比例法解行程题

比例法解行程题

比例法

【例 1】 （第8届迎春杯决赛试题）小明和小刚进行200米

短跑比赛（假定二人的速度均保持不变）。当小刚跑了180米时，小明距离终点还有50米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？

【解】当小刚跑了180米时，小明跑了200-50=150米，二人的路程之比为180：150=6：5，小刚到达终点时，由于速度不变，二人的路程比依然为6：5。若设小刚路程200米为6份的话，小明的行程应为5份，则其离终点还有1份距离=3

1336200=÷米。 【练习】小刚与小勇进行50米赛跑，结果：当小刚到达终点时，小勇还落后小刚10米；第二次赛跑，小刚的起跑线退后10米，两人仍按第一次的速度跑，比赛结果将是____

解：小刚到达终点时，二人的路程分别为50米和40米，路程之比为5：4。若小刚退后10米，当到达终点时其路程为60米，由于速度不变，从而路程之比也不变，此刻乙跑了60÷5×4=48米，还差2米才到终点，因此还是小刚胜出。

【点评】在赛跑问题中，多数时候隐含了时间相等的条

前240千米用时3233126=-小时，则原速度为903

23240=÷千米/小时。从而甲乙两地距离应为540690=?千米。

【点评】本题虽难度不大，但作为比例解行程的方法十分典型，有必要熟练掌握题目中涉及到的几个模型。这些模型与几何中五大模型的作用类似，会在行程问题中反复出现，且标志明显。

模型1：百分比到比例的转化。

模型2：提速—少时，由提速或降速所造成的时间差，只产生在提速和降速的路程中。

模型3：比差问题，类似和差、和倍、差倍，已知比和差分别求大小数的方法应熟练掌握。

【练习】一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%，可以提前1小时到达，如果按原速度行驶一段距离后，再将速度提高30%，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全程的几分之几？

解：车速提高20%，即速度之比为5：6，从而时间比为6：5，已知时间差为1小时，则原用时为6小时。原速行驶一段距离后，再将速度提高30%，仍然提前1小时到达，这个时间差只能发生在提速部分，这段速度之比

为10：13，从而时间之比为13：10，不难求原速度行

驶用时1÷3×13=13

3小时，从而先行驶的部分用时6-13

3

=5

3

小时，其占比为5

3÷6=5

18

【例 2】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在途中C点相遇。如甲的速度增加10％，乙每小时

多走300米，还在C相遇；如果甲早出发1小时，

乙每小时多走1000米，则仍在C相遇。那么两人

相遇时距B多少千米?

【分析】此题有个明显的特征，即三种方式最终相遇地点一样，这实际明确告知我们三种方式之下路程之比相同！而题目要求两人相遇时距B多少千米，实际是求乙的路程，若能求得乙的速度和时间则问题可解。

【解】按照题中的“；”形成的两部分进行来研究：在甲提速10%，乙提速300米后甲乙相遇地点不变，路程之比没变，可见提速前后两人的速度之比也保持不变。从而若甲提速10%的话，乙提速300米也应为10%，从而不难求得乙的原速度为3千米/小时。

甲提前出发1小时，乙提速1000米后，两人依然在C 点相遇。换句话说其实就是：乙在提速1000米后比平时少用1个小时到达C点。而乙在提速1千米后，前后

速度之比为3：4，则所用时间之比应为4：3，少用的1小时为1份，则乙原用时应为4小时。

如此乙的速度和时间都已求得，则其路程为3×4=12千米。即两人相遇时距B 12千米。

【点评】在本题中，双双提速后速度之比保持不变的关系式是不难发现的。比较难理解的是甲提前1小时出发的意义：由于甲速度未变，从而其到达C点所需的时间是不变的，由此发现乙到达C点实际上是比提速前少用了1小时。此处又是比差模型的典型应用。发现“时间差”其实是个不错的标志物。

【例 3】甲、乙两人同时A地出发，在A、B两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到达A地、B地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在AB

之间行走方向不会改变，已知两人第一次相遇的地

点距离B地1800米，第三次的相遇点距离B地800米，那

么第二次相遇的地点距离B地。

E D C B A 800米1800米

【分析】研究甲乙二人的行为轨迹后容易发现，走路比较快的甲实际是在乙和B 地之间做折返跑往复运动。到达B 则折返，遇到乙再折返。需要注意的是,在“折返运动模型”中，二人的“路程和”是个令人舒服的量——两个全程。另外本题中乙的方向从未改变，只是从一个相遇点直线到下一个相遇点。其路程也是比较容易得到的量。如图中所示C 、D 、E 依次为第一次、第二次、第三次的相遇点。

【解】设第二次相遇的地点与B 的距离DB 为x 。不难发现：

第一次相遇到第二次相遇甲乙二人的路程和为1800×2=3600米（其中乙的路程CD=1800-x ）；

第二次相遇到第三次相遇甲乙二人的路程和为2x （其中乙的路程为DE=x -800）；

由于甲乙的速度从未改变，则乙的路程占甲乙路程和的比例应该是一定的，从而有：

x x x 280036001800-=-。

解得x =1200米，

即第二次相遇时两人距B 地1200米。

【铺垫】甲乙二人以均匀的速度分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A 地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B 地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离。 解：作为多次相遇问题，有必要研究每次相遇时的路程和。

第一次相遇时，两人的路程和为1个全程，其中甲走了4千米。

第二次相遇时，两人的路程和为3个全程，其中甲走了1个全程+3千米。

由于甲乙速度固定不变，第二次相遇时路程和是第一次相遇时路程和的3倍，则甲两次的路程也为3倍关系，从而1个全程=3×4-3=9千米。去掉两头距离，两次相遇点距离9-（3+4）=2千米。

【点评】本题主要应用行程中另一个常见模型：折返运动模型。折返运动是多次相遇的一种类型，由于隐含了甲乙速度不变的条件，则任意时间段内，不论是甲乙的

路程之比，还是甲与全程之比或者乙与全程之比均保持不变。甲乙二人的路程和时常为“2个全程”。这是一个经常需要讨论的量。折返跑模型应熟练掌握。

【例 4】A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市，开车后1小时A车出了事故，B和C车照常前

进．A车停车修理半小时后以原速度的4

继续前进，

5

B、C两车行至距离甲市300千米处B车出了事故，

继C车照常前进．B车停了半小时后也以原速度的4

5续前进．结果到达乙市的时间C车比B车早1小时，B车比A车早1小时，求甲、乙两市的距离为多少

千米？

【分析】此题为典型的多人行程问题，且过程较为复杂，对此有必要对每个人各自的行程轨迹进行单独独立分析。进而对相关人进行两两分析。例如本题中，需要首先分析A,B,C各自的过程。

4，若设原速度【解】由于故障后的速度统一为原速的

5

为5份，则故障速度为4份。过程分析如下：C：以5份的速度行驶完全程，第一个到达终点。

A：以5份的速度行驶1小时后，停车0.5小时，再以4份的速度行驶完全程，最后一个到达终点。

B：以5份的速度行驶300千米后，停车0.5小时，再以4份的速度行驶完全程，第二个到终点。

另已知C比B早到1小时，B比C早到1小时。

仅分析A、C二人的过程：A、C共同行驶1小时后，A 停车0.5小时，后减速行驶，最终比C多用2小时到达。除去停车的0.5小时，A在减速路段上的行驶时间实际比C多用1.5小时，而这段路上A、C速度之比为4：5，则所用时间之比为5：4，不难求这段路A用时7.5小时，C用时6小时。而对于C来说，全程用时6+1=7小时，则B全程用时7+1=8小时。

再分析B、C二人的过程：B、C共同行驶300千米后，B停车0.5小时，后减速行驶，最终比C多用1小时到达，除去停车的0.5小时，B在减速的路段上的行驶时间实际比C多用0.5小时，而在这段路上B、C速度之比也是4：5，从而时间之比为5：4，不难求B用时2.5小时，C用时2小时。

可见，B在前300公里用时8-0.5-2.5=5小时，则A、B、C共同的原速度=300÷5=60千米/小时。

由C的行驶过程可求得全程=60×7=420千米。

【点评】此题首先是一道多人行程问题，多人行程问题

最基本的分析方法就是对每个人的行程轨迹进行单独分析，将全过程进行分解，缕清思路。

另一方面，本题是“提速-少时”模型以及“比差”模型的反复的应用。若能熟练掌握这两个模型，则有可能较快的解决问题。

【例 5】甲、乙两车分别从相距180千米的A、B两地同时出发相向而行，两车在距离A地80千米处相遇，若出发半小时后甲车突然提速50%，那么两车恰好在AB的中点相遇，如果出发后20分钟甲车把速度变为原来的一半，那么相遇地点将距A地_____千米；

【分析】当两车在距A地80千米处相遇时，甲路程=80千米，乙路程=100千米，则甲乙的速度之比=4：5，若甲速度为4份，则乙速度为5份。

【解】甲出发半小时后提速50%就能与乙车在中点相遇，这说明甲的平均速度应等于乙的速度，而甲原速为4份，提速50%达到6份，从而整个过程可描述为甲用4份的速度行驶0.5小时后再用6份的速度行驶了x小时，最终平均速度为5份，从而路程=)

=

?

?，不难求得x=0.5小时，可见相

x+

+

5.0

5.0(

4x

5

6

遇时甲乙均用时0.5+0.5=1小时，由于行驶路程均

为180÷2=90千米，显见乙的速度=90÷1=90千米/小时，则甲的速度应为90÷5×4=72千米/小时。 在甲乙速度均已求得的情况下来再来分析另一个相遇过程，甲在以72千米/小时的速度行驶20分钟后，把速度降低到一半，其实就是36千米/小时，最终与乙相遇，不难求20分钟即3

1小时后的剩余路程=1263

1)9072(180=?+-千米，进而求得相遇所需的额外时间=1)9036(126=+÷小时，可见整个相遇过程共用时311小时，其中乙的路程=1203

1190=?千米，即相遇地点距A 地180-120=60千米。

【点评】对“平均速度”的分析是解决本题的钥匙。

【例 6】 A 、B 两地相距600千米，甲坐车从A 地到B 地，2

小时后，乙和丙也同时从A 地出发前往B 地，又过了3个小时，乙追上了甲并继续向前走，到达B 地后迅速返回，途中与甲再次相遇时，正好丙也追上了甲.已知丙的速度比甲的速度快19

，那么甲的速度是每小时多少千米？

【分析】作为三人行程问题，有必要对各人的行踪进行单独分析，进而两两关联分析。

1，即两人速【解】题目最后提到丙的速度比甲快

9

度比为10：9。

分析知甲丙之间为追及关系，甲提前2小时出发，最后时刻丙追上甲，在这个过程中丙甲时间比为速度比

的反比，即为9：10，可见甲用时20小时，丙用时

18小时，当然此时乙也走了18小时了。

进而单独分析甲乙之间的关系，一开始也为追及关系，甲出发2小时后乙出发，并在3小时后追上甲，此

处说明二者所用时间之比为甲：乙=5：3，从而二

者速度之比为3：5。乙在追上甲后继续前进，到达

B地后折返并与甲相遇，这是典型的折返相遇问题，此时二人的路程和为2个全程：600×2=1200千米，由前知这是甲20小时路程+乙18小时路程。

鉴于二人速度之比为3：5，乙18小时的路程相当于甲18÷3×5=30小时的路程，从而1200千米相当于甲

20+30=50小时的路程，从而甲的速度=1200÷50=24

千米/小时。

【点评】此题是对追及问题进行比例法分析的典型应用，另外涉及“折返运动”模型时，对“路程和”的分析应成为条件反射式行为。

巧用比例解行程问题

巧用比例解行程问题 方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识：速度一定，时间和路程成正比；时 间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比等。 分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。 也可以从题意的叙述中找出等量关系，从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关 系求解。 例1：甲、乙两车的速度比是4：7，两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？ 例2：两列火车同时从两个城市相对开出， 6.5小时相遇。相遇时甲车比乙车多行52 千米，乙车的速度是甲车的2 3 。求两城之间的距离。 1、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，AB两地相距多少千米？ 2、两只轮船同时从甲、乙两港相对开出，客船每小时行42千米，货船的速度是客船 的5 6 。两只轮船在离甲、乙两港中点7千米处相遇，甲、乙两港间的距离是多少？

3、客车由甲城到乙城需行10小时，货车从乙城到甲城需行15小时，两车同时相向开出，相遇时客车距离乙城还有192千米，求两城间的距离。 4、甲、乙两车分别从AB两地同时相向而行，3小时相遇。已知甲车行1小时距B地340千米，乙车行1小时距A地360千米。AB两地相距多少千米？ 例3：甲、乙两车同时从AB两地相对而行，5小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是2：3，甲车行完全程需多少小时？ 例4：客车和货车同时从AB两地相对开出，客车每小时行60千米，货车每小时行全 程的1 15 ，相遇时客车和货车所行路程的比是5：4。AB两地相距多少千米？ 5、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，4小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是3： 5，乙车行完全程需多少小时？

行程问题答案及详解

关于行程问题 一、为什么小学生行程问题普遍学不好？ 1 、行程问题的题型多，综合变化多。行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及多个物体的运动。涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。行程问题每一类型题的考察重点都不一样，往往将多种题型综合起来考察。比如遇到相遇问题关键要抓住速度和，追击问题则要抓住速度差，流水行船中的相遇追及问题要注意跟水速无关等等。 2 、行程问题要求学生对动态过程进行演绎和推理。奥数中静态的知识学生很容易学会。打个比方，比如数线段问题，学生掌握了方法，依葫芦画瓢就行。一般情况，静态的奥数知识，学生只要理解了，就能容易做出来。行程问题难就难在过程分析是动态的，甲乙两个人从开始就在运动，整个过程来回跑。学生对文字题描述的过程很难还原成对应的数学模型，不画图，习惯性的在脑海里分析运动过程。还有的学生会用手指，用橡皮模拟，转来转去往往把自己都兜晕了还是没有搞明白这个过程，更别说找出解题所需要的数量关系了。 二、行程问题“九大题型”与“五大方法” 很多学生对行程问题的题型不太清楚，对行程问题的常用解法也不了解，那么我给大家归纳一下。 1 、九大题型： ⑴简单相遇追及问题；⑵多人相遇追及问题；⑶多次相遇追及问题；⑷变速变道问题；⑸火车过桥问题；⑹流水行船问题；⑺发车问题；⑻接送问题；⑼时钟问题。 2、五大方法： ⑴公式法：包括行程基本公式、相遇公式、追及公式、流水行程公式、火车过桥公式，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式，而且有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件。 ⑵图示法：在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具。示意图包括线段图、折线图，还包括列表。图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点。另外在多次相 遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法。 ps ：画图的习惯一定要培养起来，图形是最有利于我们分析运动过程的，可以说图画对了，意味着题也差不过做对了30%！ ⑶比例法：行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值。更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件（如路程、速度、时间等）往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题。 ps ：运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单。 ⑷分段法：在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用。这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来。 ⑸ 方程法：在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。 ps ：方程法尤其适用于在重要的考试中，可以节省很多时间。 ⑹假设法：在速度发生变化、或提前（晚）出发等数值发生变化的的行程问题中，假设速度没变或时间统一，往往非常起到意想不到的效果，极其有利于解决行程问题。 三、怎样才能学好行程问题？ 因为行程的复杂，所以很多学生已开始就会有畏难心理。所以学习行程一定要循序渐进，不要贪多，力争学一个知识点就要能吃透它。学习奥数有四种境界：第一种：课堂理解。就是说能够听懂老师讲解的题目。第二种：能够解题。就是说学生听懂了还能做出作业。第三种：能够讲题。就是不仅自己会做，还要能够讲给家长听。 第四种：能够编题。就是自己领悟这个知识了，自己能够根据例题出题目，并且解出来。

行程问题“九大题型”与“五大方法”

行程问题“九大题型”与“五大方法”。 很多学生对行程问题的题型不太清楚，对行程问题的常用解法也不了解，那么我给大家归纳一下。 1、九大题型： ⑴简单相遇追及问题；⑵多人相遇追及问题；⑶多次相遇追及问题；⑷变速变道问题；⑸火车过桥问题；⑹流水行船问题；⑺发车问题； ⑻接送问题；⑼时钟问题。 2 、五大方法： ⑴公式法：包括行程基本公式、相遇公式、追及公式、流水行程公式、火车过桥公式，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式，而且有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件。 ⑵图示法：在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具。示意图包括线段图、折线图，还包括列表。图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点。另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法。 ps：画图的习惯一定要培养起来，图形是最有利于我们分析运动过程的，可以说图画对了，意味着题也差不过做对了30%！ ⑶比例法：行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值。更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等) 往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题。 ps：运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单。

⑷分段法：在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用。这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来。 ⑸方程法：在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。 ps：方程法尤其适用于在重要的考试中，可以节省很多时间。 四、怎样才能学好行程问题？ 因为行程的复杂，所以很多学生已开始就会有畏难心理。所以学习行程一定要循序渐进，不要贪多，力争学一个知识点就要能吃透它。学习奥数有四种境界： 第一种：课堂理解。就是说能够听懂老师讲解的题目。 第二种：能够解题。就是说学生听懂了还能做出作业。 第三种：能够讲题。就是不仅自己会做，还要能够讲给家长听。 第四种：能够编题。就是自己领悟这个知识了，自己能够根据例题出题目，并且解出来。 其实大部分学生学习奥数都只停留在第一种境界（有的甚至还达不到），能够达到第三种境界的学生考取重点中学实验班基本上没有什么问题了。而要想在行程上一点问题没有，则要求学生达到第四种境界。即系统学习，还要能深刻理解，刻苦钻研。而这四种境界则是学习行程的四个阶段，或者说是好的方法。

用比例解答行程问题

用比例解答行程问题 例一：客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的3/4，甲、乙两城相距多少千米 【解】客车速度：货车速度=4：3，那么同样时间里路程比=4：3，也就是说客车比货车多行了1份，多30千米；所以客车走了30×4=120千米，所以两城相距120×2=240千米。 例2、小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天从家到学校都是步行。有一天由于晚出发10分钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样。那么小明每天步行上学需要时间多少分钟 【解】后一半路程和原来的时间相等，这样前面一半的路程中某日和平时的速度比=3：1，所以时间比=1：3，也就是节省了2份时间就是10分钟，所以后一半路程走路的时间就是10÷2×3=15分钟，全部路程原来需要30分钟。 例3、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的倍，求A，B两地的距离。 【解】甲车速度是乙车的倍，相遇时甲车和乙车行驶距离的比是6：5，甲车行驶6份，乙车行驶5份，甲车比乙车多行驶1份，一份是2*8=16千米，A，B两地的距离就是11*16=176千米。 例4、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是12时几分 【解】：从爸爸第一次追上小明到第二次追上小明时，小明走了4千米，爸爸走了12千米．这说明，爸爸的速度是小明的3倍，爸爸走4千米所用的时间是是小明的三分之一，比小明少8分，所以小明走4千米需要12分，走8千米要24分，所以第2次追上时是8时32分。这道题关键是发现爸爸和小明的速度比。 巩固练习1 1、一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行48千米，返回时，每小时行56千米，返回比去时少用1小时，求甲、乙两地的路程。 2、某人从A城步行到B城办事，每小时走5千米，回来时骑自行车，每小时行15千米，往返共用6小时，求A、B两城之间的路程。 3、一辆汽车从甲地去乙地，每小时行45千米，返回时每小时行多行20%，往返共用去1 1小时。甲地到乙地共有多少千米 4.快车从甲地开往乙地，需要8小时，慢车从乙地开往甲地需要10小时，两车同时从两地相向而行，相遇时，慢车行了240km，求两地距离。

小学奥数 比例解行程问题.学生版

1. 理解行程问题中的各种比例关系. 2. 掌握寻找比例关系的方法来解行程问题． 比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。 从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。 我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动 情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲， ；；来表示，大体可分为以下两种情况： 1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。 s v t s v t =??? =??甲甲甲 乙乙乙 ，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s s t t v v ==甲乙乙甲乙甲， 得到s s t v v ==甲乙乙甲，s v s v =甲甲乙乙 ，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速 度比 2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。 s v t s v t =??? =??甲甲甲 乙乙乙 ，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =?=?乙乙乙甲甲甲， 得s v t v t =?=?乙乙甲甲，v t v t =甲乙乙甲 ，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于 速度比的反比。 知识精讲 教学目标 比例解行程问题

小学奥数比例法行程问题

小升初之行程问题的解法---比例法 根据近千套各类奥数竞赛和"小升初"数学考试试题的分析，平均每套试卷按12道题，满分100分计算，就有1.8道试题为行程问题（即每120道试题中有1 8道是行程问题），分值为21分。行程问题占一套试卷分值的1/5左右，所以行程问题不论在奥数竞赛中还是在"小升初"的升学考试中，都拥有非常显赫的地位，都是命题者偏爱的题型之一。 小学生"行程问题"普遍是弱项，有几下几个原因： 一、行程分类较细，变化较多。 行程跟工程不一样，工程抓住工作效率和比例关系就可以解决绝大部分问题，但是行程则没有关键点可以抓住，因为每一个类型关键点都不一样。 二、要求对动态过程进行演绎和推理。 行程问题的题目语言叙述本身就很长，加上所描绘的是一个动态过程，一般很难从复杂的语言叙述中提炼出过程中量的变化关系。 三、行程是一个壳，可以将各类知识往里面加。 很多题目看似行程问题，但是本质不是行程问题。 因为行程的复杂，所以学习行程一定要循序渐进，掌握各类行程问题的解题关键点。 下面举例讲解用比例法求解一类行程问题。 方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识： 速度一定，时间和路程成正比； 时间一定，速度和路程成正比； 路程一定，速度和时间成反比。 分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。也可以从题意的叙述中找出等量关系，从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关系求解。 能用比例法解决的行程问题的特点： 能直接或间接地求出速度比或同一时间内的路程比

例1：甲、乙两车的速度比是4：7，两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？ 边讲边练： 1、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，AB两地相距多少千米？ 例2：两列火车同时从两个城市相对开出，6.5小时相遇。相遇时甲车比乙车多 行52千米，乙车的速度是甲车的2 3。求两城之间的距离。 边讲边练： 1、甲、乙两车分别从AB两地同时相向而行，3小时相遇。已知甲车行1小时距B地340千米，乙车行1小时距A地360千米。AB两地相距多少千米？（420） 2、客车由甲城到乙城需行10小时，货车从乙城到甲城需行15小时，两车同时相向开出，相遇时客车距离乙城还有192千米，求两城间的距离。

比例法快速解决行程问题中单双岸型问题

国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|比例法快速解决行程问题中单双岸型问题 华图教育滑肖 公务员考试中，行测部分行程问题几乎是每年必考的一个知识点。相对来说，行程问题难度一般来说会比较大，计算起来也比较复杂。单、双岸型作为行程问题中一个非常重要的知识点，若没有一个快速的解决方法，而只靠列方程去解决的话，那会非常地浪费时间。在此，我们给出单双岸型问题的原理及相关的解题方法，以方便考生今后的复习。 单岸型： 甲、乙两车从A、B两地相向而行，在距A地S1处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后立即原路返回，第二次在距A地S2处相遇，则A、B 两地的路程为多少？ 根据题意，我们先画图出来： （图中红色的线代表在整个过程中甲走的路线，黑色线代表整个过程中乙走的路线） 解析：甲、乙第一次相遇时两车共走了1个全程，此时甲车走了1个S1； 甲、乙第二次相遇时两车共走了3个全程，则根据比例关系，此时甲车应该走3个S1。根据图中所示，我们有：2AB S+S=2S ? 甲，即有2AB 3S+S=2S ? １，即 12 AB 3S+S S= 2。 于是我们可以得到单岸型公式为： 12 AB 3S+S S= 2。 双岸型：

国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|甲从A地、乙从B地同时以均匀速度相向而行，第一次相遇离A地S1，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地S2处第二次相遇，则AB两地距离多少？ 根据题意，先画图出来： （图中红色的线代表在整个过程中甲走的路线，黑色线代表整个过程中乙走的路线） 解析：甲、乙第一次相遇时两车共走了1个全程，此时甲车走了1个S1； 甲、乙第二次相遇时两车共走了3个全程，则根据比例关系，此时甲车应该走3个S1。根据图中所示，我们有：AB2 S=S+S 甲，即有1AB2 3S=S+S ，即AB12 S=3S-S 。 于是我们可以得到双岸型公式为：AB12 S=3S-S 。 实际上，单岸、双岸型一次、两次相遇在近年来的公考中有出现，但题量并非很多。但是，求解公式的比例型思想是需要各位考生能够掌握住，因为，用比例法来求解行程问题的题目还是非常多的。 在公考中，我们可以将单岸、双岸型的行程问题进行拓展。如： 拓展一：甲、乙第二次相遇距A地S1，第四次相遇距离A地S2或者甲、乙第二次相遇距A地S2，第四次相遇距离B地S2，求出A、B两地的距离； 拓展二：甲、乙两地同时由A向B地出发，第一次相遇距离A地S1，第二次相遇距离B地S2，求A、B两地的距离；

用比例解答行程问题

用比例解答行程问题集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

用比例解答行程问题 例一：客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的3/4，甲、乙两城相距多少千米？ 【解】客车速度：货车速度=4：3，那么同样时间里路程比=4：3，也就是说客车比货车多行了1份，多30千米；所以客车走了30×4=120千米，所以两城相距 120×2=240千米。 例2、小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天从家到学校都是步行。有一天由于晚出发10分钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样。那么小明每天步行上学需要时间多少分钟？ 【解】后一半路程和原来的时间相等，这样前面一半的路程中某日和平时的速度比=3：1，所以时间比=1：3，也就是节省了2份时间就是10分钟，所以后一半路程走路的时间就是10÷2×3=15分钟，全部路程原来需要30分钟。 例3、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。

【解】甲车速度是乙车的1.2倍，相遇时甲车和乙车行驶距离的比是6：5，甲车行驶6份，乙车行驶5份，甲车比乙车多行驶1份，一份是2*8=16千米，A，B两地的距离就是11*16=176千米。 例4、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是12时几分？ 【解】：从爸爸第一次追上小明到第二次追上小明时，小明走了4千米，爸爸走了12千米．这说明，爸爸的速度是小明的3倍，爸爸走4千米所用的时间是是小明的三分之一，比小明少8分，所以小明走4千米需要12分，走8千米要24分，所以第2次追上时是8时32分。这道题关键是发现爸爸和小明的速度比。 巩固练习1 1、一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行48千米，返回时，每小时行56千米，返回比去时少用1小时，求甲、乙两地的路程。 2、某人从A城步行到B城办事，每小时走5千米，回来时骑自行车，每小时行1 5千米，往返共用6小时，求A、B两城之间的路程。 3、一辆汽车从甲地去乙地，每小时行45千米，返回时每小时行多行20%，往返共用去11小时。甲地到乙地共有多少千米？ 4.快车从甲地开往乙地，需要8小时，慢车从乙地开往甲地需要10小时，两车同时从两地相向而行，相遇时，慢车行了240km，求两地距离。

完整word版小学奥数比例法行程问题汇总

1 比例法小升初之行程问题的解法---平均每套试卷按数学考试试题的分析，小升初根据近千套各类奥数竞赛和1（即每120道试题中有1.8道题，满分100分计算，就有道试题为行程问题12左右，所以1/5道是行程问题），分值为218分。行程问题占一套试卷分值的都拥有非常显赫的地的升学考试中，小升初行程问题不论在奥数竞赛中还是在位，都是命题者偏爱的题型之一。普遍是弱项，有几下几个原因：行程问题小学生一、行程分类较细，变化较多。 行程跟工程不一样，工程抓住工作效率和比例关系就可以解决绝大部分问 题，但是行程则没有关键点可以抓住，因为每一个类型关键点都不一样。要求对动态过程进行演绎和推理。二、一般加上所描绘的是一个动态过程，行程问题的题目语言叙述本身就很长， 很难从复杂的语言叙述中提炼出过程中量的变化关系。行程是一个壳，可以将各类知识往里面加。三、 很多题目看似行程问题，但是本质不是行程问题。 因为行程的复杂，所以学习行程一定要循序渐进，掌握各类行程问题的解 题关键点。下面举例讲解用比例法求解一类行程问题。方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识：速度一定，时间和路程成正比；时间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比。一步一步求得结以此作为突破口，分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，再根据比也可以从题意的叙述中找出等量关系，从而得出所需的数量之比，果。与分数的关系求解。能用比例法解决的行程问题的特点：能直接或间接地求出速度比或同一时间内的路程比 1 2 例1：甲、乙两车的速度比是4：7，两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？ 边讲边练： 1、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，AB两地相距多少千米？ 例2：两列火车同时从两个城市相对开出，6.5小时相遇。相遇时甲车比乙车多2行52千米，乙车的速度是甲车的。求两城之间的距离。 3

如何用比例解行程问题

如何用比例解“行程问题” 行程问题是小学应用题中的难点，是升学试卷中常见的压轴题。要想在小升初考试中取得好的成绩，熟练掌握行程问题的几种数学模型是必不可少的。可是大多数同学反映一遇到行程问题就不知道从何下手，心里想画图又不知道该怎么画，尤其遇到多人多次相遇问题时，看到那么长的题就不想读了，不知道哪句话是重要的，心里总是想要是出一道字数少的题就好了，字少的题就一定好做吗？显然不是的。不管题目的字数有多少，只要你耐心读题，读出题中的关键字，知道这道题属于什么模型，相应的方法就出来了。而这个能力需要系统地练习。 行程问题常和比例结合起来，虽然题目简洁，但是综合性强，而且形式多变，运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单。下面我向大家介绍如何利用比例解答行程问题。我们知道行程问题里有三个量：速度、时间、距离，知道其中两个量就可以求出第三个量。速度×时间=距离；距离÷速度=时间；距离÷时间=速度。如果要用比例做行程问题，这三个量又有什么关系呢？（1）时间相同，速度比=距离比（2）速度相同，时间比=距离比（3）距离相同，速度比=时间的反比。例如：当甲乙行驶时间相同时，如果V甲：V 乙＝3：4那么S甲：S乙＝3：4；当甲乙速度相同时，如果T 甲：T乙＝3：4那么S甲：S乙＝3：4当甲乙行驶距离相同时，

如果T甲：T乙＝3：4那么V甲：V乙＝4：3。下面我们看一道例题来体会比例在行程问题中的应用。 例一、（八中培训试题）甲乙二车同时从AB两地同时出发，相向而行，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车在距离中点32千米处相遇。求AB两地相距多少千米？ 分析：这道题给了两车的速度，我们很容易得到两车的速度比。这时我们可以用比例来做这道题。大家要抓住三个要点：一、时间相同，速度比=距离比。二、两车第一次迎面相遇时合走一个全程。三、两车在距离中点32千米处相遇，即：两车相遇时，甲比乙多走32×2=64千米。 解：由题意然V甲：V乙＝56：48=7：6即：相同时间内，甲走7份乙走6份。两车第一次迎面相遇时合走一个全程。我们可以把AB之间的路程分为（7＋6）＝13份。两车相遇时，甲比乙多走1份是32×2=64千米。AB之间的路程为13份，AB之间的路程为13×64=832米。这时这道题就变得很简单了。 如果不用比例做这道题，还有别的做法吗？下面我们看以下几种做法： 方法二：两车相遇时，甲比乙多走32×2=64千米。出现距离差属于追及问题，而这道题是相遇问题，我们可以把相遇问题转化成追及问题。每小时甲比乙多走56－48=8千米。距离差÷速度差=

比例解行程问题

比例解行程问题 1. 理解行程问题中的各种比例关系. 2. 掌握寻找比例关系的方法来解行程问题． 比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。 从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。 我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时 间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲， ；；来表示，大体可分为以下两种情况： 1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就 等于他们的速度之比。 s v t s v t =??? =??甲甲甲乙乙乙 ，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s s t t v v ==甲乙乙甲乙甲， 得到s s t v v = = 甲乙 乙甲 ，s v s v =甲甲乙乙 ，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比 2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之 比等于他们速度的反比。 s v t s v t =??? =??甲甲甲 乙乙乙 ，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =?=?乙乙乙甲甲甲， 得s v t v t =?=?乙乙甲甲，v t v t =甲乙乙甲 ，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。 模块一：比例初步——利用简单倍比关系进行解题 【例 1】 甲、乙两车从相距330千米的A 、B 两城相向而行，甲车先从A 城出发，过一段时间后，乙车 才从B 城出发，并且甲车的速度是乙车速度的5 6 。当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米， 则甲车开出 千米，乙车才出发。 【例 2】 甲乙两地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司 机距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的1 3 加上未走路程的2倍，恰好等 于已走的路程，又知出租车的速度是30千米/小时，那么现在的时间是 。 知识精讲 教学目标

小学奥数比例法行程问题

小学奥数比例法行程问 题 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

根据近千套各类奥数竞赛和"小升初"数学考试试题的分析，平均每套试卷按12道题，满分10 0分计算，就有1.8道试题为行程问题（即每120道试题中有18道是行程问题），分值为21分。行程问题占一套试卷分值的1/5左右，所以行程问题不论在奥数竞赛中还是在"小升初"的升学考试中，都拥有非常显赫的地位，都是命题者偏爱的题型之一。 小学生"行程问题"普遍是弱项，有几下几个原因： 一、行程分类较细，变化较多。 行程跟工程不一样，工程抓住工作效率和比例关系就可以解决绝大部分问题，但是行程则没有关键点可以抓住，因为每一个类型关键点都不一样。 二、要求对动态过程进行演绎和推理。 行程问题的题目语言叙述本身就很长，加上所描绘的是一个动态过程，一般很难从复杂的语言叙述中提炼出过程中量的变化关系。 三、行程是一个壳，可以将各类知识往里面加。 很多题目看似行程问题，但是本质不是行程问题。 因为行程的复杂，所以学习行程一定要循序渐进，掌握各类行程问题的解题关键点。 下面举例讲解用比例法求解一类行程问题。 方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识： 速度一定，时间和路程成正比； 时间一定，速度和路程成正比； 路程一定，速度和时间成反比。 分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。也可以从题意的叙述中找出等量关系，从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关系求解。 能用比例法解决的行程问题的特点： 能直接或间接地求出速度比或同一时间内的路程比 例1：甲、乙两车的速度比是4：7，两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？ 边讲边练： 1、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，AB两地相距多少千米？ 例2：两列火车同时从两个城市相对开出，6.5小时相遇。相遇时甲车比乙车多行52千米，乙车的速度是甲车的。求两城之间的距离。

完整word版奥数六年级千份讲义1196.第五讲比例解行程问题.docx

第五讲 比例解行程问题 知识点拨 比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学 “压轴知识点 ”的 角色。 从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着 “得天独厚 ”的优势，往往体现在方法的 灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问 题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。 我们常常会应用比例的工具分析 2 个物体在某一段相同路线上的运动情况， 我们将甲、 乙的速度、 时间、路程分别用 v 甲 , v 乙； t 甲 , t 乙； s 甲，s 乙 来表示，大体可分为以下两种情况： 1. 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之 比就等于他们的速度之比。 s 甲 v 甲 t 甲 s 甲 乙 ，这里因为时间相同，即 t 甲 t 乙 t ,所以由 t 甲 ，t 乙 s s 乙 v 乙 t 乙 v 甲 v 乙 s 甲 乙 s 甲 v 甲 得到 t s ， ，甲乙在同一段时间 t 内的路程之比等于速度比 v 甲 v 乙 s 乙 v 乙 2. 当2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时， 走过相同的路程时， 2 个物体所用的时间 之比等于他们速度的反比。 s 甲 v 甲 t 甲 ，这里因为路程相同，即 s 甲 s 乙 s ，由 s 甲 v 甲 t 甲， s 乙 v 乙 t 乙 s 乙 v 乙 t 乙 得 乙 ， v 甲 乙 s 甲 t 甲 乙 t ，甲乙在同一段路程 s 上的时间之比等于速度比的反比。 v v t v 乙 t 甲 例题精讲 模块一、时间相同速度比等于路程比

小学数学六年级下：《巧用比例解行程问题》习题

班级学生 方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识：速度一定，时间和路程成正比；时间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比等。分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。也可以从题意的叙述中找出等量关系，从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关系求解。 1、甲、乙两车同时从ab两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，ab两地相距多少千米？ 2、两只轮船同时从甲、乙两港相对开出，客船每小时行42千米，货船的速度是客船的5/6。两只轮船在离甲、乙两港中点7千米处相遇，甲、乙两港间的距离是多少？ 3、客车由甲城到乙城需行10小时，货车从乙城到甲城需行15小时，两车同时相向开出，相遇时客车距离乙城还有192千米，求两城间的距离。 4、甲、乙两车分别从ab两地同时相向而行，3小时相遇。已知甲车行1小时距b地340千米，乙车行1小时距a地360千米。ab两地相距多少千米？ 5、甲、乙两车同时从ab两地相对而行，4小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是3：5，乙车行完全程需多少小时？ 6、甲、乙两个城市相距若干千米，一列客车与一列货车同时从两个城市相对开出，3小时后相遇，相遇时客车比货车多行60千米，货车与客车速度比是9：11。货车平均每小时行多少千米？ 7、客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行全程的1/5，货车每小时行50千米。相遇时客车和货车所行的路程的比是3：2。甲、乙两地相距多少千米？ 8、甲、乙两车同时相对而行，甲车行全长需8小时，乙车每小时56千米，相遇时，甲、乙两车所行路程的比是3：4，这时乙车行了多少千米？

五年级奥数竞赛班-[第7讲]行程问题——方程与比例方法(二)

五年级奥数竞赛班 A、B 两地相距7200米，甲、乙分别从A，B 两地同时出发，结果在距B地2400 米处相遇．如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行米． (2006年希望杯第四届五年级二试) 胖胖、气球两人同时从A地出发前往B地，胖胖每分钟走80米，气球每分钟走60米.胖胖到达B地后，休息了半个小时，然后返回A地，胖胖离开B地15分钟后与正向B地行走的气球相遇。A、B两地相距_____________米。 甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，按预定速度他们将在下午5 时在途中相遇；如果他们每人每小时都比预定速度快1千米，则可在下午4时相遇；如果他们每人每小时都比预订速度慢1.5千米，则要在下午7时相遇，A、B两地的距离是千米。 一只小船，第一次顺流航行57千米，逆流航行45千米，共用9小时；第二次用同样的时间，顺流航行37千米，逆流航行60千米。求这只小船顺水航行130千米需要多长时间。 A、B两地相距22.4千米。有一支游行队伍从A地出发，向B匀速前进.当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，乙向A步行，甲骑车先追向队头，追上之后又立即骑向队尾，到达队尾之后又掉头追队头，如此反复，当甲第5 次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距离A地还有________千米。 1．正比例 2．反比例 3．画图数比例法 行程问题——方程与比例方法(二)

4．崔氏快餐法5．贪吃蛇法 aababbaabbbabab Long time no C……

五年级奥数春季班第10讲 比例法解行程资料讲解

五年级奥数春季班第10讲比例法解行程

第十讲比例法解行程 模块一、比例的简单运用 例1．A、B两地相距300千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发。 （1）甲车的速度是30千米/时，乙车的速度是20千米/时，相遇时距A地千米； （2）甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是40千米/时，相遇时距A地千米； （3）甲车的速度是40千米/时，乙车的速度是20千米/时，各自走完全程，两车行驶的时间之比是； （4）如果两地距离未知，甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是30千米/时，相遇时，甲车走了全程的，各自走完全程，两车行驶的时间之比是。 解：（1）V甲 : V乙=30 : 20=3 : 2，所以S甲 : S乙=3 : 2， 300×3 32 + =180（千米）； （2）V甲 : V乙=60 : 40=3 : 2，所以S甲 : S乙=3 : 2， 300×3 32 + =180（千米）； （3）V甲 : V乙=40 : 20=2 : 1，所以t甲 : t乙=1 : 2， （4）V甲 : V乙=50 : 30=5 : 3，所以S甲 : S乙=5 : 3，t甲 : t乙=3 : 5， 相遇时，甲走了全程的 55 = 538 + ，各自走完全程，两车行驶的时间之比是3 : 5. 例2．（1）甲、乙两人的速度比是4 : 5，两人同时出发，行走的时间比为3 : 7，则甲、乙走的路程比为； （2）甲、乙两人要走的路程比为3 : 2，甲、乙的速度比是4 : 3，则甲、乙的时间比是；（3）甲、乙两人的路程比为7 : 8，两人用的时间比为6 : 5，甲的速度为70千米/时，则乙的速度为。 解：（1）已知V甲 : V乙=4 : 5，t甲 : t乙=3 : 7， 所以S甲 : S乙=12 : 35； （2）S甲 : S乙=3 : 2，V甲 : V乙=4 : 3， 所以t甲 : t乙=32 : 43 =9 : 8； （3）S甲 : S乙=7 : 8，t甲 : t乙=6 : 5， 所以V甲 : V乙=78 : 65 =35 : 48；于是70 : V乙=35 : 48，V乙=96千米/小时。 模块二、行程的正比例模型 行程的正比例模型是指时间一定，路程和速度成正比。 在没有发生变速的情况下，路程比等于速度比。 如果两人同时从同地出发，速度比为 1 : n，则路程比也为1 : n， 相遇时，两人各自走了 2 1 S n+ ， 2 1 nS n+ 。 例3．甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲骑车的速度是15米/秒，乙步行的速度是5米/秒，如果甲到达B地后立即返回，请问两人在相遇。 解：设A、B两地的距离为S，V甲 : V乙=15 : 5=3 : 1，

比例法行程问题

比例法行程问题 【南京考题】甲乙两车分别从A、B两地同时相向而行，甲车每小时行82千米，乙车每小时行72千米，两车在距离中点30千米处相遇。 A、B两地相距多少千米？ 【黄冈考题】甲骑车从A地出发0.5小时后，乙发现甲忘了带书，立即从A地骑车追甲。在乙出发的同时，丙骑车也从A地出发，行的道路与乙相同。乙追上甲交书后，立即原路返回，行了15千米与丙相遇。甲每小时行18千米，乙速是丙速的2倍。求乙的速度。 【武汉考题】甲、乙两车从相距200千米的两地同时相向开出，不停地往返两地之间行驶，如果甲车每小时行65千米，乙车每小时行70千米，当两车第一次同时回到各自的出发地时，甲车行了多少千米？

【南昌考题】甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，第一次相遇在距A地65千米处，相遇后，两车继续前进，分别到达目的地后立刻返回。第二次相遇在距A地35千米处，求A、B两地相距多远？ 【郑州考题】汽车以一定的速度从甲地到乙地，如果汽车每小时比原来多行15千米，那么所用的时间只是原来的5/6；如果汽车每小时比原来少行15千米，那么所用的时间要比原来多用1.5小时。求甲乙两地间的距离。

小升初之数学必考——裂项 数学是什么？ 数学就是“逻辑+计算”，光有计算，没有逻辑，学不好数学；光有逻辑没有计算，更学不好数学。每次数学考试，计算是必考的内容，不可能说哪次考试没有计算，除非考试语文吧。 每位小学生，都要面临小升初，一些名校的择校考试及分班考试，在数学计算中有一类型题目是每次都会出现，并难倒很多学生，这个就是裂项计算。 最简单的裂项算式是形如，其原理是分数合并同类项的逆运算。 写成字母的形式即为 裂项的好处是什么呢？通过下面一个例题，你就会明白了。

用比例解答行程问题

用比例解答行程问题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

用比例解答行程问题 例一：客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的3/4，甲、乙两城相距多少千米 【解】客车速度：货车速度=4：3，那么同样时间里路程比=4：3，也就是说客车比货车多行了1份，多30千米；所以客车走了30×4=120千米，所以两城相距120×2=240千米。 例2、小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天从家到学校都是步行。有一天由于晚出发10分钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样。那么小明每天步行上学需要时间多少分钟 【解】后一半路程和原来的时间相等，这样前面一半的路程中某日和平时的速度比=3：1，所以时间比=1：3，也就是节省了2份时间就是10分钟，所以后一半路程走路的时间就是10÷2×3=15分钟，全部路程原来需要30分钟。 例3、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的倍，求A，B两地的距离。 【解】甲车速度是乙车的倍，相遇时甲车和乙车行驶距离的比是6：5，甲车行驶6份，乙车行驶5份，甲车比乙车多行驶1份，一份是2*8=16千米，A，B两地的距离就是11*16=176千米。

例4、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是12时几分 【解】：从爸爸第一次追上小明到第二次追上小明时，小明走了4千米，爸爸走了12千米．这说明，爸爸的速度是小明的3倍，爸爸走4千米所用的时间是是小明的三分之一，比小明少8分，所以小明走4千米需要12分，走8千米要24分，所以第2次追上时是8时32分。这道题关键是发现爸爸和小明的速度比。 巩固练习1 1、一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行48千米，返回时，每小时行56千米，返回比去时少用1小时，求甲、乙两地的路程。 2、某人从A城步行到B城办事，每小时走5千米，回来时骑自行车，每小时行15千米，往返共用6小时，求A、B两城之间的路程。 3、一辆汽车从甲地去乙地，每小时行45千米，返回时每小时行多行20%，往返共用去11小时。甲地到乙地共有多少千米 4.快车从甲地开往乙地，需要8小时，慢车从乙地开往甲地需要10小时，两车同时从两地相向而行，相遇时，慢车行了240km，求两地距离。 5.甲乙两车分别从AB两地同时相对开出，相遇时，甲车行了全程的1/3，当乙车到达A 地时，甲车离B地还有10km，AB两地相距km 6.客车从甲地到乙地需要6小时，火车每小时行驶36km，现在客货两车分别从甲乙两地相向而行，相遇时客货两车所行的路程比5：3，求甲乙两地相距多少千米 1、一辆客车从甲城到乙城8小时，一辆卡车从乙城到甲城12小时，两车同时从两地相 向开出，相遇时，甲车行了264千米，求A、B两地的距离

第12讲较难的比例解行程

【例1】一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的34 前进，最终到达目的地晚1.5 小时．若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的 3 4 前进，则到达目的地仅晚1 小时，那么整个路程为多少公里？ 【巩固】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结 果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时 40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？ 例题精讲 较难的比例解行程问题

【巩固】一辆货车从甲地开往乙地，如果按原速行驶，将不能准时到达，如果速度提高1/5，可以比原定时间早1小时到达；如果以原速度行驶120km以后，再将速度提高1/4，则可以提前40分钟到达。那么甲，乙两地间的距离是多少千米？ 【例2】甲、乙两人分别从A B 、两地同时出发，相向而行。出发时他们的速度之比是3：2， ，这样当甲到达B地时，乙离A地还有41千米，相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高1 3 那么A B 、两地相遇__________千米。 【巩固】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是5 : 4，相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达B地时，乙离A地还有 10 千米．那么A、B两地相距多少千米？

【巩固】甲乙两人分别从A,B两地相向出发，其速度比为3：2，他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样当甲到达B地时，乙离A地还有42km，那么A,B 两地的距离是（）km. 【巩固】甲乙两人同时从两地相向而行，乙的速度是甲的1.5倍，相遇后甲的速度提高了2倍。若两人同时到达目的地，那么相遇后，乙的速度为其原来的速度的多少倍？ 【例3】甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行 80米，乙每分钟行 60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了 7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？