x 的范围是)2 31,271(++-∈x 。 二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； 12 （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。 （1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）01≠-m 时，只需? ??<---=?>-0)1(8)1(0 12 m m m ，所以，)9,1[∈m 。 三、利用函数的最值（或值域） （1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥?min )(； （2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥?。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例3：在?ABC 中，已知2|)(|,2cos )2 4 (sin sin 4)(2<-++ =m B f B B B B f 且π 恒成立，求实数m 的范围。 解析：由 ]1,0(sin ,0,1sin 22cos )2 4( sin sin 4)(2∈∴<<+=++ =B B B B B B B f ππ ，]3,1()(∈B f ，2|)(|<-m B f 恒成立，2)(2<-<-∴m B f ，即? ? ?+<->2)(2 )(B f m B f m 恒成立，]3,1(∈∴m 例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 解析：由于函]4 3,4[4),4sin(2cos sin π πππ -∈-- = ->x x x x a ，显然函数有最大值 2，2>∴a 。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： 13 （2）求使不等式)2 ,0(4,cos sin π π ∈- ->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得x x y cos sin -=的最大值取不到2，即a 取2也满足条件，所以2≥ a 。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。 例5：已知恒成立有时当2 1)(,)1,1(,)(,1,02<-∈-=≠>x f x a x x f a a x ，求实数a 的取 值范围。 解析：由x x a x a x x f <-<-=2 121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图 象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由1222 1 )1(211-=--=- a a 及得到a 分别等于2和0.5，并作出函数x x y y )21(2==及的图象，所以，要想使函数x a x <-2 1 2在 区间)1,1(-∈x 中恒成立，只须x y 2=在区间)1,1(-∈x 对应的图象在2 1 2-=x y 在区间 )1,1(-∈x 对应图象的上面即可。当2,1≤>a a 只有时才能保证，而 2 110≥< [ ∈a 。 由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。 例6：若当P(m,n)为圆1)1(22=-+y x 上任意一点时，不等式0≥++c n m 恒成立，则c 的取值范围是（ ） A 、1221-≤ ≤--c B 、1212+≤≤-c C 、12--≤c D 、12-≥c 14 解析：由0≥++c n m ，可以看作是点P(m,n)在直线0=++c y x 的右侧，而点P(m,n)在圆1)1(22=-+y x 上，实质相当于是1)1(22=-+y x 在直线的右侧并与它相离或相切。 1211 1|10|0102 2-≥∴??? ??≥+++>++∴c c c ，故选D 。 其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。 以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。 练习题：1、对任意实数x ，不等式),,(0cos sin R c b a c x b x a ∈>++恒成立的充要条件是_______。][22b a c +> 2、设]1,(7932lg lg -∞++=在a y x x x 上有意义，求实数a 的取值范围.),9 5 [+∞。 3、当1||)3,31 (<∈x Log x a 时，恒成立，则实数a 的范围是____。)],3[]3 1,0[(+∞ 15 4、已知不等式：3 2)1(1211......2111+->++++++a Log n n n n a 对一切大于1的自然数n 恒成立，求实数a 的范围。)]2 5 1,1([+∈a 16 含参不等式恒成立问题的求解策略 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立?? ??0 a ; 2）0)( ? ?? 例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有 04)1(22<--=?a a 解得3 1 1> - 1()1,(+∞--∞ 。 若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 17 当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。 综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a ? 例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。 解：设c x x x x g x f x F -++-=-=1232)()()(23， 则由题可知0)(≤x F 对任意]3,3[-∈x 恒成立 令01266)(2'=++-=x x x F ，得21=-=x x 或 而,20)2(,7)1(a F a F -=-=-,9)3(,45)3(a F a F -=-=- ∴045)(max ≤-=a x F ∴45≥a 即实数a 的取值范围为),45[+∞。 例4．函数),1[,2)(2+∞∈++= x x a x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。 解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立， 18 即对),1[+∞∈x ，02)(2>++= x a x x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得 而抛物线a x x x g ++=2)(2在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a 注：本题还可将)(x f 变形为2)(++=x a x x f ，讨论其单调性从而求出)(x f 最小值。 三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有： 1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >? 2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g 略解：022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立，只要x x a 22-->在),1[+∞∈x 时恒成立。而易求得二次函数x x x h 2)(2--=在),1[+∞上的最大值为3-，所以3->a 。 例5．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( x x a 2 4-< 对]4,0(∈x 恒成立。 令x x x x g 2 4)(-= ，则min )(x g a < 由14 4)(2 -= -=x x x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g ∴0 注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 19 四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。 例6．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。 分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。 解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。 当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。 当2≠x 时，应有? ??>->0)1(0 )1(f f 解之得31> 故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞ 。 注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为 ? ? ?>>0)(0 )(βαf f 。 四、数形结合法 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系： 1）?>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方； 2）?<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。 20 例7．设x x x f 4)(2--= , a x x g -+=13 4 )(,若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围. 分析：在同一直角坐标系中作出)(x f 及)(x g 如图所示，)(x f 的图象是半圆(4)2(22=++y x )(x g 的图象是平行的直线系03334=-+-a y x 要使)()(x g x f ≤恒成立， 则圆心)0,2(-到直线03334=-+-a y x 的距离 满足 25 338≥-+-= a d 解得3 5 5≥ -≤a a 或（舍去) 由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。 含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法 含绝对值的不等式解法练习题及答案 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ]答选C． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A．3 B．2 C．－2 D．－5 分析列出不等式． 解根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5， 答选D． 例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析利用所学知识对不等式实施同解变形． 解原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7例4已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A． 分析转化为解绝对值不等式． 解∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x－6|＜5 因为x∈N，所以A＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a，b满足ab＜0，那么 [ ] A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a－b| C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|＋|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义． 解∵a、b异号， ∴ |a＋b|＜|a－b|． 答选C． 例6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b 的值为 [ ] A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得． 答选D． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 一元二次不等式练习 一、选择题 1．设集合S ＝{x |－5 5．不等式x(x－a＋1)>a的解集是{} x|x<－1或x>a，则( ) A．a≥1 B．a<－1 C．a>－1 D．a∈R 6．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为{} x|－3 一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范. 如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解：对于高中“解一元二次不等式”这一块， 通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零， 等价于以下两个不等式组： （1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”） 解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方， 那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会：以上三种解法，都是死板板地去解； 至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)， 显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时， 图像在x 轴的上方； 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0， 即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。 领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。 无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。 热点2 方程（组）和不等式（组）的解法 （时间：100分钟分数：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题分，共30分，在每小题给出的四个选项中，?只有一个是符合题目要求的） 1 ．不等式 12 5 x + ≤1的解集在数轴上（图3-1）表示正确的是（） 2．在 5 , 1,1,3,2 5,1,7,11 , 2 x x x x y y y y ? = ? =-== ???? ???? =-==- ????= ?? 四对数值中，满足方程 3x-y=2的有（） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．与3x-6<0同解的不等式为（） A．6>3x B．x>2 C．3x≤6 D．3x>6 4．若a>b，且c为有理数，则（） A．ac>bc B．ac 一元二次不等式及其解法 1.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式. 当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为. 2.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)一元二次不等式的解： (1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 f（x） g（x） 的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f（x） g（x） ＞0?f(x)g(x)＞0； f（x） g（x） ＜0 ?f(x)g(x)＜0； f（x） g（x） ≥0 ? ?? ? ??f（x）g（x）≥0， g（x）≠0； f（x） g（x） ≤0 ? ?? ? ??f（x）g（x）≤0， g（x）≠0. (2014·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) C.[－1，1] D.[1，2) 解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A . 设f (x )＝x 2 ＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1，x ∈R } C.{x |x ≥1} D.{x |x ≤1} 解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ， 由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ， 解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2 －2x ＋1>0，x 的取值围是x ≠1.故选B. 已知－12<1 x <2，则x 的取值围是( ) A.－2 高一数学一元二次不等 式解法练习题及答案 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】 例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01 a [ ] A a x B x a ．＜＜ ．＜＜1 1 a a C x a D x x a ．＞或＜．＜或＞x a a 1 1 分析比较与的大小后写出答案． a 1 a 解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜． 选． 0a 1a a x A 11 a a 例有意义，则的取值范围是 ．2 x x 2--x 6 分析 求算术根，被开方数必须是非负数． 解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2． 例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________． 分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理． 解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知 -=-+=-=-=-?? ?????b a a ()()1211122×得 a b = =-121 2 ，． 例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2) (4)3x 2-+- -+-3132 511 3 122x x x x x x ＞＞()() 分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)． 答 (1){x|x ＜2或x ＞4} (2){x|1x }≤≤3 2 (3)? (4)R (5)R 说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式． 例不等式＋＞的解集为5 1x 1 1-x [ ] A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ≥ 1} C ．{x|x ＞1} D ．{x|x ＞1或x ＝0} 分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分． 解不等式化为＋－ ＞，通分得＞，即＞， 1x 0001 11122 ----x x x x x ∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ． 说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解． 例与不等式≥同解的不等式是6 0x x --3 2 [ ] A ．(x －3)(2－x)≥0 B ．0＜x －2≤1 C ．≥23 0--x x D ．(x －3)(2－x)≤0 解法一原不等式的同解不等式组为≥， ≠． ()()x x x ---???32020 故排除A 、C 、D ，选B ． 一元二次方程练习题 1、已知关于x 的方程0)1(222=+--k x k x 有两个实数根1x 、2x ⑴、求k 的取值范围； ⑵、若12121-?=+x x x x ，求k 的值。 、 2.、已知关于x 的一元二次方程 有两个实数根1x 与2x (1)求实数m 的取值范围； (2)若7)1)(1(21=--x x ，求m 的值。 } 3.已知)(11y x A ， ，)(22y x B ， 是反比例函数x y 2 -= 图象上的两点，且212-=-x x ，3 21=?x x ． （1）求21y y - 的值及点A 的坐标； （2）若－4＜y ≤ －1，直接写出x 的取值范围． 【 4.（本小题8分）已知关于x 的方程014)1(2 2=+++-k x k x 的两根是一个矩形的两邻边的长。 （1）k 为何值时，方程有两个实数根； （2）当矩形的对角线长为 时，求k 的值。 ； 5.已知关于x 的一元二次方程 . 】 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）当Rt△ABC 的斜边长 ，且两直角边和是方程的两根时，求△ABC 的周长和面积. ~ 6.如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根1x 、2x 均为正数，且满足1＜ 2 1x x ＜2（其中1x ＞2x ），那么称这个方程有“邻近根”． （1）判断方程03)13(2=++-x x 是否有“邻近根”，并说明理由； （2）已知关于x 的一元二次方程01)1(2 =---x m mx 有“邻近根”，求m 的取值范围． 。 7.设关于x 的一元二次方程0122=++px x 有两个实数根，一根大于1，另一根小于1，试求实数p 的范围． ￥ 8.某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，商店为适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可 一元二次方程练习题 1. 解下列方程：（1）2(1) 9x -=； （2）2(21)3x +=； （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 2. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21) 180y -=； （2）21(31)644x +=； （3）26(2) 1x +=； （4）2()(00)ax c b b a -=≠，≥ 3. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2．（2）223x x -+（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 4. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 5. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 6. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 7. 用适当的方法解方程（1）23(1) 12x +=； （2）2410y y ++=； （3）2884x x -=； （4）2310y y ++=． （5） ()9322=-x ； （6）162=-x x ； 一元二次不等式 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2 0(0)ax bx c a ++=>之间判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 一、解下列一元二次不等式： 《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 （1）2 50x x -<； （2）2 440x x -+>； （3）2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为： 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?，即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0?=， 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为： 所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2 (2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一： 原不等式整理得2 450x x -+<. 因为0?<，方程2 450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为： 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->；(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤； (4) 2 230x x -+->. 【答案】 （1）方法一： 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为：11 2 x =-，22x = 函数2 232y x x =--的简图为： 因而不等式2 2320x x -->的解集是：1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二：∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1 {|2}2 x x x <->或. （2）整理，原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =， 例1 不等式｜8－３ｘ｜>0的解集是 ［ ] A B R C {x|x } D {83 } ．．．≠．?8 3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8 3 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] Ａ.3? B ．2 C.-2 Ｄ.－5 分析 列出不等式. 解 根据题意得2<|x|≤5． 从而－5≤x<－２或2 C.|ａ＋b|<|a －b| D.|a-b|<||ａ|+|b ｜| 分析 根据符号法则及绝对值的意义. 解 ∵ａ、ｂ异号, ∴ |a ＋b|<｜a －b ｜. 答 选C ． 例６ 设不等式｜x-a|＜b 的解集为{ｘ|－1＜x<2}，则a ，ｂ的值为 [ ] A.a ＝1，b=３ B.ａ=-１，ｂ=３ C ．a=－１,b=-3 D a b ．＝，＝123 2 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知,b>0,原不等式的解集为{x|a －b ＜ｘ0,所以原不等式转化为2(３-|x ｜)≥｜ｘ|+２，整理得 元二次不等式及其解法 设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高； 逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课 正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学 生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决 问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学 生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5 第三章《不等式》第二节一元 次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不 等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领 悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数 之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解 决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 教学重点】一元二次不等式的解法。 教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 教学策略】 探究式教学方法 创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价）课前准备】教具：“几何画板”及PPT 课件. 粉笔：用于板书示范. 第1 页共4 页 一元二次不等式及其解法 1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2 (2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1 一元二次不等式的解法（一） 学习目标： 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 2．掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。 3．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力 知识点一：一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式。比如： . 任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：)0(02>>++a c bx ax 或 )0(02><++a c bx ax . 知识点二：一般的一元二次不等式的解法 （ （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程)0(02 >=++a c bx ax ，计算判别式?; ①0>?时，求出两根21x x 、，且21x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0=?时，求根a b x x 221-==； ③0--x x ； （3）0652 >--x x （4）0442 >+-x x ； （5）0542 >-+-x x ； （6）23262x x x -++<- 举一反三： 【变式1】解下列不等式 （1）02322 >--x x ； （2）02232 >+--x x （3）01442 ≤+-x x ； （4）0322 >-+-x x . （5）()()() 221332x x x +->+ 【变式2】解不等式：（1）6662<--≤-x x （2）18342 <-≤x x 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 例2 不等式02 <-+n mx x 的解集为)5,4(∈x ，求关于x 的不等式012 >-+mx nx 的解集 举一反三： 【变式1】不等式0122 >++bx ax 的解集为{} 23<<-x x ，则a =_______, b =________ 【变式2】已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为)2,1(，求关于x 的不等式0 12 >++ax bx 的解集. 类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例3 已知关于x 的不等式03)1(4)54(2 2 >+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。 举一反三： 【变式1】 若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为空集，求m 的取值范围. 【变式2】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解为一切实数，求m 的取值范围. 【变式3】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为非空集，求m 的取值范围. 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] 答选C． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A．3 B．2 C．－2 D．－5分析列出不等式．|x|≤5．解根据题意得2＜5，，其中最小整数为－5x＜－2或2＜x≤从而－5≤．选D答 ．的解集为________不等式4＜|1－3x|≤7例3 利用所学知识对不等式实施同解变形．分析 或－74＜3x－1≤74解原不等式可化为＜|3x－1|≤7，即 ．，5x∈N}，求A例4 已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜转化为解绝对值不等式．分析 可化为|6－2x|＜5＜解∵25＜|2x－6|＜2 ，1，5}．因为x∈N，所以A＝{0说明：注意元素的限制条件．ab＜0，那么例5 实数a，b 满足[ ] |b|A．|a－b|＜|a|＋|a．|a＋b|＞－b|B|a＋b|＜|a－b|C．＋|b||b|＜||a||aD．－根据符号法则及绝对值的意义．分析 、ab异号，解∵b|．＜∴ |a＋b||a－．选答 C ba，的值为2}1b|x例6 设不等式－a|＜的解集为{x|－＜x＜，则[ ] A．＝3ba＝1，3b1aB．＝－，＝3＝－b，1＝－a．C． 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得． 答选D． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 分析分类讨论． x＜m． {x|1－m＜x＜m}． 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准． 分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母． 解注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得 说明：分式不等式常常可以先判定一下 分子或者分母的符号，使过程简便． 例9 解不等式|6－|2x＋1||＞1． 分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax＋b|＜c或|ax＋b|＞c型的不等式来解． 解事实上原不等式可化为 6－|2x＋1|＞1 ① 或 6－|2x＋1|＜－1 ② 由①得|2x＋1|＜5，解之得－3＜x＜2； 由②得|2x＋1|＞7，解之得x＞3或x＜－4． 从而得到原不等式的解集为{x|x＜－4或－3＜x＜2或x＞3}． 说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论． 例10已知关于x的不等式|x＋2|＋|x－3|＜a的解集是非空集合，则实数a的取值范围是 ________． 分析可以根据对|x＋2|＋|x－3|的意义的不同理解，获得多种方法． 解法一当x≤－2时，不等式化为－x－2－x＋3＜a即－2x＋1＜a有解，而－2x＋1≥5， ∴a＞5． 当－2＜x≤3时，不等式化为x＋2－x＋3＜a即a＞5． a∴，5＞1－2x而有解，a＜1－2x即a＜3－x＋2＋x是，不等式化为3＞x当． ＞5． 综上所述：a＞5时不等式有解，从而解集非空． 解法二 |x＋2|＋|x－3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a的取值范围为a＞5． 解法三利用|m|＋|n|＞|m±n|得 |x＋2|＋|x－3|≥|(x＋2)－(x－3)|＝5． 所以a＞5时不等式有解． 说明：通过多种解法锻炼思维的发散性． 例11 解不等式|x＋1|＞2－x． 分析一对2－x的取值分类讨论解之． 解法一原不等式等价于： 由②得x＞2． 分析二利用绝对值的定义对|x＋1|进行分类讨论解之． 【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 一元一次不等式的解法（提高）知识讲解 责编：常春芳 【学习目标】 1．理解一元一次不等式的概念； 2.会解一元一次不等式． 【要点梳理】 【：一元一次不等式 370042 一元一次不等式 】 要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如， 2 503 x >是一个一元一次不等式． 要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1． (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 要点二、一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为ax b >（或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 3.不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 【典型例题】 一元二次不等式及其解法练习 班级： 姓名： 座号： 1 比较大小： （1）2 6+ （2）2 21)-； （3 ； （4）当0a b >>时，12log a _______12 log b . 2. 用不等号“>”或“<”填空： （1）,____a b c d a c b d >><>? （4）2211 0___a b a b >>?. 3. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（ ）. A ．220x a << B ．22x ax a >> C ．20x ax << D ．22x a ax >> 4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11 a b <，③33a b >，④lg lg a b >， 其中成立的是 . 5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 . 6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小. 7. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（ ）. A ．()()f x g x > B ．()()f x g x = C ．()()f x g x < D ．随x 值变化而变化 8.（1）已知1260,1536,a a b a b b <<<<-求及的取值范围. （2）已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围. 9. 已知22 ππ αβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（ ）. A ．(,0)2 π - B ．[,0]2π - C ．(,0]2π- D ．[,0)2 π - 10.求下列不等式的解集. （1）2230x x +->； （2）2230x x -+-> （3）2230x x -+-≤. 一元二次不等式练习题含 答案 Last revision on 21 December 2020 一元二次不等式练习 一、选择题 1．设集合S ＝{x |－5含绝对值的不等式解法练习题及答案
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