高中物理功和能知识点与题型总结剖析

功和能

专题要点

１．做功的两个重要因素：有力作用在物体上且使物体在力的方向上发生了位移。功的求解可利用θ

cos Fl W =求,但F 为恒力；

也可以利用F-l 图像来求;变力的功一般应用动能定理间接求解。 2．功率是指单位时间内的功,求解公式有θcos V F t

W

P ==

平均功率，θcos FV t

W

P ==

瞬时功率，当0=θ时,即F 与v 方向相同时，P=FV 。 3.常见的几种力做功的特点

⑴重力、弹簧弹力，电场力、分子力做功与路径无关 ⑵摩擦力做功的特点

①单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力）可以做正功，也可以做负功,还可以不做功。②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零,在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的转移，没有机械能的转化为其他形式的能；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值，在一对滑动摩擦力做功的过程中，不仅有相互摩擦物体间机械能的转移,还有机械能转化为内能。转化为内能的量等于系统机械能的减少，等于滑动摩擦力与相对路程的乘积。 ③摩擦生热,是指动摩擦生热,静摩擦不会生热 4.几个重要的功能关系

⑴重力的功等于重力势能的变化，即P G E W ?-=

⑵弹力的功等于弹性势能的变化,即P E W ?-=弹

⑶合力的功等于动能的变化,即K E W ?=合

⑷重力之外的功(除弹簧弹力）的其他力的功等于机械能的变化，即E W ?=其它

⑸一对滑动摩擦力做功等于系统中内能的变化，相对Fl Q =

⑹分子力的功等于分子势能的变化。 典例精析

题型1.(功能关系的应用）从地面竖直上抛一个质量为m 的小球，小球上升的最大高度为H 。设上升过程中空气阻力为F 恒定。则对于小球上升的整个过程，下列说法错误的是（ ）

A. 小球动能减少了mgH B 。小球机械能减少了FH Ｃ。小球重力势能增加了m ｇＨ D 。小球加速度大于重力加速度ｇ 解析:由动能定理可知，小球动能的减小量等于小球克服重力和阻力Ｆ做的功。为(mg+Ｆ)Ｈ，A 错误;小球机械能的减小等于克服阻力F 做的功，为FH,B 正确;小球重力势能的增加等于小球小球克服重力做的功,为mgH ，Ｃ正确;小球的加速度

g m

F

mg a >+=

,D 正确规律总结:⑴重力做功与路径无关,重力的功等于重力势能的变化⑵滑动摩擦力（或空气阻力)做的功与路径有关，并且等于转化成的内能⑶合力做功等于动能的变化⑷重力（或弹力）以外的其他力做的功等于机械能的变化 题型２.（功率及机车启动问题）

在汽车匀加速启动时，匀加速运动刚结束时有两大特点： ⑴牵引力仍是匀加速运动时的牵引力，即ma F F

f =-仍满足

⑵Fv P P

==额

2.注意匀加速运动的末速度并不是整个运动过程的最大速度

题型３.(动能定理的应用）如图所示,竖直平面内的轨道A ＢCD 由水平轨道AB 与光滑的四分之一圆弧轨道CD 组成,A Ｂ恰与圆弧C Ｄ在C 点相切，轨道固定在水平面上。一个质量为m 的小物块（可视为质点）从轨道的Ａ端以初动能E 冲上水平轨道AB ,沿着轨道运动，由DC 弧滑下后停在水平轨道AB 的中点。已知水平轨道AB 长为Ｌ。求: （1）小物块与水平轨道的动摩擦因数μ

(2)为了保证小物块不从轨道的D 端离开轨道,圆弧轨道的半径R 至少是多大？

（３）若圆弧轨道的半径Ｒ取第(２)问计算出的最小值，增大小物块的初动能，使得小物

块冲上轨道后可以达到最大高度是１.5Ｒ处，试求物块的初动能并分析物块能否停在水平轨道上。如果能,将停在何处?如果不能，将以多大速度离开水平轨道？

解析：（1）小物块最终停在A Ｂ的中点,在这个过程中，由动能定理得：E L L mg -=+-)5.0(μ 得

mgL

E

32=

μ

(2)若小物块刚好到达D 处,速度为零，同理,有E mgR mgL -=--μ,解得CD 圆弧半径至少为 mg

E R 3=

(3)设物块以初动能Ｅ′冲上轨道，可以达到的最大高度是１.５R ,由动能定理得,E mgR mgL '-=--5.1μ,解得6

7E E =

',物块

滑回C 点时的动能为2

5.1E

mgR E C

=

=，由于3

2E

mgL E C

=

<μ,故物块将停在轨道上。 设到A 点的距离为ｘ，有 C E x L mg -=--)(μ ,解得 L x 4

1

= ,即物块最终停在水平滑道A Ｂ上，距A 点L 41处。

题型4.（综合问题)如图甲所示,ａbc ｄef 为同一竖直平面上依次平滑连接的滑行轨道,其中ab 段水平,H ＝３m ，bc 段和ｃd 段均为斜直轨道,倾角θ=37o，ｄe 段是一半径Ｒ=2.5m 的四分之一圆弧轨道,ｏ点为圆心,其正上方的ｄ点为圆弧的最高点，滑板及运动员总质量m=60kg ，运动员滑经d 点时轨道对滑板支持力用Nd 表示,忽略摩擦阻力和空气阻力，取g=1０m ／s2，si ｎ３7o=0.6， cos3７o＝０.８ 除下述问（3)中运动员做缓冲动作以外,均可把滑板及运动员视为质点。 （1)运动员从bc 段紧靠ｂ处无初速滑下，求Ｎd 的大小；

(2)运动员逐渐减小从bc 上无初速下滑时距水平地面的高度h ，请在图乙的坐标图上作出 Nd-h 图象(只根据作出的图象评分，不要求写出计算过程和作图依据);

(3)运动员改为从b 点以υ０=4m ／s 的速度水平滑出,落在bc 上时通过短暂的缓冲动作使他只保留沿斜面方向的速度继续滑行，则他是否会从d 点滑离轨道?请通过计算得出结论 解析:解:(1)从开始滑下至d 点，由机械能守恒定律得22

1

)(υm R H

mg =

-① R

m N mg d 2

υ=

-②,由①②得：N R

H

mg N d

360)23(=-

=③ (2)所求的h N d -图象如图所示 (３)当以s m /40=υ从b 点水平滑出时,运动员做平抛运动

落在Q 点，如图所示设Bq ＝1s ，则2

12

137

sin gt s =

④t s 00137cos υ=⑤，由④⑤得,s g

t 6.037tan 20

0==υ⑥s m gt y /6== ⑦ 在Q 点缓冲后

s m y Q /8.637cos 37sin 000=+=υυυ ⑧从d Q → 222212

121)(Q d m m mgR gt H mg υυ-=-- ⑨ 运动员恰从ｄ点滑离轨道应满足:R

m mg d

2

`υ=

⑩由⑨⑩得76.422

`=-d d

υυ 即d d υυ>` ⑩

可见滑板运动员不会从圆弧最高点d 滑离轨道。 专题突破

针对典型精析的例题题型,训练以下习题

1. 如图,一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的Ｏ点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度,使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中,

Ａ.小球的机械能守恒B ．重力对小球不做功C ．绳的张力对小球不做功 D ．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少

点拨:此题属于功能关系的应用。由于摩擦力做功，机械能不守恒,任一时间内小球克服摩擦力所做的功总是等于小球机械能的减少。转动过程重力做功,绳的张力总与运动方向垂直，不做功。此题选C 。

2. 如图是汽车牵引力F 和车速倒数

v

1

的关系图像，若汽车质量为2×１0３

kg ，由静止开

始沿平直公路行驶,阻力恒定，最大车速为3０m/ｓ,则在车速为15ｍ/s 时汽车发动机功率为_＿__＿＿_＿_＿W ；该汽车作匀加速运动的时间为___＿__＿＿s. 点拨: 由图知。

W V F FV P N F f f

43106,102?===?=当ｖ=15ｍ／s 时，F=4×103Ｎ<6×10４

Ｎ,因此仍处在额定功率

阶段，匀加速运动末速度s m v /1010

61063

4

=??=，又v=at,ma F F f =-，F ＝６×103

N ，解之得t ＝5s. ３. 据2０08年2月18日北京新闻报导：北京地铁1０号线进行运行试验。为节约能源,一车站站台建得高些,车辆进站时要上坡将动能转换为重力势能，出站时要下坡将重力势能换为动能,如图所示。已知坡长为x ,坡高为h ,重力加速度为g ，车辆的质量为ｍ,进站车辆到达坡下A 处时的速度为v ０，此时切断电动机的电源。

（1）车辆在上坡过程中，若只受重力和轨道的支持力，求车辆“冲”到站台上的速度多大?

（2）实际上车辆上坡时，还受到其它阻力作用,要使车辆能“冲”上站台,车辆克服其它阻力做的功最大为多少？

点拨:（１）车辆上坡过程,机械能守恒，设车辆“冲”坡站台的速度为v ,则有：2202

1

210mv mgh mv +=+

（6分),解得：

gh

v v 22

0-=(２)车辆上坡过程,受到最大阻力功,冲到站台上的速度应为零，设最大阻力功为W ｆ，由动能定理有：

202

10)(mv W mgh f -=+-(６分）解得：mgh mv W f -=2

021（2分)

4．如图所示，在距水平地面高为0.4ｍ处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P 点固定一定滑轮,滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在

Ｐ点的右边，杆上套有一质量m=2kg 小球Ａ。半径R ＝0.３m 的光滑半圆形细轨道，竖直地固定在地面上，其圆心O 在P 点的正

下方，在轨道上套有一质量也为ｍ=２kg 的小球B 。用一条不可伸长的柔软细绳,通过定滑轮将两小球连接起来。杆和半圆形轨道

O

O

v

1

/s ·m F /N 6×103

2×103

30

1

h

A

2．以2０m／s的初速度，从地面竖直向上势出一物体，它上升的最大高度是１8m。如果物体在运动过

程中所受阻力的大小不变,则物体在离地面多高处，物体的动能与重力势能相等。(ｇ＝10m/s2)

【错解】以物体为研究对象,画出运动草图3-３,设物体上升到ｈ高处动能与重力势能相等

此过程中,重力阻力做功,据动能定量有物体上升的最大高度为

H由式①，②，③解得ｈ＝9.5m

【错解原因】初看似乎任何问题都没有,仔细审题，问物全体离地面多高处,物体动能与重力势相等一般人首先是将问题变形为上升过程中什么位置动能与重力势能相等。而实际下落过程也有一处动能与重力势能相等。

【分析解答】上升过程中的解同错解。设物体下落过程中经过距地面h′处动能等于重力势能，运动草图如3-4。

据动能定理解得h′=8.5m

４. 如图3-13，质量分别为m和2m的两个小球A和Ｂ,中间用轻质杆相连,在杆的中点Ｏ处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放,在B球顺时针摆动到最低位置的过程中( )

A.B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒

B.A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒。

Ｃ．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒 D．A球、B球和地球组成的系统机械不守恒

【错解】B球下摆过程中受重力、杆的拉力作用。拉力不做功，只有重力做功,所以Ｂ球重力势能减少,动能增加，机械能守恒，Ａ正确。同样道理A球机械能守恒,Ｂ错误,因为A，B系统外力只有重力做功,系统机械能守恒。故C选项正确。

【错解原因】 B球摆到最低位置过程中,重力势能减少动能确实增加，但不能由此确定机械能守恒。错解中认为杆施的力沿杆方向，这是造成错解的直接原因。杆施力的方向并不总指向沿杆的方向，本题中就是如此。杆对A，Ｂ球既有沿杆的法向力,也有与杆垂直的切向力。所以杆对A,B球施的力都做功，A球、B球的机械能都不守恒。但A+B整体机械能守恒。

【分析解答】B球从水平位置下摆到最低点过程中,受重力和杆的作用力,杆的作用力方向待定。下摆过程中重力势能减少动能增加，但机械能是否守恒不确定。A球在B下摆过程中，重力势能增加,动能增加,机械能增加。由于A+B系统只有重力做功，系统机械能守恒,A球机械能增加,B球机械能定减少。所以B，C选项正确。

【评析】有些问题中杆施力是沿杆方向的，但不能由此定结论,只要杆施力就沿杆方向。本题中A、B球绕O点转动，杆施力有切向力，也有法向力。其中法向力不做功。如图3-14所示，杆对B球施的力对B球的做负功。杆对A球做功为正值。A球机械能增加,B球机械能减少。

一、专题综合

1.（场强的类比思想+势能+机械能守恒）如图所示,桌面上有许多大小不同的塑料球,它们的密度均为ρ,有水平向左恒定的风作用在球上,使它们做匀加速运动（摩擦不计）。已知风对球的作用力与球的最大横截面积成正比,即Ｆ=ｋS,ｋ为一常量。

(1)对塑料球来说，空间存在一个风力场，请定义风力场强度并写出其表达式

(2)在该风力场中风力对球做功与路径无关,因此可引入风力势能和风力势的概念。若

以栅栏P为风力势能参考平面,写出风力势能EＰ和风力势U的表达式

(3）写出风力场中机械能守恒定律的表达式(小球半径用r表示;第一状态速度为v1,和 P的距离为x1；第二状态速度为v2,和P 的距离为ｘ2）

解:(1)风力场强度：风对小球作用力与小球最大横截面积之比,方向与风力相同。即k

S

F

E=

=２分

（２）距P为x处，kSx

Fx

E

p

=

=，kx

S

E

U p=

=,(３）2

2

2

2

1

12

1

2

1

υ

υm

kSx

m

kSx+

=

+，3

3

4

r

V

mρπ

ρ=

=

由以上两式得

2

2

2

2

1

13

2

3

2

υ

ρ

υ

ρr

kx

r

kx+

=

+

2.(圆周运动+受力分析+功能关系)某游乐场中有一种叫“空中飞椅”的游乐设施，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成是一个质点,则可简化为如图所示的物理模型。其中P为处于水平面内的转盘,可绕竖直转轴OO′转动,设绳长ｌ＝１０m，质点的质量ｍ=60ｋg,转盘静止时质点与转轴之间的距离d=4m。转盘逐渐加速转动,经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ=37０。(不计空气阻力及绳重,绳子不可伸长,sin３70=0.6，coｓ370=0.8，ｇ＝10m/s2）求：（１）质点与转盘一起做匀速圆周运动时转盘的角速度及绳子的拉力;

（２）质点从静止到做匀速圆周运动的过程中,绳子对质点做的功。

风向

风

P

解:（1)如图所示，对质点受力分析可得:2tan mg m D θω=①绳中的拉力T =m ｇ／cos θ=7５0Ｎ②

2分

根据几何关系可得：sin D d l θ=+

代入数据得:3

2

ω=

rad ／ｓ③2分 （2)转盘从静止启动到转速稳定这一过程,绳子对质点做的功等于质点机械能的增加量:21

2

W

mv mgh =+④３分 cos 2h l l θ=-=m ，53v D ω==ｍ/s

代入数据解得Ｗ=3４50J ⑤３分

专题四 功和能 考案

一、选择题

1． 质量为m 的物块，在几个共点力的作用下静止在光滑的水平桌面上．现把其中一个

水平方向的力从F 突然增大到4F,保持其他力不变,则在t 秒末该力的功率为 ( ）

Ａ.t m F 24 B ．t m

F 2

9 Ｃ.t m F 2

6 Ｄ.

t m

F 2

12

2. 如图所示,质量ｍ=1kg 、长L ＝０．8m 的均匀矩形薄板静止在水平桌面上,其右端与桌子边缘相平.板与桌面间的动摩擦因数为μ=0.4．现用Ｆ=5N 的水平力向右推薄板,使它翻下桌子,力Ｆ做的功至少为(g 取10ｍ／s 2)（ )

A ．1Ｊ B.１.6J C ．2Ｊ D.4J

3． 某科技创新小组设计制作出一种全自动升降机模型,用电动机通过钢丝绳拉着升降机由静止开始匀加速上升，已知升降机的质量为m ,当升降机的速度为v 1时，电动机的有作功率达到最大值p ,以后电动机保持该功率不变，直到升降机以最大速度ｖ2匀速上升为止，整个过程中忽略摩擦阻力及空气阻力,重力加速度为ｇ。有关此过程下列说法正确的是( )

A.钢丝绳的最大拉力为

2

v p

Ｂ．升降机的最大速度mg

p v =

2

P O /

O

d

l

F

L

C.钢丝绳的拉力对升降机所做的功等于升降机克服重力所做的功 Ｄ．升降机速度由v 1增大至v 2过程中，钢丝绳的拉力不断减小

4. 物体在水平拉力和恒定摩擦力的作用下,在水平面上沿直线运动的

t v -关系如图所示，已知第

1秒内合外力对物体做功为

1W ,摩擦力对物体做功为2W ,则(

）

A ．从第1秒末到第3秒合外力做功为14W ，摩擦力做功为24W

B ．从第4秒末到第6秒合外力做功为0，摩擦力做功也为0 C.从第５秒末到第７秒合外力做功为1W ,摩擦力做功为22W

D.从第3秒末到第4秒合外力做功为175.0W -，摩擦力做功为25.1W 5．

6. 下列说法正确

的是( ）

A ．合外力对质点做的功为零，则质点的动能、动量都不变

B.合外力对质点施的冲量不为零,则质点动量必将改变，动能也一定变

C.某质点受到合力不为零,其动量、动能都改变

D．某质点的动量、动能都改变,它所受到的合外力一定不为零

7. 物体m从倾角为α的固定的光滑斜面由静止开始下滑，斜面高为h,当物体滑至斜面底端，重力做功的瞬时功率为( ）

8. 如图３-１8所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上,它的正上方有一金属块从高处自由下落,从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中（ )

A．重力先做正功，后做负功 B．弹力没有做正功

C.金属块的动能最大时,弹力与重力相平衡D．金属块的动能为零时，弹簧的弹性势能最大。

9. 一物块以１50Ｊ的初动能由地面沿一个很长的斜面往上滑行,当它到达最高点

时，重力势能等于120J，而后物块开始沿斜面往下滑行,设物块与斜面的动摩擦因

数处处相同，则当物块下滑到离地高度等于最高度的三分之一时( 取斜面最低点为

重力势能为零)，物块的( )

A、机械能等于1１0J?

B、机械能等于10０J

C、动能等于60J D 动能等于30J

10.将一物体从地面竖直上抛,设物体在地面时的重力势能为零,则从抛出到落回原地的过程中,物体的机械能E与物体距地面高度ｈ的关系正确的是( ）

A．如果上抛运动过程中所受的空气阻力恒定，则可能

为图(ａ）,

B．如果上抛运动过程中所受的空气阻力恒定，则可能

为图(b）,

C.如果上抛运动过程中所受的空气阻力与速度成正比,

(a) (b) (c) (d)

则可能为图(d),

D.如果上抛运动过程中所受的空气阻力与速度成正比，则四图都不对。

11．为了探究能量转化和守恒，小明将小铁块绑在橡皮筋中部,并让橡皮筋穿入铁罐、两端分别固定在罐盖和罐底上,如图所示。让该装置从不太陡的斜面上A处滚下,到斜面上B处停下,发现橡皮筋被卷紧了,接着铁罐居然能从Ｂ处自动滚了上去。下列关于该装置能量转化的判断正确的是(）

A．从Ａ处滚到Ｂ处，主要是重力势能转化为动能

B.从A处滚到B处，主要是弹性势能转化为动能

C.从Ｂ处滚到最高处，主要是动能转化为重力势能

D.从Ｂ处滚到最高处,主要是弹性势能转化为重力势能

二、计算题

12. 质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接,弹簧下端固定在地上。平衡时,弹簧的压缩量为x０，

如图3－1５所示。物块从钢板正对距离为３X0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运

动,但不粘连,它们到达最低点后又向上运动已知物体质量也为m时,它们恰能回到O点，若物块质量

为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时,还具有向上的速度，求物块向上运动到最高点

与O点的距离。

１３. 长为6L质量为6ｍ的匀质绳，置于特制的水平桌面上，绳的一端悬垂于桌边外,另

一端系有一个可视为质点的质量为Ｍ的木块,如图所示。木块在AB 段与桌面无摩擦，在BE 段与桌面有摩擦,匀质绳与桌面的摩擦可忽略。初始时刻用手按住木块使其停在Ａ处,绳处于绷紧状态,ＡB=BC=ＣＤ=DE=Ｌ，放手后，木块最终停在C 处。桌面距地面高度大于6L

（1）求木块刚滑至B 点时的速度v 和木块与BE 段的动摩擦因数μ; （2）若木块在BE 段与桌面的动摩擦因数变为M

m

421'=μ则木块最终停在何处？ ′

1４. 如图所示,轻杆长为３Ｌ，在杆的A 、Ｂ两端分别固定质量均为m 的球A 和球Ｂ,杆上距球 A 为L 处的点O 装在光滑的水平转动轴上,杆和球在竖直面内转动，已知球B 运动到最高点时，球B 对杆恰好无作用力.求： (1)球Ｂ在最高点时,杆对水平轴的作用力大小．

(2)球Ｂ转到最低点时，球A 和球B 对杆的作用力分别是多大?方向如何?

15. 如图,半径为R 的1／4圆弧支架竖直放置，支架底ＡＢ离地的距离为2R ，圆弧边缘C 处有一

小定滑轮，一轻绳两端系着质量分别为m 1与ｍ２的物体，挂在定滑轮两边,且m 1＞m 2，开始时ｍ1、m 2均

静止,ｍ1、m 2可视为质点，不计一切摩擦。求： ⑴ m 1释放后经过圆弧最低点A 时的速度；

⑵ 若ｍ1到最低点时绳突然断开,求m １落地点离A 点水平距离; ⑶ 为使m 1能到达A 点,m 1与m 2之间必须满足什么关系?

2R

O

A

B

C

m 2

m 1

地面